Quelques propriétés des idempotents centraux des groupes p-adiques

J.-F. Dat

24 janvier 2002

Résumé

Let G be a p-adic group. The center ℨ(G) of the category of smooth representations of G was given a concrete spectral realization by Bernstein in [4]. On another hand, ℨ(G) embeds canonically as a set of invariant distributions : this is the geometric realization. The natural link between both realizations is Harish-Chandra’s Plancherel formula ; however, in general, it is not completely explicit. One aim of this paper is to give another formula for the (invariant distribution attached to) idempotents of ℨ(G). We call it of Plancherel type since ultimately it provides a development of the Dirac measure at 1_{G} in terms of spectral data. The first step to this formula is to show that such distributions have support contained in the set of compact elements.

The second step is also of independent interest and is concerned with harmonic analysis on the set of compact elements. There is a canonical pairing between the (complexified) K_{0} of G and the space of invariant distributions with support contained in the compacts. Using the explicit description of K_{0}(G) ⊗ ℂ given in [12] together with Arthur’s description of the “elliptic pairings”, we can exhibit natural dual bases of both spaces.

As an application (this is also the motivation), we study integrality and rationality properties of these idempotents. Through the above duality, the counterpart of the integrality question is essentially the problem of determining what part of the K_{0} is generated by the compact open subgroups. This problem is a p-adic group analog of a very general question in K-theory. The only case which will be satisfactorily treated in this paper is that of GL(n), via types theory.

Table des matières

1 Problème, conjectures et résultats 1

2 Dualité sur les compacts 6

3 Intégralité et rationalité dans K_{ℂ}(G) et \overline{H}(G)_{c}^{∗} 9

4 Utilisation de la théorie d’Arthur 11

5 Bases duales. Une formule de type Plancherel 18

6 Sous-groupes compacts et K_{0} 25

1 Problème, conjectures et résultats

Commençons par rappeler quelques faits élémentaires de la théorie des représentations d’un groupe fini G. On sait tout d’abord que les représentations de G à coefficients dans un anneau commutatif R s’identifient aux modules sur la R-algèbre de groupe R[G]. Lorsque R = ℂ, on sait de plus que cette algèbre est semi-simple et ses idempotents centraux primitifs sont en bijection avec ses classes de modules simples. Si χ est un caractère simple, alors on a la formule bien connue donnant l’idempotent central primitif e_{χ} associé à χ :

e_{χ} = \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} χ(g^{−1})g.

Dans cette formule, on sait que les valeurs de χ sont dans l’anneau ℤ_{G} des entiers de l’extension finie ℚ(1^{\frac{1}{|G|}}) de ℚ, et l’on constate sans se fatiguer que les idempotents primitifs centraux vivent dans \frac{1}{|G|}ℤ_{G}[G]. Le but de cet article est de donner une formule pour les idempotents centraux primitifs d’un groupe p-adique, après les avoir convenablement définis et rappelé la description “spectrale” qu’en a donnée Bernstein. Pour un groupe fini la formule ci-dessus peut se voir comme l’explicitation d’un isomorphisme entre le complexifié du groupe de Grothendieck des caractères simples de G et l’espace des fonctions sur les classes de conjugaison de G. De même, la formule que l’on obtiendra ici pour G p-adique est une conséquence de l’explicitation d’une dualité parfaite entre le complexifié du groupe de Grothendieck des représentations projectives de type fini de G et l’espace des distributions invariantes sur G et à support dans les éléments compacts.

Définissons maintenant les objets de base de la théorie des représentations d’un groupe padique ; on considère un groupe réductif 𝔊 défini sur un corps p-adique F de caractéristique nulle et de corps résiduel 𝔽_{q}. On s’intéresse aux représentations lisses (i.e. localement constantes) du groupe localement profini G := 𝔊(F). Ces représentations s’identifient à certains modules sur une algèbre sans unité dont nous rappelons la définition : pour tout anneau intègre commutatif R où p est inversible, on note C_{c}^{∞}(G, R) le R-module des fonctions localement constantes à support compact sur G et à valeurs dans R; une R-distribution sur G est par définition un élément du R-dual de C_{c}^{∞}(G, R). On note alors H(G, R) la R-algèbre de convolution des R-distributions localement constantes à support compact. À tout pro-p-sous-groupe ouvert H de G, on associe l’extension par zéro à G tout entier de la mesure de Haar sur H de volume 1 ; c’est un idempotent de H(G, R) que l’on notera e_{H}. Il agit sur toute R-représentation lisse de G comme le projecteur sur les H-invariants. On sait alors que les R-représentations lisses s’identifient aux modules non dégénérés sur H(G, R), i.e qui vérifient M = ⋃_{H} e_{H}M.

Dans la suite, on abrègera H(G) := H(G, ℂ).

La plupart des notations seront introduites au fur et à mesure. De manière générale, si A est un anneau unitaire ou un groupe, la notation Z(A) désigne le centre de A; si E est un A-module (et s’il n’y a pas d’ambiguïté sur A) son dual Hom_{A}(E, A) sera noté E^{∗}.

1.1 Le problème : Par définition (Voir [4]) le centre ℨ(G, R) de la catégorie Mod_{R}(G) des représentations lisses de G à coefficients dans R est l’anneau des endomorphismes du foncteur identité. En particulier il agit sur l’objet initial C_{c}^{∞}(G, R) de Mod_{R}(G) et s’identifie au commutant des translations à gauche et à droite par G. Considérons l’application R-linéaire

D : ℨ(G, R) → C_{c}^{∞}(G, R)^{∗}
z ↦ D_{z} telle que < D_{z}, f >:= (z.f)(1)

(1 est ici l’unité de G). On montre alors [4] que D induit un isomorphisme de R-algèbres entre ℨ(G, R) et la R-algèbre des distributions E ∈ C_{c}^{∞}(G, R)^{∗} invariantes par G-conjugaison et essentiellement compactes au sens où E∗H(G, R) ⊂ H(G, R). Pour expliciter l’isomorphisme réciproque, choisissons une R-mesure de Haar sur G qui nous fournit un isomorphisme de G×G-modules entre C_{c}^{∞}(G, R) et H(G, R) par l’application f ↦ fμ; alors la formule

z_{E}.f := (E ∗ (fμ)) /μ.

ne dépend pas du choix de μ et donne l’inverse cherché.

En identifiant les R-représentations aux H(G, R)-modules non-dégénérés, on constate que ℨ(G, R) est aussi isomorphe à End_{H⊗H}(H(G, R)). Puisque H(G, R) est la réunion des sous-algèbres unitaires e_{H}H(G, R)e_{H}, où H décrit un système de pro-p-sous groupes voisinages de l’unité, on obtient aisément l’isomorphisme

ℨ(G, R) ≃ lim_{⟵} Z(e_{H}H(G, R)e_{H})

ce qui permet de munir ℨ(G, R) de la topologie de la limite projective. En particulier il est clair que lorsque R ⊂ ℂ, ℨ(G, R) est une sous-R-algèbre de ℨ(G, ℂ) =: ℨ(G).

Dans le cas R = ℂ, Bernstein a décrit cet anneau par son action sur le spectre de G : on note 𝔖(G) l’ensemble des classes d’inertie de couples “cuspidaux” (M, ρ) où M est un sous-groupe de Levi de G et ρ une représentation cuspidale irréductible de M. Si 𝔰 ∈ 𝔖(G) et (M, ρ) est un représentant de 𝔰, on pose P_{𝔰} := i_{M}^{G}(ρ⊗ℂ[M/M^{0}]). C’est une représentation projective de type fini de G qui scinde la catégorie Mod_{ℂ}(G). Plus précisément, Bernstein a démontré que le morphisme canonique

ℨ(G) ⟶ ∏_{𝔰∈𝔖(G)} Z(End_{G}(P_{𝔰}))

est un homéomorphisme, si l’on munit le terme de droite de la topologie produit.

Il est bien connu des experts – et on l’expliquera dans la section 5.15 – que le dictionnaire entre le terme de droite et l’ensemble des distributions invariantes essentiellement compactes peut en principe être explicité au moyen de la formule de Plancherel-Harish Chandra, à condition de connaître précisément les caractères infinitésimaux des séries discrètes et les mesures non-discrètes que la formule fait intervenir. Bien que beaucoup de progrès aient été faits dans ce sens [17] [2], on est encore loin d’une connaissance si précise.

On se propose ici de donner une nouvelle formule pour la distribution D_{𝔰} := D_{e_{𝔰}} où e_{𝔰} est l’idempotent de ℨ(G) associé à la classe d’inertie 𝔰 dans la décomposition du terme de droite.

1.2 Stratégie : Rappelons que le caractère-trace d’une représentation admissible est une forme linéaire sur les G-coinvariants (G agissant par conjugaison) de H(G) que nous noterons \overline{H}(G). Moyennant le choix d’une mesure de Haar, on peut obtenir une distribution invariante en identifiant H(G) et C_{c}^{∞}(G, ℂ). Comme dans le cas des groupes finis, on veut étudier les idempotents centraux en développant les distributions associées en combinaisons linéaires de caractères de représentations irréductibles.

La formule de Plancherel-Harish-Chandra exprime la mesure de Dirac en 1_{G} comme combinaison linéaire continue (sous forme d’intégrale) de caractères de familles de représentations. Ici, nous proposons une formule (voir 1.4, 5.14) qui exprime la mesure de Dirac en 1_{G}, resp. les distributions D_{𝔰}, comme combinaison linéaire discrète, resp. finies, de troncatures aux éléments compacts de caractères de certaines représentations. Cette formule a l’architecture habituelle (partie discrète plus somme de parties venant des classes d’association de sous-groupes de Levi ) mais les parties non-discrètes font intervenir, a priori, en plus des séries discrètes, des représentations tempérées elliptiques.

Le point de départ, qui est l’objet de la partie 2, est l’observation que les distributions D_{𝔰} ont leur support dans les éléments compacts. Notons alors \overline{H}(G)_{c}^{∗} l’espace des formes linéaires sur \overline{H}(G) à support dans les compacts.

Le deuxième ingrédient est le fait, montré par Bernstein, Blanc-Brylinski, que l’application “rang” (ou “trace” ou “caractère de Chern”) en K-théorie met en dualité parfaite K_{ℂ}(G) et \overline{H}(G)_{c}^{∗}. Ici, K_{ℂ}(G) est le complexifié du groupe de Grothendieck K(G) des représentations projectives de type fini, et l’application “rang” envoie un projecteur définissant une représentation projective comme facteur direct d’une représentation libre sur sa trace qui est alors un élément bien défini de \overline{H}(G).

Le reste du travail consiste à étudier cette dualité, c’est à dire à exhiber et expliciter des bases duales de K_{ℂ}(G) et \overline{H}(G)_{c}^{∗}. En développant D_{𝔰} au moyen de ces bases, on obtiendra enfin la formule cherchée.

Obtenir les bases duales est une tâche compliquée et parfois très technique. L’idée générale est pourtant simple : si l’on se restreint à la dualité sur les éléments elliptiques (cf les “elliptic pairings” introduits par Harish-Chandra et Kazhdan), alors le travail a déja été fait par Arthur dans [1] comme on le rappellera dans la partie 4 (et c’est déja technique) ; on veut donc se ramener à cette situation en décomposant la dualité qui nous intéresse en “somme de dualités elliptiques sur les sous-groupes de Levi de G”. Pour cela, on utilise les résultats de [12] qui montrent précisément comment K_{ℂ}(G) est constitué d’une partie discrète et de parties “hissées” des parties discrètes correspondant aux sous-groupes de Levi standard (structure de système de Hopf de [12, 4.25]). On mettra en évidence dans la partie 5 une structure similaire sur \overline{H}(G)_{c}^{∗} et on montrera que l’accouplement de dualité se comporte bien via-à-vis de ces structures.

Tentons maintenant de décrire aussi simplement que possible les bases duales obtenues.

1.3 Bases duales : Dans [1], Arthur a défini des caractères elliptiques tempérés pour G qui sont des représentations virtuelles de longueur finie de G, c’est à dire des éléments du complexifié R_{ℂ}(G) := R(G) ⊗ ℂ du groupe de Grothendieck des représentations de longueur finie. Cela comprend en particulier les séries discrètes, et donc les supercuspidales unitaires, qui sont les seules vraies représentations obtenues ainsi. La définition d’Arthur dépend de certains choix (bien expliqués dans loc. cit) que nous supposons effectués de sorte que si x est un caractère elliptique tempéré et ψ un caractère non ramifié unitaire de G, alors ψ.x est encore un caractère elliptique tempéré. Ainsi, la torsion par les caractères non ramifiés unitaires munit l’ensemble

E(G) = {(M, x), M < G et x caractère elliptique tempéré de M}_{/G−conj}

d’une structure de variété analytique dont on note E^{0}(G) l’ensemble (infini) des composantes connexes. Fixons un couple (M, x) comme dans la définition précédente, on forme l’induite parabolique i_{M}^{G} (x ⊗ ℂ[M/M^{0}]) qui est une représentation virtuelle de type fini et qui définit donc un élément de K_{ℂ}(G). Celui-ci ne dépend que de la composante connexe e de (M, x) dans E et on peut donc poser :

X_{e} := [i_{M}^{G} (x ⊗ ℂ[M/M^{0}])] ∈ K_{ℂ}(G)

Notons R_{ℂ}(G)_{I} le sous-espace de R_{ℂ}(G) engendré par toutes les induites paraboliques. Bernstein [3] en a défini un joli supplémentaire dont on note π_{G} la projection associée : elle est donnée par une combinaison linéaire de restrictions-inductions paraboliques. On note alors (χ_{i_{M}^{G} (π_{M} .x)})_{|comp}

la restriction du caractère-trace de la représentation virtuelle i_{M}^{G} (π_{M}.x) à l’ensemble des éléments compacts de G. À nouveau ceci ne dépend que de la composante connexe e de (M, x) et on peut donc poser :

D_{e} := (χ_{i_{M}^{G} (π_{M} .x)})_{|comp} ∈ \overline{H}(G)_{c}^{∗}

Après le rappel de quelques résultats de [12], la partie 5 consiste essentiellement à mettre bout à bout des résultats et idées de Bernstein, Kazhdan, Schneider-Stuhler et Arthur pour montrer que les deux familles obtenues sont des bases telles que < X_{e}, D_{f} >= c(e)δ_{ef} où c(e) est donné explicitement.

1.4 Formule pour un idempotent central : La formule “de type Plancherel” mentionnée ci-dessus consiste alors à écrire

f(1) = ∑_{e∈E^{0}(G)} \frac{1}{c(e)} < D_{e}, f.df(X_{e}) >, ∀f ∈ C_{c}^{∞}(G, ℂ).

Ici, df(X) désigne la dimension formelle d’un élément X de K_{ℂ}(G) ; il s’agit d’une mesure de Haar sur G, de sorte que l’expression f.df(X) est bien un élément de H(G). On a pour toute mesure de Haar μ sur G l’égalité df(X) = (Rk(X)/μ)(1_{G}).μ où Rk est l’application “rang” K(G) ⟶ \overline{H}(G).

Plus généralement, les résultats de la partie 2 nous permettent d’écrire

< D_{𝔰}, f >= ∑_{e∈E^{0}(𝔰)} \frac{1}{c(e)} < D_{e}, f.df(X_{e}) >

où l’on a décomposé E^{0}(G) = ⊔_{𝔰∈𝔖(G)}E^{0}(𝔰) par le support cuspidal. On comparera cette formule avec celle que fournit la formule de Plancherel en 5.15.

1.5 Intégralité et rationnalité : Dans le cas d’un groupe fini, comme on l’a rappelé au tout début, des résultats de rationnalité et d’intégralité se lisent immédiatement sur la formule donnant un idempotent central. Dans le cas p-adique, l’énoncé de rationalité se généralise facilement, mais celui d’intégralité résiste.

Avant d’énoncer les résultats et conjectures raisonnables dans ce domaine, fixons quelques notations :

– On note |G| le p.p.c.m. des pro-ordres (au sens de [20]) des sous-groupes compacts de G et pour tout premier l ≠ p, on pose N_{l} la l-valuation de |G| de sorte qu’on a |G| = p^{∞} ∏_{l≠p} l^{N_{l}}. On utilisera aussi la notation |G|_{p′} = ∏_{l≠p} l^{N_{l}} pour le facteur “hors p” de |G|..

– On note ℚ_{G} l’extension de ℚ engendrée par les racines l^{N_{l}}-ièmes de l’unité, toutes les racines p^{n}-ièmes de l’unité (n ∈ ℕ) ainsi qu’une racine carrée de q, et ℤ_{G} la cloture intégrale de ℤ dans ℚ_{G}.

– On pose w̃_{G} = |W_{G}|.p.p.c.m {[M : M^{0}Z(M)]}_{M<G}, où |W_{G}| est l’ordre du groupe de Weyl

W_{G} de G. Il est naturel d’énoncer la conjecture : Conjecture 1.6 (Intégralité) Il existe un entier N_{G} ∈ ℕ^{∗} tel que pour toute classe d’inertie 𝔰 de G, on a

e_{𝔰} ∈ \frac{1}{N_{G}} ℨ(G, ℤ_{G}[\frac{1}{p}]).

De plus, pour l ne divisant pas w̃_{G}, on peut choisir val_{l}(N_{G}) = N_{l}. Cet énoncé d’intégralité suggère un énoncé de rationalité qui, lui, est beaucoup plus facile : Proposition 1.7 (Rationalité) Pour toute classe d’inertie 𝔰 ∈ 𝔖(G), on a e_{𝔰} ∈ ℨ(G, ℚ_{G}). Ces énoncés sont la généralisation naturelle du cas des groupes finis rappelé au tout début ; on a remplacé l’ordre du groupe fini par le “pro-ordre” du groupe p-adique, c’est à dire le p.p.c.m. des pro-ordres de ses sous-groupes compacts. Cependant, la conjecture 1.6 prévoit de pouvoir “élargir” |G| à un certain N_{G} qui tient compte aussi de l’ordre du groupe de Weyl ; c’est essentiellement dû à la stratégie que nous avons suivie, qui fait intervenir un peu d’analyse harmonique.

1.8 Utilisation de la formule 1.4 : Dans cette formule, on peut contrôler la rationalité de chacun des ingrédients et la preuve de 1.7 n’est plus qu’une formalité. Pour ce qui est de l’intégralité, la seule inconnue concerne les dimensions formelles des représentations projectives. Signalons ici que lorsque X ∈ K(G) est représenté par une induite à support compact ind_{J}^{G} (τ) avec J ouvert compact et τ de dimension finie, alors df(X) est la mesure de Haar donnant le volume dim(τ) à J. Ceci explique que la conjecture 1.6 se ramène à une conjecture naturelle sur K(G), expliquée ci-dessous.

1.9 Une conjecture sur K(G) : On ne rappellera pas ici tous les résultats sur K(G) qui sont exposés dans [12]. La plupart sont contenus dans la description de K en tant que système de Hopf (ou système de Mackey ?), après avoir tué la torsion, i.e. tensorisé par ℚ. En fait, comme il est précisé dans [12, 4.27], cette description demeure valide si on se contente de tensoriser par ℤ[\frac{1}{w̃_{G}}]. Disons, de manière imprécise, qu’on peut même “borner” les problèmes de w̃_{G}-torsion qu’on doit tuer pour une telle description.

Il y a pourtant (au moins) une propriété de K(G) ⊗ ℚ, due à Bernstein et montrée dans [12, 4.22] dont on ne connait pas d’analogue entier : Proposition 1.10 Soit K_{ind}(G) le sous-groupe de K(G) engendré par les représentations induites de sous-groupes ouverts compacts. Alors K_{ind}(G) ⊗ ℚ = K(G) ⊗ ℚ. L’analogue entier – sans tensoriser par ℚ – paraît, sinon optimiste, au moins inaccessible. Un résultat un peu plus faible, qui fait défaut, mais dont on expliquera une stratégie simple pour l’obtenir, serait : Conjecture 1.11 Le groupe de torsion K(G)/K_{ind}(G) est annulé par une puissance de w̃_{G}. Comme conséquence de notre formule, on obtient :

Proposition 1.12 La conjecture 1.11 implique la conjecture 1.6. Et pour que cet article ne soit pas vide, on montrera dans la dernière partie : Proposition 1.13 La conjecture 1.11 est vraie pour GL(N) et tout groupe de rang (relatif) 1. On expliquera aussi quelques statégies dans le cas général.

Avant de passer au corps de l’article, deux petites remarques :

1.14 Remarques :

– Il y a un argument simple (voir [20]) qui permet de voir que e_{𝔰} est défini sur une extension finie de ℚ, 𝔰 étant fixée ; faisant agir le groupe de Galois absolu Γ de ℂ sur l’anneau H(G) = H(G, ℤ) ⊗ ℂ, on voit qu’il permute les idempotents centraux primitifs de ℨ(G). Fixons un pro-p-sous groupe ouvert H tel que e_{𝔰}e_{H} ≠ 0. Puisque e_{H} est stable par Γ, on voit que ∀γ ∈ Γ, e_{γ𝔰}e_{H} ≠ 0. Or on sait qu’il y a un nombre fini de classes 𝔰′ vérifiant e_{𝔰′}e_{H} ≠ 0. Le stabilisateur de 𝔰 dans Γ est donc d’indice fini et on en déduit la rationalité annoncée. Ce que la proposition 1.7 apporte ici, c’est une “borne” uniforme en 𝔰 ∈ 𝔖(G) sur cette rationalité.

– De même, en admettant la proposition 1.7, on verra par des arguments de finitude qui n’apparaissent pas encore clairemement mais qui sont déja connus que l’énoncé de la conjecture 1.6 est banal si l’on inverse les quantificateurs ; ce qui est nouveau dans la prédiction, c’est l’uniformité en 𝔰 ∈ 𝔖(G). En cela, cet énoncé est dans l’esprit de résultats d’intégralité “uniforme” sur les degrés formels de supercuspidales ou de séries discrètes.

1.15 Notations générales : On suppose fixé un ensemble de sous-groupes de Levi “standards par rapport au sous-groupe parabolique minimal P_{0} = M_{0}.U_{0}” préalablement choisi (notation M < G) ainsi qu’un sous-groupe compact spécial K vérifiant G = KP_{0}. Les inductions et restrictions paraboliques seront normalisées et notées i_{M}^{G} et r_{G}^{M} pour le sous-groupe parabolique P = MU_{0} associé à M < G. Elles seront notées \overline{i_{M}^{G}} et \overline{r_{G}^{M}} pour le sous-groupe parabolique opposé à P = MU_{0} par rapport à M. Pour tout groupe H localement compact on note H^{0} le sous-groupe engendré par les sous-groupes compacts.

Les remarques et suggestions du referee ont permis d’améliorer nettement l’exposé des résultats. L’auteur l’en remercie vivement.

2 Dualité sur les compacts

2.1 Distributions invariantes à support dans les compacts : On utilisera les notations suivantes : – G^{sr} pour l’ensemble des éléments semi-simples réguliers de G.

– G^{ell} pour les elliptiques de G^{sr}.

– G_{c} pour les éléments compacts au sens de Deligne (c’est à dire compacts modulo le centre).

– La juxtaposition des exposants ou indices désigne l’intersection, par exemple G_{c}^{0} est l’en-

semble des éléments compacts de G. On a défini dans l’introduction \overline{H}(G) := H(G)_{G} = H(G)/[H(G), H(G)], parfois appelé “cocentre” de G, dont le dual \overline{H}(G)^{∗} s’identifie à l’espace des distributions invariantes sur G dès que l’on choisit une mesure de Haar μ pour identifier H(G) et C_{c}^{∞}(G, ℂ). Rappelons que le support d’une distribution D est

Supp D := Adhérence de {x ∈ G, ∃f ∈ C_{c}^{∞}(G), f(x) ≠ 0 et < D, f >≠ 0}

Soit Ω ⊂ G un ensemble ouvert fermé stable par conjugaison, la restriction à Ω (i.e. la multiplication par 1_{Ω}) définit des opérateurs sur \overline{H}(G) et \overline{H}(G)^{∗} et si D ∈ \overline{H}(G)^{∗}, alors Supp D ⊂ Ω si et seulement si D = D_{|Ω}.

On notera \overline{H}(G)_{c}^{∗} l’espace des formes linéaires sur \overline{H}(G) de support inclus dans G_{c}^{0}, qui s’identifie via μ aux distributions invariantes à support inclus dans G_{c}^{0}.

2.2 Premiers rappels sur K(G) : Rappelons la définition de l’application “rang” Rk : K(G) ⟶ \overline{H}(G), aussi appelée caractère de Chern ; pour tout G-module projectif de type fini Q, on peut choisir un entier n et un idempotent e_{Q} ∈ M_{n}(H(G)) (matrices n × n) tel que Q ≃ H(G)^{n}.e_{Q}. Alors l’image de la trace de e_{Q} dans \overline{H}(G) est indépendante des choix et ne dépend que de Q. On la note Rk Q et on vérifie aisément qu’on obtient par linéarité un morphisme K(G) ⟶ \overline{H}(G). La proposition suivante est essentiellement due à Bernstein et à Blanc-Brylinski : Proposition 2.3 – ker Rk = K(G)_{tors}.

– < im Rk >_{ℂ} est l’ensemble des éléments f de \overline{H}(G) dont les intégrales orbitales sur les

éléments non-compacts sont nulles (i.e. tels que f = f_{|G_{c}^{0}}). Preuve : Pour le premier point, voir [12, 4.20]. Le second est expliqué dans [12, 1.6]. □

Corollaire 2.4 La dualité entre \overline{H}(G) et \overline{H}(G)^{∗} induit un accouplement non dégénéré

<, >: K_{ℂ}(G) × \overline{H}(G)_{c}^{∗} ⟶ ℂ

2.5 Induction et restriction : Soit M un sous-groupe de Levi standard de G, on a décrit dans [12, 1.7] des morphismes i_{M}^{G} et r_{G}^{M} d’induction et de restriction \overline{H}(M) ⟵^{⟶} \overline{H}(G). Rappelons brièvement que ces morphismes sont respectivement obtenus par adjonction des morphismes \overline{r_{G}^{M}} et i_{M}^{G}, R(G) ⟵^{⟶} R(M) induits par la restriction parabolique opposée et l’induction parabolique sur les groupes de Grothendieck des représentations de longueur finie R(.).

On notera donc r_{G}^{M}, \overline{r_{G}^{M}} et i_{M}^{G} les morphismes \overline{H}(M)^{∗} ⟵^{⟶} \overline{H}(G)^{∗} obtenus par dualité, à partir respectivement de \overline{i_{M}^{G}}, i_{M}^{G} et r_{G}^{M}. Rappelons que la théorie de Bernstein (les arguments sont rappelés dans [12, 1.7]) montre qu’en identifiant K_{ℂ}(G) à un sous-espace de \overline{H}(G), on a les propriétés r_{G}^{M}K_{ℂ}(G) ⊂ K_{ℂ}(M) et i_{M}^{G}K_{ℂ}(M) ⊂ K_{ℂ}(G) ; du côté des distributions invariantes à support compacts, dual du K, les choses se passent un peu moins bien ; on a seulement :

Lemme 2.6 On a i_{M}^{G}(\overline{H}(M)_{c}^{∗}) ⊂ \overline{H}(G)_{c}^{∗}.

Preuve : Notons P = MU le sous-groupe parabolique standard associé à M. Il faut voir que pour toute f ∈ C_{c}^{∞}(G), f = f_{|G_{c}^{0}} ⇒ r_{G}^{M} (\overline{fμ}) = (r_{G}^{M} \overline{fμ})_{|M_{c}^{0}} (ici, \overline{fμ} désigne l’image dans \overline{H}(M) de fμ ∈ H(M)). Pour cela on utilise la formule de Van Dick, qui après avoir supposé que f est invariante par conjugaison sous le compact spécial K (ce qui ne coûte rien) se ramène à la formule du terme constant, c’est à dire que r_{G}^{M} \overline{fμ} est, à un facteur multiplicatif non nul près dépendant des mesures de Haar implicitement choisies sur G, M et U, l’image dans \overline{H}(M) de la fonction f^{(P)} ∈ C_{c}^{∞}(M) définie par :

f^{(P)}(m) = δ_{P} ^{\frac{1}{2}} (m) ∫_{U} f(mu)du.

Il suffit maintenant de remarquer que pour tout m ∈ M et u ∈ U, on a m ∈ M_{c}^{0} si et seulement si mu ∈ G_{c}^{0}. En effet la continuité de la projection P ⟶ M montre que si mu est compact alors m l’est. Et réciproquement, si m est compact, soit J un sous-groupe ouvert compact de G contenant m et z ∈ Z(M) (le centre de M) tel que zuz^{−1} ∈ J ∩ U. Alors zJz^{−1} contient m et u, donc mu est compact. □

Remarque : Il est par contre en général faux que r_{G}^{M}(\overline{H}(G)_{c}^{∗}) ⊂ \overline{H}(M)_{c}^{∗}. Par exemple, si G = SL(2) et M = T est le tore maximal, une application de la formule de Clozel (rappelée en 2.1) montre que si t contracte strictement le parabolique standard (notation t ∈ T^{+}), alors i_{M}^{G} (1_{tT_{H}})_{|G_{c}^{0}} =

i_{M}^{G} (1_{tT_{H}}) − \overline{i_{M}^{G}}(1_{tT_{H}}) pour tout sous-groupe T_{H} ⊂ T^{0}. Notant 1 le caractère de la représentation triviale de G, on a donc

< \overline{r_{G}^{T}}(1_{|G_{c}}), 1_{tT_{H}} >=< \overline{r_{G}^{T}}(1) − r_{G}^{T}(1), 1_{tT_{H}} >= δ_{P} ^{\frac{1}{2}} (t) − δ_{P}^{− \frac{1}{2}} (t) ≠ 0.

2.7 Action du centre et décompositions : Le centre ℨ(G) défini dans l’introduction agit sur \overline{H}(G) et \overline{H}(G)^{∗}; notons \overline{H}(𝔰) = e_{𝔰}\overline{H}(G) et \overline{H}(𝔰)^{∗} = e_{𝔰}\overline{H}(G)^{∗} pour chaque classe d’inertie 𝔰 d’idempotent central associé e_{𝔰}. On obtient les décompositions :

\overline{H}(G) = ⨁_{𝔰∈𝔖(G)} \overline{H}(𝔰) et \overline{H}(G)^{∗} = ∏_{𝔰∈𝔖(G)} \overline{H}(𝔰)^{∗}.

L’action du centre ne stabilise pas K_{ℂ}(G) ⊂ \overline{H}(G) mais les idempotents du centre le stabilisent et on a la décomposition K_{ℂ}(G) = ⨁_{𝔰} K_{ℂ}(𝔰) avec K_{ℂ}(𝔰) = K_{ℂ}(G) ∩ \overline{H}(𝔰). Du côté dual les choses sont moins évidentes : remarquons que par la dualité du corollaire 2.4 on obtient la décomposition spectrale \overline{H}(G)_{c}^{∗} = ∏_{𝔰∈𝔖} \overline{H}(𝔰)_{c}^{∗} en posant \overline{H}(𝔰)_{c}^{∗} l’orthogonal de ⨁_{𝔰′≠𝔰} K_{ℂ}(𝔰′) que l’on peut identifier avec le dual de K_{ℂ}(𝔰). On a alors évidemment \overline{H}(𝔰)_{c}^{∗} ⊃ \overline{H}(𝔰)^{∗} ∩ \overline{H}(G)_{c}^{∗} mais l’inclusion réciproque n’est pas évidente car on ne sait pas encore si l’idempotent central e_{𝔰} stabilise \overline{H}(G)_{c}^{∗}. Ceci découlera de la proposition suivante :

Proposition 2.8 Pour tout idempotent e ∈ ℨ(G), on a l’égalité e∘1_{G_{c}^{0}} = 1_{G_{c}^{0}} ∘e dans End(\overline{H}(G)).

Avant de commencer la preuve remarquons que cette égalité est fausse dans End(H(G)) puisque 1_{G_{c}^{0}}(e_{H}H(G)e_{H}) ⊊ e_{H}H(G)e_{H}. Preuve : On a 1_{G_{c}^{0}} = 1_{G^{0}} ∘ 1_{G_{c}}, donc il suffit de montrer que les idempotents commutent avec 1_{G^{0}} et 1_{G_{c}}. Nous commencerons donc par le lemme suivant : identifions H(G) et C_{c}^{∞}(G) par le choix d’une mesure de Haar μ, alors toute fonction ϕ sur G/G^{0}, induit par multiplication des fonctions un endomorphisme de l’espace H(G) encore noté ϕ;

Lemme 2.9 Pour toute fonction ϕ sur G/G^{0} et tout idempotent e de ℨ(G), on a e ∘ ϕ = ϕ ∘ e dans End(H(G)).

Preuve : Commençons par examiner le cas où ϕ est un caractère de G/G^{0}. Alors l’endomorphisme ϕ de H(G) associé est un automorphisme d’algèbre qui induit l’automorphisme z ↦ ϕzϕ^{−1} de l’anneau ℨ(G). Cet automorphisme envoie nécessairement les idempotents primitifs sur des idempotents primitifs et puisque les blocs de Bernstein sont stables par torsion par les caractères non ramifiés, les idempotents primitifs sont donc invariants par ϕ et par suite tous les idempotents le sont aussi. L’assertion du lemme est donc vérifiée pour un caractère ϕ.

Fixons maintenant f ∈ H(G) et ϕ quelconque. Puisque f et ef sont à support compact, on voit qu’il existe une combinaison linéaire ϕ′ de caractères de G/G^{0} telle que ϕ′f = ϕf et ϕ′ef = ϕef. On en déduit ainsi l’assertion du lemme pour toute fonction ϕ. □

Remarquons que les fonctions ϕ considérées ci-dessus, étant invariantes par G^{0} le sont aussi par G-conjugaison et induisent donc des endomorphismes de \overline{H}(G). L’identité du lemme précédent est bien-sûr vraie dans End(\overline{H}(G)).

On prouve maintenant la commutatitivité des idempotents avec 1_{G_{c}} par récurrence sur le rang de G. Remarquons que quand celui-ci est nul on a G_{c} = G donc il n’y a rien à montrer. Supposons donc que l’assertion est vraie pour tous les sous-groupes de Levi de G, on utilise la formule suivante (qui est une reformulation de la formule de Clozel, voir [11, prop. 1]) :

∀f ∈ \overline{H}(G), f = ∑_{M<G} \overline{i_{M}^{G}}(χ_{M}.r_{G}^{M} (f)_{|M_{c}}) (2.1)

où χ_{M} est une fonction de M/M^{0} précisément définie dans [11, p. 240] et \overline{i_{M}^{G}} est l’induction par rapport au parabolique opposé au parabolique standard contenant M.

Pour tout M < G, nous noterons i_{MG}^{∗} : ℨ(G) ⟶ ℨ(M) le morphisme “de Harish-Chandra” défini dans [3, 2.4] et qui vérifie les propriétés

∀z ∈ ℨ(G), z\overline{i_{M}^{G}}(α) = \overline{i_{M}^{G}}(i_{MG}^{∗}(z)α) et r_{G}^{M} (zβ) = i_{MG}^{∗}(z)r_{G}^{M} (β)

pour tous α ∈ \overline{H}(M) et β ∈ \overline{H}(G). Puisque c’est un morphisme d’anneaux, i_{MG}^{∗} envoie les idempotents sur des idempotents.

Fixons maintenant f ∈ \overline{H}(G) et e un idempotent de ℨ(G), on obtient les égalités suivantes :

1_{G_{c}} ∘ e(f) = e.f − ∑_{M<G,M≠G} \overline{i_{M}^{G}}(χ_{M}.r_{G}^{M} (ef)_{|M_{c}})
= ef − ∑_{M<G,M≠G} \overline{i_{M}^{G}}(χ_{M}.(i_{MG}^{∗}(e)r_{G}^{M} (f))_{|M_{c}})
= ef − ∑_{M<G,M≠G} \overline{i_{M}^{G}}(χ_{M}.i_{MG}^{∗}(e)r_{G}^{M} (f)_{|M_{c}})
= ef − ∑_{M<G,M≠G} \overline{i_{M}^{G}}(i_{MG}^{∗}(e)χ_{M}.r_{G}^{M} (f)_{|M_{c}})
= ef − ∑_{M<G,M≠G} e\overline{i_{M}^{G}}(χ_{M}.r_{G}^{M} (f)_{|M_{c}})
= ef_{|G_{c}}

La troisième ligne est obtenue par l’hypothèse de récurrence et la quatrième par le lemme 2.9. On obtient ainsi 1_{G_{c}} ∘ e = e ∘ 1_{G_{c}}. On sait d’autre part que 1_{G^{0}} ∘ e = e ∘ 1_{G^{0}} d’après le lemme 2.9 et puisque 1_{G_{c}^{0}} = 1_{G_{c}} ∘ 1_{G^{0}} on obtient la proposition 2.8. □

Corollaire 2.10 \overline{H}(𝔰)_{c}^{∗} = e_{𝔰}\overline{H}(G)^{∗} ∩ \overline{H}(G)_{c}^{∗}. (\overline{H}(𝔰)_{c}^{∗} est défini avant la proposition 2.8).

Corollaire 2.11 Pour toute classe d’inertie 𝔰 ∈ 𝔖(G), la distribution D_{𝔰} associée à l’idempotent central e_{𝔰} est à support dans les éléments compacts.

Preuve : L’assertion de la proposition 2.8 se transporte “canoniquement” à End (C_{c}^{∞}(G, ℂ)_{G}). Fixons alors f ∈ C_{c}^{∞}(G, ℂ), on a

< D_{𝔰}, f >= (e_{𝔰}.f)(1) = (e_{𝔰}.f)_{|G_{c}^{0}}(1) = (e_{𝔰}.f_{|G_{c}^{0}})(1) =< D_{𝔰}, f_{|G_{c}^{0}} > .
□

3 Intégralité et rationalité dans K_{ℂ}(G) et \overline{H}(G)_{c}^{∗}

3.1 Structures entières : Soit 𝔰 une classe d’inertie, la dualité K_{ℂ}(𝔰) × \overline{H}(𝔰)_{c}^{∗} ⟶ ℂ admet une structure entière dans le sens suivant : il existe deux groupes abéliens libres de type fini et générateurs K^{ℤ}(𝔰) ⊂ K_{ℂ}(𝔰) et \overline{H}^{ℤ}(𝔰)_{c}^{∗} ⊂ \overline{H}(𝔰)_{c}^{∗} tels que < K^{ℤ}(𝔰), \overline{H}^{ℤ}(𝔰)_{c}^{∗} >⊂ ℤ. Précisément, posons K^{ℤ}(𝔰) l’image de l’application canonique K(𝔰) ⟶ K_{ℂ}(𝔰) et \overline{H}^{ℤ}(𝔰)_{c}^{∗} l’image de R(𝔰) par l’application π ↦ χ_{π}_{|G_{c}^{0}} (où χ_{π} est le caractère-distribution de π). Alors

Proposition 3.2 i) K^{ℤ}(𝔰) est un sous-groupe abélien libre de type fini et générateur de K_{ℂ}(𝔰).

ii) \overline{H}^{ℤ}(𝔰)_{c}^{∗} est un sous-groupe abélien libre de type fini et générateur de \overline{H}(𝔰)_{c}^{∗}.

iii) On a < K^{ℤ}(𝔰), \overline{H}^{ℤ}(𝔰)_{c}^{∗} >⊂ ℤ. Preuve : i) Par définition K^{ℤ}(𝔰) engendre K_{ℂ}(𝔰). La propriété d’être de type fini sera déduite de ii) et iii).

ii) Remarquons d’abord que le fait que π ∈ R(𝔰) ⇒ χ_{π}_{|G_{c}^{0}} ∈ \overline{H}(𝔰)^{∗} est une conséquence de

la proposition 2.8. Pour voir que \overline{H}^{ℤ}(𝔰)_{c}^{∗} est de type fini, on raisonne par récurrence : supposons que pour tout M < G propre et toute classe d’inertie 𝔰_{M} au-dessus de 𝔰, on sache que \overline{H}^{ℤ}(𝔰_{M})_{c}^{∗} est de type fini. Alors par 2.6 qui implique que i_{M}^{G} \overline{H}^{ℤ}(𝔰_{M})_{c}^{∗} est l’image de i_{M}^{G}R(𝔰_{M}), on voit que l’image de R_{I}(𝔰) (le sous-groupe de R(𝔰) engendré par les induites) dans \overline{H}^{ℤ}(𝔰)_{c}^{∗} est de type fini. Or d’après [3, 3.1], il existe un nombre fini de caractères infinitésimaux θ ∈ Hom_{ℤ} (ℨ(𝔰), ℂ) modulo torsion par Ψ(G) tels que le sous-groupe R(𝔰, θ) de R(𝔰) engendré par les irréductibles de caractère infinitésimal θ ne soit pas inclus dans R_{I}(G). Puisque chaque R(𝔰, θ) est de type fini sur ℤ et puisque χ_{πψ}_{|G_{c}^{0}} = χ_{π}_{|G_{c}^{0}} pour tout ψ ∈ Ψ(G), on obtient la finitude annoncée.

Le fait que \overline{H}^{ℤ}(𝔰)_{c}^{∗} engendre \overline{H}(𝔰)_{c}^{∗} est une conséquence du théorème de densité de Kazhdan [13, Thm 0] ; ce résultat implique en effet que l’orthogonal de \overline{H}^{ℤ}(𝔰)_{c}^{∗} dans K_{ℂ}(𝔰) est nul. Or, soit par la conjecture de Howe, soit par la description de K_{ℂ}(G) dans [12], on a dim_{ℂ} \overline{H}(𝔰)_{c}^{∗} = dim_{ℂ} K_{ℂ}(𝔰) < ∞, donc par adjonction \overline{H}^{ℤ}(𝔰)_{c}^{∗} engendre \overline{H}(𝔰)_{c}^{∗}.

iii) D’après [12, 1.3], on a pour tous G-module projectif de type fini Q et représentation de longueur finie π, < [Q], χ_{π}_{|G_{c}^{0}} >= dim_{ℂ}(Hom_{G}(Q, π)).

Retour à i). Le point iii) et la non-dégénerescence de l’accouplement <, > impliquent que K^{ℤ}(𝔰) ↪ Hom_{ℤ} (\overline{H}^{ℤ}(𝔰)_{c}^{∗}, ℤ). Le ℤ-module de droite est de type fini d’après ii), donc celui de gauche aussi. □

3.3 Discriminants : Supposons donné un accouplement non dégénéré <, >: M × N ⟶ ℤ entre deux ℤ-modules libres de type fini M et N. Choisissons deux ℤ-bases {m_{1}, ⋯, m_{d}} et {n_{1}, ⋯, n_{d}} respectivement de M et N, alors l’entier

d_{<,>} := | det(< m_{i}, n_{j} >)_{i,j}|

est indépendant de ces choix et sera appelé discriminant de l’acouplement entier <, >. De plus, notons M^{∗} := \{n ∈ N ⊗ ℚ, ∀m ∈ M, < m, n >∈ ℤ\}, alors M^{∗} ⊂ \frac{1}{d_{<,>}} N. Dans la suite on notera

d_{𝔰} le discriminant de l’accouplement K^{ℤ}(𝔰) × \overline{H}^{ℤ}(𝔰)_{c}^{∗} ⟶ ℤ. Un des corollaires des parties 4 et 5 sera : Théorème 3.4 Il existe une puissance de w̃_{G}, disons w̃_{G}^{d} telle que pour toute classe d’inertie 𝔰 ∈ 𝔖(G), on a d_{𝔰}|w̃_{G}^{d}.

Avant de passer à la preuve proprement dite de 1.12, nous montrons Lemme 3.5 Soit f ∈ H(G, ℤ_{G}[\frac{1}{p}]) et π ∈ R(𝔰), alors < f, χ_{π}_{|G_{c}^{0}} >∈ ℤ_{G}[\frac{1}{p}].

Preuve : Remarquons qu’il suffit de considérer le cas où f = g.e_{H} avec g ∈ G_{c}^{0} et H un pro-p-sous-groupe ouvert normalisé par g (en effet on peut supposer que le support de f est inclus dans les compacts et le recouvrir par un nombre fini de compacts disjoints de la forme voulue g_{i}H_{i} sur lesquels f est constante). Par définition, on a alors

< f, χ_{π}_{|G_{c}^{0}} >= Tr(ge_{H}, π^{H})

Or, il existe n ∈ ℕ de la forme |G|_{p′}p^{m} tel que (ge_{H})^{n} = e_{H}. Puisque e_{H} agit trivialement sur π^{H}, on voit que les valeurs propres de l’action de ge_{H} sur π^{H} sont des entiers algébriques de ℚ_{G}, d’où l’assertion. □

3.6 Preuve des propositions 1.7 et 1.12 : Fixons 𝔰 ∈ 𝔖(G) et choisissons temporairement une mesure de Haar μ sur G. On associe à D_{𝔰} la forme linéaire D_{𝔰}^{μ} sur \overline{H}(G) définie par < D_{𝔰}^{μ}, ϕ >:=< D_{𝔰}, ϕ/μ >. D’après 2.11, on a D_{𝔰}^{μ} ∈ \overline{H}(𝔰)_{c}^{∗}. Choisissons alors une ℤ-base \{[P_{i}]\} de K^{ℤ}(𝔰) et notons \{[P_{i}]^{∗}\} la base duale dans \overline{H}(𝔰)_{c}^{∗}. On peut écrire :

D_{𝔰}^{μ} = ∑_{i} < [P_{i}], D_{𝔰}^{μ} > [P_{i}]^{∗}.

Par ailleurs on a l’égalité < [P_{i}], D_{𝔰}^{μ} >:= ((Rk[P_{i}])/μ)(1_{G}) ce qui nous permet de réécrire la formule ci-dessus de façon plus canonique en utilisant les dimensions formelles df(P_{i}) définies en 1.4 :

∀f ∈ C_{c}^{∞}(G, ℂ), < D_{𝔰}, f >= ∑_{i} < [P_{i}]^{∗}, f.df(P_{i}) > .

Le théorème 3.4 implique que [P_{i}]^{∗} ∈ w̃_{G}^{−d}\overline{H}^{ℤ}(𝔰)_{c}^{∗} et ceci, avec le lemme 3.5 montre qu’il suffit maintenant d’étudier les dimensions formelles.

Supposons que la conjecture 1.11 est vraie, alors il existe k ∈ ℕ tel que pour tout i, w̃_{G}^{k}P_{i} ∈ im (K_{ind}(G) ⟶ K_{ℂ}(G)). Or, si J est un sous-groupe ouvert compact de G et τ ∈ Irr(J), la dimension formelle df(ind_{J}^{G} (τ)) est la mesure de Haar donnant le volume dim_{ℂ} τ à J. Une telle mesure de Haar appartient à \frac{1}{|G|_{p′}} H(G, ℤ[\frac{1}{p}] On en déduit donc

∀f ∈ C_{c}^{∞}(G, ℤ_{G}[\frac{1}{p}]), < D_{𝔰}, f >∈ \frac{1}{|G|_{p′} w̃_{G}^{d+k}} ℤ_{G}[\frac{1}{p}]

Ceci est l’énoncé de la conjecture 1.6 avec N_{G} = |G|_{p′} w̃_{G}^{d+k} et on a donc prouvé 1.12.

La proposition 1.7, elle, n’avait pas besoin des résultats de cette section, notamment le théorème 3.4, mais on inclut sa preuve ici, car le raisonnement est déja prêt à ceci près qu’on remplace la conjecture 1.11 par la proposition 1.10 pour conclure.

4 Utilisation de la théorie d’Arthur

Pour montrer le théorème 3.4, nous suivrons la stratégie naïve consistant à exhiber des bases “rationnelles” de K_{ℂ}(𝔰) et \overline{H}(𝔰)_{c}^{∗}, duales l’une de l’autre et dont on peut contrôler les “dénominateurs”. Pour cela nous aurons à utiliser la classification par Arthur des représentations tempérées elliptiques en termes de classes de conjugaison dans les R-groupes. La théorie des représentations de ces R-groupes introduit des irrationalités (racines |R|-ièmes de l’unité) qui nous invitent à étendre ℚ à sa clôture \overline{ℚ} et ℤ à l’anneau \overline{ℤ} des entiers algébriques de \overline{ℚ}, ce qui n’est pas gênant tant qu’on s’intéresse aux “dénominateurs”. Il sera donc commode de considérer (surtout dans la partie 5)

les groupes K\overline{ℤ}(𝔰) := K^{ℤ}(𝔰) ⊗ \overline{ℤ} et son analogue \overline{H}\overline{ℤ}(𝔰)_{c}^{∗}.

4.1 Rappels sur les R-groupes : Dans ce paragraphe, la référence est l’article d’Arthur [1] auquel nous empruntons l’intégralité des notations et des idées qui suivent. Nous ne rappellerons que succinctement sa théorie.

i) Soit M < G, on note E^{2}(M) l’ensemble des représentations irréductibles de M de carré intégrable. A chaque (classe d’isomorphie de) σ ∈ E^{2}(M) est associé son R-groupe R_{σ} qui contrôle l’entrelacement de i_{M}^{G} (σ) [1, p. 86]. C’est un quotient du stabilisateur W_{σ} de (la classe d’isomorphie de) σ dans N_{G}(M)/M muni d’un morphisme “canonique”

R_{σ} ⟶ Aut_{G}(i_{M}^{G} (σ))/ℂ^{∗}

Ce dernier peut être relevé moyennant certains choix (normalisation des opérateurs d’entrelacement, isomorphismes σ ≃ σ^{w}, voir [1, p.85]...) en un isomorphisme

ℂ[R_{σ}]_{η_{σ}} \underrightarrow{∼} End_{G}(i_{M}^{G} (σ))

où la notation ℂ[R_{σ}]_{η_{σ}} désigne l’algèbre du groupe R_{σ} tordue par un 2-cocycle η_{σ} : R_{σ} × R_{σ} ⟶ ℂ^{∗}. Notons que l’image \overline{η_{σ}} de η_{σ} dans H^{2}(R_{σ}, ℂ^{∗}) ne dépend pas des choix précédents. Quitte à tordre par un 1-cocycle adéquate, on peut supposer que les valeurs de η_{σ} sont racines de l’unité ; par contre, on ne sait en général pas si on peut le trivialiser. Pour surmonter la difficulté, on choisit suivant Arthur une extension centrale

1 ⟶ Z_{σ} ⟶ R̃_{σ} ⟶ R_{σ} ⟶ 1

sur laquelle on peut trivialiser le pullback de η_{σ}. On peut choisir (et on le fait) Z_{σ} cyclique engendré par un élément z_{σ} (par exemple le sous-groupe < \overline{η_{σ}} >⊂ H^{2}(R_{σ}, ℂ^{∗})) Modulo le choix supplémentaire d’une telle trivialisation, on obtient ainsi une action linéaire

R̃_{σ} ⟶ Aut_{G}(i_{M}^{G} (σ))

à caractère central noté χ_{σ}^{−1} : Z_{σ} ⟶ ℂ^{∗}. Cette action, uniquement définie à torsion près par un caractère multiplicatif de R_{σ}, fournit l’isomorphisme d’algèbres suivant, qui paraphrase le précédent :

EndR̃_{σ} (indR̃_{σ} ; Z_{σ} (χ_{σ})) \underrightarrow{∼} End_{G}(i_{M}^{G} (σ))

Comme dans [1, p.92], nous supposerons que ces choix explicites ont été faits pour tous les couples (M, σ) et ce de manière compatible avec l’action de W_{G} et le passage à la contragrédiente. En particulier, si w ∈ W_{G} est tel que M^{w} < G, alors la conjugaison par w dans W_{G} fournit un isomorphisme R_{σ} ⟶^{w} R_{σ^{w}} dont on suppose qu’il s’étend à un isomorphisme R̃_{σ} ⟶^{w} R̃_{σ^{w}} de telle sorte que le diagramme suivant commute :

\xymatrix{R̃_{σ} \ar[r] \ar[d]^{w} & Aut_{G}(i_{M}^{G} (σ)) \ar[d]^{w} \\ R̃_{σ^{w}} \ar[r] & Aut_{G}(i_{M^{w}}^{G} (σ^{w}))} .

ii) Il est aussi expliqué dans [1, p.86] comment scinder le quotient W_{σ} ↠ R_{σ} : le noyau de ce morphisme est en fait le groupe de Weyl d’un certain sous-système de racines de Φ(G, A_{M}) dans X(M)⊗ℚ (où X(M) est l’ensemble des caractères F -rationnels du groupe algébrique M et A_{M} est la composante déployée de Z(M)^{0}). le choix d’une section R_{σ} ↪ W_{σ} est équivalent à celui d’une chambre pour ce système de racines. Contrairement à [1], nous avons un choix privilégié d’une telle chambre puisque nous travaillons avec l’ensemble des sous-groupes de Levi standards^{1} pour une certaine chambre C du système Φ(G, A_{M_{0}}) ; on choisira l’unique chambre dont l’adhérence contient (X(M) ⊗ ℚ)^{∗} ∩ \overline{C}. Cette convention permet, grâce à [1, p.88, l.-9], d’identifier R_{σ}^{L} (le R-groupe de (M, σ) relatif au sous-groupe de Levi standard M < L < G) à un sous-groupe de R_{σ}, plus précisément au sous-groupe R_{σ} ∩ N_{L}(M)/M. Cette identification se prolonge à une inclusion i_{L}^{G} : R̃_{σ}^{L} ↪ R̃_{σ} où R̃_{σ}^{L} désigne par définition l’extension centrale de R_{σ}^{L} induite par R̃_{σ} (voir [1, p.89]). La notation i_{L}^{G} est justifiée par la commutativité du diagramme suivant :

\xymatrix{R̃_{σ}^{L} \ar[r] & Aut_{L}(i_{M}^{L} (σ)) \\ _{i{G \atop L}} \ar[d] & _{i{G \atop L}} \ar[d] \\ R̃_{σ} \ar[r] & Aut_{G}(i_{M}^{G} (σ))} .

Encore une fois, cette commutativité n’est assurée qu’après des choix pertinents dans les constructions effectuées. Remarquons aussi que les R̃^{L}-groupes obtenus pour L vérifient les mêmes conditions de compatibilité que celles requises pour G au i).

iii) Levis associés : Soit r ∈ R_{σ}, d’après [1, p.90], l’espace (X^{∗}(M) ⊗ ℚ)^{r} (les r-invariants) est de la forme X^{∗}(L(r)) ⊗ ℚ pour un certain sous-groupe de Levi L(r) contenant M. Il n’y a pas de raison a priori que L(r) soit standard, mais il est au moins W_{G}-conjugué à un sous-groupe de Levi standard. On notera R_{σ}_{reg} l’ensemble des r ∈ R_{σ} tels que L(r) = G et R̃_{σ}_{reg} son image inverse dans R̃_{σ}. Plus généralement, si r̃ ∈ R̃_{σ} et si r ∈ R_{σ} est l’image de r̃ dans R_{σ}, on pose L(r̃) := L(r).

4.2 Distributions invariantes associées : Fixons un triplet τ = (M, σ, r̃), avec M < G, σ ∈ E^{2}(M) et r̃ ∈ R̃_{σ}. On peut lui associer la distribution invariante

χ_{τ} : f ∈ H(G) ↦ Tr(r̃∘ f, i_{M}^{G} (σ))

1En effet Arthur travaille avec l’ensemble plus gros des W_{G}-conjugués de nos sous-groupes de Levi standards.

qui d’après la formule (2.3) de [1] admet un développement :

χ_{τ} := ∑_{π|i_{M}^{G} (σ)} λ_{π,r̃}χ_{π}

où la notation π|i_{M}^{G} (σ) signifie que π est un constituant irréductible de i_{M}^{G} (σ) et les coefficients λ_{π,r̃} sont des entiers algébriques de l’extension ℚ( ^{|R̃σ |} \sqrt{1}). On notera aussi

x_{τ} := ∑_{π} λ_{π,r̃}π ∈ R(G) ⊗ \overline{ℤ}. (4.3)

Pour z ∈ Z_{σ}, notons zτ le triplet (M, σ, z.r̃) et pour w ∈ W_{G} tel que w(M) < G, notons wτ le triplet (M^{w}, σ^{w}, r^{w}) obtenu par conjugaison. D’après [1, p.92-93], on a

∀z ∈ ℤ, x_{zτ} = χ_{σ}(z)^{−1}x_{τ} et ∀w ∈ W_{G}, x_{wτ} = x_{τ} (4.4)

Ces relations montrent que x_{τ} peut être eventuellement nul. En fait, suivant Arthur, un triplet est dit essentiel si

{z ∈ Z_{σ}, zω(r̃) ⊂ ω(r̃)} ⊂ ker χ_{σ}

(ω(r̃) est la classe de R̃_{σ}-conjugaison de r̃.) On voit alors que x_{τ} est non nul si et seulement si τ est essentiel.

4.5 R̃-triplets : Les bases que nous cherchons seront indexées par des classes d’équivalence de triplets introduits par Arthur. Un R̃-triplet (resp. un R-triplet) est un triplet (M, σ, r̃) avec M < G, σ ∈ E^{2}(M) et r̃ ∈ R̃_{σ} (resp. R_{σ}). À tout R̃-triplet (M, σ, r̃) est associé canoniquement un R-triplet (M, σ, r) où r est l’image de r̃ dans R_{σ}. Un R-triplet est dit essentiel, s’il est associé à un R̃-triplet essentiel. Une difficulté technique dans ce qui va suivre est que nos bases vont être moralement indexées par des classes de R-triplets, alors que les distributions qui nous intéressent sont plutôt associées à des R̃-triplets : ceci explique (et excuse ?) la multiplication des notations à venir.^{2}

Suivant Arthur, on note T̃(G) l’ensemble des R̃-triplets essentiels et T (G) le quotient de T̃(G) par la relation d’équivalence (M, σ, r̃) ∼ (M^{w}, σ^{w}, r^{w}) où w ∈ W_{G}.^{3}. Énumérons les propriétés de ces ensembles :

i) On a une action de ℤ sur T̃(G) donnée par z(M, σ, r̃) := (M, σ, z_{σ}^{z}.r̃) (rappelons que z_{σ} est le générateur de Z_{σ}). La symétrie sous W_{G} requise sur les choix effectués au paragraphe précédent permet de descendre cette action sur T (G). Les ensembles quotients T̃(G)/ℤ (resp. T (G)/ℤ) s’identifient aux ensembles de R-triplets essentiels (resp. R-triplets essentiels modulo W_{G}).

ii) ([1, p.93]) Soit τ = (M, σ, r) un R-triplet et ψ ∈ Ψ_{u}(L(r)), alors (M, σψ, r) est encore un R-triplet. L’action ψ ∈ Ψ_{u}(L(r)) ↦ (M, σψ, r) est localement libre et munit donc l’ensemble T̃(G)/ℤ d’une structure analytique qui est isomorphe à une union disjointe de tores compacts. Par passage au quotient on obtient une structure analytique sur T (G)/ℤ et on note T^{0}(G)/ℤ l’ensemble des composantes connexes de T (G)/ℤ. Par définition, on appelle composante connexe de T (G) les fibres au-dessus de celles de T (G)/ℤ et on note T^{0}(G) l’ensemble de ces composantes.^{4}

iii) Soit L une classe d’association de sous-groupes de Levi standards, on définit T̃_{L}(G) l’ensemble des τ = (M, σ, r̃) ∈ T̃(G) tels que L(r̃) soit conjugué à un élément de L (L(r̃) est défini au 4.1 iii)). Cet ensemble, étant stable sous la relation d’équivalence induite par W_{G}, définit un ensemble T_{L}(G) dont on note T_{L}^{0}(G) l’ensemble des composantes connexes. Il est alors facile de voir que :

2Notons que pour les groupes classiques, ces circonvolutions sont superflues car les actions des R-groupes sont déja linéarisables (les cocycles sont triviaux)

3Le T (G) ainsi défini est bien le même que celui d’Arthur, mais pas le T̃(G) : voir remarque précédente.

4Dans [1, p.93] est suggérée l’existence d’une structure analytique obtenue de façon similaire sur T̃(G) lui-même.

Cela ne me paraît pas évident car il faudrait vérifier pour cela que l’on peut trivialiser “uniformément” la famille de 2-cocycles {η_{σψ}}_{ψ∈Ψ(M)}.

T (G) = ∐_{L∈L(G)} T_{L}(G) et T^{0}(G) = ∐_{L∈L(G)} T_{L}^{0}(G)

où l’on désigne par L(G) l’ensemble des classes d’associations de sous-groupes de Levi standards (qui s’identifie à l’ensemble des classes de conjugaison de sous-groupes de Levi F - rationnels). Ces décompositions sont stables sous l’action de ℤ décrite au i).

iv) Soit L < G et τ = (M, σ, r̃) un R̃-triplet relatif à L; l’inclusion i_{L}^{G} : R̃_{σ}^{L} ↪ R̃_{σ} permet de le voir aussi comme un triplet relatif à G. Notons x_{τ}^{L} ∈ R(L) ⊗ \overline{ℤ} et x_{i(τ)}^{G} ∈ R(G) ⊗ \overline{ℤ} les caractères virtuels associés à τ et i_{L}^{G}τ par 4.3. D’après [1, p.89] (ou 4.1ii)), on a

x_{i(τ)}^{G} = i_{L}^{G}(x_{τ}^{L}).

Remarquons que si τ est essentiel pour L, alors i_{L}^{G}τ peut ne pas l’être pour G. On notera T̃(L)_{G}, T (L)_{G}, etc... les sous-ensembles respectifs de T̃(L), T (L), etc... formés de triplets Gessentiels. L’inclusion i_{L}^{G} mentionnée ci-dessus induit donc des applications T (L)_{G} ⟶ T (G), etc... ℤ-équivariantes, pour l’action de ℤ décrite au i).

v) Partie elliptique : on note encore T_{ell}(G) (resp. T_{ell}^{0}(G)) la partie T_{G}(G) (resp. T_{G}^{0}(G)) correspondant à L = {G} dans iii). Les orbites de l’action de Ψ_{u}(G) sur T_{ell}(G)/ℤ sont les composantes connexes de celui-ci (donc les élements de T_{ell}^{0}(G)/ℤ). Fixons L ∈ L(G) et L ∈ L. Remarquons que W_{G}^{L} := N_{G}(L)/L agit sur T_{ell}(L) de manière ℤ-équivariante. En particulier, l’action stabilise la partie G-essentielle T_{ell}(L)_{G}. On montre alors que l’application décrite au iv) induit une bijection

T_{ell}(L)_{G}/(W_{G}^{L} × ℤ) \underrightarrow{∼} T_{L}(G)/ℤ

et qu’il en est de même pour T^{0} à la place de T :

– injectivité : Si (M, σ, r) et (M′, σ′, r′) sont deux L-R̃-triplets G-essentiels de même image dans T_{L}(G)/ℤ, alors il existe w ∈ W_{G} et z_{σ} ∈ Z_{σ} tel que (M′, σ′, r′) = (M^{w}, σ^{w}, (z_{σ}.r)^{w}). On a alors L = L(r′) = L((z_{σ}.r)^{w}) = L(r)^{w} = L^{w} donc w ∈ N_{G}(L).

– surjectivité Soit (M, σ, r) un triplet de T_{L}(G), d’après [1, p.90], L(r) est l’unique sousgroupe de Levi contenant M_{0} d’un sous-groupe parabolique quasi-standard P (r) i.e. W_{G}- conjugué à un parabolique standard. On peut alors montrer qu’il existe w ∈ W_{G} tel que L(r)^{w} = L et M^{w} < G. En effet, soit A_{0} l’appartement sphérique relatif à M_{0} et C la chambre standard. Soit F (r) la facette fixée par P (r). L’ensemble A_{0}^{M} des points fixes sous M dans A_{0} est un polysimplexe contenant F (r) (puisque M ⊂ P (r)) et on peut donc choisir une facette F de dimension maximale dans A_{0}^{M} telle que F (r) ⊂ \overline{F}. Le fixateur de F dans G est un sous-groupe parabolique Q contenant M. On fixe maintenant une chambre C_{1} de l’appartement A_{0} telle que F ⊂ \overline{C_{1}}, alors il existe w_{1} tel que C_{1} = w_{1}(C) ; les sousgroupes paraboliques P (r)^{w_{1}} et Q^{w_{1}} sont alors standards, et on a donc M^{w_{1}} < L(r)^{w_{1}} < G. Soit maintenant w_{2} tel que L = w_{2}(L(r)^{w_{1}}) et de longueur minimale dans w_{2}W_{L(r)^{w_{1}}} (voir [10, 1.1.2]) alors l’élément w = w_{2}w_{1} a la propriété cherchée. L’image de notre triplet initial dans T_{L}(G) est donc égale à celle du triplet (M^{w}, σ^{w}, r^{w}) avec M^{w} < L et r^{w} ∈ L(r^{w}) = L, ce qui montre la surjectivité.

vi) Décomposition : soit τ = (M, σ, r) un R̃-triplet, il existe une unique classe d’inertie 𝔰 ∈ 𝔖(G) telle que i_{M}^{G}(σ) ∈ Mod(𝔰). Ceci permet de décomposer T̃(G) en une réunion disjointe de T̃(𝔰) et de même pour T et T^{0}. Ces décompositions sont stables sous l’action de ℤ. De plus, si L < G et 𝔰_{L} est une L-classe d’inertie au-dessus de 𝔰 ∈ 𝔖(G), on note W_{𝔰_{L}} := N_{G}(𝔰_{L})/L et on a l’analogue de l’isomorphisme ci-dessus (que nous exprimons pour T^{0} pour future référence) :

T_{ell}^{0}(𝔰_{L})_{G}/(W_{𝔰_{L}} × ℤ) \underrightarrow{∼} T_{L}^{0}(𝔰)/ℤ.

4.6 Caractères elliptiques : Notons \overline{R}(G) le quotient de R(G) par le sous-groupe R_{I}(G) engendré par les induites paraboliques (voir [3]), puis \overline{R}_{Ψ}(G) le groupe des co-invariants de \overline{R}(G) sous l’action du tore des caractères non-ramifiés Ψ(G). L’image dans \overline{R}_{Ψ}(G) d’un élément x ∈ R(G) sera notée \overline{x}. Nous allons utiliser la théorie d’Arthur pour expliciter une base de \overline{R}_{Ψ}(G) ⊗ \overline{ℚ} qui sera indexée par T_{ell}^{0}(G)/ℤ. Comme nous nous intéressons à des propriétés d’intégalité, on

introduit aussi \overline{R}\overline{ℤ} ; Ψ(G) l’image du morphisme \overline{R}_{Ψ}(G) ⊗ \overline{ℤ} ⟶ \overline{R}_{Ψ}(G) ⊗ \overline{ℚ}.

Fixons maintenant une classe d’inertie 𝔰 ∈ 𝔖(G) et donnons-nous une section

s : T_{ell}^{0}(𝔰)/ℤ ⟶ T_{ell}(𝔰),

alors on a Théorème 4.7 (Arthur) La famille \overline{x_{s(τ)}} pour τ ∈ T_{ell}^{0}(𝔰)/ℤ est une base de \overline{R}_{Ψ}(𝔰) ⊗ \overline{ℚ} qui

engendre un \overline{ℤ}-module libre \overline{R}_{Ψ}^{T}(𝔰) indépendant du choix de la section s et tel que :

|W_{G}|.\overline{R}\overline{ℤ} ; Ψ(𝔰) ⊂ \overline{R}_{Ψ}^{T}(𝔰) ⊂ \overline{R}\overline{ℤ} ; Ψ(𝔰).

Preuve : Pour montrer que le \overline{ℤ}-module en question est indépendant de la section choisie, on montre l’assertion plus précise suivante : fixons τ ∈ T_{ell}^{0}(G)/ℤ et deux R̃-triplets t = (M, σ, r̃) et t′ = (M′, σ′, r̃′) au-dessus de τ, alors les images de x_{τ} et x_{τ′} dans \overline{R}_{Ψ}(G) sont proportionnelles, le facteur étant une racine de l’unité.

Pour cela on remarque d’abord que, par définition, quitte à conjuguer par un élément de W_{G}, on peut supposer que M′ = M, σ′ = σψ pour un certain ψ ∈ Ψ_{u}(G) et que les images r ∈ R_{σ} et r′ ∈ R_{σ′} de r̃ et r̃′ sont égales dans R_{σ} = R_{σψ}. La seule subtilité est que les choix dans la construction des extensions R̃ ne nous permettent pas a priori de prolonger l’identification canonique R_{σ} = R_{σψ} à un isomorphisme R̃_{σ} ≃ R̃_{σψ}.^{5} On considère donc R̃ := R̃_{σ} ×_{R_{σ}} R̃_{σψ} et on note

ρ_{σ}, ρ_{σψ} : R̃ ⟶ Aut_{G}(i_{M}^{G}σ) = Aut_{G}(i_{M}^{G}σψ)

les morphismes de groupe obtenus en relevant les actions respectives de R̃_{σ} et R̃_{σψ}. Alors par définition, les composées de ρ_{σ} et ρ_{σψ} avec la projection Aut_{G}(i_{M}^{G}σ) ⟶ Aut_{G}(i_{M}^{G}σ)/ℂ^{∗} coïncident donc ρ_{σψ} = χρ_{σ} pour un certain caractère multiplicatif χ de R̃. On en déduit que x_{t′} = χ((r̃, r̃′)).ψ.x_{t} et l’indépendance voulue.

Montrons ensuite les deux inclusions annoncées : la deuxième est immédiate par la définition des x_{s(τ)} de 4.3. Pour la première, on utilise le résultat de classification de Langlands des irréductibles en fonction des tempérées des sous-groupes de Levi : il implique que R(G) est engendré par les familles tempérées i_{M}^{G} (ρψ), pour M < G, ρ tempérée de M et ψ ∈ Ψ(M) (voir [6, Thm XI.2.11]). En conséquence, on peut se contenter de montrer que pour toute π ∈ Irr(G) tempérée, l’image \overline{π} de π dans \overline{R}_{Ψ}^{ℤ}(𝔰) vérifie \overline{π} ∈ \frac{1}{|W_{G}|} \overline{R}_{Ψ}^{T}(𝔰). Supposons donc que π|i_{M}^{G} (σ) pour un certain M < G et σ ∈ E^{2}(M). On utilise la formule d’ “inversion” (2.4) de [1] : elle nous dit qu’il existe un caractère irréductible θ de R̃_{σ}, de caractère central χ_{σ}^{−1} et tel que

π = \frac{1}{|R̃_{σ}|} ∑_{r̃∈R̃_{σ}} θ(r̃)xr̃

Remarquons que par l’invariance x_{zr̃} = χ_{σ}(z)^{−1}xr̃, la somme se simplifie en

π = \frac{1}{|R_{σ}|} ∑_{r∈R_{σ}} θ(r)x_{r}

5En fait, nous aurions pu imposer une symétrie des choix sous l’action de Ψ_{u}(G) comme on l’a fait pour celle de W_{G}. Nous ne le faisons pas car par ailleurs nous sommes incapables de garantir une telle symétrie pour les triplets non-elliptiques dont nous aurons besoin un peu plus loin.

où l’on sous-entend le choix (sans influence) d’une section ensembliste R_{σ} ↪ R̃_{σ}. On obtient alors, en scindant la somme selon la régularité de r :

|R_{σ}|π = ∑_{r∈R_{σ}_{reg}} θ(r)x_{r} + ∑_{r∈R_{σ}\R_{σ}_{reg}} θ(r)x_{r}

Le second terme de la somme ainsi scindée est dans (R(G) ⊗ \overline{ℤ}) ∩ (R_{I}(G) ⊗ \overline{ℚ}), d’après [1, p.90, l.-9]. Son image dans \overline{R}_{Ψ}(𝔰) ⊗ \overline{ℚ} est donc nulle. Quant au premier terme, puisque les valeurs de θ sont des entiers algébriques, son image dans \overline{R}_{Ψ}(𝔰) ⊗ \overline{ℚ} appartient en fait à \overline{R}_{Ψ}^{T}(𝔰). L’ordre de R_{σ} étant un diviseur de W_{G}, on obtient la première inclusion.

Il reste maintenant à voir que la famille (x_{s(τ)})_{τ} est linéairement indépendante sur \overline{ℚ} (ou sur ℂ). Ceci est une conséquence des formules d’orthogonalité de Arthur que nous rappelons ci-dessous en les adaptant légèrement. □

4.8 Produit scalaire elliptique : Soit Z un complément de Z(G)^{0} dans Z(G). Fixons momentanément un caractère ω : Z ⟶ ℂ^{∗} et considérons le groupe R(G, ω) engendré par les irréductibles dont le caractère central coïncide avec ω sur Z. Notons aussi Ψ_{0}(G) := Hom_{ℤ} (G/G^{0}Z, ℂ^{∗}) ; ce groupe (fini et commutatif) agit sur R(G, ω). On peut alors définir de manière analogue à précédemment le groupe \overline{R}_{Ψ_{0}}(G, ω) qui est canoniquement isomorphe à \overline{R}_{Ψ}(G) (isomorphisme induit par l’inclusion R(G, ω) ↪ R(G)).

Soient x et y dans R(G, ω) ; les notation χ_{x} et χ_{y} ont jusqu’ici désigné les formes linéaires sur \overline{H}(G) données par les caractères-traces de x et y. On sait depuis Harish-Chandra que ces formes linéaires sont aussi données par des fonctions localement intégrables sur G et lisses sur G^{sr}. On notera ces fontions par les mêmes symboles χ_{x} et χ_{y}. On définit (Harish-Chandra, Kazhdan) une forme bilinéaire “elliptique” par la formule :

[x, y] := ∑_{ψ∈Ψ_{0}(G)} ( ∑_{T ∈T_{ell}} |W_{T} |^{−1} ∫_{T/Z} |D(γ)|χ_{x}(γ)χ_{ψ.y}(γ^{−1})dγ) (4.9)

où T_{ell} est un ensemble de représentants des G-classes de conjugaisons de tores maximaux elliptiques, W_{T} est le groupe de Weil de G par rapport à T, D(γ) est le discriminant de Weyl et les mesures dγ sont normalisées (de masse 1) sur les groupes compacts T/Z.

Puisque R_{I}(G, ω) est dans le noyau de cette forme bilinéaire (on sait par [18] que les représentations paraboliquement induites ont un caractère nul sur les éléments elliptiques), elle induit une forme sur le quotient \overline{R}(G, ω). De même les éléments de la forme x − ψ.x avec ψ ∈ Ψ_{0}(G) sont dans le noyau de cette nouvelle forme donc celle-ci se descend en une forme sur \overline{R}_{Ψ_{0}}(G, ω). Par l’isomorphisme canonique \overline{R}_{Ψ_{0}}(G, ω) ≃ \overline{R}_{Ψ}(G), on a donc obtenu une forme bilinéaire [ , ] : \overline{R}_{Ψ}(G) × \overline{R}_{Ψ}(G) ⟶ ℂ. Elle est bien-sûr compatible avec la décomposition \overline{R}_{Ψ}(G) = ⨁ \overline{R}_{Ψ}(𝔰). Fixons comme précédemment une section s : T_{ell}^{0}(𝔰)/ℤ ⟶ T_{ell}(𝔰), alors avec les mêmes notations que pour 4.7, Théorème 4.10 (Arthur) La famille \overline{x_{s(τ)}} pour τ ∈ T_{ell}^{0}(𝔰)/ℤ est orthogonale pour la forme bilinéaire elliptique [., .]. De plus, on a la formule indépendante du choix de s :

[\overline{x_{s(τ)}}, \overline{x_{s(τ)}}] = |Ψ_{τ} ||R_{σ,r}||d(r)|

où Ψ_{τ} est le stabilisateur de x_{s(τ)} dans Ψ_{0}(G), R_{σ,r} est le centralisateur dans R_{σ} de l’image r de r̃ dans R_{σ} et d(r) est le “R-analogue” du discriminant de Weyl, défini dans [1, p.76]. Preuve : Notons momentanément (t_{1}, t_{2}) le produit scalaire défini par la formule (6.5) de [1] (où l’on remplace τ et τ′ par t_{1} et t_{2}) pour deux éléments t_{1} et t_{2} de T (G) ayant le même caractère central. Remarquons que si t_{1} et t_{2} sont dans T (𝔰), les restriction de leurs caractères centraux à Z(G)^{0} sont égales (et uniquement déterminées par 𝔰). On peut donc choisir pour chaque τ ∈ T_{ell}^{0}(𝔰)/ℤ un représentant t ∈ T (G) de la composante connexe s(τ) de telle sorte que les t obtenus aient le même caractère central (rappelons que Z(G) = Z(G)^{0} ×Z!). Alors par définition :

[\overline{x_{s(τ)}}, \overline{x_{s(τ′)}}] = ∑_{ψ∈Ψ_{0}}(t, ψt′)

En effet la seule chose à remarquer est que puisque chaque x_{ψt′} est unitaire, pour tout γ ∈ G_{ell}, on a χ_{x_{ψt′} (γ^{−1})} = \overline{χ_{x_{ψt′}} (γ)} (conjugaison complexe). La propriété d’orthogonalité se déduit donc immédiatement de la première partie du corollaire (6.2) de [1] (rappelons que les composantes connexes de T_{ell}(𝔰) coïncident avec ses Ψ_{u}(G)-orbites).

La formule donnée pour [\overline{x_{s(τ)}}, \overline{x_{s(τ)}}] se déduit de la deuxième partie de ce corollaire ([1, 6.2]) et des égalités

(t, ψ.t) = \{ \begin{matrix}(t, t) & si ψ ∈ Ψ_{t} \\ 0 & sinon. \end{matrix}

La seconde vient de ce que Ψ_{t} est simplement le normalisateur de i_{M}^{G} (σ) ∈ R(G) dans Ψ_{u}(G) et du résultat d’orthogonalité de Kazhdan [13, Thm G] (voir aussi remarque (1) p.118 de [1]). □

4.11 Sous-groupes de Levi et association : Rappelons qu’on a noté L(G) l’ensemble des classes d’association de sous-groupes de Levi standards de G. Soit M ∈ L(G) une telle classe, on définit

\overline{R}_{Ψ}(M) := ⨁_{M∈M} \overline{R}_{Ψ}(M)/ ∼

où ∼ est la relation d’équivalence qui identifie (M, x) et (M^{w}, x^{w}) pour tous x ∈ \overline{R}_{Ψ}(M), w ∈ W_{G} tel que w(M) < G. On note encore \overline{R}_{Ψ}(M, 𝔰) la composante correspondant aux M-classes d’inertie “au-dessus” de 𝔰, c’est à dire

\overline{R}_{Ψ}(M, 𝔰) = ⨁_{M∈M} (⊕_{𝔰_{M} |𝔰}\overline{R}_{Ψ}(M, 𝔰_{M})) / ∼ .

Comme d’habitude on note \overline{R}\overline{ℤ} ; Ψ(M, 𝔰) l’image de \overline{R}_{Ψ}(M, 𝔰) ⊗ \overline{ℤ} ⟶ \overline{R}_{Ψ}(M, 𝔰) ⊗ \overline{ℚ}.

Fixons maintenant M ∈ M et 𝔰_{M}|𝔰 et notons W_{𝔰_{M}} le normalisateur de 𝔰_{M} dans W_{G}. Alors \overline{R}_{Ψ}(M, 𝔰) s’identifie au groupe des coinvariants \overline{R}_{Ψ}(M, 𝔰_{M})_{W_{𝔰_{M}}}. En conséquence, si τ ∈ T_{ell}^{0}(𝔰_{M}),

l’élément \overline{x_{τ}^{M}} ∈ \overline{R}\overline{ℤ} ; Ψ(M, 𝔰) ne dépend que de la W_{𝔰_{M}} -orbite de τ. On choisit une section

s : T_{ell}^{0}(𝔰_{M})/(ℤ × W_{𝔰_{M}}) ↪ T_{ell}(𝔰_{M})/W_{𝔰_{M}}

et on identifie T_{M}^{0}(𝔰)/ℤ à un sous-ensemble de T_{ell}^{0}(𝔰_{M})/(ℤ × W_{𝔰_{M}}) via la bijection de 4.5 vi)). Alors on peut énoncer l’analogue de 4.7 : Proposition 4.12 – L’image de x_{s(τ)}^{M} dans \overline{R}_{Ψ}(M, 𝔰) est non-nulle si et seulement si τ est

G-essentiel, i.e. τ ∈ T_{M}^{0}(𝔰)/ℤ.

– La famille \overline{x_{s(τ)}^{M}} pour τ ∈ T_{M}^{0}(𝔰)/ℤ est une base de \overline{R}_{Ψ}(M, 𝔰) ⊗ \overline{ℚ} qui engendre un \overline{ℤ}-module

libre \overline{R}_{Ψ}^{T}(M, 𝔰) (indépendant du choix de la section s) et tel que :

|W_{G}|.\overline{R}\overline{ℤ} ; Ψ(M, 𝔰) ⊂ \overline{R}_{Ψ}^{T}(M, 𝔰) ⊂ \overline{R}\overline{ℤ} ; Ψ(M, 𝔰).

Preuve : Soit τ = (N, σ, r̃) ∈ T_{ell}^{0}(𝔰_{M}). Par définition, τ n’est pas G-essentiel si et seulement si

∃w ∈ R_{σ}^{G}, z ∈ ℤ wr̃w^{−1} = zr̃ et χ_{σ}(z) ≠ 1.

Remarquons que dans ce cas, L(r̃) = M est invariant par w, si bien que c’est équivalent à la même assertion avec ∃ w ∈ W_{𝔰_{M}}, etc...

D’autre part l’image \overline{x_{τ}^{M}} de x_{τ}^{M} dans \overline{R}_{Ψ}(M, 𝔰) vérifie :

\overline{x_{zτ}^{M}} = χ_{σ}(z)^{−1}\overline{x_{τ}^{M}} et ∀w ∈ W_{𝔰_{M}} , \overline{x_{wτ}^{M}} = \overline{x_{τ}^{M}}

Il est donc clair que si τ n’est pas G-essentiel, \overline{x_{τ}^{M}} est nul. La seule chose qui reste à montrer, compte tenu de ce qui a été fait dans la preuve de 4.7 est que la famille \overline{x_{s(τ)}^{M}}, pour τ ∈ T_{M}^{0}(𝔰)/ℤ est libre. Ceci sera déduit de l’analogue des formules d’orthogonalité de 4.10. □

4.13 Sous-groupes de Levi et produit scalaire : Soit M ∈ L(G) et 𝔰 ∈ 𝔖(G), on définit une forme bilinéaire symétrique de manière naturelle sur \overline{R}_{Ψ}(M, 𝔰) en l’identifiant à \overline{R}_{Ψ}(M, 𝔰_{M})_{W_{𝔰_{M}}} pour M ∈ M et 𝔰_{M}|𝔰 fixés. Notons [ , ]_{M} l’analogue pour M de la forme sur \overline{R}_{Ψ}(M, 𝔰_{M}) définie au moyen de la formule 4.9, alors il est facile de voir que cette forme est invariante sous N_{G}(M)/M puisque celui-ci permute les (classes de conjugaison de ) tores elliptiques de M en respectant les mesures de Haar fixées. En conséquence, la forme

x, y ∈ \overline{R}_{Ψ}(M, 𝔰_{M}) ↦ ∑_{w∈W_{𝔰_{M}}} [x, y^{w}]_{M}

est symétrique et contient les éléments de la forme x − wx dans son noyau, donc induit une forme bilinéaire sur \overline{R}_{Ψ}(M, 𝔰). Celle-ci est indépendante des choix effectués et sera notée [ , ]_{M}.

Fixons une section s : T_{M}^{0}(𝔰)/ℤ ↪ T_{M}(𝔰), alors

Proposition 4.14 La famille \overline{x_{s(τ)}^{M}} pour τ ∈ T_{M}^{0}(𝔰)/ℤ est orthogonale pour la forme bilinéaire [ , ]_{M}. De plus, si τ est l’image du triplet t = (N, σ, r̃), on a la formule indépendante du choix de s :

[\overline{x_{s(τ)}^{M}}, \overline{x_{s(τ)}^{M}}]_{M} = |W_{t}||Ψ_{τ} (M)||R_{σ,r}^{M}||d_{M}(r)|

où W_{t} = Stab_{W_{𝔰_{M}}} (t) est le normalisateur dans W_{𝔰_{M}} de l’image de t dans T^{0}(𝔰_{M}) et les autres notations sont les analogues de celles de 4.10 pour M à la place de G. Preuve : Puisque les éléments de T_{M}^{0}(𝔰)/ℤ sont dans des W_{𝔰_{M}} -orbites disjointes (d’après 4.5 v)), l’orthogonalité est une conséquence de celle de 4.10. D’autre part, t étant le triplet de l’énoncé, notons encore t l’élément de T_{ell}^{0}(𝔰_{M}) qu’il définit ainsi que x_{t}^{M} ∈ \overline{R}_{Ψ}(M, 𝔰_{M}) l’élément associé. Alors, dans la formule

[\overline{x_{s(τ)}^{M}}, \overline{x_{s(τ)}^{M}}]_{M} = ∑_{w∈W_{𝔰_{M}}} [x_{t}^{M}, x_{t^{w}}^{M}]_{M},

les seuls termes non nuls de la somme de droite sont obtenus pour w(t) ∈ ℤ.t à cause des formules d’orthogonalité de 4.10. Or, l’essentialité de t s’exprime par l’implication w(t) ∈ ℤt ⇒ w(t) = t ce qui montre la formule annoncée. □

5 Bases duales. Une formule de type Plancherel

Nous allons exhiber des bases de K_{ℂ}(𝔰) et \overline{H}(𝔰)_{c}^{∗} indexées par les ℤ-orbites dans T^{0}(G) et (presque) duales l’une de l’autre, en utilisant les résultats et notations de la partie précédente. Ces bases dépendent du choix d’une section

s : T^{0}(G)/ℤ ↪ T (G)

qu’on supposera fixée dans toute la suite. En fait, ce choix a une influence minime sur les éléments qu’on va définir : un autre choix conduirait à des multiples de ces éléments, de facteur une racine de l’unité. Rappelons par ailleurs qu’on a une union disjointe

T^{0}(G)/ℤ = ∐_{M∈L(G)} T_{M}^{0}(G)/ℤ.

5.1 Une jolie base de K_{ℂ}(𝔰) : Rappelons que puisque H(G) est de dimension cohomologique finie, tout G-module de type fini définit par résolution projective un élément de K(G). C’est en particulier le cas, si M < G et σ ∈ Irr(M), pour le G-module i_{M}^{G} (σ ⊗ ℂ[M/M^{0}]) (où M agit diagonalement sur σ ⊗ ℂ[M/M^{0}]). De plus d’après [12, 4.26], le morphisme obtenu :

\begin{matrix}ϕ_{M} : ⨁_{M∈M,𝔰_{M} |𝔰} R(M, 𝔰_{M}) & → & K^{ℤ}(𝔰) \\ (M, σ) & ↦ & i_{M}^{G} (σ ⊗ ℂ[M/M^{0}]) \end{matrix}

se factorise par la projection ⨁_{M,𝔰_{M}} R(M, 𝔰_{M}) ↠ \overline{R}_{Ψ}(M, 𝔰). Ceci permet de faire la définition suivante : (5.2) Soit τ ∈ T_{M}^{0}(𝔰)/ℤ, on pose X_{τ} := ϕ_{M}(\overline{x_{s(τ)}^{M}}) ∈ K\overline{ℤ}(𝔰)

avec les notations de 4.12 et 4.14 (les choix de M ∈ M, 𝔰_{M}|𝔰 n’ont évidemment aucune influence). On a alors le résultat suivant Proposition 5.3 La famille des X_{τ} pour τ ∈ T^{0}(G)/ℤ est une base de K(𝔰) ⊗ \overline{ℚ}. Si K^{T} (𝔰) est le \overline{ℤ}-module (libre) qu’elle engendre alors il existe un entier k_{G} ∈ ℕ (indépendant de 𝔰) tel que :

w̃_{G}^{k_{G}}K\overline{ℤ}(𝔰) ⊂ K^{T} (𝔰) ⊂ K\overline{ℤ}(𝔰).

Avant de passer à la preuve, il nous faut effectuer quelques rappels de [12] et même en raffiner un peu les résultats et constructions. Proposition 5.4 Il existe une famille de projecteurs π_{M} ∈ End_{ℚ} (K(𝔰) ⊗ ℚ) pour chaque M ∈ L(G) telle que

i) π_{M} ∘ π_{L} = 0 si M ≠ L.

ii) π_{M} ∘ ϕ_{M} = ϕ_{M} iii) π_{M} = \frac{1}{W_{M}} (1 − ∑_{N<M} c_{M}(N)i_{N}^{G} ∘ r_{G}^{N}) où la notation N < M signifie N < M pour un

certain M ∈ M, les c_{M}(N) sont des entiers et W_{M} est un entier divisant une puissance de |W_{G}|

D’autre part l’application ⨁_{M∈L(G)} ϕ_{M} : ⨁_{M} \overline{R}_{Ψ}(M, 𝔰)⊗ℚ ⟶ K(𝔰)⊗ℚ est un isomorphisme ; ce qui a pour conséquence l’égalité Id_{K_{ℂ}(G)} = ∑_{M} π_{M}. Preuve : Si M < G on notera d(M) = dim_{ℚ}(X^{∗}(M) ⊗ ℚ). Nous invitons le lecteur à se référer à [12] partie 2 où ont été définis (suivant une idée de Bernstein) des projecteurs π^{d}, d ∈ ℕ de End_{ℚ}(K(𝔰) ⊗ ℚ) (voir [12, prop. 2.5]).

Soit M < G et π_{M}^{d} le projecteur défini de manière analogue pour M. Notons, comme dans [12, 2.4], P_{M} := |N_{G}(M)/M|. Alors si M ∈ M, on définit

π_{M} := \frac{1}{P_{M}} i_{M}^{G} ∘ π_{M}^{d(M)} ∘ r_{G}^{M} (5.5)

Le fait que cela ne dépende que de M est une conséquence formelle du fait que (K(.) ⊗ ℚ, r, i, w) est un système de Hopf vérifiant la propriété iii) de [12, prop 2.5] et de la remarque [12, 2.6.i)] qui par conséquent s’y applique. La propriété i) vient du fait que si L ∉ M et d(L) ⩾ d(M), alors :

r_{G}^{L} ∘ π_{M} = 0 et π_{M} ∘ i_{L}^{G} = 0 (5.6)

(conséquence de [12, prop. 2.5]). L’egalité π_{M} ∘ π_{M} = π_{M} est aussi une conséquence de [12, 2.5] et de la formule de composition r_{G}^{M} ∘ i_{M}^{G}. La propriété ii) vient de ce que

r_{G}^{M} ∘ i_{M}^{G}[σ ⊗ ℂ[M/M^{0}]] = ∑_{w∈N (M)/M}[σ^{w} ⊗ ℂ[M/M^{0}]] et π_{M}^{d(M)}[σ ⊗ ℂ[M/M^{0}]] = [σ ⊗ ℂ[M/M^{0}]

(conséquence de [12, 4.26]). La formule iii) vient de la définition de π_{M}^{d(M)}. Quant à la propriété d’isomorphisme, elle vient du théorème 4.25 de [12]. □

Preuve : (de la proposition 5.3) Le fait que la famille est une base de K(𝔰) ⊗ \overline{ℚ} (ou de manière équivalente de K_{ℂ}(𝔰)) est une conséquence de la dernière assertion de 5.4 et des propositions 4.7 et 4.12. De même, la deuxième inclusion vient de la définition et des “deuxièmes inclusions” de 4.7 et 4.12. Intéressons-nous donc à la première inclusion. Remarquons que grâce aux propositions 4.7 et 4.12 et au fait que |W_{G}| divise w̃_{G}, il suffit de montrer l’existence d’un k_{G} ∈ ℕ tel que

K^{ℤ}(G) ⊂ \frac{1}{w̃_{G}^{k}} ∑_{M∈L(G)} ϕ_{M}(\overline{R}_{Ψ}^{ℤ}(M)) := im ϕ^{ℤ} (5.7)

Ceci est “contenu” dans la discussion de la partie 4 de [12] mais n’y est pas écrit puisqu’on s’y est contenté de résultats sur ℚ ou ℂ. Plutôt que de reprendre pas à pas les arguments de cette discussion, nous en utilisons le résultat final qui a été rappelé dans la proposition 5.3. Celui-ci nous invite à faire une récurrence sur le rang de G. Supposons donc que pour tout sous-groupe de Levi M < G, il existe un entier k_{M} tel que l’inclusion 5.7 soit vérifiée pour les objets correspondant à M. Soit X ∈ K^{ℤ}(G), alors on peut écrire

X = ∑_{M∈L(G)} π_{M}X = π_{G}X + X′

D’après 5.3, X′ ∈ ∑_{M} \frac{1}{W_{M}} i_{M}^{G}K^{ℤ}(M). L’hypothèse de récurrence et le fait que M_{M} divise w̃_{G} pour M < G (par définition) montre que X′ ∈ _{\frac{1}{w̃_{G}^{k^{1}_{G}}}} im ϕ^{ℤ} pour un certain k_{G}^{1} (indépendant de

X). On est donc ramené au cas “discret” où X = π_{G}X.

Pour ce cas discret, on ne peut pas éviter de reprendre en détail la discussion de [12, ch.4] : le lecteur est invité à s’y référer pour trouver la définition de deux filtrations, l’une “topologique” F^{∗}K(G) (voir loc.cit 4.2) et l’autre “combinatoire” K^{∗}(G) (voir loc.cit 2.3). Le niveau qui nous intéresse est le niveau discret où ∗ = d(G) : le cas X = π_{G}X correspond en effet au cas X ∈ K^{d(G),ℤ}(G) (l’image de K^{d(G)}(G) dans K^{d(G)}(G) ⊗ ℚ). D’après [12, 4.11], on a F^{d(G)}K(G) ⊂ K^{d(G)}(G) et d’après [12, 4.15], on a F^{d(G)}K(G) ⊗ ℚ = K^{d(G)}(G) ⊗ ℚ. En fait la preuve de [12, 4.15] montre une propriété plus précise, à savoir que K^{d(G)}(G)/F^{d(G)}K(G) est de torsion, annulé par une puissance de |W_{G}|. Ceci permet de supposer, en enregistrant qu’on a du multiplier par cette puissance de |W_{G}|, que X ∈ F^{d(G)}K^{ℤ}(G).

Par définition, on a F^{d(G)}K(G) = ∑_{Y} i_{∗}^{Y} (K(G, Y)), la somme portant sur les sous-variétés Y de dimension d(G) de Θ(G) (la variété des caractères infinitésimaux de G) et les objets i_{∗}^{Y} et K(G, Y) étant décrits dans [12, 4.2].

D’après [12, 4.12], les seules variétés irréductibles Y dont l’image de i_{∗}^{Y} K(G, Y) ⟶ K(G) ⊗ ℚ est non nulle sont de la forme Ψ(G).θ pour un certain caractère infinitésimal “discret” θ (voir [12, 4.12]) dans Θ(G). Supposons donc que X ∈ im (K(G, Ψ(G).θ) ⟶ K(G) ⊗ ℚ) pour un θ discret et notons comme dans [12, 1.2] EP l’application

\begin{matrix}EP : R(G, θ) & → & K^{ℤ}(G) \\ π & ↦ & [π ⊗ ℂ[G/G^{0}]] \end{matrix}

et N_{Y} = N_{Ψ(G)}(θ) le normalisateur de θ dans Ψ(G). D’après [12, 4.18], on a

< im EP >_{ℚ}=< im (K(G, Ψ(G).θ) ⟶ K(G) ⊗ ℚ) >_{ℚ}

(espaces vectoriels engendrés sur ℚ). En fait la preuve de [12, prop.4.18], montre que

|N_{Y} | im (K(G, Ψ(G).θ) ⟶ K(G) ⊗ ℚ) ⊂ im EP .

En particulier, |N_{Y} |X ∈ im ϕ^{ℤ}. Puisque |N_{Y} | divise |G/G^{0}Z(G)| et donc divise w̃_{G}, cela termine la preuve de la première inclusion. (Remarquons qu’à cause de la récurrence, toute explicitation d’un tel k_{G} serait certainement grossière) □

Tournons-nous maintenant vers le côté dual.

5.8 Une jolie base de \overline{H}(𝔰)_{c}^{∗} : Sans vouloir ennuyer le lecteur avec des définitions formelles qui sont de peu d’intérêt ici, la dualité entre K_{ℂ}(𝔰) et \overline{H}(𝔰)_{c}^{∗} permet de munir celui-ci d’une structure de système de Hopf “trivialisable” au sens de [12, prop. 2.10 iii)]. Les morphismes i et w sont ceux auxquels on pense (induction parabolique et association) mais pour r, la remarque qui suit le lemme 2.6 nous oblige à tronquer la restriction parabolique aux compacts. On pose donc cr_{G}^{M} := 1_{M_{c}^{0}} ∘ r_{G}^{M} : \overline{H}(G)_{c}^{∗} ⟶ \overline{H}(M)_{c}^{∗}.

Les opérateurs π_{M} de la proposition 5.4 ont des adjoints notés ^{c}π_{M} ∈ End (\overline{H}(G)_{c}^{∗}). Ils admettent les développements :

cπ_{M} = \frac{1}{W_{M}} (1 − ∑_{N<M} c_{M}(N)i_{N}^{G} ∘^{c} r_{G}^{N})

et jouissent de la même “table de multiplication” que les π_{M} (voir 5.4).

Fixons maintenant M ∈ L(G) et M ∈ M, on définit

\begin{matrix}ψ_{M} : ⨁_{M∈M} R(M, 𝔰_{M}) & → & \overline{H}(𝔰)_{c}^{∗} \\ (M, σ) & ↦ & ^{c}π_{M}.i_{M}^{G} (χ_{σ}_{|M_{c}^{0}}) \end{matrix}

On montre que ψ_{M} se factorise par ⨁_{M∈M} R(M, 𝔰_{M}) ↠ \overline{R}_{Ψ}(M, 𝔰) ; pour cela il y a trois choses à vérifier :

– ψ_{M}(M, σψ) = ψ_{M}(M, σ) pour tout ψ ∈ Ψ(M) ; ceci est clair sur la définition puisque χ_{σψ}_{|M_{c}^{0}} = χ_{σ}_{|M_{c}^{0}}.

– ψ_{M}(M^{w}, σ^{w}) = ψ_{M}(M, σ) pour M^{w} < G. Pour cela il suffit d’écrire que i_{M}^{G} (χ_{σ}_{|M_{c}^{0}}) = i_{M}^{G} (χ_{σ})_{|G_{c}^{0}} (lemme 2.6) et d’utiliser [3, 5.4.iii)].

– ψ_{M}(M, σ) = 0 si σ ∈ R_{I}(M). Pour cela, on utilise encore le fait que si L < M et ρ ∈ R(L),

alors i_{L}^{G}(ρ)_{|M_{c}^{0}} = i_{L}^{G}(ρ_{|L_{c}^{0}}). On conclut par adjonction de la propriété 5.6. Ceci nous permet de faire la définition suivante :

(5.9) Soit τ ∈ T_{M}^{0}(𝔰)/ℤ, on pose D_{τ} := ψ_{M}(\overline{x_{s(τ)}^{M}}) ∈ \overline{H}\overline{ℤ}(𝔰)_{c}^{∗} ⊗ \overline{ℚ}

avec les notations de 4.7. On a alors : Proposition 5.10 La famille des D_{τ} pour τ ∈ T^{0}/ℤ est une base de \overline{H}^{ℤ}(𝔰)_{c}^{∗} ⊗ \overline{ℚ}. Si \overline{H}^{T} (𝔰)_{c}^{∗} est le \overline{ℤ}-module (libre) qu’elle engendre alors il existe deux entiers h_{G}^{1}, h_{G}^{2} ∈ ℕ tel que :

|W_{G}|^{h_{G}^{1}} \overline{H}\overline{ℤ}(𝔰)_{c}^{∗} ⊂ \overline{H}^{T} (𝔰)_{c}^{∗} ⊂ |W_{G}|^{−h_{G}^{2}} \overline{H}\overline{ℤ}(𝔰)_{c}^{∗}.

Preuve : Montrons d’abord la double inclusion annoncée. D’après les propositions 4.7 et 4.12, il suffit de montrer qu’il existe des entiers h^{1} et h^{2} tels que :

|W_{G}|^{h^{1}} \overline{H}^{ℤ}(𝔰)_{c}^{∗} ⊂ ∑_{M∈L(G)} ψ_{M}(\overline{R}_{Ψ}^{ℤ}(M, 𝔰)) := im ψ^{ℤ} ⊂ |W_{G}|^{−h^{2}} \overline{H}^{ℤ}(𝔰)_{c}^{∗}.

Pour cela, remarquons d’abord qu’on a l’égalité, sur \overline{H}(G)^{∗}

cr_{G}^{M} ∘ 1_{G_{c}^{0}} = ^{c}r_{G}^{M}

En effet, par adjonction cela est équivalent à dire que sur \overline{H}(M), on a l’égalité i_{M}^{G} ∘ 1_{M_{c}^{0}} = 1_{G_{c}^{0}} ∘ i_{M}^{G} ∘ 1_{M_{c}^{0}}, et ceci est vrai puisque 1_{M_{c}^{0}} \overline{H}(M) = K_{ℂ}(M) et i_{M}^{G}K_{ℂ}(M) ⊂ K_{ℂ}(G).

En conséquence, pour tout M < G et tout x ∈ R(M), on a

ψ_{M}(x) = χ_{π_{M}i_{M}^{G} x}_{|G_{c}^{0}}

où π_{M} est vu comme un opérateur sur R(G)⊗ℚ via la formule 5.4 iii) donnant son développement en termes de composées i ∘ r. D’après ce même développement on a W_{M}π_{M} ∈ End_{ℤ} (R(G)) et W_{M} divise une puissance de |W_{G}|. On en déduit la deuxième inclusion annoncée.

Pour la première inclusion, soit ρ ∈ R(G), on écrit :

χ_{ρ}_{|G_{c}^{0}} = ∑_{M∈L(G)} ^{c}π_{M}χ_{ρ}_{|G_{c}^{0}} = ∑_{M} ^{c}π_{M}χ_{π_{M}ρ}_{|G_{c}^{0}} = ∑_{M} ^{c}π_{M}i_{M}^{G}(χ_{σ_{M}} _{|M_{c}^{0}})

en posant σ_{M} = \frac{1}{P_{M}} π_{M}^{d(M)}r_{G}^{M}ρ. La première égalité vient de ce que Id_{\overline{H}(G)_{c}^{∗}} = ∑_{M} ^{c}π_{M} par adjonction de l’égalité correspondante sur K_{ℂ}(G). La deuxième égalité vient de la propriété de projecteur de π_{M} et la troisième de la formule 5.5 par laquelle on a défini π_{M}. La première inclusion annoncée se voit facilement sur l’égalité obtenue ci-dessus.

On déduit maintenant des propositions 4.7 et 4.12 que la famille des D_{τ} est génératrice de \overline{H}(𝔰)_{c}^{∗} , puis par dualité avec K_{ℂ}(𝔰) qui est de dimension finie et qui admet par 5.3 une base de cardinal |T^{0}(𝔰)/ℤ|, on voit que c’est une base. □

Le ii) de la proposition suivante est la clef de voûte de l’ensemble de ce travail. C’est une conséquence d’un résultat de Schneider et Stuhler, et indépendamment de Bezrukavnikov qui décrit la restriction aux éléments (compacts) elliptiques du caractère d’une représentation, en termes d’intégrales orbitales d’un certain “pseudo-coefficient”. Proposition 5.11 i) Pour M et L deux classes d’associations de sous-groupes de Levi stan-

dards distinctes, on a < im ϕ_{M}, im ψ_{L} >= 0. ii) ∀x, y ∈ \overline{R}_{Ψ}(M, 𝔰), < ϕ_{M}(x), ψ_{M}(y) >= [x, y]_{M}.

Preuve : Pour le point i), on a par définition^{c}π_{L} im ψ_{L} = im ψ_{L} et on sait par 5.4 que π_{M} im ϕ_{M} = ϕ_{M}. Or par construction ^{c}π_{L} est adjoint de π_{L} pour <, > et par 5.4 à nouveau, π_{L} ∘ π_{M} = 0. Pour le point ii), fixons M < G, x, y ∈ R(M, 𝔰_{M}) et commençons par écrire

⟨i_{M}^{G} (x ⊗ ℂ[M/M^{0}]), ^{c}π_{M}i_{M}^{G} (χ_{y}_{|M_{c}^{0}})⟩_{G} = ⟨i_{M}^{G} (x ⊗ ℂ[M/M^{0}]), i_{M}^{G} (χ_{y}_{|M_{c}^{0}})⟩_{G}
= ∑_{w∈N_{G}(M)/M} ⟨[x^{w} ⊗ ℂ[M/M^{0}]], χ_{y}_{|M_{c}^{0}}⟩_{M}

= ∑_{w∈W_{𝔰_{M}}} ⟨[x^{w} ⊗ ℂ[M/M^{0}]], χ_{y}_{|M_{c}^{0}}⟩_{M}

où la deuxième ligne est obtenue par adjonction et par l’égalité déja utilisée dans 5.4 :

r_{G}^{M} ∘ i_{M}^{G}[x ⊗ ℂ[M/M^{0}]] = ∑_{w∈N (M)/M}[x^{w} ⊗ ℂ[M/M^{0}]] dans K_{ℂ}(M)

et la troisième ligne par orthogonalité de K_{ℂ}(M, 𝔰_{M}^{w}) et \overline{H}(M, 𝔰_{M}) lorsque 𝔰_{M}^{w} ≠ 𝔰_{M}. D’après la forme de l’égalité obtenue et la définition de [ , ]_{M} à partir de [ , ]_{M} , on est ramené à montrer l’égalité du point ii) dans le cas M = {G}

Supposons donc que M = {G} et gardons x, y ∈ R(G). Rappelons que nous utilisons le même symbole χ_{x} pour désigner le caractère trace de x ou la fonction localement intégrable qui lui est associée par Harish-Chandra. On a donc :

⟨[x ⊗ ℂ[G/G^{0}]], χ_{y}_{|G_{c}^{0}}⟩ = ∫_{G_{c}^{0}} χ_{y}(g) Rk[x ⊗ ℂ[G/G^{0}]]

où Rk : K_{ℂ}(G) ⟶ \overline{H}(G) a été défini au 2.3. Remarquons que pour définir le terme de droite il faut choisir un représentant dans H(G) de Rk[x⊗ℂ[G/G^{0}]] ; l’intégrale n’en dépend pas puique χ_{y} est invariante par conjugaison. On peut maintenant appliquer la formule d’intégration de Weyl, telle qu’elle est écrite dans [1, p.81], par exemple, en tenant compte du fait que si g ∉ G^{ell}, alors l’intégrale orbitale de Rk[x ⊗ ℂ[G/G^{0}]] sur l’orbite ω(g) est nulle (par [12, 3.2.iii)]). On obtient donc, avec les mêmes notations qu’au 4.8,

∫_{G} χ_{y}(g) Rk[x ⊗ ℂ[G/G^{0}]](g)dg

= ∑_{T ∈T_{ell}} |W_{T} |^{−1} ∫_{T^{0}} |D(γ)|χ_{y}(γ) (∫_{G/Z} Rk[x ⊗ ℂ[G/G^{0}]](gγg^{−1})) dγ

où T^{0} = T ∩ G_{c}^{0} = T ∩ G^{0} est l’ensemble des éléments compacts du tore elliptique T. On a maintenant besoin d’un résultat déja utilisé dans [12] ; notons pour tout f ∈ \overline{H}(G) la fonction localement constante sur G^{ell} définie par

f^{∨}(γ) := ∫_{G/Z} f(gγ^{−1}g^{−1})

Alors d’après [12, 3.6. i)] (où l’on fait λ = 1 et on choisit pour χ – notations de loc.cit. – le caractère central de x) et [12, 3.7] (résultat dû à Schneider-Stuhler et Bezrukavnikov), on a

∀γ ∈ G^{ell} ∩ G_{c}^{0}, Rk[x ⊗ ℂ[G/G^{0}]]^{∨}(γ) = ∑_{ψ∈Ψ_{0}(G)} χ_{ψ.x}(γ)

En supposant que les restrictions des caractères centraux de x et y à Z sont égales, on peut donc réécrire le dernier terme obtenu

∑_{T ∈T_{ell}} |W_{T} |^{−1} ∫_{T^{0}Z/Z} |D(γ)|χ_{y}(γ) ( ∑_{ψ∈Ψ_{0}(G)} χ_{ψ.x}(γ^{−1})) dγ

Remarquons que le terme entre parenthèses est à support dans T^{0}Z ⊂ T si bien qu’on peut étendre le domaine d’intégration à T/Z et retrouver la formule 4.9 donnant le produit scalaire elliptique [ , ]_{G}. □

Corollaire 5.12 Soit X_{τ}^{∗}, τ ∈ T^{0}(𝔰)/ℤ la base de \overline{H}(𝔰)_{c}^{∗} duale de la base des X_{τ} dans K_{ℂ}(𝔰), alors on a

X_{τ}^{∗} = \frac{d_{τ}}{m_{τ}} D_{τ}

où, avec les notations de 4.14 et 4.10, – m_{τ} = |W_{t}||Ψ_{t}(M)||R_{σ,r}^{M}| est un entier divisant une puissance de w̃_{G}.

– d_{τ} = |d_{M}(r)|^{−1} ∈ \frac{1}{n_{τ}^{s_{G}}} \overline{ℤ} où n_{τ} est l’ordre de l’élément r ∈ R_{σ} et s_{G} le rang semi-simple de G.

Preuve : Les seules choses à prouver sont les assertions sur la nature de m_{τ} et d_{τ}. Pour m_{τ}, l’assertion est claire (rappelons que R_{σ,r}^{M} est l’ordre d’un sous-groupe de R_{σ}^{M}, lui même “sousquotient” de W_{G}...). Pour d_{τ}, rappelons que par la définition de [1, p.76], d(r) = det(1 − r)_{𝔞_{N} /𝔞_{M}} où τ = (N, σ, r) (notation de 4.14) et 𝔞_{N} = (X(N) ⊗ ℚ)^{∗}. Donc d_{τ}^{−1} est le déterminant d’une matrice R de taille ⩽ s_{G} vérifiant l’équation (déduite de r^{n_{τ}} = 1)

∑_{m=0}^{n_{τ} −1}(−1)^{m} \binom{n_{τ}}{m} R^{m} = 0 = n_{τ} R^{n_{τ} −1} + ⋯ 1.

La matrice n_{τ} R satisfait donc une équation entière d’où det R ∈ \frac{1}{n_{τ}^{s_{G}}} \overline{ℤ}.

□

Corollaire 5.13 (Théorème 3.4) Il existe une puissance de w̃_{G}, disons w̃_{G}^{d}, telle que pour toute classe d’inertie 𝔰 ∈ 𝔖(G), le discriminant d_{𝔰} de l’accouplement entier K_{ℂ}^{ℤ}(𝔰)×\overline{H}^{ℤ}(𝔰)_{c}^{∗} ⟶^{< , >} ℤ divise w̃_{G}^{d}.

Preuve : C’est une conséquence immédiate du corollaire précédent et des propositions 5.3 et 5.9 □

La formule de type Plancherel(-Arthur) annoncée consiste maintenant simplement à écrire, en notant df(X_{τ}) la dimension formelle comme dans 1.4 :

< D_{𝔰}, f >= ∑_{τ∈T^{0}(𝔰)/ℤ} \frac{d_{τ}}{m_{τ}} < D_{τ} , f.df(X_{τ}) >, ∀f ∈ C_{c}^{∞}(G, ℂ) (5.14)

C’est un développement de la distribution invariante D_{𝔰} en combinaison linéaire de caractères virtuels, mais qui conserve sa part de mystère dans les coefficients df(X_{τ}). Plus précisément, remarquons que (comme d’habitude) on peut calculer les coefficients discrets (correspondant aux triplets elliptiques) de manière explicite grâce aux résolutions de Schneider-Stuhler par exemple : si τ est l’image du triplet (M, σ, r), on voit par [15, III.4] ou par comparaison avec la formule de Plancherel-Harish-Chandra (voir 5.16) que :

df(X_{τ}) = \{ \begin{matrix}d(σ) (degré formel) & si M = G \\ 0 & sinon. \end{matrix}

Mais pour ce qui est des autres, cela semble plus compliqué : le problème est qu’on ne maîtrise pas bien les représentations du type i_{M}^{G}(ind_{J_{M}}^{M}(τ_{M})) où (J_{M}, τ_{M}) est un couple ouvert compact. Comme on va l’expliquer plus loin, ce problème est aussi à l’origine de la conjecture 1.11. Auparavant, il semble intéressant de comparer la formule ci-dessus à celle qu’on obtient par application de la formule de Harish-Chandra.

5.15 Lien avec la formule de Harish-Chandra : Ce paragraphe a un but “informatif” et ne contient pas de preuves, ni de définitions précises ; on pourra les trouver dans [21] auquel nous empruntons aussi quelques notations. Notons

D(G) := {(M, σ), M < G, σ ∈ E^{2}(M)}/ ∼

où ∼ est la relation d’équivalence d’association habituelle. Cet ensemble est muni d’une structure de variété analytique isomorphe à une union disjointe de tores compacts (de façon similaire à T (G)) et joue un rôle similaire pour l’algèbre de Schwartz-Harish-Chandra C(G) à celui joué par la variété Θ(G) des caractères infinitésimaux pour H(G). En effet, suivant Schneider et Stuhler ([16, Appendix]) on peut définir une catégorie “tempérée” Mod_{t}(G) comme la catégorie des modules unitaux de l’algèbre C(G) (vue comme algèbre abstraite). Les résultats classiques sur le “support discret” des représentations irréductibles tempérées permettent de scinder Mod_{t}(G) en un produit direct de sous-catégories abéliennes indexées par l’ensemble D^{0}(G) des composantes connexes de D(G) (voir [16, 1]). Ainsi, à chaque 𝔱 ∈ D^{0}(G) correspond un idempotent central de Mod_{t}(G) auquel on associe une distribution invariante tempérée que l’on notera E_{𝔱}. La formule de Plancherel-Harish-Chandra peut s’interpréter comme une formule (presque-) explicite pour ces idempotents centraux.

Fixons donc une composante 𝔱 ∈ D^{0}(G) et un représentant (M, σ) de 𝔱. Alors, par [21, VIII.1] la distribution tempérée E_{𝔱} s’écrit :

< E_{𝔱}, f >= C(G|M)^{−2}γ(G|M)^{−1}|W_{σ}|^{−1}|Ψ_{σ}|^{−1} ∫_{Ψ_{u}(M)} μ(ψ, σ) < χ_{i_{M}^{G} (σψ)}, f.d(σ) > dψ

pour toute fonction de Schwartz f, et où

– C(G|M) et γ(G|M) sont des rationnels ne dépendant que de M dont on peut facilement, si l’on veut, étudier les dénominateurs (voir [21, I.1] pour leur définition).

– W_{σ} est le normalisateur dans N_{G}(M)/M de la Ψ_{u}(M)-orbite de σ. (Son ordre ne dépend que de 𝔱).

– d(σ) est le degré formel de σ ∈ E^{2}(M) (par définition, c’est une mesure de Haar sur M ; on en déduit une mesure de Haar sur G en assignant le même volume à K et K ∩ M, ce qui donne un sens au crochet sous l’intégrale). Il ne dépend aussi que de 𝔱.

– Ψ_{σ} est le normalisateur de σ dans Ψ_{u}(M) (ne dépend que de 𝔱).

– Et le plus important, la fonction ψ ↦ μ(ψ, σ) est la densité de Plancherel-Harish-Chandra (par rapport à la mesure de Haar normalisée dψ sur le tore compact Ψ_{u}(M)) définie par exemple dans [21, V.2 et IV.3].

Soit maintenant 𝔰 ∈ 𝔖(G) et D^{0}(𝔰) l’ensemble (fini) des 𝔱 ∈ D^{0}(G) représentées par des couples (M, σ) tels que i_{M}^{G} (σ) ∈ Mod(𝔰). Comme on peut le déduire de [16, 1], on a la formule

D_{𝔰} = ∑_{𝔱∈D^{0}(𝔰)} E_{𝔱}

J’ignore si on peut montrer que chaque E_{𝔱} est à support dans les compacts, mais si f ∈ \overline{H}(G) a ses intégrales orbitales nulles en dehors des compacts (donc f ∈ K_{ℂ}(G)), on voit grâce au lemme 2.6 que la formule pour E_{𝔱} se simplifie en :

< E_{𝔱}, f >= α_{𝔱}.μ(𝔱). < χ_{i_{M}^{G} (σ)}, f.d(𝔱) >

où on a choisi (M, σ) représentant 𝔱, on a posé α_{𝔱} = C(G|M)^{−2}γ(G|M)^{−1}|W_{σ}|^{−1}, d(𝔱) = d(σ) et on a noté

μ(𝔱) = |Ψ_{σ}|^{−1} ∫_{Ψ_{u}(M)} μ(ψ, σ)dψ

Ceci, avec le corollaire 2.11 nous donne la formule

< D_{𝔰}, f >= ∑_{𝔱∈D^{0}(𝔰)} α_{𝔱}μ(𝔱) < i_{M}^{G} (χ_{σ})_{|G_{c}^{0}}, f.d(𝔱) > (5.16)

à comparer avec 5.14. Ainsi, si on cherche à étudier la rationalité et l’intégralité des idempotents centraux de H(G), on voit par le lemme 3.5 qu’il suffit d’étudier les coefficients qui apparaissent dans 5.16. Il est clair que l’étude de α_{𝔱} ne pose pas de problème et celle des degrés formels d(𝔱) a été faite par Vignéras dans [19]. Le problème est ici μ(𝔱) sur lequel, à ma connaissance, on a aucune information en général.

L’intérêt de la formule 5.14 est donc essentiellement de s’être débarassé de ces termes μ(𝔱) ... en les remplaçant malheureusement par d’autres termes inconnus (les df(X_{τ}) pour M ≠ {G}) mais dont on va expliquer comment on peut espérer les obtenir. Avant de clore ce paragraphe, on peut remarquer que la disparition des termes μ(𝔱) s’explique certainement par leur utilisation “implicite” dans la normalisation des opérateurs d’entrelacement utilisée dans [1] pour définir l’action du R-groupe.

6 Sous-groupes compacts et K_{0}

Le but de cette section est d’étudier la conjecture 1.11, c’est à dire de comprendre la partie du K_{0} qui vient des sous-groupes ouverts compacts. Ce dernier problème peut être raisonablement résolu pour G = GL(N) via la théorie des types de Bushnell et Kutzko et ses développements par Schneider-Zink ou Vignéras. Pour G quelconque, la proposition suivante donne une réduction du probléme qui justifie l’aspect alambiqué de la conjecture 1.11. On utilise cette réduction pour prouver cette dernière pour G de rang 1.

Proposition 6.1 Supposons que pour tout M < L < G, on a

i_{M}^{L} (K_{ind}(M)) ⊂ K_{ind}(L)

Alors la conjecture 1.11 est vraie.

Preuve : Le raisonnement ressemble à celui de la preuve de la proposition 5.3 ; on traite d’abord le cas discret puis on raisonne par récurrence.

Cas discret : Reprenons la notation EP : π ∈ R(G) ↦ [π ⊗ ℂ[G/G^{0}]] ∈ F^{d(G)}K(G). Comme il est expliqué dans la preuve de 5.3, on a

[G : G^{0}Z]F^{d(G)}K(G) ⊂ im EP ⊂ F^{d(G)}K(G)

Or, comme application de la résolution de Schneider et Stuhler [15, Th II.3.1], on a montré dans [12, 3.6, proof] que im EP ⊂ K_{ind}(G).

Récurrence : Soit X ∈ K(G) et écrivons avec les notations de 5.3 la décomposition

|W_{G}|^{k}X = |W_{G}|^{k}π_{G}X + |W_{G}|^{k}(1 − π_{G})X

avec k assez grand pour que |W_{G}|^{k}π_{G} ∈ End_{ℤ}(K(G)). Alors le terme de droite dans la décomposition est par définition dans ∑_{M<G} i_{M}^{G} (K(M)) donc si par récurrence on a supposé la conjecture 1.11 vraie pour M < G, M ≠ G, l’hypothèse de la présente proposition montre qu’il existe n tel que w̃_{G}^{n}|W_{G}|^{k}(1 − π_{G})X ∈ K_{ind}(G). Quant au terme Y = |W_{G}|^{k}π_{G}X, par définition il appartient à K^{d(G)}(G) = ∩_{M<G} ker r_{G}^{M}. Donc, comme il a été rappelé dans la preuve de 5.3, il existe un entier m tel que |W_{G}|^{m}Y ∈ F^{d(G)}K(G) et on est ramené au cas discret.

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Fait 6.2 Supposons G déployé. Alors i_{M_{0}}^{G}K_{ind}(M_{0}) ⊂ K_{ind}(G). En particulier, si G a son rang semi-simple relatif égal à 1, alors, la conjecture 1.11 est vraie pour G.

Preuve : Rappelons que dans le cas minimal T = M_{0}, le groupe T^{0} engendré par les éléments compacts est lui-même compact. K_{ind}(T) est donc juste l’image du morphisme ind_{T^{0}}^{T}. Soit χ un caractère lisse de T, Roche a construit dans [14] une paire couvrante (J_{χ}, ρ_{χ}) i.e. un sous-groupe ouvert compact de G et une représentation lisse de celui-ci telle que :

ind_{J_{χ}}^{G} (ρ_{χ}) ≃ i_{T}^{G} ∘ ind_{T^{0}}^{T}(χ).

On en déduit la première assertion ainsi que la deuxième pour G déployé de rang 1. Remarquons que grâce à [5, p. 7], le raisonnement et le résultat sont encore valables pour les groupes non déployés de type U(2, 1). □

Dans le cas de GL(N), la théorie des types, comme on peut s’y attendre, fournit une approche beaucoup plus efficace et précise :

Proposition 6.3 Soit G = GL(N). Alors K(G) = K(G)_{tors} ⊕ K_{ind}(G). En particulier la conjecture 1.11 est vraie pour G.

Preuve : Dans cette preuve, on appelle algèbre de Hecke affine de type A_{n} toute algèbre de convolution de fonctions bi-invariantes par “le” sous-groupe d’Iwahori I(n, E) “standard” dans le groupe GL(n, E) où E est une extension finie de F. Une telle algèbre sera notée H_{a}(n, E). Le sous-espace des fonctions à support dans GL(n, O_{E}) =: K est une sous-algèbre de dimension finie, isomorphe à l’algèbre de Hecke associée au groupe fini GL(n, k_{E}) et à “son” sous-groupe de Borel “standard”. On l’appelera algèbre de Hecke “vectorielle” et on la notera H_{v}(G, E). La théorie des types de Buschnell-Kutzko associe à toute classe d’inertie 𝔰 ∈ 𝔖(G) une algèbre unitaire H_{𝔰} et un foncteur F_{𝔰} : H_{𝔰} − Mod ⟶ Mod(𝔰) tels que :

– H_{𝔰} est isomorphe à un produit tensoriel d’algèbres de Hecke affines de type A, [7][9]. On note H_{𝔰}^{v} la sous-algèbre “vectorielle” correspondante.

– F_{𝔰} est une équivalence de catégories [8] qui envoie des modules de la forme M^{a} = H_{𝔰} ⊗_{H_{𝔰}^{a}} M^{v}

sur des représentations induites de sous-groupes ouverts compacts [16]. En conséquence, l’énoncé de la proposition se ramène à un énoncé (clair) concernant une algèbre de Hecke affine de type A et sa partie “vectorielle” que l’on notera respectivement H_{a} et H_{v}.

Supposons pour fixer les idées que E = F et donc H_{a} = H(GL(N), I(N)). À tout sous-groupe de Levi standard M de GL(N), on associe une sous-algèbre H(M, M ∩ I(N)). Il est pratique de paramétrer les classes de conjugaison de sous-groupes de Levi par l’ensemble P(N) des partitions de N : à λ ∈ P(N) on associe le sous-groupe de Levi standard M_{λ} = GL(λ_{1}) × ⋯ × GL(λ_{r}). On pose alors :

H_{a}^{λ} := H(M_{λ}, M_{λ} ∩ I(N)) et H_{v}^{λ} := H_{a}^{λ} ∩ H_{v}

Le dictionnaire entre les représentations de GL(N) dans le bloc de l’Iwahori et les modules sur H_{a} est le suivant (on a écrit I_{λ} pour M_{λ} ∩ I) :

\begin{aligned}ind_{K}^{G} (τ)^{I} & = & H_{a} ⊗_{H_{v}} τ^{I} \\ i_{M_{λ}}^{G} (σ)^{I} & = & H_{a} ⊗_{H_{a}^{λ}} σ^{I_{λ}} \\ r_{G}^{M_{λ}} (π)^{I_{λ}} & = & π_{|H_{a}^{λ}}^{I} \end{aligned}

Rappelons maintenant que l’on peut associer à toute partition λ ∈ P(N) :

i) Une série discrète σ_{a}^{λ} de H_{a}, unique modulo torsion par un caractère non ramifié. (Il s’agit simplement du caractère signe !) ii) Une unique représentation “non dégénérée” σ_{v}^{λ} de H_{v}. (Là encore, il s’agit du caractère

signe). iii) On a la propriété suivante, évidente : σ_{a}^{λ}_{|H_{v}} = σ_{v}^{λ}. L’intérêt de ces représentations réside dans le fait suivant : Fait 6.4 On peut classifier “naturellement” les modules simples de H_{v} par les partition de N :

\begin{matrix}P(N) & → & Irr(H_{v}) \\ λ & ↦ & τ_{v}^{λ} \end{matrix}

de telle sorte que la matrice (⟨τ_{v}^{λ}, H_{v} ⊗_{H_{v}^{λ′}} σ_{v}^{λ}⟩_{v})_{λ,λ′} soit triangulaire supèrieure pour tout ordre total raffinant l’ordre de dominance des partitions. Ici, le < , >_{v} est le produit scalaire usuel sur les caractères des groupes finis. La matrice en question est donc inversible dans M_{|P(N)|}(ℤ).

On note < , >_{a} l’accouplement de la partie 2 entre K(H_{a}) et R(H_{a}) donné par < P, π >_{a}:= dim_{ℂ}(Hom_{H_{a}}(P, π)). En vertu de la proposition 5.10 ou de 1.3 qui ici se simplifient considérablement en l’absence de caractères elliptiques non discrets, on a aussi : Fait 6.5 Soit X ∈ K(H_{a}). Si pour toute partition λ ∈ P(N), on a ⟨X, H_{a} ⊗_{H_{a}^{λ}} σ_{a}^{λ}⟩_{a} = 0, alors X ∈ K(H_{a})_{tors}. La fin de la preuve est maintenant simple : considérons le morphisme

\begin{matrix}I : R(H_{v}) & → & K(H_{a}) \\ τ & ↦ & [H_{a} ⊗_{H_{v}} τ] \end{matrix}

La matrice (⟨I(τ_{v}^{λ}), H_{a} ⊗_{H_{a}^{λ}} σ_{a}^{λ}⟩_{a}) coïncide avec celle du fait 6.4. On en déduit que I est injective, et en y ajoutant le fait 6.5, que K(H_{a}) = im (I) ⊕ K(H_{a})_{tors}.

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Remarque : Nous espérons prouver dans un prochain travail que la torsion, dans le cas de GL(N), est en fait nulle.

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