Opérateur de Lefschetz sur les tours de Drinfeld et Lubin-Tate

J.-F. Dat^{∗}

Résumé

We define and study a Lefschetz operator on the equivariant cohomology complex of the Drinfeld and Lubin-Tate towers. For ℓ-adic coefficients we show how this operator induces a geometric realization of the Langlands correspondence composed with the Zelevinski involution for elliptic representations. Joint to our previous study of the monodromy operator, this suggests a possible extension of Arthur’s philosophy for unitary representations occuring in the intersection cohomology of Shimura varieties to the possibly non-unitary representations occuring in the cohomology of Rapoport-Zink spaces. However, our motivation for studying the Lefschetz operator comes from the hope that its geometric nature will enable us to realize the mod-ℓ Langlands correspondence due to Vignéras. We discuss this problem and propose a conjecture.

Table des matières

1 Introduction 2 1.1 Opérateurs de Lefschetz sur le complexe RΓ_{c}(M, Λ) . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Coefficients ℓ-adiques : Lefschetz et Zelevinski . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Coefficients ℓ-modulaires : une conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Définition de l’opérateur de Lefschetz 8 2.1 Classes de Chern équivariantes-lisses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Opérateurs de Lefschetz sur les tours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Description explicite dans le cas ℓ-adique 19 3.1 Description de l’opérateur de Lefschetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Opérateur de Lefschetz et correspondance de Zelevinski . . . . . . . . . . 21

∗Université Pierre et Marie Curie. 4, place Jussieu, 75005 Paris, France. L’auteur remercie l’Institut Universitaire de France et l’Agence Nationale pour la Recherche (contrat ANR-10-BLANC 0114) pour leur soutien financier.

MSC 2010 : 14G35, 11F70 ; Keywords : Lubin-Tate spaces, local Langlands correspondence.

1 Introduction

Soit K un corps local non-archimédien de caractéristique résiduelle p, et d un entier non nul. Notons G le groupe GL_{d}(K) et D l’algèbre à division de centre K et d’invariant 1/d. Choisissons une clôture algébrique K^{ca} de K et notons W_{K} le groupe de Weil associé. La tour de Drinfeld (M_{Dr,n})_{n∈ℕ} est un système projectif d’espaces analytiques sur K̂^{nr}, étales au-dessus de l’espace symétrique de Drinfeld Ω^{d−1}. Le groupe G agit sur chaque étage continûment, et le groupe D^{×} agit sur tout le système. La tour de Lubin-Tate (M_{LT,n})_{n∈ℕ} est une tour d’espaces analytiques sur K̂^{nr}, étales au-dessus de l’espace projectif ℙ^{d−1}. Le groupe D^{×} agit sur chaque étage continûment et le groupe G agit sur le système. L’action de G × D^{×} sur chacune des deux tours se factorise par le quotient GD := (G × D^{×})/K_{diag}^{×} du produit G × D^{×} par le sous-groupe K^{×} plongé diagonalement.

Soit ℓ ≠ p un nombre premier et Λ une ℤ_{ℓ}-algèbre locale de type fini. Dans la section 3 de [7], nous avons défini les complexes de cohomologie étale à coefficients dans Λ

RΓ_{c}(M_{Dr}^{ca}, Λ) et RΓ_{c}(M_{LT}^{ca} , Λ) ∈ D_{Λ}^{b}(GD × W_{K}^{disc})

dans la catégorie dérivée bornée des Λ-représentations de GD × W_{K} qui sont lisses pour l’action de GD.

1.1 Opérateurs de Lefschetz sur le complexe RΓ_{c}(M, Λ)

Dans la première section de cet article nous définissons pour chacune des deux tours un “opérateur de Lefschetz”, c’est-à-dire un morphisme dans D_{Λ}^{b}(G × D^{×} × W_{K}^{disc}) :

L_{?} : RΓ_{c}(M_{?}^{ca}, Λ) ⟶ RΓ_{c}(M_{?}^{ca}, Λ)[2](1), pour ? = Dr ou LT

donné par cup-produit par la classe de Chern d’un fibré inversible équivariant convenable. Du côté Lubin-Tate, le fibré inversible que nous choisissons est le tiré en arrière du fibré tautologique de l’espace des périodes ℙ^{d−1}. Du côté Drinfeld, on choisit le tiré en arrière de l’inverse du fibré tautologique de l’espace projectif ℙ^{d−1} contenant Ω^{d−1}.

(1.1.1) Améliorant des idées de Faltings, L. Fargues a montré dans [11] que les complexes RΓ_{c}(M_{Dr}^{ca}, Λ) et RΓ_{c}(M_{LT}^{ca} , Λ) sont naturellement isomorphes, cf. [7, 3.4] pour une brève explication. En reprenant la construction de l’isomorphisme, nous montrerons :

Théorème.– Les opérateurs L_{LT} et L_{Dr} coïncident via l’isomorphisme de Faltings-Fargues RΓ_{c}(M_{Dr}^{ca}, Λ) ⟶^{∼} RΓ_{c}(M_{LT}^{ca} , Λ).

Dans la suite, nous noterons les deux complexes par le même symbole RΓ_{c}(M, Λ) et L l’opérateur de Lefschetz. Nous verrons que cet opérateur est nul en cohomologie, mais qu’il est non-trivial sur le complexe, et même intéressant, au moins lorsque Λ = ℚ̄_{ℓ}.

(1.1.2) On suppose dorénavant que Λ est un corps. Pour une Λ-représentation lisse irréductible π de G, on pose

R_{π}^{∗} := H^{∗}( RHom_{G} (RΓ_{c}(M, Λ), π) ) = ⨁_{n∈ℤ}Ext_{G}^{n} (RΓ_{c}(M, Λ), π) .

C’est un Λ-espace vectoriel gradué muni d’une action

δ_{π}^{∗} : D^{×} × W_{K} ⟶ Aut_{Λ−gr}(R_{π}^{∗})

continue degré par degré pour la topologie ℓ-adique de R_{π}^{∗}, et d’un morphisme

L_{π}^{∗} : R_{π}^{∗} ⟶ R_{π}^{∗}[2](1)

induit par L, et commutant à l’action δ_{π}^{∗}. Si l’on veut oublier la graduation, on note simplement R_{π} le Λ-espace vectoriel sans graduation, et

δ_{π} : D^{×} × W_{K} ⟶ Aut_{Λ}(R_{π}) et L_{π} : R_{π} ⟶ R_{π}(1).

Lorsque Λ est de caractéristique nulle, on voit que R_{π} est de dimension finie grâce à la finitude cohomologique pour les représentations lisses de G sur Λ. Pour Λ de caractéristique positive, on montre dans [9, Prop. 2.1.5] que R_{π} est encore de dimension finie.

1.2 Coefficients ℓ-adiques : Lefschetz et Zelevinski

Nous supposons ici que Λ est de caractéristique nulle, et même que Λ = ℚ̄_{ℓ}. Nous allons expliquer comment le triplet (R_{π}, δ_{π}, L_{π}) s’exprime en termes des correspondances de Langlands et Jacquet-Langlands, et de l’involution de Zelevinski.

Pour ce faire, il est commode de considérer le ℚ̄_{ℓ} espace vectoriel

R′_{π} := Hom_{D^{×}}(LJ_{d}(π), R_{π}) = H^{∗} (RHom_{GD} (RΓ_{c}(M, ℚ̄_{ℓ}), π ⊗ LJ_{d}(π)^{∨})) .

Voir [7, Lemme 4.4.1] pour la deuxième égalité. Ici, LJ_{d}(π) désigne la représentation irréductible de D^{×} déduite de π par la correspondance de “Langlands-Jacquet”, c.f. [7, 2.1.5]. Par fonctorialité, R′_{π} hérite d’une action continue γ_{π} : W_{K} ⟶ GL(R′_{π}) et d’un opérateur de Lefschetz L′_{π} : R′_{π} ⟶ R′_{π}(1), et l’évaluation fournit un morphisme D^{×}×W_{K}- équivariant et compatible aux opérateurs L

LJ_{d}(π) ⊗ℚ̄_{ℓ} (R′_{π}, γ_{π}, L′_{π}) ⟶ (R_{π}, δ_{π}, L_{π}). (1.2.0.1)

Fait.– Le morphisme (1.2.0.1) est un isomorphisme.

Bien-sûr, cette assertion est contenue dans le Théorème A de [7], mais en fait elle découle simplement de la description de la cohomologie H_{c}^{∗}(M_{LT} , ℚ̄_{ℓ}) par Boyer et du fait que deux représentations irréductibles de G n’ont pas d’extensions de Yoneda si elles n’ont pas le même support cuspidal.

(1.2.1) Opérateur N et correspondance de Langlands. Dans [7] nous avons utilisé les travaux de Boyer [5] complétant ceux de Harris-Taylor [12] pour décrire explicitement le complexe RΓ_{c}(M, ℚ̄_{ℓ}) dans la catégorie Db ; ℚ̄_{ℓ}(GD) ainsi que l’action naturelle de W_{K}, donnée par un morphisme

γ : W_{K} ⟶ Aut_{D^{b}(GD)}(RΓ_{c}(M, ℚ̄_{ℓ})).

Pour comprendre cette action, nous avons défini en [7, 4.3.2] un opérateur nilpotent

N : RΓ_{c}(M, ℚ̄_{ℓ}) ⟶ RΓ_{c}(M, ℚ̄_{ℓ})(−1)

tel que, si l’on choisit un relèvement de Frobenius géométrique φ dans W_{K}, l’application

γ^{φ} : W_{K} → End_{D^{b}(GD)} (RΓ_{c}(M, ℚ̄_{ℓ}))^{×}
w ↦ γ(w)exp(−Nt_{ℓ}(i_{φ}(w))) où w = φ^{ν(w)}i_{φ}(w)

définit une action localement constante de W_{K} sur RΓ_{c}(M, ℚ̄_{ℓ}). Ici t_{ℓ} : I_{K} ⟶ ℤ_{ℓ}(1) est donné par l’action de I_{K} sur les racines ℓ^{n}-èmes d’une uniformisante, et ν : W_{K} ⟶ ℤ envoie les Frobenius géométriques sur 1.

Par fonctorialité, on en déduit un couple (γ_{π}^{φ}, N′_{π}) formé d’une action localement constante γ_{π}^{φ} de W_{K} sur R′_{π} et d’un opérateur nilpotent N′_{π} : R′_{π} ⟶ R′_{π}(−1), à partir desquels on retrouve l’action γ_{π} en inversant la formule ci-dessus. Le théorème A de [7] dit alors en substance :

Fait.– Le triplet (R′_{π}, γ_{π}^{φ}, N′_{π}) est isomorphe à la représentation de Weil-Deligne associée à π par la correspondance de Langlands locale, convenablement normalisée.

Deux mots sur la normalisation mentionnée : la correspondance de Langlands usuelle (pour les représentations complexes) π ↦ σ_{d}(π) = (σ_{d}^{ss}(π), N_{d}(π)) ne devient invariante par automorphismes de ℂ qu’après torsion par le caractère w ∈ W_{K} ↦ |w|^{(d−1)/2}, cf [7, Fait 2.2.3] par exemple. Ainsi pour la transférer sans ambiguïté à ℚ̄_{ℓ}, il faut la normaliser en posant σ′_{d}(π) := σ_{d}(π)(\frac{d−1}{2}). Notons que l’énoncé ci-dessus contient le fait que la représentation γ_{π}^{φ} est semi-simple, et que l’espace R_{π} est non nul si et seulement si π est elliptique au sens de [7, 2.1.6]. Bien-sûr, le cas où π est supercuspidale est dû à Harris-Taylor. Dans ce cas, π est un objet injectif parmi les représentations lisses à caractère central fixé de G, et il n’y a pas lieu d’utiliser le langage des catégories dérivées.

Afin de préparer notre énoncé sur l’opérateur de Lefschetz, il est utile de reformuler l’énoncé ci-dessus en termes de L-paramètres. Suivant Deligne, on peut considérer la représentation de Weil-Deligne (γ_{π}^{φ}, N′_{π}) comme une représentation localement algébrique du groupe W_{K} ⋉_{−} 𝔾_{a} (où w agit sur 𝔾_{a} par multiplication par q^{−ν(w)}) sur R′_{π}, et on sait la prolonger de manière unique en un L-paramètre

γ_{π}^{φ,N} : W_{K} × SL_{2} ⟶ GL(R′_{π})

grâce à Jacobson-Morozov. Ici le plongement W_{K} ⋉_{−} 𝔾_{a} ↪ W_{K} × SL_{2} envoie 𝔾_{a} sur

l’unipotent supérieur de SL_{2} et w ∈ W_{K} sur (w, ( \begin{matrix}q^{−ν(w)/2} & 0 \\ 0 & q^{ν(w)/2} \end{matrix} )). On peut alors

reformuler l’énoncé précédent en :

Fait.– La représentation γ_{π}^{φ,N} est le L-paramètre de π (convenablement normalisé).

(1.2.2) Opérateur L et correspondance de Zelevinski. Partant de la description concrète de RΓ_{c}(M, ℚ̄_{ℓ}), nous calculons explicitement l’opérateur L dans la section 3. Le point crucial consiste à utiliser la propriété d’uniformisation des revêtements de Drinfeld pour estimer l’ordre de nilpotence de L grâce au théorème de Lefschetz difficile en géométrie algébrique.

Le couple (γ_{π}^{φ}, L′_{π}) n’est pas à proprement parler une représentation de Weil-Deligne puisque L′_{π} accroît les poids. Néanmoins, il définit une représentation algébrique du groupe W_{K} ⋉_{+} 𝔾_{a}, où cette fois w ∈ W_{K} agit sur 𝔾_{a} par multiplication par q^{ν(w)}. À son tour, cette représentation se prolonge de manière unique en un L-paramètre

γ_{π}^{φ,L} : W_{K} × SL_{2} ⟶ GL(R′_{π}),

pour le plongement W_{K} ⋉_{+} 𝔾_{a} ↪ W_{K} × SL(2) qui sur W_{K} est défini comme ci-dessus mais qui envoie 𝔾_{a} sur l’unipotent inférieur. Notre calcul de L′_{π} s’interprète alors comme suit.

Théorème.– La représentation γ_{π}^{φ,L} est le L-paramètre (convenablement normalisé) de la représentation Z(π) image de π par l’involution de Zelevinski.

Pour faire bref, nous appellerons correspondance de Zelevinski la composition de la correspondance de Langlands avec l’involution de Zelevinski.

On peut aussi utiliser L pour réaliser la correspondance de Langlands directement. Pour cela, introduisons

T′_{π} := H^{∗} (RHom_{GD}((π^{∨} ⊗ LJ_{d}(π)), RΓ_{c}(M, ℚ̄_{ℓ})) (d − 1)

qui est aussi muni d’une action θ_{π} de W_{K} et d’un opérateur induit par L. Comme ci-dessus on en déduit deux L-paramètres θ_{π}^{φ,N} et θ_{π}^{φ,L} .

Corollaire.– La représentation θ_{π}^{φ,L} est le L-paramètre de π, et θ_{π}^{φ,N} est celui de Z(π).

On peut bien-sûr obtenir ce corollaire par un calcul explicite comme le théorème précédent, mais il est conceptuellement plus intéressant de remarquer qu’il découle du théorème via de jolies propriétés de dualité cohomologique. Plus précisément, soit 𝔻 l’antiinvolution de Db ; ℚ̄_{ℓ}(GD) induite par le foncteur V ↦ Hom_{GD}(V, C_{c}^{∞}(GD)). Alors d’une part on déduit de [14, III.3 et IV.5] qu’il existe un entier n_{π} tel que 𝔻(π^{∨} ⊗ LJ_{d}(π)) = Z(π) ⊗ LJ_{d}(π)^{∨}[n_{π}]. D’autre part, d’après [10], on a 𝔻(RΓ_{c}(M, \overline{ℚ}_{l})) = RΓ_{c}(M, \overline{ℚ}_{l})[2d − 2](d − 1). Il s’ensuit donc un isomorphisme T′_{π} ≃ R′_{Z(π)} compatible à l’action de W_{K} et à l’opérateur de Lefschetz.

(1.2.3) Paramètres d’Arthur non unitaires. Une question naturelle est de savoir si la représentation de W_{F} ⋉ (𝔾_{a} × 𝔾_{a}) définie par le triplet (γ_{π}^{φ}, N′_{π}, L′_{π}) se prolonge en un A-paramètre

γ_{π}^{φ,N,L} : W_{K} × SL(2) × SL(2) ⟶ GL(R′_{π}).

Proposition.– Le triplet ci-dessus se prolonge en un A-paramètre γ_{π}^{φ,N,L} si et seulement si π est unitarisable, i.e. est une représentation de Steinberg généralisée ou une représentation de Speh. Dans ce cas γ_{π}^{φ,N,L} est le paramètre d’Arthur de π.

Lorsque π est unitaire, cette proposition illustre le principe général selon lequel “l’involution de Zelevinski échange les deux SL(2) d’Arthur, celui de la monodromie et celui du Lefschetz”. Dans ce cas précis des variétés de Shimura uniformisées par les revêtements de Drinfeld, cela avait été observé par Harris et lui avait fait deviner la forme de la cohomologie de ces revêtements.

Lorsque π n’est pas unitaire, ce qui empêche le triplet (γ_{π}^{φ}, N′_{π}, L′_{π}) de s’étendre en un A-paramètre est que le transposé^{t}L′_{π} ne commute pas à N′_{π}. C’est là une différence notable avec ce qui se passe pour la cohomologie d’une variété algébrique propre et lisse, pour laquelle une conjecture standard de Grothendieck prévoit que ce transposé est d’origine géométrique. On a envie de penser aux triplets (γ_{π}^{φ}, N′_{π}, L′_{π}) comme à des paramètres d’Arthur “non unitaires”. Le théorème montre qu’ils possèdent la même propriété de symétrie vis-à-vis de l’involution de Zelevinski que les vrais paramètres d’Arthur. L’auteur ignore si de tels triplets pourraient être utiles à la description de la cohomologie des espaces de Rapoport Zink, comme ceux d’Arthur le sont pour la cohomologie d’intersection des variétés de Shimura.

1.3 Coefficients ℓ-modulaires : une conjecture

On suppose maintenant que Λ est un corps de caractéristique ℓ, et pour simplifier on supposera Λ = 𝔽̄_{ℓ}. Dans cette situation, l’auteur ne voit aucun moyen de définir un opérateur N sur le complexe comme ci-dessus. En d’autres termes, l’énoncé de (1.2.1) n’a très probablement pas d’analogue sur 𝔽̄_{ℓ}. Par contre, l’opérateur L existe bel et bien, et l’auteur conjecture qu’il fournira une interprétation géométrique à la correspondance de Langlands-Vignéras – c’est même là notre principale motivation pour avoir introduit l’opérateur de Lefschetz. Commençons par quelques rappels sur cette correspondance.

(1.3.1) La correspondance de Langlands mod ℓ. Dans [17], M.-F. Vignéras définit une bijection

{𝔽̄_{ℓ}-repr. lisses irréd. de G}_{/∼} ⟷^{∼} {𝔽̄_{ℓ}-repr. de Weil-Deligne de dim. d}_{/∼}
π ↦ σ_{d}(π) = (σ_{d}^{ss}(π), N_{d}(π)).

Ici, comme dans le cas complexe, une représentation de Weil-Deligne est un couple (σ^{ss}, N) formé d’une représentation semi-simple σ^{ss} de W_{F} et d’un morphisme nilpotent N : σ^{ss} ⟶ σ^{ss}(−1).

La partie semi-simple de cette correspondance est caractérisée par de jolies propriétés de compatibilité avec la partie semi-simple de la correspondance classique sur ℚ̄_{ℓ} via la réduction modulo ℓ, cf. [17, 1.6]. La recette pour définir la partie “nilpotente” est esquissée en [17, 1.8] et repose sur une classification “à la Zelevinski” des représentations de G décrite dans [16]. Elle n’est caractérisée par aucune propriété de fonctions L ou facteurs ε et n’est pas compatible à la réduction modulo ℓ. Cependant, cette recette fait intervenir une involution de Zelevinski pour les 𝔽̄_{ℓ}-représentations de G, définie dans [15], et il apparaît que la correspondance de Zelevinski modulo ℓ est un peu plus naturelle que celle “de Langlands”. Elle est même compatible avec la réduction modulo ℓ, quoiqu’en un sens un peu compliqué lié à la théorie des dérivées de Gelfand, cf [17, 1.8].

Ainsi, en l’état actuel, la correspondance modulo ℓ complète (de Langlands ou de Zelevinski) résulte d’un travail de classification, et n’a pas de justification arithmétique claire. C’est ce qui nous a motivé pour en chercher une justification géométrique, similaire à celle obtenue dans [7] dans le cas ℓ-adique. Cependant l’opérateur N sur RΓ_{c}(M, ℚ̄_{ℓ}) est défini de manière arithmétique en examinant la restriction de l’action de W_{K} à un sous-groupe ouvert arbitrairement petit. Ceci ne s’adapte pas aux coefficients modulo ℓ puisqu’un sousgroupe suffisamment petit agira trivialement. Il faudrait donc une définition géométrique du N. Une telle définition serait possible si l’on disposait de modèles semi-stables des M_{Dr,n} ou M_{LT,n}. Cependant, de tels modèles ne sont pas près d’être disponibles. Pire, dans les cas où l’on en dispose (n = 1, cf [19]), les calculs que nous avons pu effectuer ne donnent pas le N de la correspondance de Langlands, ce qui n’est pas si étonnant, puisque celle-ci n’est pas compatible à la réduction modulo ℓ.

(1.3.2) L’homomorphisme LJ_{d,𝔽̄_{ℓ}}. Si l’on veut un énoncé analogue à celui du théorème (1.2.2), il faut comprendre ce qu’il advient de l’action de D^{×}. Pour cela, nous avons défini un transfert de Langlands-Jacquet pour les 𝔽̄_{ℓ}-représentations dans [8].

Soit R(D^{×}, Λ) le groupe de Grothendieck des représentations lisses de longueur finie de D^{×} à coefficients dans l’anneau Λ. On dispose d’une application de décomposition r_{ℓ} : R(D^{×}, ℚ̄_{ℓ}) ⟶ R(D^{×}, 𝔽̄_{ℓ}). Rappelons brièvement que pour définir r_{ℓ}(ρ), on choisit un sous-\overline{ℤ}_{ℓ}[D^{×}]-module ω de type fini de ρ qui engendre ρ après inversion de ℓ, puis on montre que la semi-simplifiée de la réduction modulo l’idéal maximal de ℤ̄_{ℓ} de ω ne dépend pas du choix de ω. Notons que r_{ℓ}(ρ) = 0 si le caractère central de ρ n’est pas entier. Par le même procédé, on peut définir une application r_{ℓ} : R(G, ℚ̄_{ℓ}) ⟶ R(G, 𝔽̄_{ℓ}), cf [18, II.5.11b].

Fait. ([8, Thm (2.4.2)])– Il existe un unique homomorphisme LJ_{d,𝔽̄_{ℓ}} : R(G, 𝔽̄_{ℓ}) ⟶ R(D^{×}, 𝔽̄_{ℓ}) compatible avec l’homorphisme LJ_{d} : R(G, ℚ̄_{ℓ}) ⟶ R(D^{×}, ℚ̄_{ℓ}) de [7, 2.1.5] via les applications de réduction r_{ℓ}.

Dans [8], il est conjecturé, et prouvé dans quelques cas, que l’application LJ_{d,𝔽̄_{ℓ}} envoie les irréductibles sur des représentations effectives au signe près.

(1.3.3) Spéculations. Soit π une 𝔽̄_{ℓ}-représentation irréductible de G. Considérons comme plus haut l’espace vectoriel gradué R_{π}^{∗} = H^{∗} (RHom_{G} (RΓ_{c}(M, 𝔽̄_{ℓ}), π)) muni de l’action δ_{π}^{∗} de D^{×} × W_{K} et de l’opérateur L_{π}^{∗} : R_{π}^{∗} ⟶ R_{π}^{∗}[2](1).

Par analogie avec le cas ℓ-adique, l’énoncé le plus optimiste que l’on peut attendre est le suivant, qui était conjecturé dans la version initialement soumise de cet article.

Énoncé optimiste.– i) R_{π}^{∗} est concentré en degrés tous pairs ou tous impairs.

ii) LJ_{d,𝔽̄_{ℓ}}(π) est effective au signe près. On note alors |LJ_{d,𝔽̄_{ℓ}}(π)| sa “valeur absolue”.

iii) (δ_{π}^{ss},^{t}L_{π}) ≃ |LJ_{d,𝔽̄_{ℓ}}(π)| ⊗ (σ_{d}(π), N_{d}^{Z}(π)) (\frac{d−1}{2}) où N_{d}^{Z}(π) est l’opérateur nilpotent associé à π par la correspondance de Vignéras-Zelevinski.

Dans le dernier point, δ_{π}^{ss} désigne la semi-simplifiée de la représentation δ_{π} sur R_{π}, et tL_{π} : δ_{π}^{ss} ⟶ δ_{π}^{ss}(−1) désigne le “transposé” de L_{π}, que l’on peut définir par exemple à l’aide de la filtration de Deligne (les détails de cette construction seront donnés ailleurs).

Depuis la version initialement soumise de cet article, l’auteur a étudié plus précisément cet énoncé. Dans [9], il est prouvé lorsque π est cuspidale ; dans ce cas, R_{π}^{∗} est concentré en degré 1 − d. Dans un travail en cours, nous le prouvons lorsque q est d’ordre d dans 𝔽_{ℓ}^{×} et π est unipotente. C’est le premier cas où la théorie des représentations est vraiment différente du cas ℓ-adique. L’auteur sait aussi le prouver pour π quelconque lorsque n = 2.

Néanmoins, l’énoncé est pris en défaut lorsque q ≡ 1[ℓ] et ℓ > n. Plus précisément, le point ii) est vrai, cf [8, Coro 3.2.5], mais le point i) est faux, cf [9, (2.2.7)]. Pour contourner cette difficulté, on peut définir un élément [δ_{π}^{∗},^{t}L_{π}^{∗}] dans le groupe de Grothendieck des représentations de Weil-Deligne en prenant en compte la partie paire et la partie impaire de R_{π}^{∗}. L’énoncé espéré prend alors la forme d’une égalité.

Conjecture.– On a dans le groupe de Grothendieck des représentations de Weil-Deligne l’égalité

[δ_{π}^{∗},^{t}L_{π}^{∗}] = LJ_{d,𝔽̄_{ℓ}}(π) ⊗ [σ_{d}(π), N_{d}^{Z}(π)](\frac{d − 1}{2}).

Notons que dans [9, Thm 2], une telle égalité est prouvée sans le L, mais en toute généralité.

Remerciements : Je remercie Laurent Fargues pour son aide dans la preuve du théorème (2.2.5), et Pierre Deligne pour sa suggestion d’étudier aussi les classes de Chern canoniques sur les tours.

2 Définition de l’opérateur de Lefschetz

2.1 Classes de Chern équivariantes-lisses

(2.1.1) Soit X un espace analytique sur K muni d’une action continue d’un groupe topologique G. Berkovich a défini la notion de faisceau G-équivariant “discret” sur X que nous avons exposée dans [6, B.1]. Ces faisceaux forment un topos X̃_{et}(G).

Soit L un faisceau inversible sur X. Nous dirons qu’une G-linéarisation (i.e. une structure G-équivariante) sur L est “continue” si l’action de G sur le fibré en droites |L| associé à L est continue. Dans cette situation, nous allons associer à L sa classe de Chern

c_{ΛG}(L) ∈ Ext_{G}^{2}(Λ_{X}, Λ_{X}(1))

dans la catégorie Mod_{Λ}(X̃_{et}(G)) des Λ-modules dans X̃_{et}(G), où Λ désigne une ℤ_{ℓ}-algèbre locale de torsion et Λ_{X} le faisceau “constant” de germes Λ.

(2.1.2) Problème avec la définition classique. Si l’on oublie l’action de G, la construction classique de [2, Exposé VII] s’adapte sans problème aux espaces analytiques. Supposons en effet que Λ := ℤ/ℓ^{n}ℤ.

Alors la classe de Chern

c_{Λ}(L) ∈ H^{2}(X, Λ(1)) = Ext^{2}(Λ_{X}, Λ_{X}(1)) (2.1.2.1)

est définie comme l’image de la classe de L dans H^{1}(X, 𝔾_{m}) par le morphisme bord associé

à la suite exacte de Kummer 0 ↦ Λ_{X}(1) ⟶ 𝔾_{m} ⟶^{(.)^{l^{n}}} 𝔾_{m} ⟶ 0 de faisceaux étales sur X. Cette construction fonctionne encore si on rajoute l’action de G mais en oubliant sa topologie. En effet, notons G^{disc} le groupe G muni de la topologie discrète. Alors le faisceau 𝔾_{m} est naturellement G^{disc}-équivariant et la classe de L définit une extension G^{disc}-équivariante de 𝔾_{m} par ℤ. On en déduit donc une classe de Chern G^{disc}-équivariante

(2.1.2.2) c_{ΛG^{disc}}(L) ∈ Ext_{G^{disc}}^{2}(Λ_{X}, Λ_{X}(1)).

Le problème pour passer de G^{disc} à G vient de ce que le faisceau 𝔾_{m} n’est pas un objet de X̃_{et}(G). On pourrait peut-être élargir le topos X̃_{et}(G) en considérant des faisceaux continus d’espaces topologiques, mais nous préférons suivre une voix plus économique.

(2.1.3) Notons q : |L| ⟶ X la projection naturelle, et i : X ⟶ |L| la section zéro. Par hypothèse, ce sont des morphismes équivariants d’espaces analytiques munis d’une action continue de G. Rappelons [6, B.1.5] que les foncteurs “image directe à supports propres” induisent des foncteurs

q_{!}^{∞} : ˜|L|_{et}(G) ⟶ X̃_{et}(G) et i_{!}^{∞} = i_{∗}^{∞} : X̃_{et}(G) ⟶ ˜|L|_{et}(G)

puis, en dérivant,

Rq_{!}^{∞} : D_{Λ}^{b}( ˜|L|_{et}(G)) ⟶ D_{Λ}^{b}(X̃_{et}(G)) et i_{!}^{∞} = i_{∗}^{∞} : D_{Λ}^{b}(X̃_{et}(G)) ⟶ D_{Λ}^{b}( ˜|L|_{et}(G)).

Appliquant Rq_{!}^{∞} au morphisme d’adjonction Λ_{|L|} ⟶ i_{∗}^{∞}(Λ_{X}), on en déduit une flèche

Rq_{!}^{∞}(Λ_{|L|}) ⟶ Λ_{X} (2.1.3.1) dans D_{Λ}^{b}(X̃_{et}(G)). Par ailleurs, la compatibilité cohomologique [6, B.1.7] entre q_{!}^{∞} et q_{!} montre que Rq_{!}^{∞}(Λ_{|L|}) est concentré en degré 2, puisque q est un fibré vectoriel de rang 1. Comme le morphisme trace relatif R^{2}q_{!}(Λ_{|L|}) ⟶^{∼} Λ_{X}(−1) de [4, Thm 7.2.1] est évidemment G-équivariant, il induit un isomorphisme

Rq_{!}^{∞}(Λ_{|L|}) ⟶^{∼} Λ_{X}[−2](−1) (2.1.3.2)

dans D_{Λ}^{b}(X̃_{et}(G)).

(2.1.4) Définition.– Dans la situation de (2.1.1) et avec les notations ci-dessus, on définit la classe de Chern c_{ΛG}(L) comme la composée

Λ_{X} ⟶^{∼} Rq_{!}^{∞}(Λ_{|L|})[2](1) ⟶ Λ_{X}[2](1)

de l’inverse de l’isomorphisme (2.1.3.2) et du morphisme (2.1.3.1) décalés de 2 et tordus par Λ(1).

(2.1.5) Proposition.– Soit c′_{Λ}(L) l’image de c_{ΛG}(L) par le morphisme d’oubli de la structure G-équivariante Ext_{G}^{2}(Λ_{X}, Λ_{X}(1)) ⟶ Ext^{2}(Λ_{X}, Λ_{X}(1)), et soit c_{Λ}(L) la classe de Chern “classique” de (2.1.2.1). Alors on a l’égalité c_{Λ}(L) = c′_{Λ}(L).

Preuve : La suite de morphismes d’adjonctions i_{∗}i^{!}(Λ_{|L|}) ⟶ Λ_{|L|} ⟶ i_{∗}i^{∗}(Λ_{|L|}) à laquelle on applique Rq_{!} s’insère dans un diagramme

\xymatrix{i^{!}(Λ_{|L|}) \ar[r]^{a} & Rq_{!}(Λ_{|L|}) \ar[r] \ar[d]^{_{Tr_{q}}} & Λ_{X} \\ Λ_{X}[−2](−1) \ar[u]^{_{Cl_{i}}} & Λ_{X}[−2](−1)} .

Ici Tr_{q} est le morphisme trace, qui est un isomorphisme comme on l’a déjà vu, et Cl_{i} est l’isomorphisme de pureté cohomologique relative de [4, Thm 7.4.5] appliqué à la X-paire lisse (X, |L|). Comme q est relativement algébrisable, il résulte des compatibilités GAGA que les deux propriétés suivantes dans le cas des schémas, c.f. [1, Exp VI, 2.1], restent vraies dans le contexte des espaces analytiques :

i) L’isomorphisme Cl_{i} est l’image par i^{∗} de la classe de Chern c_{Λ}(O_{|L|}(X)) vue comme morphisme Λ_{|L|}[−2](−1) ⟶ i_{∗}i^{!}(Λ_{|L|}) dans D^{b}(|L|, Λ). (En effet cette classe de Chern est par définition à support dans X, i.e. vit naturellement dans H_{X}^{2}(|L|, Λ(1)) = Ext^{2}(Λ_{|L|}, i_{∗}i^{!}Λ_{|L|}(1))).

ii) La composée Tr_{q} ∘ a ∘ Cl_{i} est l’identité. C’est la “compatibilité fondamentale” de [1,

Exp. VI, 2.1.5]. On en déduit l’égalité suivante dans Ext^{2}(Λ_{X}, Λ_{X}(1)) :

c′_{Λ}(L) = i^{∗}c_{Λ}(O_{|L|}(X)).

Maintenant considérons l’espace total |q^{∗}L| = |L| ×_{X} |L| du fibré inversible q^{∗}L sur |L|. La diagonale |L| ⟶ |L| ×_{X} |L| définit une section de q^{∗}L qui s’annule sur X et induit donc un morphisme O_{|L|}(X) ⟶ q^{∗}L, lequel est tautologiquement un isomorphisme. Par compatibilité des classes de Chern au changement de base on a donc c_{Λ}(O_{L}(X)) = q^{∗}c_{Λ}(L) et par suite c′_{Λ}(L) = c_{Λ}(L). □

(2.1.6) Changement de base. Soit (f, φ) : (X, G) ⟶ (X′, G′) un morphisme de paires comme dans (2.1.1), et soit L′ un faisceau inversible G′-equivariant continu sur X′. L’image inverse L := f^{∗}(φ^{∗}L′) du faisceau G-équivariant φ^{∗}L′ sur X′ déduit de L′ via φ est naturellement un faisceau G-equivariant continu sur X. Le théorème de changement de base pour q_{!} et i_{∗} [4, Thm 7.7.1] et la compatibilité du morphisme trace au changement de base [4, Thm 7.2.1 a)] montrent que la définition (2.1.4) est compatible au changement de base en le sens suivant : c_{ΛG}(L) = f^{∗}(φ^{∗}c_{ΛG′}(L′)). (2.1.6.1)

Ici φ^{∗} désigne le foncteur X̃′_{et}(G′) ⟶ X̃′_{et}(G) de restriction le long de φ.

Si l’on suppose de plus que f est étale, alors Rf_{!} = f_{!} est adjoint à gauche de f^{∗} et il s’ensuit que le diagramme suivant est commutatif dans D_{Λ}^{b}(X̃′_{et}(G)) :

\xymatrix{Rf_{!}Λ_{X} \ar[r]^{c_{ΛG}(L)} \ar[d] & Rf_{!}Λ_{X}[2](1) \ar[d] \\ Λ_{X′} \ar[r]_{φ^{∗}c_{ΛG′}(L′)} & Λ_{X′}[2](1)} .

Appliquant le foncteur RΓ_{c}^{∞}(X′, −) on en déduit un diagramme commutatif dans D_{Λ}^{b}(G)

(2.1.6.2) \xymatrix{RΓ_{c}^{∞}(X, Λ) \ar[r]^{c_{ΛG}(L)} \ar[d] & RΓ_{c}^{∞}(X, Λ)[2](1) \ar[d] \\ φ^{∗}RΓ_{c}^{∞}(X′, Λ) \ar[r]_{φ^{∗}c_{ΛG′}(L′)} & φ^{∗}RΓ_{c}^{∞}(X′, Λ)[2](1)} .

(2.1.7) Passage au quotient. Plaçons-nous encore dans la situation de (2.1.1) et supposons donné un sous-groupe discret Γ de G dont l’action sur X est libre et propre. On peut alors former l’espace analytique quotient X/Γ, et la projection p : X ⟶ X/Γ est un revêtement analytique Galoisien de groupe Γ. En particulier, le morphisme d’image inverse p^{∗} induit une équivalence de topoi { \atop (X/Γ)_{et}} ⟶^{∼} X̃_{et}(Γ). Par ailleurs, l’action de Γ sur |L| est aussi propre et libre, et le quotient |L|/Γ est un fibré en droites sur X/Γ dont on note le faisceau inversible associé L_{Γ}. On a un isomorphisme canonique L ⟶^{∼} p^{∗}L_{Γ}. Notons ι l’inclusion de Γ dans G. D’après le paragraphe précédent, on a alors les égalités suivantes dans Ext_{Γ}^{2}(Λ_{X}, Λ_{X}(1)) :

c_{ΛΓ}(L) = ι^{∗}c_{ΛG}(L) = p^{∗}c_{Λ}(L_{Γ}). (2.1.7.1)

Par ailleurs, faisant X′ = X/Γ et G′ = {1} dans le diagramme (2.1.6.2), on obtient par adjonction de φ^{∗} et du foncteur des coinvariants sous Γ un diagramme commutatif

(2.1.7.2) \xymatrix{Λ ⊗_{Λ[Γ]}^{L} RΓ_{c}(X, Λ) \ar[r]^{c_{ΛΓ}(L)} \ar[d] & Λ ⊗_{Λ[Γ]}^{L} RΓ_{c}(X, Λ)[2](1) \ar[d] \\ RΓ_{c}(X/Γ, Λ) \ar[r]_{c_{Λ}(L_{Γ})} & RΓ_{c}(X/Γ, Λ)[2](1)} .

Rappelons que dans cette situation, les flèches verticales sont des isomorphismes, d’après [6, B.3.1].

(2.1.8) Supposons maintenant que Λ est une extension finie et plate de ℤ_{ℓ}. On lui associe un pro-anneau Λ_{•} = (Λ/ℓ^{n})_{n∈ℕ}. Un Λ_{•}-module dans un topos T est un système projectif (F_{n})_{n∈ℕ} de Λ-modules tels que ℓ^{n}F_{n} = 0. La définition (2.1.4) s’adapte immédiatement aux Λ_{•}-modules et fournit donc une classe de Chern

c_{Λ_{•}G}(L) ∈ Hom_{D_{Λ•}^{b}(X̃_{et}(G))}(Λ_{•,X}, Λ_{•,X}[2](1)).

Les propriétés des paragraphes (2.1.6) et (2.1.7) s’appliquent encore.

2.2 Opérateurs de Lefschetz sur les tours

(2.2.1) Rappels et correction de la définition de RΓ_{c}(M, Λ). Nous utilisons librement les notations des paragraphes 3.1, 3.2 et 3.3 de [7] et en profitons pour corriger une erreur dans le paragraphe 3.3. Pour traiter simultanément les deux tours, on note P l’espace des périodes, qui est muni de l’action continue du groupe J triviale sur le centre K^{×}. Dans le cas Lubin-Tate, P est la variété de Severi-Brauer d’invariant 1/d et J = D^{×}. Dans le cas Drinfeld, P est l’espace symétrique de Drinfeld Ω_{K}^{d−1} et J = GL_{d}(K). Dans chacun des cas nous avons presque défini en [7, 3.3.1] un foncteur “sections à supports compacts sur la tour”

Γ_{c}(M^{ca}, −) : P̃_{et}(J/K^{×}) ⟶ ({ \atop GD × W_{K}}) (2.2.1.1)

où le terme de droite désigne le topos des GD × W_{K}-ensembles qui sont discrets pour l’action de GD × W_{K}. En fait la source considérée dans loc. cit. est le topos J-équivariant P̃_{et}(J). Mais celui-ci donne plutôt naissance à un foncteur (voir aussi [11, IV.13])

Γ_{c}^{×}(M^{ca}, −) : P̃_{et}(J) ⟶ ({ \atop G × D^{×} × W_{K}}) (2.2.1.2)

qui forme avec le précédent et les foncteurs d’inflation un carré commutatif évident. Une fois corrigée la construction du complexe en remplaçant topos J-équivariant par topos J/K^{×}-équivariant, le reste de l’article [7] ne nécessite pas de changement supplémentaire. En particulier le théorème de comparaison IV.13.1 de [11] entre les deux tours reste vrai avec les topos J/K^{×}-équivariants, et ce avec la même preuve que loc. cit. Cependant dans le présent article, nous allons constater que les classes de Chern les plus “naturelles” sont J-équivariantes et pas J/K^{×}-équivariantes et pour cela nous devrons surtout utiliser le foncteur (2.2.1.2), et même une modification (2.2.3.1) donnée plus loin.

Lorsque Λ est de torsion, le complexe RΓ_{c}(M^{ca}, Λ) de [7] est obtenu simplement en évaluant le foncteur dérivé

RΓ_{c}(M^{ca}, −) : D_{Λ}^{b}(P̃_{et}(J/K^{×})) ⟶ D_{Λ}^{b}(GD × W_{K})

en le faisceau Λ_{P}. Lorsque Λ est une extension finie plate de ℤ_{ℓ}, on note Λ_{•} le pro-anneau (Λ/l^{n})_{n∈ℕ}. On a alors défini RΓ_{c}(M^{ca}, Λ) comme l’évaluation en le Λ_{•}-module Λ_{•,P} de P̃_{et}(J/K^{×}) du foncteur dérivé

RΓ_{c,•}(M^{ca}, −) : D_{Λ_{•}}^{b}(P̃_{et}(J/K^{×})) ⟶ D_{Λ}^{b}(GD × W_{K}^{disc})

du foncteur

Γ_{c,•}(M^{ca},) := Γ_{c}(M^{ca}, −) ∘ lim_{⟵}^{P̃_{et}(J/K^{×})} : Mod_{Λ_{•}}(P̃_{et}(J/K^{×})) ⟶ Mod_{Λ}(GD × W_{K}^{disc})

de [7, p.108, l.7].

(2.2.2) Classes de Chern canoniques. Soit K le faisceau canonique de P, i.e. le déterminant de son fibré cotangent sur le corps de base K. Il est canoniquement J/K^{×}- équivariant, donc la classe de Chern c_{ΛJ}(K) de la définition (2.1.4), resp. c_{Λ_{•}J}(K) de (2.1.8), induit un morphisme dans D_{Λ}^{b}(GD × W_{K}^{disc})

K : RΓ_{c}(M^{ca}, Λ) ⟶ RΓ_{c}(M^{ca}, Λ)[2](1). (2.2.2.1)

Les classes de Chern K_{LT} et K_{Dr} ainsi obtenues ont deux inconvénients. D’une part, ce ne sont pas les “moins divisibles” possible, ce qui pourra être gênant lorsqu’on s’intéressera au cas Λ = 𝔽_{ℓ}. D’autre part, elles ne sont pas faciles à comparer à travers l’isomorphisme de Faltings et Fargues.

(2.2.3) Modification de la construction du complexe. Les classes de Chern que nous voulons maintenant définir ne seront pas GD-équivariantes mais seulement G × D^{×}- équivariantes. De plus, pour une raison technique qui apparaitra au paragraphe suivant, nous devons modifier un peu la définition du complexe en changeant simplement la source du foncteur Γ_{c}(M^{ca}, −). Pour cela fixons un progénérateur φ de Gal(K̂^{nr}|K) et considérons le topos P̃_{et}^{nr}(J × φ) des faisceaux étales J-équivariants continus sur P^{nr} := P ˆ⊗_{K} K̂^{nr}, munis d’une donnée de descente à la Weil (i.e. φ-équivariants). La même construction que dans [7, 3.3.1] fournit un foncteur

Γ_{c}^{×}(M^{ca}, −) : P̃_{et}^{nr}(J × φ) ⟶ ({ \atop G × D^{×} × W_{K}}) (2.2.3.1)

qui factorise le foncteur (2.2.1.2) à travers le foncteur d’extension des scalaires P̃_{et}(J) ⟶ P̃_{et}^{nr}(J × φ). Comme ce dernier foncteur est exact et envoie faisceaux mous sur faisceaux mous, on voit que l’objet RΓ_{c}^{×}(M, Λ) défini comme l’évaluation en Λ_{P^{nr}}, resp. Λ_{•,P^{nr}} du foncteur dérivé

RΓ_{c}^{×}(M^{ca}, −) : D_{Λ}^{b}(P̃_{et}^{nr}(J × φ)) ⟶ D_{Λ}^{b}(G × D^{×} × W_{K}),

resp. du foncteur dérivé

RΓ_{c,•}^{×}(M^{ca}, −) : D_{Λ_{•}}^{b}(P̃_{et}^{nr}(J × φ)) ⟶ D_{Λ}^{b}(G × D^{×} × W_{K}^{disc})

coïncide avec l’image par le foncteur d’inflation Mod_{Λ}(GD) ⟶ Mod_{Λ}(G × D^{×}) du complexe RΓ_{c}(M^{ca}, Λ) de [7] et du premier paragraphe.

Notation : nous noterons simplement RΓ_{c}(M^{ca}, Λ) le complexe RΓ_{c}^{×}(M^{ca}, Λ). Pour éviter toute confusion, nous préciserons toujours dans quelle catégorie dérivée on le considère.

(2.2.4) Classes de Chern tautologiques. Supposons donné un faisceau inversible L sur P^{nr}, muni d’une action continue de J et d’une donnée de descente à la Weil. La classe de Chern c_{ΛJ×φ}(L) de la définition (2.1.4), resp. c_{Λ_{•}J×φ} de (2.1.8), induit alors un morphisme

(2.2.4.1) RΓ_{c}(M^{ca}, Λ) ⟶ RΓ_{c}(M^{ca}, Λ)[2](1) dans D_{Λ}^{b}(G × D^{×} × W_{K}^{disc}).

Voici les faisceaux que nous considèrerons par la suite.

Dans le cas Lubin-Tate, on rappelle que P^{nr} = ℙ(𝕄) est l’espace projectif des droites quotients du module de Dieudonné rationnel 𝕄 := 𝔻_{O}(ℍ)_{ℚ} (ou du module de coordonnées si car(K) > 0) du O-module formel ℍ que l’on déforme, voir [7, 3.2.8]. Le module 𝕄 est un K̂^{nr}-espace vectoriel de dimension d muni d’un endomorphisme φ-linéaire inversible de pente 1/d. Celui-ci induit une donnée de descente effective sur ℙ(𝕄) et l’espace descendu est la variété de Severi-Brauer d’invariant 1/d. Il induit aussi une donnée de descente sur le fibré tautologique O_{ℙ(𝕄)}(1) mais cette dernière n’est pas effective. C’est la raison pour laquelle nous avons modifié la source du foncteur Γ_{c}(M^{ca}, −) dans le paragraphe précédent. Par ailleurs le commutant J = GL(𝕄)^{φ} s’identifie à D^{×} et agit continûment sur ℙ(𝕄) et O_{ℙ(𝕄)}(1). Remarquons que l’action sur ℙ(𝕄) se factorise par J/K^{×}, mais pas celle sur O_{ℙ(𝕄)}(1).

Du côté Drinfeld, on a un morphisme de périodes M_{Dr,0} ⟶ ℙ(ℕ_{0}) où ℕ_{0} est un certain facteur direct du module de Dieudonné ℕ = 𝔻_{O}(𝔾)_{ℚ} (ou du module de coordonnées) du O_{D}-module formel spécial 𝔾 que l’on “déforme”. Plus précisément, ℕ_{0} est un K̂^{nr}-espace vectoriel de dimension d, muni d’un endomorphisme φ-linéaire de pente 1. À nouveau celui-ci induit une donnée de descente effective sur ℙ(ℕ_{0}) qui permet d’identifier l’espace des périodes P^{nr} au lieu “faiblement admissible” Ω_{K}^{d−1,nr} complémentaire de la réunion des hyperplans K-rationnels dans ℙ(ℕ_{0}). Par contre la donnée de descente induite sur O_{ℙ(ℕ_{0})}(1) n’est pas effective. Par ailleurs le commutant J = GL(ℕ_{0})^{φ} s’identifie à G = GL_{d}(K) et agit continûment sur ℙ(ℕ_{0}) et O_{ℙ(ℕ_{0})}(1). Ici encore l’action sur O_{ℙ(ℕ_{0})}(1) n’est pas triviale sur le centre K^{×}.

Définition.– Avec les notations ci-dessus,

– l’opérateur de Lefschetz L_{LT} : RΓ_{c}(M_{LT}^{ca} , Λ) ⟶ RΓ_{c}(M_{LT}^{ca} , Λ)[2](1) est le morphisme (2.2.4.1) induit par la classe de Chern de L_{LT} := O_{ℙ(𝕄)}(1).

– l’opérateur de Lefschetz L_{Dr} : RΓ_{c}(M_{Dr}^{ca}, Λ) ⟶ RΓ_{c}(M_{Dr}^{ca}, Λ)[2](1) est le morphisme (2.2.4.1) induit par la classe de Chern de L_{Dr} := O_{ℙ(ℕ_{0})}(−1)_{|Ω_{K}^{d−1,nr}}.

Nous comparerons ces classes de Chern tautologiques à celles de (2.2.2.1) au paragraphe (2.2.6). En attendant, voici la motivation principale pour les préférer.

(2.2.5) Comparaison entre L_{LT} et L_{Dr}. Dans le théorème IV.13.1 de [11] est construite une équivalence de topos JL : { \atop P_{LT,et}}(D^{×}) ⟶^{∼} { \atop P_{Dr,et}}(G) qui entrelace les foncteurs “sections à supports compacts sur la tour”, au sens où Γ_{c}(M_{Dr}^{ca}, −) = Γ_{c}(M_{LT}^{ca} , −) ∘ JL. La preuve établit aussi une équivalence

(2.2.5.1) JL : { \atop P_{LT,et}^{nr}}(D^{×} × φ) ⟶^{∼} { \atop P_{Dr,et}^{nr}}(G × φ)

qui entrelace les foncteurs “sections à supports compacts sur la tour” du paragraphe (2.2.3). Cela induit formellement l’isomorphisme dans D_{Λ}^{b}(G × D^{×} × W_{K}^{disc})

RΓ_{c}(M_{LT}^{ca} , Λ) ⟶^{∼} RΓ_{c}(M_{Dr}^{ca}, Λ), (2.2.5.2)

déjà mentionné dans l’introduction. Il nous faut maintenant comparer les classes de Chern utilisées dans la définition (2.2.4).

Théorème.– Les opérateurs L_{LT} et L_{Dr} de la définition (2.2.4) se correspondent via l’isomorphisme (2.2.5.2).

Preuve : Nous devons rappeler quelques détails sur la construction de l’isomorphisme (2.2.5.1) dans [11]. Notons { \atop M_{LT,et}}(G × D^{×}), resp. { \atop M_{Dr,et}}(G × D^{×}), le topos des faisceaux étales cartésiens D^{×}-équivariants sur la tour de Lubin-Tate, resp. G-équivariants sur la tour de Drinfeld. On renvoie à [11, IV.11] pour la définition de ces objets et plus précisément à [11, Prop. IV.11.20] pour la vérification du fait que ces topoi s’identifient naturellement à { \atop P_{LT,et}^{nr}}(D^{×}), resp. { \atop P_{Dr,et}^{nr}}(G). L’isomorphisme (2.2.5.1) provient en fait d’un isomorphisme

{ \atop M_{LT,et}}(G × D^{×}) ⟶^{∼} { \atop M_{Dr,et}}(G × D^{×}) (2.2.5.3)

à la donnée de descente près, que nous négligeons ici pour simplifier l’exposition.

Maintenant, le faisceau inversible D^{×}-équivariant L_{LT} sur P_{LT}^{nr} donne naissance à une tour (|L|_{LT,n})_{n∈ℕ} au-dessus de la tour de Lubin-Tate, et on note { \atop |L|_{LT,et}}(G×D^{×}) le topos cartésien équivariant correspondant. Idem du côté Drinfeld. Vu la définition (2.1.4) de la classe de Chern, pour prouver la proposition il nous suffira de compléter le diagramme commutatif suivant

\xymatrix{{ \atop |L|_{LT,et}}(G × D^{×}) \ar@{.>}[r]^{∼} \ar[d]_{q_{LT}} & { \atop |L|_{Dr,et}}(G × D^{×}) \ar[d]^{q_{Dr}} \\ { \atop M_{LT,et}}(G × D^{×}) \ar[r]^{∼} & { \atop M_{Dr,et}}(G × D^{×})} (2.2.5.4)

où l’isomorphisme du bas est celui de (2.2.5.3). Pour des raisons techniques qui apparaitront plus bas, il est utile de reformuler le problème de la façon suivante. Pour un faisceau inversible L sur un espace analytique X notons P(L) := ℙ(L ⊕ O_{X}), un fibré projectif de rang 1, muni de la section “infini” i : X ⟶ P(L) donnée par la projection L ⊕ O_{X} ⟶ O_{X}. Le morphisme de topos ˜|L|_{et} ⟶^{q} X̃_{et} s’obtient par restriction du morphisme de topos { \atop P(L)_{et}} ⟶^{p} X̃_{et} au sous-topos ouvert de { \atop P(L)_{et}} formé des faisceaux dont la restriction le long de la section infini i est nulle. Appliquant ceci aux tours (P(L)_{LT,n})_{n∈ℕ} et (P(L)_{Dr,n})_{n∈ℕ} associées respectivement à L_{LT} et L_{Dr}, on voit qu’il suffira de compléter le diagramme commutatif suivant

\xymatrix{{ \atop P(L)_{LT,et}}(G × D^{×}) \ar@{.>}[r]^{∼} \ar[d]^{p_{LT}} & { \atop P(L)_{Dr,et}}(G × D^{×}) \ar[d]^{p_{Dr}} \\ { \atop M_{LT,et}}(G × D^{×}) \ar[u]^{i_{LT}} \ar[r]^{∼} & { \atop M_{Dr,et}}(G × D^{×}) \ar[u]^{i_{Dr}}} (2.2.5.5)

Pour cela, il faut rappeler quelques aspects de la construction de l’isomorphisme (2.2.5.3).

Dans le chapitre I et la section III.1 de [11], Fargues construit deux schémas formels ϖ-adiques sans ϖ-torsion M̂_{LT,∞} et M̂_{Dr,∞} sur Spf(Ô^{nr}), notés respectivement 𝔛_{∞} et Y_{∞} dans loc. cit., et munis d’une action de G × D^{×}. Ces schémas formels n’ont pas les conditions de finitude requises dans la théorie de Raynaud, mais Fargues leur associe tout de même un topos “E-rig-étale” et montre dans les théorèmes IV.12.3 et IV.13.1 que le topos { \atop M_{LT,et}}(G × D^{×}) s’identifie à celui des faisceaux “E-rig-étales surconvergents” G × D^{×}-équivariants sur M̂_{LT,∞} et de même du côté Dr.

Un point technique. Comme il est expliqué dans la remarque IV.6.4 de [11], un morphisme 𝔜 ⟶^{f} 𝔛 de schémas formels ϖ-adiques sans ϖ-torsion n’induit pas toujours un morphisme { \atop 𝔜_{E−rig−et}} \underrightarrow{f̃} { \atop 𝔛_{E−rig−et}} des topos E-rig-étales associés. Cependant, il découle du théorème de changement de base propre et du théorème de décomplétion [11, IV.6.7] que si 𝔛 peut s’écrire comme limite projective lim_{⟵}_{i∈ℕ}𝔛_{i} de schémas formels admissibles

quasicompacts à morphismes de transition affines, et si 𝔜 est de la forme lim_{⟵}_{i∈ℕ}(𝔜_{0}×_{𝔛_{0}}𝔛_{i}) pour un morphisme propre 𝔜_{0} ⟶^{f_{0}} 𝔛_{0} de schémas formels admissibles, alors f induit bien un morphisme de topos f̃ comme ci-dessus. Cela est le cas en particulier lorsque f est un éclatement admissible. Dans ce cas, f̃ est un isomorphisme.

Dans le chapitre III de [11], Fargues construit deux éclatements admissibles G × D^{×}- équivariants M̂′_{LT,∞} et M̂′_{Dr,∞}, respectivement notés 𝔛̃_{∞}^{(2)} et Ỹ_{∞}^{(3)} dans loc. cit., ainsi qu’un isomorphisme G × D^{×}-equivariant

M̂′_{LT,∞} ⟶^{∼} M̂′_{Dr,∞}. (2.2.5.6)

L’isomorphisme (2.2.5.3) est induit par celui-ci.

Pour compléter le diagramme (2.2.5.5), nous utiliserons le lemme suivant. Pour un O_{𝔛}- module inversible λ sur un schéma formel 𝔛, on note P(λ) le schéma formel qui classifie les quotients λ ⊕ O_{𝔛} ↠ κ avec κ un module inversible. Comme plus haut on a un diagramme

\xymatrix{P(λ) \ar[r]^{p} & 𝔛 \ar[l]^{i}} où p est la projection canonique et i la section “infini”. Notons que p et

i induisent des morphismes de topos p̃ et ĩ puisque, localement sur 𝔛, ils vérifient les conditions mentionnées ci-dessus.

Lemme.– Soit 𝔛 un schéma formel ϖ-adique sans ϖ-torsion, λ_{1} et λ_{2} deux O_{𝔛}- modules inversibles sur 𝔛 et φ : λ_{1}[1/ϖ] ⟶^{∼} λ_{2}[1/ϖ] un isomorphisme de O_{𝔛}[1/ϖ]- modules. Alors le foncteur qui à un 𝔛-schéma formel ϖ-adique sans ϖ-torsion 𝔜 ⟶^{f} 𝔛

associe l’ensemble des paires f^{∗}λ_{i} ⊕ O_{𝔜}↠^{β_{i}}κ_{i}, i = 1, 2 avec κ_{i} des O_{𝔜}-modules inversibles, et s’inscrivant dans un diagramme commutatif

\xymatrix{(f^{∗}λ_{1} ⊕ O_{𝔜})[1/ϖ] \ar[d]_{β_{1}} \ar[r]^{f^{∗}φ⊕Id} & (f^{∗}λ_{2} ⊕ O_{𝔜})[1/ϖ] \ar[d]_{β_{2}} \\ κ_{1}[1/ϖ] \ar@{.>}[r]^{∼} & κ_{2}[1/ϖ]}

est représentable par un schéma formel ϖ-adique sans ϖ-torsion, noté P(φ). De plus, les projections évidentes P(φ) ⟶ P(λ_{i}) sont des éclatements admissibles de support disjoint de la section infini. En particulier, le morphisme φ induit canoniquement un isomorphisme P̂(λ_{1})_{E−rig−et} ⟶^{∼} P̂(λ_{2})_{E−rig−et} des topos E-rig-étales, compatible aux projections p̃_{i} et aux sections infini ĩ_{i}.

Preuve. Le problème étant local pour la topologie de Zariski sur 𝔛, on peut supposer ce dernier quasicompact, et choisir ainsi un entier k tel que ϖ^{k}φ(λ_{1}) ⊂ λ_{2}. Mais alors, pour tout (𝔜, f) schéma formel ϖ-adique sans ϖ-torsion au-dessus de 𝔛, une paire

d’épimorphismes f^{∗}λ_{i} ⊕ O_{𝔜}↠^{β_{i}}κ_{i}, i = 1, 2 s’inscrit dans un diagramme commutatif comme dans l’énoncé si et seulement si elle s’inscrit dans un diagramme commutatif du type

\xymatrix{(f^{∗}λ_{1} ⊕ O_{𝔜}) \ar[d]_{β_{1}} \ar[r]^{ϖ^{k}(f^{∗}φ⊕Id)} & (f^{∗}λ_{2} ⊕ O_{𝔜}) \ar[d]_{β_{2}} \\ κ_{1} \ar@{^{(}->}[r] & κ_{2}} . (2.2.5.7)

Notons π_{2} : P(λ_{2}) ⟶ 𝔛 la projection canonique, et β_{2}^{un} : π_{2}^{∗}(λ_{2}) ⊕ O_{P(λ_{2})} ↠ κ_{2}^{un}, l’épimorphisme universel de O_{P(λ_{2})}-modules. Considérons l’idéal

I_{k,φ} := β_{2}^{un} (π_{2}^{∗}(ϖ^{k}λ_{1}) ⊕ ϖ^{k}O_{P(λ_{2})}) ⊗ (κ_{2}^{un})^{⊗−1} ⊂ O_{P(λ_{2})}.

C’est un idéal admissible au sens de [11, Définition IV.1.23]. Soit P_{k}(φ) l’éclatement de P(λ_{2}) le long de I_{k,φ}, et soit π : Q_{k,λ} ⟶ 𝔛 le morphisme vers 𝔛. Notons encore β_{2}^{un} le pullback de β_{2}^{un} sur P_{k}(φ). Par construction l’image du morphisme β_{1}^{un} := β_{2}^{un} ∘ ϖ^{k}(π^{∗}φ ⊕ Id) est un sous-faisceau inversible de κ_{2}^{un}. Notons-le κ_{1}^{un}. On dispose donc d’une paire (β_{2}^{un}, β_{1}^{un}) sur P_{k}(φ) s’inscrivant dans un diagramme du type (2.2.5.7). Par pull-back, tout morphisme 𝔜 ⟶ P_{k}(φ) fournit une paire β_{1}, β_{2} s’inscrivant dans un diagramme du type (2.2.5.7) ; en effet, l’injectivité de la fèche du bas résulte de l’absence de ϖ-torsion dans 𝔜 et du fait que le conoyau de κ_{1}^{un} ⟶ κ_{2}^{un} est de ϖ-torsion. Réciproquement, la propriété universelle des éclatements montre que toute paire (β_{1}, β_{2}) sur un (𝔜, f) s’inscrivant dans un diagramme du type (2.2.5.7) provient par pullback d’un unique morphisme 𝔜 ⟶ P_{k}(φ). Finalement, on constate que P_{k}(φ) est indépendant du choix de k et représente le foncteur de l’énoncé.

C’est bien un éclatement de P(λ_{2}) par construction. De plus, au-dessus de la section infini, on éclate l’idéal ϖ^{k}O_{𝔛} qui est inversible, donc le support de l’éclatement est bien disjoint de la section infini. Le fait que P(λ) est aussi un éclatement formel de P(λ_{1}) se déduit par symétrie. Enfin, la conséquence toposique découle de l’invariance du topos E-rig-étale par éclatements admissibles.

Nous utiliserons les deux conséquences suivantes de ce lemme :

i) Supposons 𝔛 muni d’une action d’un groupe Γ et λ[1/ϖ] d’une structure Γ-équiva-riante. Alors on peut parler de faisceau Γ-équivariant dans { \atop P(λ)}_{E−rig−et}. Ces derniers forment un topos et p̃, ĩ sont naturellement Γ-équivariants.

ii) Supposons que 𝔛 est réunion de deux ouverts 𝔛_{1} ∪ 𝔛_{2}, munis de modules inversibles λ_{1}, λ_{2}. Alors tout isomorphisme λ_{1}[1/ϖ] ⟶^{∼} λ_{2}[1/ϖ] induit une donnée de recollement des topos { \atop P(λ_{1})}_{E−rig−et} et { \atop P(λ_{2})}_{E−rig−et}.

Revenons à la preuve du théorème (2.2.5) et commençons à travailler du côté Drinfeld. Le schéma formel M̂_{Dr,∞} est défini comme la limite projective des normalisés M̂_{Dr,n} du schéma formel M̂_{Dr,0} dans les revêtements rigides M_{Dr,n}. Le schéma formel M̂_{Dr,0} classifie des O_{D}-modules formels spéciaux rigidifiés. Il est muni d’une action continue de G×D^{×} triviale sur O_{D}^{×} et d’un objet universel, noté G_{u}, équivariant sous G×D^{×}. Le dual ω_{G_{u}} de l’algèbre de Lie de G_{u} est un faisceau localement libre G-équivariant de rang d. Il se décompose en une somme ω_{G_{u}} = ∑_{j∈ℤ/dℤ} ω_{G_{u},j} de faisceaux inversibles G-équivariants. Le morphisme de périodes M_{Dr,0} ⟶^{π_{0}} Ω_{K}^{d−1,nr} provient d’un morphisme de schémas formels M̂_{Dr,0} ⟶ Ω̂_{K}^{d−1,nr} dû à Drinfeld, de but le modèle formel de Deligne-Drinfeld de Ω_{K}^{d−1,nr}. Le faisceau inversible L_{Dr} sur Ω_{K}^{d−1,nr} provient d’un faisceau inversible encore noté L_{Dr} sur l’espace annelé (Ω̂_{K}^{d−1,nr}, OΩ̂_{K}^{d−1,nr}[\frac{1}{p}]) (voir par exemple [11, Rem. III.2.6]). De plus, par définition du morphisme de périodes, pour tout j ∈ ℤ/dℤ on a une égalité

ω_{G_{u},j}[1/ϖ] = π_{0}^{∗}(L_{Dr}) en tant que OM̂_{Dr,0}[1/ϖ]-modules inversibles.

Notons que π_{0}^{∗}(L_{Dr}) est naturellement muni d’une action de G × D^{×} triviale sur O_{D}^{×}. Le faisceau ω_{G_{u},j} est donc un modèle entier G × O_{D}^{×}-équivariant de π_{0}^{∗}(L_{Dr}). Ce modèle entier n’est pas stable sous G × D^{×} puisque l’action de l’élément central (ϖ, ϖ^{−1}) est la multiplication par ϖ sur les fibres. Considérons maintenant le tiré en arrière ω_{∞} de ω_{G_{u},0} sur M̂_{Dr,∞}. Il est donc G × O_{D}^{×}-équivariant. Comme plus haut, ω_{∞} définit un diagramme

\xymatrix{P(ω_{∞}) \ar[r]^{p} & M̂_{Dr,∞} \ar[l]^{i}} (2.2.5.8)

où p est un fibré de rang 1 et i sa section “infini”. Ce diagramme est seulement G × O_{D}^{×}- équivariant, mais grâce au lemme (2.2.5), on peut prendre les topos G × D^{×}-équivariants. Les techniques amenant au théorème IV.12.3 de Fargues dans [11] montrent alors que le côté droit du diagramme (2.2.5.5) s’obtient en prenant le topos “E-rig-étale surconvergent G × D^{×}-équivariant” du diagramme (2.2.5.8).

Passons maintenant du côté Lubin-Tate. Le schéma formel M̂_{LT,∞} est un recollement de cellules quasi-compactes 𝔻_{a,∞} indexées par les sommets a = [Λ, M] de l’immeuble de GD, chacune étant stabilisée par le fixateur (G × D^{×})_{a} = GL(Λ) × O_{D}^{×} de a dans G × D^{×}. Chaque cellule est une limite projective de cellules “en niveau fini” 𝔻_{a,n}, n ∈ ℕ. La cellule 𝔻_{a,0} classifie des O-modules formels de dimension 1 rigidifiés et satisfaisant certaines conditions de ramification. Soit H_{a} le O-module formel universel sur 𝔻_{a,0} et soit λ_{a,0} son algèbre de Lie. Le morphisme de périodes 𝔻_{a,0}^{an} ⟶^{π_{a,0}} ℙ(𝕄) est la restriction d’un morphisme de schémas formels 𝔻_{a,0} ⟶ ℙ̂(𝔻_{O}(ℍ)) et on a une égalité

(2.2.5.9) λ_{a,0}[1/ϖ] = π_{a,0}^{∗}(L_{LT}) en tant que O_{𝔻_{a,0}}[1/ϖ]-modules inversibles.

Notons alors λ_{a,∞} le tiré en arrière de λ_{a,0} sur 𝔻_{a,∞}. C’est un faisceau inversible (G×D^{×})_{a}- équivariant qui définit un diagramme

\xymatrix{P(λ_{a,∞}) \ar[r]^{p} & 𝔻_{a,∞} \ar[l]^{i}}

comme plus haut. Notons que les λ_{a,∞} ne se recollent pas en un faisceau inversible sur M̂_{LT,∞}, mais l’égalité (2.2.5.9) montre que les λ_{a,∞}[1/ϖ] se recollent en un OM̂_{LT,∞}[1/ϖ]- module inversible G × D^{×}-équivariant. Grâce au lemme (2.2.5), on peut recoller les topos { \atop P(λ_{a,∞})}_{E−rig−et} pour obtenir un diagramme

\xymatrix{{ \atop P(λ_{∞})}_{E−rig−et} \ar[r]^{p̃} &  ; M̂_{LT,∞}_{E−rig−et} \ar[l]^{ĩ}}

(2.2.5.10)

Les techniques développées par Fargues dans sa preuve du théorème IV.12.2 de [11] montrent alors le côté gauche du diagramme (2.2.5.5) s’obtient en prenant les objets G × D^{×}-équivariants continus dans le diagramme (2.2.5.10).

Comparons maintenant les deux côtés via l’isomorphisme (2.2.5.6). On a donc, audessus de la cellule éclatée 𝔻′_{a,∞}, deux faisceaux inversibles (G×D^{×})_{a}-équivariants λ_{a,∞} et ω_{∞}. Or, il résulte de la construction même de l’isomorphisme (2.2.5.6), et plus précisément de la définition du morphisme des “périodes de Hodge-Tate” 𝔻′_{a,∞} ⟶ Ω̂_{K}^{d−1,nr} de [11, III.2], que ces faisceaux coincident après inversion de p. Par le lemme (2.2.5), le diagramme (2.2.5.5) est donc complété.

□

(2.2.6) Comparaison entre classes de Chern canoniques et tautologiques. Considérons le faisceau inversible trivial sur le point M(K̂^{nr}) et munissons-le de l’action continue du groupe K^{×} donnée par l’inclusion K^{×} ↪ K̂^{nr}^{×}. Sa classe de Chern c_{ΛK^{×}} est un élément de Ext_{K^{×}}^{2}(Λ_{M(K̂^{nr})}, Λ_{M(K̂^{nr})}(1)) ≃ H^{2}(K^{×} ×I_{K}, Λ(1)), où I_{K} désigne le groupe de Galois

absolu de K̂^{nr}. Par ailleurs, reprenant les notations “génériques” P, J de (2.2.1) et notant J ⟶^{det} K^{×} le morphisme déterminant ou norme réduite selon le cas, on dispose d’une application de pull-back

ξ^{∗} : H^{2}(K^{×} × I_{K}, Λ(1)) ⟶^{det^{∗}} H^{2}(J × I_{K}, Λ(1)) ⟶ Ext_{J}^{2}(Λ_{P^{nr}}, Λ_{P^{nr}}(1)).

Proposition.– Dans Ext_{J}^{2}(Λ_{P^{nr}}, Λ_{P^{nr}}(1)), on a l’égalité de classes de Chern

c_{ΛJ}(K) = −d · c_{ΛJ}(O_{P^{nr}}(1)) + ξ^{∗}c_{ΛK^{×}}.

Preuve. Soit k un corps, V un k-espace vectoriel de dimension d, et S^{•}(V^{∗}) l’algèbre symétrique du k-dual de V munie de sa graduation usuelle. Alors le faisceau canonique K_{ℙ(V)} de ℙ(V) est associé au S^{•}(V)-module gradué ⋀^{d} V^{∗} ⊗_{k} S^{•}(V^{∗}) où ⋀^{d} V^{∗} est placé en degré d. Ainsi, K_{ℙ(V)} est isomorphe à O_{ℙ(V)}(−d) en tant que faisceau inversible, mais l’action de Aut_{k}(V) est tordue par le déterminant. Plus précisément, notant π : ℙ(V) ⟶ Spec(k) le morphisme structural, on a un isomorphisme Aut_{k}(V)-équivariant K_{ℙ(V)} ≃ O_{ℙ(V)}(−d) ⊗ π^{∗}(k, det), où la notation (k, det) désigne l’action de Aut_{k}(V) sur k par le déterminant. Il suffit maintenant d’appliquer ces remarques à k = K̂^{nr} et V = 𝕄 ou V = ℕ_{0} (notations de (2.2.4)).

Notons maintenant c_{LT} et c_{Dr} les opérateurs RΓ_{c} ⟶ RΓ_{c}[2](1) induits par les classes de Chern ξ_{LT}^{∗}(c_{ΛK^{×}}) et ξ_{Dr}^{∗}(c_{ΛK^{×}}).

Corollaire.– Dans Hom_{D_{Λ}^{b}(G×D^{×}×W_{K}^{disc})} (RΓ_{c}, RΓ_{c}[2](1)), on a les égalités

K_{LT} = −d · L_{LT} + c_{LT} et K_{Dr} = d · L_{Dr} + c_{Dr}.

De plus, on a c_{LT} = c_{Dr} = 0 si q − 1 est inversible dans Λ.

Preuve. La première assertion découle immédiatement des définitions et de la proposition ci-dessus. Pour la deuxième assertion, remarquons d’abord que c_{LT} et c_{Dr} ne dépendent par définition que de l’image de c_{ΛK^{×}} dans H^{2}(K^{×}, Λ(1)) (classe de Chern “absolue”). Écrivons alors K^{×} ≃ (1 + ϖO) × μ_{q−1} × ℤ avec μ_{q−1} ≃ 𝔽_{q}^{×} le groupe des racines q − 1-èmes de l’unité. Le groupe (1 + ϖO) est pro-p, donc H^{2}(K^{×}, Λ(1)) ≃ H^{2}(μ_{q−1} × ℤ, Λ(1)). Le groupe ℤ étant de dimension cohomologique 1 avec H^{1}(ℤ, Λ) = Λ, on a H^{2}(μ_{q−1} × ℤ, Λ(1)) ≃ H^{1}(μ_{q−1}, Λ(1)) ⊕ H^{2}(μ_{q−1}, Λ(1)). Mais ce dernier groupe est annulé par l’ordre de μ_{q−1}.

Remarque.– Avec les notations de la preuve ci-dessus, on peut calculer explicitement la composante de c_{ΛK^{×}} dans H^{2}(μ_{q−1}, Λ). Pour cela, remarquons d’abord que le complexe RΓ_{c}(𝔾_{m}^{ca}, Λ) dans D_{Λ}^{b}(μ_{q−1}) est parfait, de cohomologie H^{1} = Λ et H^{2} = Λ, donc est homotope à 0 ⟶ Λ[μ_{q−1}] ⟶^{×(1 − x)} Λ[μ_{q−1}] ⟶ 0 où x désigne un générateur de μ_{q−1}. Il s’ensuit (exercice sur la définition (2.1.4)) que la composante cherchée est explicitement donnée par l’extension de Yoneda

0 ⟶ Λ ⟶ Λ[μ_{q−1}] ⟶^{×(1 − x)} Λ[μ_{q−1}] ⟶ Λ ⟶ 0,

qui est un générateur du groupe H^{2}(μ_{q−1}, Λ) ≃ Λ/(q − 1)Λ. En particulier, si q − 1 n’est pas inversible dans Λ, la classe c_{ΛK^{×}} n’est pas nulle.

3 Description explicite dans le cas ℓ-adique

Dans cette section nous fixons un nombre premier ℓ ≠ p et nous noterons simplement RΓ_{c} le complexe RΓ_{c}(M^{ca}, ℚ̄_{ℓ}) dans la catégorie Db ; ℚ̄_{ℓ}(GD × W_{K}^{disc}). Toutes les représentations qui interviendront seront implicitement supposées être à coefficients dans ℚ̄_{ℓ}.

3.1 Description de l’opérateur de Lefschetz

(3.1.1) Décomposition de RΓ_{c}. Rappelons que la cohomologie de RΓ_{c} n’est pas admissible, mais seulement admissible “modulo le centre”. Plus précisément, pour tout sousgroupe ouvert compact H ⊂ G, les H^{i}(RΓ_{c})^{H} sont des représentations projectives de type fini du centre K^{×} de G. Fixons donc un caractère lisse ω : K^{×} ⟶ ℚ̄_{ℓ}^{×} et considérons le complexe

RΓ_{c,ω} := RΓ_{c} ⊗_{ℚ̄_{ℓ}K^{×}}^{L} (ℚ̄_{ℓ})_{ω} ∈ D_{ω,ω^{−1}}^{b}(G × D^{×} × W_{K}^{disc}).

Le produit tensoriel est pris pour l’action de K^{×} identifié au centre de G. La catégorie dérivée est donc celle des GD × W_{K}^{disc}-représentations lisses telles que le centre K^{×} de G agisse via le caractère ω, c’est-à-dire des G × D^{×} × W_{K}^{disc}-représentations lisses telles que le centre de G agisse via ω et celui de D^{×} via ω^{−1}. Comme la catégorie Mod_{ω^{−1}}(D^{×}) des représentations lisses de D^{×} de caractère central ω^{−1} est semi-simple, on a une décomposition

RΓ_{c,ω} = ⨁_{ρ∈Irr_{ω}(D^{×})} ρ^{∨} ⊗ RΓ_{c}[ρ] (3.1.1.1)

où l’on a posé

RΓ_{c}[ρ] := Hom_{D_{ω^{−1}}^{b}(D^{×})}(ρ^{∨}, RΓ_{c,ω}) ∈ D_{ω}^{b}(G × W_{K}^{disc}).

Comme le suggère la notation, RΓ_{c}[ρ] peut s’obtenir sans réduction préalable modulo ω. En fait, d’après le lemme suivant ce complexe coïncide avec celui noté aussi RΓ_{c}[ρ] à la page 115 de [7].

(3.1.2) Lemme.– Il y a un isomorphisme naturel RΓ_{c}[ρ] ≃ RΓ_{c}⊗_{ℚ̄_{ℓ}D^{×}}^{L} ρ dans D_{ω}^{b}(G× W_{K}^{disc}).

Preuve : Cela résulte des deux observations suivantes :

i) Pour tout M ∈ Mod(D^{×}) on a

M ⊗_{ℚ̄_{ℓ}D^{×}} ρ = ((M ⊗_{ℚ̄_{ℓ}K^{×}} (ℚ̄_{ℓ})_{ω^{−1}}) ⊗ℚ̄_{ℓ} ρ)_{D^{×}} .

ii) Pour tout N ∈ Mod_{ω^{−1}}(D^{×}), l’application ℚ̄_{ℓ}-linéaire canonique

Hom_{D^{×}}(ρ^{∨}, N) = (N ⊗ ρ)^{D^{×}} ⟶ (N ⊗ ρ)_{D^{×}}

est bijective. □

(3.1.3) Décomposition de L. Par fonctorialité, l’opérateur L induit un morphisme

L_{ω} ∈ Hom_{D_{ω}^{b}(G×D^{×}×W_{K}^{disc})}(RΓ_{c,ω}, RΓ_{c,ω}[2](1)).

Noter ici qu’il n’y a plus de condition de caractère central pour l’action de D^{×}. La catégorie Modℚ̄_{ℓ}(D^{×}) n’est pas semi-simple, mais on a tout de même R Hom_{D^{×}}(ρ, ρ′) = 0 pour toute paire de représentations irréductibles ρ, ρ′ non isomorphes. Il s’ensuit que L_{ω} se décompose en une somme L_{ω} = ⨁_{ρ∈Irr_{ω^{−1}}(D^{×})} L_{ρ} avec

L_{ρ} ∈ Hom_{D_{ω}^{b}(G×D^{×}×W_{K}^{disc})}(ρ^{∨} ⊗ RΓ_{c}[ρ], ρ^{∨} ⊗ RΓ_{c}[ρ][2](1)).

Nous ne décrirons pas précisément cet opérateur mais plutôt son image, encore notée L_{ρ} dans

Hom_{D_{ω}^{b}(G)} (ρ^{∨} ⊗ RΓ_{c}[ρ], ρ^{∨} ⊗ RΓ_{c}[ρ][2](1))^{D^{×}×W_{K}} = Hom_{D_{ω}^{b}(G)} (RΓ_{c}[ρ], RΓ_{c}[ρ][2](1))^{W_{K}} .

Pour cela nous devons d’abord calculer le ℚ̄_{ℓ}-espace vectoriel ci-dessus.

(3.1.4) Rappel de la description de RΓ_{c}[ρ]. Il est ici commode de choisir une racine carrée de p dans ℚ̄_{ℓ}. Celle-ci permet de parler de puissances demi-entières du caractère de Tate de W_{K} et des caractères |det|_{K} des groupes linéaires, d’utiliser l’induction parabolique normalisée, et de définir une correspondance de Langlands “non convenablement normalisée”, cf paragraphe (1.2.1) et [7, commentaire après 2.2.3]. Comme dans [7, 2.1.10] nous notons d_{ρ} l’unique diviseur de d et π_{ρ} l’unique représentation supercuspidale irréductible de GL_{d/d_{ρ}}(K) tels que la correspondante de Jacquet-Langlands JL_{d}(ρ) de

ρ apparaisse dans l’induite parabolique normalisée |det|^{\frac{1−dρ}{2}} π_{ρ} × ⋯ × |det|^{\frac{dρ−1}{2}} π_{ρ}. Dans [7, 2.1.6 et 4.1.1] nous avons introduit la terminologie de “représentations elliptiques de type ρ” pour désigner les représentations de G ayant le même support supercuspidal que JL_{d}(ρ). Ces représentations sont paramétrées

I ⊂ {1, ⋯, d_{ρ} − 1} ↦ π_{ρ}^{I} ∈ Irr (G)

par les sous-ensembles de {1, ⋯, d_{ρ} − 1}. Comme dans [7, 4.1.1] il est commode de noter π_{ρ}^{⩽i} pour π_{ρ}^{{1,···,i}}, avec la convention que π_{ρ}^{⩽0} = π_{ρ}^{∅}. Grâce aux résultats de Boyer [7, 4.1.2] et quelques remarques cohomologiques [7, 4.2.1], on sait qu’il existe dans D_{ω}^{b}(G) des isomorphismes

RΓ_{c}[ρ] ≃ ( ⨁_{i=0}^{d_{ρ}−1} π_{ρ}^{⩽i} ⊗ σ_{d/d_{ρ}}(π_{ρ}^{∨})(−i)[−i]) [1 − d](\frac{d_{ρ} − d}{2}).

Un tel isomorphisme induit à son tour une application linéaire W_{K}-équivariante bijective

Hom_{D_{ω}^{b}(G)} (RΓ_{c}[ρ], RΓ_{c}[ρ][2](1)) ⟶^{∼} ⨁_{i,j=0}^{d_{ρ}−1} Ext^{i−j+2}(π_{ρ}^{⩽i}, π_{ρ}^{⩽j})⊗Endℚ̄_{ℓ}(σ_{d/d_{ρ}}(π_{ρ}^{∨}))(i−j+1).

D’après les calculs d’extensions de [7, 2.1.17], cette dernière se simplifie en

Hom_{D_{ω}^{b}(G)} (RΓ_{c}[ρ], RΓ_{c}[ρ][2](1)) ⟶^{∼} ⨁_{i=0}^{d_{ρ}−1} Ext_{G,ω}^{1}(π_{ρ}^{⩽i}, π_{ρ}^{⩽i+1}) ⊗ Endℚ̄_{ℓ}(σ_{d/d_{ρ}}(π_{ρ}^{∨}))

et par conséquent induit l’isomorphisme

(3.1.4.1) Hom_{D_{ω}^{b}(G)} (RΓ_{c}[ρ], RΓ_{c}[ρ][2](1))^{W_{K}} ⟶^{∼} ⨁_{i=0}^{d_{ρ}−1} Ext_{G,ω}^{1}(π_{ρ}^{⩽i}, π_{ρ}^{⩽i+1}) ≃ ℚ̄_{ℓ}^{d_{ρ}}.

On peut donc décomposer l’opérateur L_{ρ} en une somme ⨁_{i=0}^{d_{ρ}−1} L_{ρ,i} avec

L_{ρ,i} ∈ Ext_{G,ω}^{1}(π_{ρ}^{⩽i}, π_{ρ}^{⩽i+1}) ≃ ℚ̄_{ℓ}.

(3.1.5) Proposition.– Les L_{ρ,i} sont non nuls. De manière équivalente, l’opérateur

L_{ρ}^{(d_{ρ}−1)} := L_{ρ}[2d_{ρ} − 4] ∘ ⋯ ∘ L_{ρ}[2] ∘ L_{ρ} ∈ Hom_{D_{ω}^{b}(G)}(RΓ_{c}[ρ], RΓ_{c}[ρ][2d_{ρ} − 2](d_{ρ} − 1))^{W_{K}}

est non nul.

Preuve. Le fait que les deux assertions sont équivalentes découle de la formule pour les cup-produits de [7, 2.1.17 (ii)]. Nous allons prouver la deuxième en utilisant la propriété d’uniformisation p-adique de la tour de Drinfeld. Notons pour cela que l’énoncé est insensible à la torsion de ρ par un caractère non ramifié. On peut en particulier supposer ω trivial.

Soit Γ un sous-groupe discret cocompact et sans torsion de G. Un tel sous-groupe agit librement sur chaque M_{Dr,n} et on sait d’après de nombreux travaux (Kurihara, Mustaphin, etc.) que le quotient M_{Dr,n}/Γ est algébrisable en une variété propre et lisse sur K̂^{nr}. On obtient ainsi une tour (S_{Γ,n})_{n∈ℕ} de variétés algébriques munie d’une action de D^{×} triviale sur (Γ ∩ K^{×}). Comme dans le paragraphe (2.1.7), le faisceau inversible L_{Dr} induit sur chacun de ces quotients un faisceau inversible, qui par GAGA [3, Prop. 3.4.11] provient d’un faisceau inversible L_{Γ,n} sur S_{Γ,n}. De plus, la classe de Chern L_{Γ,n} : H^{∗}(S_{Γ,n}, ℚ̄_{ℓ}) ⟶ H^{∗+2}(S_{Γ,n}, ℚ̄_{ℓ})(1) est induite par L_{Dr} via le diagramme (2.1.7.2). Notons que cette classe de Chern commute à l’action de O_{D}^{×}.

Supposons que Γ se décompose en un produit (Γ ∩ K^{×})(Γ ∩ SL_{d}(K)). Alors d’après [13, 2.2.4] le faisceau inversible L_{Γ,0} est ample sur S_{Γ,0}. Comme S_{Γ,n} est fini sur S_{Γ,0}, il s’ensuit que L_{Γ,n} est ample sur S_{Γ,n} pour tout n.

Soit n tel que ρ_{|1+ϖ^{n}O_{D}} soit triviale. D’après le calcul fait page 140 de [7], la partie ρisotypique H^{∗}(S_{Γ,n}, ℚ̄_{ℓ})[ρ] de la cohomologie de S_{Γ,n} est non nulle en degrés d−d_{ρ}. Comme le degré médian est ici d−1 = dim(S_{Γ,n}), on déduit donc du théorème de Lefschetz difficile que L_{Γ,n}^{(d_{ρ}−1)} est non-nul sur la partie ρ-isotypique, et par conséquent que L_{ρ}^{(d_{ρ}−1)} ≠ 0 comme voulu.

3.2 Opérateur de Lefschetz et correspondance de Zelevinski

Nous allons décrire et interpréter l’action de l’opérateur de Lefschetz sur la D^{×} × W_{K}- représentation graduée R_{π}^{∗} := H^{∗} (RHom_{G} (RΓ_{c}, π)) de l’introduction. Notons que cet espace est nul si π n’est pas elliptique. Nous supposerons donc π de la forme π_{ρ}^{I} comme dans le paragraphe précédent, et pour un sous-ensemble I = {i_{1}, ⋯, i_{|I|}} ⊂ {1, ⋯, d_{ρ}−1}. Nous poserons aussi i_{0} := 0 et i_{|I|+1} := d_{ρ}. Enfin nous noterons d_{k} := i_{k+1} − i_{k} pour k = 0, ⋯, |I|.

(3.2.1) Dans le paragraphe 4.4 de [7], voir notamment la remarque 4.4.2, on a construit un isomorphisme D^{×} × W_{K}-équivariant gradué

R_{π_{ρ}^{I}}^{∗} ⟶^{∼} ρ ⊗ σ_{d/d_{ρ}}(π_{ρ}) ⊗ (⨁_{k=0}^{|I|} τ_{d_{k}}(i_{k})[2k]) [−|I|](\frac{d − d_{ρ}}{2} )

où τ_{d_{k}} est la représentation “spéciale” de dimension d_{k}, c’est-à-dire l’unique représentation indécomposable de W_{K} de dimension d_{k} et de poids 0, ⋯, d_{k} − 1. En particulier, on a donc

Hom_{D^{×}×W_{K}}(R_{π_{ρ}^{I}}^{∗}, R_{π_{ρ}^{I}}^{∗}[2](1)) ≃ ⨁_{k=0}^{|I|−1} Hom_{W_{K}} (τ_{d_{k}}(i_{k}), τ_{d_{k+1}}(i_{k+1} − 1)) ≃ ℚ_{l}^{|I|}.

Le deuxième isomorphisme provient du fait que le seul poids commun à τ_{d_{k}}(i_{k}) et τ_{d_{k+1}}(i_{k+1}− 1) est d_{k} − 1 + i_{k} = i_{k+1} − 1, et que ce poids intervient dans le socle de τ_{d_{k+1}}(i_{k+1} − 1) et le cosocle de τ_{d_{k}}(i_{k}).

L’opérateur de Lefschetz L_{π_{ρ}^{I}} se décompose donc en une somme ⨁_{k=0}^{|I|−1} L_{π_{ρ}^{I},k}.

(3.2.2) Proposition.– Chacun des L_{π_{ρ}^{I},k} est non nul.

Preuve. Cela découle de la proposition (3.1.5) par le même argument que celui utilisé pour expliciter l’action de W_{K} dans [7, 4.4]. En effet, comme dans loc. cit., il s’agit ici de déterminer quand le cup-produit sur Ext_{G,ω}^{δ(i,I)}(π_{ρ}^{⩽i}, π_{ρ}^{I}) par l’élément non nul L_{ρ,i−1} ∈ Ext^{1}(π_{ρ}^{⩽i−1}, π_{ρ}^{⩽i}) de la proposition (3.1.5) est non nul. Par [7, 2.1.17], cela revient à demander que δ(i − 1, I) = δ(i, I) + 1, ou encore, que i − 1 − δ(i − 1, I) = (i − δ(i, I)) − 2. D’après le lemme [6, 4.4.1], cela équivaut à i = i_{k} pour un certain k, c’est-à-dire i ∈ I.

(3.2.3) Preuve du théorème (1.2.2). L’espace R′_{π_{ρ}^{I}} muni de l’action lissifiée γ_{π_{ρ}^{I}}^{φ} de W_{K} introduite dans la section (1.2.2) est isomorphe à

(R′_{π_{ρ}^{I}}, γ_{π_{ρ}^{I}}^{φ}) ≃ ⨁_{i=0}^{d_{ρ}−1} σ_{d/d_{ρ}}(π_{ρ})(\frac{d − d_{ρ}}{2} )(i), (3.2.3.1)

et une fois choisi un tel isomorphisme, on peut écrire

Endℚ̄_{ℓ}(R′_{π_{ρ}^{I}}) = M_{d_{ρ}}(Endℚ̄_{ℓ}(σ_{d/d_{ρ}}(π_{ρ})))

où le terme de droite désigne les matrices de tailles d_{ρ} à coefficients dans Endℚ̄_{ℓ}(σ_{d/d_{ρ}}(π_{ρ})). Une telle matrice A = (A_{i,j})_{0⩽i,j⩽d_{ρ}−1} est dans l’espace

Hom_{W_{K}}(R′_{π}, R′_{π}(1)) = Endℚ̄_{ℓ}(σ_{d/d_{ρ}}(π_{ρ}))(1)^{W_{K}}

si et seulement si A_{i,j} est scalaire pour tout i, j, et nulle si j ≠ i + 1. Dans ce cas, la matrice transposée ^{t}A est dans l’espace

Hom_{W_{K}}(R′_{π}, R′_{π}(−1)) = Endℚ̄_{ℓ}(σ_{d/d_{ρ}}(π_{ρ}))(−1)^{W_{K}}.

Ceci s’applique en particulier à l’opérateur L_{π_{ρ}^{I}}. D’après la proposition précédente, le bloc L_{i,i+1} de sa matrice est non nul si et seulement si i + 1 ∈ I. Quitte à multiplier l’isomorphisme (3.2.3.1) par une matrice diagonale inversible on peut supposer que L_{i,i+1} = Id_{σ_{d/dρ}(π_{ρ})}. D’après la forme explicite de la correspondance de Langlands pour les représentations elliptiques donnée dans le lemme 2.2.8 de [7], et en raisonnant comme au-dessus de la remarque 4.4.2 de [7], on en déduit que

(R′_{π_{ρ}^{I}}, γ_{π_{ρ}^{I}}^{φ},^{t}L_{π_{ρ}^{I}}) = σ_{d}(π_{ρ}^{^{c}I})(\frac{d − 1}{2}) = σ′_{d}(π_{ρ}^{^{c}I})

où ^{c}I désigne le complémentaire de I dans {1, ⋯, d_{ρ} −1}. Notons que la paire (R′_{π_{ρ}^{I}},^{t}L_{π_{ρ}^{I}}) est l’unique paire de Weil-Deligne dont le prolongement de Jacobson-Morozov coïncide avec celui de la paire (R′_{π_{ρ}^{I}}, L_{π_{ρ}^{I}}) que nous avons noté γ_{π_{ρ}^{I}}^{φ,L} dans le théorème (1.2.2). Ainsi, ce théorème découle de la proposition suivante.

(3.2.4) Proposition.– L’image Z(π_{ρ}^{I}) de π_{ρ}^{I} par l’involution de Zelevinski est la représentation π_{ρ}^{^{c}I}.

Preuve. Nous utiliserons la définition de Schneider et Stuhler de l’involution de Zelevinski. Soit Mod_{ρ}(G) la catégorie abélienne des représentations de longueur finie de G dont tous les sous-quotients irréductibles sont elliptiques de type ρ. Notons Ẽ_{ρ} la composée de la contragrédiente avec le foncteur contravariant noté E^{d_{ρ}−1} ou simplement E dans [14, III.3]. D’après le Théorème III.2.2 de [14] et en raisonnant comme dans la preuve de leur théorème III.3.1, on voit que ce foncteur Ẽ se restreint en un endofoncteur covariant involutif de Mod_{ρ}(G). L’involution de Zelevinski de π_{ρ}^{I} est alors donnée par Z(π_{ρ}^{I}) = Ẽ_{ρ}(π_{ρ}^{I}), cf [14, IV.5].

La théorie de Bushnell-Kutzko fournit une équivalence de catégories Mod_{ρ}(G) ⟶^{∼} Mod_{1}(G′) pour un groupe G′ = GL_{d′}(K′), cf [7, 2.1.9]. Cette équivalence échange les involutions respectives Ẽ_{ρ} et Ẽ′_{1}. En effet, si τ est un type pour le bloc de Bernstein associé à (M_{ρ}, π⃗_{ρ}), H_{τ} son algèbre de Hecke, alors l’équivalence Hom(τ, −) entre ce bloc et la catégorie des H_{τ} -modules transforme le foncteur Ẽ en le foncteur M ↦ Ext_{H_{τ}}^{d_{ρ}−1}(M, H_{τ}). Cela découle de la définition de E dans [14, III.1].

On est ainsi ramené au cas où ρ = 1. Dans ce cas, soit B^{+} le sous-groupe de Borel des matrices triangulaires supérieures, δ_{B^{+}} son caractère module, et δ := δ_{B^{+}}^{−1/2}. Identifions {1, ⋯, d − 1} à l’ensemble des racines simples du tore diagonal dans Lie(B_{+}) en les numérotant de haut en bas. Par définition, [6, 2.3.3], π_{1}^{I} est l’unique quotient irréductible d’une induite parabolique normalisée i_{B}^{G}(δ) où B est n’importe quel sousgroupe de Borel dont la chambre de Weyl est contenue dans l’ensemble X_{I} défini en [6, 2.2.3]. Rappelons que si w est un élément du groupe de Weyl tel que ^{w}(B) = B_{+}, alors i_{B}^{G} (δ) = i_{B_{+}}^{G}(^{w}δ). De [14, Theorem II.2.2] et de l’exactitude de Ẽ, on déduit que Ẽ(π_{1}^{I}) est l’unique quotient irréductible de i_{B_{+}}^{G}(^{w_{0}w}δ). Cette derniére induite s’indentifie à i_{B′}^{G}(δ) pour B′ = w^{−1}w_{0}^{−1}(B_{+}). Remarquons que B′ est le Borel opposé à B, et donc sa chambre de Weyl est contenue dans −X_{I} = X_{^{c}I}.

(3.2.5) Preuve de la proposition (1.2.3). Considérons le triplet (γ_{π_{ρ}^{I}}^{φ}, N_{π_{ρ}^{I}}, L_{π_{ρ}^{I}}) sur

l’espace R′_{π_{ρ}^{I}}. Il donne naissance aux deux paramètres γ_{π_{ρ}^{I}}^{φ,N}, γ_{π_{ρ}^{I}}^{φ,L} : W_{F} ×SL_{2} ⟶ GL(R′_{π_{ρ}^{I}}) du paragraphe (1.2.2). Ces deux paramètres se prolongent en un paramètre d’Arthur si et seulement si les deux actions de SL_{2} commutent, et ceci se produit si et seulement si N_{π_{ρ}^{I}} commute au transposé ^{t}L_{π_{ρ}^{I}} défini au paragraphe (3.2.3). Or ces opérateurs sont données par des matrices de Jordan de supports complémentaires. De telles matrices ne commutent que si l’un des support est vide.

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