Théorie de Lubin-Tate non abélienne ℓ-entière

J.-F. Dat

Résumé

For two primes ℓ ≠ p, we investigate the ℤ_{ℓ}-cohomology of the Lubin-Tate towers of a p-adic field. We prove that it realizes some version of Langlands and Jacquet-Langlands correspondences for flat families of irreducible supercuspidal representations parametrized by a ℤ_{ℓ}-algebra R, in a way compatible with extension of scalars. Applied to R = \overline{𝔽}_{ℓ}, this gives a cohomological realization of the Langlands-Vigneras correspondence for supercuspidals, and a new proof of its existence. Applied to complete local algebras, this provides bijections between deformations of matching \overline{𝔽}_{ℓ}-representations. Besides, we also get a virtual realization of both the semi-simple Langlands-Vigneras correspondence and the ℓ-modular Langlands-Jacquet transfer for all representations, by using the cohomology complex and working in a suitable Grothendieck group.

Table des matières

1 Principaux résultats  2
1.1 Modulo ℓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  2
1.2 En familles, et en déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  4
2 Réalisation virtuelle de Langlands et Jacquet-Langlands modulo ℓ  7
2.1 Une propriété de finitude et ses conséquences . . . . . . . . . . . . . . . .  7
2.2 Les correspondances modulo ℓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 La partie supercuspidale de la cohomologie ℓ-entière  13
3.1 Projectivité et conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Description explicite de H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{sc} . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Descente à ℤ_{ℓ} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
A Propriétés de perfection du complexe de cohomologie  25
A.1 Perfection dans D(G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
A.2 Perfection dans D(D^{×}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
B Scindages de catégories, enveloppes projectives, et déformations  30
B.1 Représentations supercuspidales et scindages de Rep(G) . . . . . . . . . . 31
B.2 Représentations supercuspidales et scindages de Rep(D^{×}) . . . . . . . . . 37
B.3 φ-déformations de représentations irréductibles de W_{K} . . . . . . . . . . . 41

1 Principaux résultats

Soit K un corps local non-archimédien d’anneau d’entiers O et de corps résiduel k ≃ 𝔽_{q}, où q est une puissance d’un nombre premier p. Soit k^{ca} une clôture algébrique de k et K̂^{nr} l’extension non ramifiée maximale complétée de K, d’anneau des entiers Ô^{nr} et de corps résiduel k^{ca}.

Fixons un entier d ∈ ℕ. Nous notons M̂_{LT,n} le n-ème étage de la tour de Lubin-Tate de hauteur d du corps K. C’est donc le Ô^{nr}-schéma formel qui classifie les déformations par quasi-isogénies et munies de structures de niveau n à la Drinfeld de l’unique Omodule formel ℍ_{d} de dimension 1 et hauteur d sur k^{ca}. Par définition, le groupe de quasi-isogénies de ℍ_{d} agit sur M̂_{LT,n}, et on sait qu’il s’identifie au groupe D^{×} des unités de l’algèbre à division de centre K et d’invariant 1/d. Par un jeu subtil sur les structures de niveau, le groupe linéaire G := GL_{d}(K) agit sur la tour des (M̂_{LT,n})_{n∈ℕ}, et cette action commute à celle de D^{×}. De plus, l’action du produit G × D^{×} se factorise par le quotient GD := (G×D^{×})/K_{diag}^{×}. Nous noterons M_{LT,n} la fibre générique de M̂_{LT,n}. C’est un K̂^{nr}- espace analytique lisse de dimension d − 1. Il est muni d’une donnée de descente à K qui permet de prolonger à W_{K} l’action de l’inertie I_{K} sur H_{c}^{∗}(M_{LT}^{ca}, Λ) := lim_{⟶}_{n}H_{c}^{∗}(M_{LT,n}^{ca}, Λ).

Soit maintenant ℓ ≠ p un nombre premier. Par commodité, nous choisissons une racine carrée de q dans \overline{ℤ}_{ℓ}, ce qui nous permet de définir les torsions à la Tate demi-entières, et de normaliser la correspondance de Langlands ℓ-adique. Notre but est de prouver des versions mod ℓ et ℓ-entières des théorèmes locaux principaux de Harris et Taylor dans [18] sur la cohomologie ℓ-adique de M_{LT}. Nous apportons donc plusieurs réponses au Problem 6 posé par Harris dans [17].

1.1 Modulo ℓ

On rappelle que, suivant Vignéras, une \overline{𝔽}_{ℓ}-représentation irréductible est dite supercuspidale si elle n’est sous-quotient d’aucune induite parabolique propre admissible. En général, cette propriété est plus forte que celle d’être cuspidale, i.e. annulée par tous les foncteurs de Jacquet propres.

Théorème 1.– Pour π une \overline{𝔽}_{ℓ}-représentation irréductible supercuspidale de G, la \overline{𝔽}_{ℓ}- représentation Hom_{ℤ_{ℓ}G} (H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}), π) de D^{×} × W_{K} est irréductible. Si on l’écrit sous la forme

Hom_{ℤ_{ℓ}G} (H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}), π) ≃_{D^{×}×W_{K}} ρ(π) ⊗ σ(π)(\frac{d − 1}{2}),

alors on a les propriétés suivantes :

i) π ↦ σ(π) est une bijection entre classes de \overline{𝔽}_{ℓ}-représentations supercuspidales de G et classes de \overline{𝔽}_{ℓ}-représentations irréductibles de dimension d de W_{K}.

ii) π ↦ ρ(π) est une injection de l’ensemble des classes de \overline{𝔽}_{ℓ}-représentations supercus-

pidales de G dans celui des classes de \overline{𝔽}_{ℓ}-représentations irréductibles de D^{×}. iii) Pour tout \overline{ℚ}_{ℓ}-relèvement π̃ de π, on a σ(π) = r_{ℓ}(σ(π̃)) et ρ(π) = r_{ℓ}(ρ(π̃)).

Dans le dernier point, la notation ρ(π̃) désigne la correspondante de Jacquet-Langlands de π̃, et σ(π̃) désigne sa correspondante de Langlands. La notation r_{ℓ} désigne l’application de “décomposition” qui consiste à prendre un réseau stable, le réduire “modulo ℓ” et semisimplifier.

Quelques remarques s’imposent :

– l’existence d’une bijection satisfaisant les points i) et iii) (et donc nécessairement unique) n’est pas nouvelle et est dûe à Vignéras dans [26]. Les différences entre sa preuve et la notre sont dans le point iii), qu’elle obtient par un argument global de congruences entre formes automorphes sur des groupes anisotropes, et dans la preuve de la surjectivité. Les preuves de l’irréductibilité et de l’injectivité reposent toujours sur son “critère numérique” [27, 2.3].

– De même, l’existence d’une injection satisfaisant les points ii) et iii) est déjà établie dans [12], et la différence réside dans le point iii) qui y est obtenu à l’aide de “caractères de Brauer”.

– L’énoncé obtenu lorsque l’on remplace \overline{𝔽}_{ℓ} par \overline{ℚ}_{ℓ} (moins le point iii) évidemment) découle de [18, Thm B], une fois que l’on sait que la partie supercuspidale de la cohomologie est concentrée en degré d − 1, ce qui est prouvé par Mieda dans [22], cf aussi Strauch [24]. Nous utilisons bien évidemment tous ces résultats.

Bien qu’il n’apparaisse pas dans cet énoncé, un rôle crucial est joué par le complexe

RΓ_{c}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}) ∈ D^{b}(Rep_{ℤ_{ℓ}}^{∞,c}(GD × W_{K}))

défini dans la section 3 de [10]. Ici, la catégorie dérivée est celle de la catégorie abélienne des ℤ_{ℓ}-représentations de GD × W_{K} qui sont lisses (signe ∞) pour l’action de GD, et qui sont continues (signe c) pour celle de W_{K} au sens où l’action de I_{K} provient d’une structure de module sur l’algèbre complétée ℤ_{ℓ}[[I_{K}]] et est lisse sur le plus grand sousgroupe fermé I_{K}^{ℓ′} d’ordre premier à ℓ. La propriété essentielle sur laquelle repose cet article est prouvée dans l’appendice A.1 où l’on trouvera un énoncé plus précis :

Proposition.– Le complexe RΓ_{c} est isomorphe, dans D^{b}(Rep_{ℤ_{ℓ}}^{∞}(G)), à un complexe borné de ℤ_{ℓ}G-représentations lisses projectives et “localement de type fini”.

La stratégie générale pour prouver des énoncés de ce type remonte au moins à SGA4, Exp XVII (5.2.10), mais la preuve n’est pas formelle pour autant : on utilise par exemple le morphisme de périodes de Gross-Hopkins et le fait que la catégorie Rep_{ℤ_{ℓ}}^{∞}(G) des ℤ_{ℓ}- représentations lisses de G est localement noethérienne.

Cette propriété de finitude montre que pour une \overline{𝔽}_{ℓ}-représentation lisse irréductible π de G, le complexe

R_{π} := RHom_{ℤ_{ℓ}G} (RΓ_{c}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}), π) (\frac{1 − d}{2})[1 − d] ∈ D^{+}(Rep_{\overline{𝔽}_{ℓ}}^{∞,c}(D^{×} × W_{K}))

est à cohomologie bornée et de dimension finie. Ceci permet de considérer son image

[R_{π}] ∈ R(D^{×} × W_{K}, \overline{𝔽}_{ℓ})

dans le groupe de Grothendieck des représentations de longueur finie de D^{×} × W_{K}. Nous obtiendrons alors l’amplification suivante du théorème 1 :

Théorème 2.– Pour π ∈ Irr_{\overline{𝔽}_{ℓ}} (G), la \overline{𝔽}_{ℓ}-représentation virtuelle [R_{π}] est de la forme

[R_{π}] = LJ(π) ⊗ σ(π)^{ss}, où

i) σ(π)^{ss} est une \overline{𝔽}_{ℓ}-représentation semi-simple de dimension d de W_{K} vérifiant les propriétés suivantes :

(a) σ(π)^{ss} = σ(π_{1})^{ss} +σ(π_{2})^{ss} si π est sous-quotient de l’induite parabolique π_{1} ×π_{2}.

(b) σ(π)^{ss} = r_{ℓ}(σ(π̃)) pour toute \overline{ℚ}_{ℓ}-représentation irréductible entière π̃ dont la réduction modulo ℓ contient π.

ii) LJ(π) est une \overline{𝔽}_{ℓ}-représentation virtuelle de D^{×} et l’homomorphisme

LJ_{\overline{𝔽}_{ℓ}} : R(G, \overline{𝔽}_{ℓ}) ⟶ R(D^{×}, \overline{𝔽}_{ℓ})

obtenu par linéarité vérifie LJ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}∘r_{ℓ} = r_{ℓ}∘LJ_{\overline{ℚ}_{ℓ}}, où LJ_{\overline{ℚ}_{ℓ}} est le transfert de Langlands-Jacquet ℓ-adique R(G, \overline{ℚ}_{ℓ}) ⟶ R(D^{×}, \overline{ℚ}_{ℓ}) de [10, Cor. 2.1.5].

Dans le texte, nous prouverons d’abord le théorème 2 et montrerons que l’application π ↦ σ(π)^{ss} vérifie la propriété i) du théorème 1. Puis nous déduirons le théorème 1 en remarquant que [R_{π}] = [Hom_{ℤ_{ℓ}G}(H_{c}^{d−1}, π)(\frac{d−1}{2})] lorsque π est supercuspidale. Il est possible de prouver tout le théorème 1 moins la surjectivité du point i), sans étudier [R_{π}], cf remarque (3.1.4).

On peut faire les mêmes remarques que précédemment :

– Le i) fournit une réalisation cohomologique de la correspondance de Langlands semisimple établie par Vignéras dans [26] et donne une nouvelle^{1} preuve de son existence.

– Le ii) fournit une réalisation cohomologique du transfert de Langlands-Jacquet ℓmodulaire de [12] et donne une nouvelle preuve de son existence.

– Lorsque l’on remplace \overline{𝔽}_{ℓ} par \overline{ℚ}_{ℓ}, la formule [R_{π}] = LJ(π) ⊗ σ(π) découle des faits suivants :

a) On a l’égalité [R_{π}] = ∑_{i,j}(−1)^{i+j}[Ext_{G}^{j}(H_{c}^{i}(M_{LT}^{ca}, \overline{ℚ}_{ℓ}), π)].

b) On connait déjà ∑_{i}(−1)^{i}[H_{c}^{i}(M_{LT}^{ca}, \overline{ℚ}_{ℓ})] grâce à [18, Thm VII.1.5].

c) On conclut grâce au calcul d’extensions de [10, 2.1.16].

On notera que pour π sur \overline{𝔽}_{ℓ}, l’égalité a) n’a parfois aucun sens car la somme de droite est infinie. C’est par exemple le cas pour π la représentation triviale et q ≡ 1[ℓ].

Par ailleurs, lorsque π est sur \overline{ℚ}_{ℓ}, nous avons décrit beaucoup plus précisément le complexe R_{π} dans [10, Thm. A], en utilisant les résultats de Boyer [5]. Selon cette description, R_{π} n’a de la cohomologie qu’en degrés de même parité, et il n’y a donc aucune annulation lorsqu’on prend la somme alternée. L’exemple suivant, détaillé en (2.2.7), montre que ceci n’est plus toujours vrai sur \overline{𝔽}_{ℓ}.

Exemple.– Supposons d = 3 et q ≡ 1[ℓ]. Soit π le quotient de C^{∞}(ℙ^{2}(K), \overline{𝔽}_{ℓ}) par les fonctions constantes. Alors H^{−1}(R_{π}) et H^{1}(R_{π}) sont de dimension au moins 2.

1.2 En familles, et en déformations

Dans le théorème (3.2.4) du texte, nous donnons une description explicite de la “partie supercuspidale” de la cohomologie entière de M_{LT}. Nous ne répétons pas cet énoncé ici, qui demande beaucoup de notations, mais donnons plutôt quelques corollaires frappants.

Soit ℤ_{ℓ}^{nr} l’extension non ramifiée maximale de ℤ_{ℓ} dans \overline{ℤ}_{ℓ}. Pour R une ℤ_{ℓ}^{nr}-algèbre noethérienne, on appellera R-famille de représentations irréductibles de G toute R-repré-sentation lisse (Π, V) vérifiant

– V^{H} est localement libre de rang fini pour tout pro-p-sous-groupe ouvert de G

– Π ⊗_{R} C est irréductible pour tout corps algébriquement clos C au-dessus de R.

1. Noter que l’on utilise tout de même les résultats fins de classification des \overline{𝔽}_{ℓ}-représentations de G dûs à Vignéras

Théorème 3.– Il existe deux foncteurs exacts

Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(G) → Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(D^{×})
Π ↦ ρ(Π)

et

Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(G) → Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(W_{K})
Π ↦ σ′(Π)

tels que pour toute ℤ_{ℓ}^{nr}-algèbre noethérienne R, on a :

i) Π ↦ σ′(Π) induit une bijection entre classes de R-familles de représentations irréductibles supercuspidales de G et classes de R-familles de représentations irréductibles de dimension d de W_{K}.

ii) Π ↦ ρ(Π) induit une injection de l’ensemble des classes de R-familles de représentations irréductibles supercuspidales de G dans celui des classes de R-familles de représentations irréductibles de D^{×}.

iii) Si Π est une R-famille de représentations irréductibles supercuspidales de G, alors il existe un R-module inversible R(Π) et un isomorphisme

Hom_{ℤ_{ℓ}G} (H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}), Π) ⊗_{R} R(Π) ≃ ρ(Π) ⊗_{R} σ′(Π)

En fait, les foncteurs de l’énoncé induisent des équivalences de catégories entre certaines sous-catégories “naturelles” de représentations des trois groupes ; on renvoie au paragraphe (3.2.5) pour l’énoncé précis. Les points i) et ii) fournissent des correspondances de Langlands et Jacquet-Langlands pour les R-familles de représentations irréductibles. En vertu de l’exactitude des foncteurs annoncés, ces correspondances sont compatibles à tout changement d’anneau R. De même, le module inversible et l’isomorphisme du point iii) peuvent être choisis fonctoriels en la paire (R, Π). En particulier, ce théorème implique le théorème 1. Néanmoins, nous ne le prouverons qu’après avoir établi le théorème 1.

Remarquons qu’on ne peut pas “descendre” ce théorème à ℤ_{ℓ}, mais on peut “descendre” une version où l’on impose une condition de type caractère central/déterminant fixé, cf (3.3.4).

Comme corollaire, on obtient des correspondances entre déformations de représentations de G, D^{×} et W_{K}, ou si l’on préfère, une déformation des correspondances de Langlands et Jacquet-Langlands du théorème 1. Notons A_{\overline{𝔽}_{ℓ}} la catégorie des ℤ_{ℓ}^{nr}-algèbres locales complètes noethériennes de corps résiduel \overline{𝔽}_{ℓ}. Un relèvement d’une \overline{𝔽}_{ℓ}-représentation π de G à Λ ∈ A_{\overline{𝔽}_{ℓ}} est une Λ-représentation admissible et plate, dont la réduction modulo 𝔪_{Λ} est isomorphe à π. Les relèvements de π s’organisent en une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de A_{\overline{𝔽}_{ℓ}}, que nous noterons Rel(π). De même, on a les catégories (cofibrées sur A_{\overline{𝔽}_{ℓ}}) Rel(ρ) et Rel(σ) pour des représentations de D^{×} et W_{K}.

Corollaire.– Soit π une \overline{𝔽}_{ℓ}-représentation supercuspidale de G. Les foncteurs π̃ ↦ ρ(π̃) et π̃ ↦ σ(π̃) := σ′(π̃)(\frac{1−d}{2}) induisent des équivalences de catégories cofibrées sur A_{\overline{𝔽}_{ℓ}}

Rel(π) ⟶^{∼} Rel(ρ(π)) et Rel(π) ⟶^{∼} Rel(σ(π)),

et il existe des isomorphismes fonctoriels en (Λ, π̃) ∈ Rel(π)

Hom_{ℤ_{ℓ}G} (H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}), π̃) ⟶^{∼} ρ(π̃) ⊗_{Λ} σ(π̃)(\frac{d − 1}{2}).

De plus, π̃ et ρ(π̃) ont un caractère central relié au déterminant de σ(π̃) par la formule

car.cent.(π̃) = car.cent.(ρ(π̃)) = det(σ(π̃)) ∘ Art_{K}^{−1} : K^{×} ⟶ Λ^{×}.

Nous allons donner une version plus concrète de ce corollaire en montrant comment les déformations universelles permettent de décrire la partie supercuspidale de la cohomologie de M_{LT}. Précisons d’abord ce que signifie “partie supercuspidale”. Comme une \overline{𝔽}_{ℓ}- représentation irréductible supercuspidale n’a d’extensions de Yoneda qu’avec elle-même, on peut scinder canoniquement toute ℤ_{ℓ}^{nr}-représentation lisse V de G en une somme directe V = V_{sc} ⊕ V′, dans laquelle tous les sous-quotients irréductibles de V_{sc} sont supercuspidaux, et aucun sous-quotient irréductible de V′ n’est supercuspidal, cf (3.0.2).

Fixons un élément ϖ de O de valuation strictement positive, et notons ϖ^{ℤ} le sousgroupe discret de K^{×} qu’il engendre. On peut voir ϖ^{ℤ} comme un sous-groupe central discret de G, de D^{×}, ou de GD. On s’intéresse alors aux ϖ^{ℤ}-coinvariants H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ})_{ϖ^{ℤ}} de la cohomologie, qui s’identifient à la cohomologie H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}/ϖ^{ℤ}, ℤ_{ℓ}) de la tour quotientée par l’action libre de ϖ^{ℤ}. Soit π une \overline{𝔽}_{ℓ}-représentation irréductible supercuspidale de G/ϖ^{ℤ}. On sait que ρ(π) est une représentation de D^{×}/ϖ^{ℤ}, et que le déterminant de σ(π) vaut 1 sur l’élément φ := Art_{K}(ϖ) de W_{K}^{ab} correspondant à ϖ par le corps de classes local. Un ϖ-relèvement de π, resp. ρ(π), est un relèvement qui se factorise par G/ϖ^{ℤ}, resp. D^{×}/ϖ^{ℤ}. Un φ-relèvement de σ(π) est un relèvement de déterminant 1 sur φ.

Soit ℤ̆_{ℓ} le complété ℓ-adique de ℤ_{ℓ}^{nr}. Posons maintenant

Λ_{π}^{ϖ} := ℤ̆_{ℓ}[Syl_{ℓ}(𝔽_{q^{fπ}}^{×} × f_{π}ℤ/dvℤ)],

où f_{π} est la longueur de π_{|G^{0}} et v = val_{O}(ϖ). On remarquera que c’est une ℤ̆_{ℓ}-algèbre locale complète noethérienne de corps résiduel \overline{𝔽}_{ℓ}.

Théorème 4.– Tordons^{2} l’action de G par g ↦ ^{t}g^{−1}. Il existe alors une décomposition

H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}/ϖ^{ℤ}, ℤ̆_{ℓ})_{sc} ≃ ⨁_{π∈Scusp_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(G/ϖ^{ℤ})} π̃ ⊗_{Λ_{π}^{ϖ}} ρ̃(π) ⊗_{Λ_{π}^{ϖ}} σ̃(π)(\frac{1 − d}{2})

où π̃ et ρ̃(π) sont des ϖ-relèvements de π et ρ(π) sur Λ_{π}^{ϖ}, et σ̃(π) est un φ-relèvement de σ(π) sur Λ_{π}^{ϖ}. De plus, on a les propriétés suivantes.

i) Ces relèvements sont universels en tant que déformations ; Λ_{π}^{ϖ} est donc l’anneau de ϖ- ou φ-déformations de π, ρ(π) et σ(π).

ii) π̃ est une enveloppe projective de π dans Rep∞ ; ℤ̆_{ℓ}(G/ϖ^{ℤ}) et ρ̃(π) est une enveloppe projective de ρ(π) dans Rep∞ ; ℤ̆_{ℓ}(D^{×}/ϖ^{ℤ}).

Remarquons que la cohomologie fournit donc l’anneau de ϖ- ou φ- déformation de π, ρ(π) et σ(π) par la formule Λ_{π}^{ϖ} = End_{ℤ̆_{ℓ}GDW} (H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}/ϖ^{ℤ}, ℤ̆_{ℓ})_{C_{π}^{ϖ}}), où l’indice C_{π}^{ϖ} signifie “localisé en π” ou “partie π-isotypique généralisée”, cf appendice B.1. Par ailleurs, quitte à se débarasser de l’action de D^{×} en appliquant le foncteur Hom_{ℤ̆_{ℓ}D^{×}}(ρ̃(π), −), on constate que H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}/ϖ^{ℤ})_{C_{π}} fournit un cas particulier (facile) d’existence de “correspondance de Langlands locale en familles” au sens de [14].

Organisation de l’article. Dans la section 2, nous prouvons le théorème 2, en reportant la preuve de la propriété de perfection de RΓ_{c} à l’appendice A, pour bien séparer les arguments. Dans la section 3, nous étudions la partie supercuspidale de la cohomologie et nous prouvons les autre théorèmes annoncés ci-dessus. Nous avons isolé les ingrédients de pure théorie des représentations dans l’appendice B, en espérant que cela puisse clarifier les arguments.

2. ceci pour éviter l’apparition de contragrédientes

2 Réalisation virtuelle de Langlands et Jacquet-Langlands modulo ℓ

Dans cette section, nous prouvons le théorème 2, en renvoyant à l’appendice pour les propriétés cohomologiques utilisées. Au passage, nous redémontrons donc l’existence et les propriétés de la correspondance de Langlands ℓ-modulaire de [26] et du transfert de Langlands-Jacquet ℓ-modulaire de [12].

2.1 Une propriété de finitude et ses conséquences

Dans ce paragraphe, Λ désigne une ℤ_{ℓ}-algèbre finie. Une représentation lisse V de G à coefficients dans Λ est dite localement de type fini si pour tout entier n, le module V^{H_{n}} est de type fini sur l’algèbre de Hecke H_{Λ}(G, H_{n}). Ici, H_{n} désigne le sous-groupe de congruences Id +ϖ^{n}M_{d}(O). La propriété de noethériannité suivante nous sera utile :

(2.1.1) Fait ([11], Thms 1.3 et 1.5)– L’anneau H_{Λ}(G, H_{n}) est noethérien. En particulier, toute sous-représentation d’une représentation localement de type fini est localement de type fini.

(2.1.2) Définition.– Un complexe C de D^{b}(Rep_{Λ}^{∞}(G)) sera dit localement parfait s’il est quasi-isomorphe à un complexe borné de la forme P_{a} ⟶ P_{a+1} ⟶ ⋯ ⟶ P_{b} dont chaque terme P_{i} est projectif et localement de type fini.

On appelle amplitude parfaite le plus petit intervalle [a, b] pour lequel on peut trouver un complexe comme ci-dessus. On se gardera de confondre l’amplitude parfaite et l’amplitude cohomologique.

(2.1.3) Proposition.– Le complexe RΓ_{c}(M_{LT}^{ca}, Λ) ∈ D^{b}(Rep_{Λ}^{∞}(G)) est localement parfait, d’amplitude parfaite [0, 2d − 2].

Nous renvoyons à l’appendice A pour la preuve de cette proposition. On y trouvera aussi une propriété de perfection pour RΓ_{c}(M_{LT}^{ca}, Λ) en tant que complexe de D^{×}-modules, mais l’amplitude parfaite est dans ce cas [d − 1, 2d − 2], donc égale à l’amplitude cohomologique, cf proposition (A.2.1). Par contre, le complexe n’est pas simultanément parfait (i.e. en tant que complexe de GD-modules), cf remarque (A.2.2).

(2.1.4) Définition.– Une Λ-représentation lisse V de G est dite Z-finie si toute K^{×}-orbite dans V est contenue dans un sous-Λ-module de type fini.

(2.1.5) Proposition.– Soit C = \overline{𝔽}_{ℓ} ou \overline{ℚ}_{ℓ}. Pour toute C-représentation Z-finie et de type fini V de G, le complexe

RHom_{ℤ_{ℓ}G}(RΓ_{c}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}), V^{∨}) ∈ D^{+}(Rep_{C}^{∞,c}(D^{×} × W_{K}))

est cohomologiquement borné, d’amplitude contenue dans [2 − 2d, 0], et sa cohomologie est de dimension finie.

Preuve. L’assertion sur l’amplitude cohomologique du complexe en question découle immédiatement de celle sur l’amplitude parfaite de la proposition (2.1.3). Il reste à prouver que la cohomologie est de dimension finie. Pour cela, il suffit de prouver que pour tous i et j on a

dim_{C} Ext_{CG}^{j}(H_{c}^{i}(M_{LT}^{ca}, C), V^{∨}) < ∞.

Soit G^{0} := ker (val_{K} ∘det). D’après l’isomorphisme (3.5.2) de [10], on a H_{c}^{i}(M_{LT}^{ca}, C) = ind_{G^{0}}^{G} (H_{c}^{i}(M_{LT}^{(0),ca}, C)) où M_{LT}^{(0)} désigne la tour des déformations de Lubin-Tate (le lieu

où la quasi-isogénie résiduelle est de degré 0). On a donc Ext_{G}^{j}(H_{c}^{i}(M_{LT}^{ca}, C), V^{∨}) = Ext_{G^{0}}^{j}(H_{c}^{i}(M_{LT}^{(0),ca}, C), V^{∨}).

Comme K^{×}G^{0} est d’indice fini dans G, nos hypothèses sur V impliquent qu’elle est de type fini sur G^{0}. Comme on l’a déjà rappelé, (fait (2.1.1)), la catégorie des représentations de type fini de G est stable par sous-objet, et on en déduit facilement que celle des représentations de type fini de G^{0} l’est aussi. Il s’ensuit que V_{|G^{0}} possède une résolution projective (en général infinie) par des représentations de la forme ind_{H_{n}}^{G^{0}} (1_{C})^{k} (induites à supports compacts). Par passage à la contragrédiente, V_{|G^{0}}^{∨} admet une résolution injec-

tive par des représentations de la forme Ind_{H_{n}}^{G^{0}} (1_{C})^{k} (induites sans condition de supports). Or, on a Hom_{G^{0}}(H_{c}^{i}(M_{LT}^{(0),ca}, C), Ind_{H_{n}}^{G^{0}} (1_{C})) ≃ Hom_{H_{n}}(H_{c}^{i}(M_{LT}^{(0),ca}, C), C) ≃ H_{c}^{i}(M_{LT,n}^{(0),ca}, C)^{∨}, et on sait que ce dernier C-espace vectoriel est de dimension finie.

Soit maintenant π une C-représentation de longueur finie de G. Appliquant la proposition ci-dessus à π^{∨}, on voit que le complexe R_{π} de l’introduction appartient à la souscatégorie triangulée D_{tf}^{b}(Rep_{C}^{∞,c}(D^{×} × W_{K})) des objets de D^{+}(Rep_{C}^{∞,c}(D^{×} × W_{K})) cohomologiquement bornés et à cohomologie de dimension finie. Ceci permet de définir la classe

[R_{π}] := ∑_{i∈ℤ}(−1)^{i}[H^{i}(R_{π})] ∈ R(D^{×} × W_{K}, C)

de R_{π} dans le groupe de Grothendieck des C-représentations de longueur finie. Toute suite exacte π_{1} ↪ π_{2} ↠ π_{3} induit un triangle distingué R_{π_{3}} ⟶ R_{π_{2}} ⟶ R_{π_{1}} ⟶^{+1}, donc on a [R_{π_{2}}] = [R_{π_{1}}] + [R_{π_{3}}]. On obtient de la sorte un homomorphisme

R(G, C) ⟶ R(D^{×} × W_{K}, C)

entre groupes de Grothendieck.

La proposition précédente nous donne une information supplémentaire sur l’homomorphisme composé π ↦ [R_{π^{∨}}]. Celui-ci doit en effet se factoriser à travers le morphisme canonique R(G, C) ⟶ K_{Z}(G, C) où K_{Z}(G, C) désigne le groupe de Grothendieck de la catégorie (abélienne) des C-représentations Z-finies et de type fini. En particulier, [R_{π}] = 0 dès que la classe de π^{∨} est nulle dans K_{Z}(G, C). Nous allons voir un exemple intéressant.

(2.1.6) Définition.– Notons R_{I}(G, C) le sous-groupe de R(G, C) engendré par les induites paraboliques propres. Une C-représentation π est dite elliptique si [π] ∉ R_{I}(G, C).

(2.1.7) Corollaire.– Si π n’est pas elliptique, alors [R_{π}] = 0.

Preuve. Il suffit de le prouver lorsque π est une induite parabolique propre. Dans ce cas, π^{∨} est aussi une induite parabolique, disons π^{∨} = i_{P}^{G}(τ), et on sait par un argument qui remonte à Kazhdan que son image dans K_{Z}(G, C) est nulle. Rappelons brièvement cet argument. Soit P^{1} ⊂ P un sous-groupe ouvert contenant le centre Z de G et de quotient P/P^{1} libre abélien de rang 1. Un tel groupe contient aussi la préimage du sous-groupe M_{P}^{0} du quotient de Levi M_{P} engendré par les éléments compacts. Ainsi τ_{|P^{1}} est encore de longueur finie, donc de type fini sur P^{1}, donc son induite ind_{P^{1}}^{P} (τ) ≃ τ ⊗ C[P/P^{1}] est de type fini sur P. Soit γ un générateur de P/P^{1}. On a une suite exacte

0 ⟶ τ ⊗ C[P/P^{1}] ⟶^{Id ⊗(1 − γ)} τ ⊗ C[P/P^{1}] ⟶ τ ⟶ 0.

En appliquant le foncteur d’induction parabolique, on obtient une suite exacte de représentations Z-finies et de type fini de G

0 ⟶ i_{P}^{G}(τ ⊗ C[P/P^{1}]) ⟶^{Id ⊗(1 − γ)} i_{P}^{G}(τ ⊗ C[P/P^{1}]) ⟶ π^{∨} ⟶ 0

qui montre que la classe de π^{∨} est nulle dans K_{Z}(G, C).

(2.1.8) Proposition.– Le diagramme suivant est commutatif :

\xymatrix{R(G, \overline{ℚ}_{ℓ}) \ar[r]^{π↦[R_{π}]} \ar[d]_{r_{ℓ}} & R(D^{×} × W_{K}, \overline{ℚ}_{ℓ}) \ar[d]^{r_{ℓ}} \\ R(G, \overline{𝔽}_{ℓ}) \ar[r]_{π↦[R_{π}]} & R(D^{×} × W_{K}, \overline{𝔽}_{ℓ})}

On y a noté r_{ℓ} les morphismes de décomposition obtenus par semi-simplification de réductions de modèles entiers.

Preuve. Soit π une \overline{ℚ}_{ℓ}-représentation irréductible. On sait qu’elle admet un modèle π_{λ} sur une extension finie E_{λ} de ℚ_{ℓ}^{nr}, dont on note Λ l’anneau des entiers. Choisissons un sous-ΛG-module de type fini ω non nul dans π_{λ}.

Supposons d’abord que π_{λ} est ℓ-entière au sens de [28, II.4.11]. Alors ω est Λ-admissible, et la proposition (2.1.3) montre que le complexe R_{ω} := RHom_{ΛG}(RΓ_{c}(M_{LT}^{ca}, Λ), ω) appartient à la sous-catégorie triangulée D_{tf}^{b}(Rep_{Λ}^{∞,c}(D^{×} × W_{K})) de la catégorie dérivée des Λ-représentations de D^{×} × W_{K} formée des objets à cohomologie bornée et de type fini sur Λ. Par construction on a

R_{π} = R_{ω} ⊗_{Λ}^{L} \overline{ℚ}_{ℓ} et Rω̄ = R_{ω} ⊗_{Λ}^{L} \overline{𝔽}_{ℓ}

où l’on a noté ω̄ := ω ⊗_{Λ} \overline{𝔽}_{ℓ}. Nous devons montrer que [Rω̄] = r_{ℓ}([R_{π}]).

Pour cela, notons K(D^{×} × W_{K}, Λ) le groupe de Grothendieck de la catégorie des Λ-représentations de D^{×} × W_{K} qui sont de type fini sur Λ. Il coïncide canoniquement avec le groupe de Grothendieck K(D_{tf}^{b}(Rep_{Λ}^{∞,c}(D^{×} × W_{K}))) de la catégorie triangulée D_{tf}^{b}(Rep_{Λ}^{∞,c}(D^{×} × W_{K})). Les foncteurs triangulés − ⊗_{Λ}^{L} E_{λ} et − ⊗_{Λ}^{L} \overline{𝔽}_{ℓ} induisent les deux homomorphismes diagonaux du triangle

\xymatrix{ & K(D^{×} × W_{K}, Λ) \ar@{-->}[dl] \ar[dr] \\ R(D^{×} × W_{K}, E_{λ}) \ar[rr]^{r_{ℓ}} &  & R(D^{×} × W_{K}, \overline{𝔽}_{ℓ}).}

Il nous suffit donc de voir que ce triangle est commutatif. Or le groupe K(D^{×} × W_{K}, Λ) est engendré par les Λ(D^{×} × W_{K})-modules sans ℓ-torsion, et pour un tel module τ, on a par construction r_{ℓ}([τ ⊗_{Λ} E_{λ}]) = [τ ⊗_{Λ} \overline{𝔽}_{ℓ}].

Reste à considérer le cas où π n’est pas ℓ-entière. Dans ce cas, ω = π_{λ} donc r_{ℓ}(π) = 0, et il nous faut prouver que r_{ℓ}([R_{π}]) = 0. Or, on sait d’une part que R_{π} est nul si π n’est pas elliptique (corollaire (2.1.7)), et d’autre part qu’une représentation elliptique est ℓ-entière si et seulement si son caractère central l’est. Ainsi le caractère central de π n’est pas entier. Mais par construction, le centre K^{×} de D^{×} agit par l’inverse de ce caractère sur chaque H^{i}(R_{π}). Il s’ensuit que H^{i}(R_{π}) n’est pas ℓ-entière et par conséquent que r_{ℓ}([H^{i}(R_{π})]) = 0.

2.2 Les correspondances modulo ℓ

(2.2.1) Rappel du cas ℓ-adique. La description explicite de la cohomologie du complexe R_{π} dans [10, Thm A] montre que pour toute \overline{ℚ}_{ℓ}-représentation irréductible π, on a la formule

(2.2.1.1)  [R_{π}] = LJ_{\overline{ℚ}_{ℓ}}(π) ⊗ σ_{\overline{ℚ}_{ℓ}}(π)^{ss} dans R(D^{×} × W_{K}, \overline{ℚ}_{ℓ}).

En fait, comme on l’a expliqué dans l’introduction, contrairement à [10, Thm A], on n’a pas besoin des résultats de Boyer sur la cohomologie ℓ-adique, mais simplement de la somme alternée comme dans [18, Thm VII.1.5].

(2.2.2) Définition de LJ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}. D’après (2.2.1.1), on a [R_{π}] = d·LJ_{\overline{ℚ}_{ℓ}}(π) dans R(D^{×}, \overline{ℚ}_{ℓ}). Pour tirer parti de la proposition (2.1.8), on doit utiliser un fait non-trivial de théorie des représentations, qui découle des travaux de classification de M.-F. Vignéras.

Fait.– cf. [12, Cor. (2.2.7)]. L’application de décomposition r_{ℓ} : R(G, \overline{ℚ}_{ℓ}) ⟶ R(G, \overline{𝔽}_{ℓ}) est surjective.

Ceci, joint à la proposition (2.1.8), implique que pour tout π ∈ Irr_{\overline{𝔽}_{ℓ}} (G), la représentation virtuelle [R_{π}] est divisible par d dans R(D^{×}, \overline{𝔽}_{ℓ}). Posons alors

LJ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π) := \frac{1}{d}[R_{π}] ∈ R(D^{×}, \overline{𝔽}_{ℓ}).

L’homomorphisme LJ_{\overline{𝔽}_{ℓ}} vérifie la propriété de commutation à r_{ℓ} annoncée dans le point ii) du théorème 2. La surjectivité de r_{ℓ} montre d’ailleurs que cette propriété le caractérise. On retrouve ainsi le transfert de Langlands-Jacquet défini dans [12] à l’aide des caractères de Brauer de groupes p-adiques.

Remarque.– Comme la correspondance de Jacquet-Langlands commute aux contragrédientes, on a d · LJ_{C}(π) = [R_{π}] = [R_{π^{∨}}]^{∨}. Il résulte alors du paragraphe précédent que l’homomorphisme d · LJ_{C} se factorise par un morphisme K_{Z}(G, C) ⟶ R(D^{×}, C). Mais ce dernier morphisme n’est pas divisible par d. Par exemple pour C = \overline{ℚ}_{ℓ}, il envoie V = ind_{GL_{d}(O)}^{G} (1_{\overline{ℚ}_{ℓ}}) sur (−1)^{d−1}[1_{\overline{ℚ}_{ℓ}}].

(2.2.3) Définition de σ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π)^{ss}. Soit π ∈ Irr_{\overline{𝔽}_{ℓ}} (G).

Si π est supercuspidale, on sait par [28, III.5.10 ii)] qu’elle se relève en une \overline{ℚ}_{ℓ}- représentation. La proposition (2.1.8) montre alors que [R_{π}] est bien de la forme LJ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π)⊗ σ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π)^{ss}, avec σ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π)^{ss} = r_{ℓ}(σ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π̃))^{ss} pour n’importe quel \overline{ℚ}_{ℓ}-relèvement π̃.

Si π n’est pas supercuspidale, elle apparait comme sous-quotient d’une induite parabolique π_{1}×⋯×π_{r} avec les π_{i} supercuspidales. La propriété “d’unicité du support cuspidal”

[25, V.4] dit que les π_{i} sont uniquement déterminés à l’ordre près. On pose alors

(2.2.3.1)  σ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π)^{ss} := σ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π_{1})^{ss} ⊕ ⋯ ⊕ σ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π_{r})^{ss}.

Notons que par transitivité du support supercuspidal, l’égalité ci-dessus est encore vraie si les π_{i} ne sont pas supercuspidales.

(2.2.4) Proposition.– Soit π ∈ Irr_{\overline{𝔽}_{ℓ}} (G). On a

[R_{π}] = LJ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π) ⊗ σ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π)^{ss}, dans R(D^{×} × W_{K}, \overline{𝔽}_{ℓ}).

Preuve. Supposons d’abord que LJ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π) = 0. Dans ce cas, la seule chose à démontrer est que [R_{π}] = 0 dans R(D^{×}×W_{K}, \overline{𝔽}_{ℓ}). Or, d’après le théorème (3.1.4) de [12], π appartient au sous-groupe R_{I}(G, \overline{𝔽}_{ℓ}) de R(G, \overline{𝔽}_{ℓ}) engendré par les induites paraboliques propres. Le corollaire (2.1.7) nous assure bien que [R_{π}] = 0.

Supposons maintenant que π est une représentation “superSpeh”, au sens de [12, Def 2.2.3]. Par définition, elle est de la forme r_{ℓ}(π̃) avec π̃ l’unique sous-représentation d’une induite parabolique normalisée π̃_{0} × π̃_{0}ν × ⋯ × π̃_{0}ν^{r−1} où r_{ℓ}(π̃_{0}) =: π_{0} est une \overline{𝔽}_{ℓ}- représentation supercuspidale de GL_{d/r}(K) et ν est le caractère g ↦ q^{−val_{K}(det(g))}. D’après la proposition (2.1.8), on a [R_{π}] = LJ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π) ⊗ r_{ℓ}(σ_{\overline{ℚ}_{ℓ}}(π̃)^{ss}). Or, on calcule r_{ℓ}(σ_{\overline{ℚ}_{ℓ}}(π̃)^{ss}) = r_{ℓ}(∑_{i=0}^{r−1} σ_{\overline{ℚ}_{ℓ}}(π̃_{0}ν^{i})^{ss}) = ∑_{i=0}^{r−1} σ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π_{0}ν^{i})^{ss} = σ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π)^{ss}, puisque les π_{0}ν^{i} sont supercuspidales.

Supposons enfin que LJ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π) ≠ 0, ce qui équivaut, toujours d’après le théoréme (3.1.4) de [12], à ce que π soit elliptique. En vertu de la proposition (2.2.6) de [12] précisée par le lemme (3.2.1) de loc. cit., on peut écrire

[π] ≡ ∑_{i=0}^{r−1} a_{i}[δ_{i}] modulo R_{I}(G, \overline{𝔽}_{ℓ})

où les δ_{i} sont les représentations superSpeh de même support supercuspidal que π, et les a_{i} sont des entiers. Le corollaire (2.1.7) nous donne alors

[R_{π}] = ∑_{i=0}^{r−1} a_{i}[R_{δ_{i}}].

Nous venons de montrer que [R_{δ_{i}}] = LJ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(δ_{i}) ⊗ σ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(δ_{i})^{ss} pour tout i. Mais par définition, σ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(δ_{i})^{ss} ne dépend que du support cuspidal de δ_{i}, et on a σ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(δ_{i})^{ss} = σ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π)^{ss} pour tout i. On en déduit

[R_{π}] = ∑_{i=0}^{r−1} a_{i}LJ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(δ_{i}) ⊗ σ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π)^{ss} = LJ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π) ⊗ σ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π)^{ss}.

(2.2.5) Proposition.– Soit π̃ ∈ Irr_{\overline{ℚ}_{ℓ}} (G). Pour tout sous-quotient irréductible π de r_{ℓ}(π̃), on a σ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π)^{ss} = r_{ℓ}(σ_{\overline{ℚ}_{ℓ}}(π̃)^{ss}).

Preuve. Supposons que π̃ est sous-quotient de π̃_{1} ×⋯×π̃_{r} avec les π̃_{i} supercuspidales. Posons π_{i} = r_{ℓ}(π̃_{i}) ; c’est une représentation cuspidale, pas nécessairement supercuspidale. On sait que

r_{ℓ}(σ_{\overline{ℚ}_{ℓ}}(π̃)^{ss}) = ∑_{i=1}^{r} r_{ℓ}(σ_{\overline{ℚ}_{ℓ}}(π̃_{i})^{ss})

et on a par construction

σ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π)^{ss} = ∑_{i=1}^{r} σ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π_{i})^{ss}

puisque π est sous-quotient de l’induite π_{1} × ⋯ × π_{r}. Il nous suffit donc de prouver que r_{ℓ}(σ_{\overline{ℚ}_{ℓ}}(π̃_{i})^{ss}) = σ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π_{i})^{ss} pour tout i. Si π_{i} est supercuspidale, cette égalité est vraie par définition. Si π_{i} n’est pas supercuspidale, on a les égalités

LJ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π_{i}) ⊗ r_{ℓ}(σ_{\overline{ℚ}_{ℓ}}(π̃_{i})^{ss}) = [R_{π_{i}}] = LJ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π_{i}) ⊗ σ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π_{i})^{ss},

la première découlant de la proposition (2.1.8), et la seconde de la proposition (2.2.4). Or on sait que π est elliptique, i.e. LJ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π) ≠ 0, donc on en déduit l’égalité voulue.

Les deux propositions précédentes achèvent la preuve du théorème 2. Mais nous n’avons rien dit encore sur les propriétés de l’application π ↦ σ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π)^{ss} lorsque π est supercuspidale. C’est l’objet de la proposition suivante, qui redonne le théorème de Vignéras sur la correspondance entre supercuspidales et irréductibles. Une fois cette proposition prouvée, nous aurons retrouvé l’intégralité du théorème 1.6 de [26].

(2.2.6) Proposition.– L’application π ↦ σ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π)^{ss} induit une bijection de l’ensemble des \overline{𝔽}_{ℓ}-représentations supercuspidales de G sur celui des \overline{𝔽}_{ℓ}-représentations irréductibles de dimension d de W_{K}.

Preuve. La proposition (2.1.8) montre que la correspondance de Langlands ℓ-adique est compatible aux congruences : si π̃_{1} et π̃_{2} sont deux \overline{ℚ}_{ℓ}-représentations supercuspidales entières et de même réduction r_{ℓ}(π̃_{1}) = r_{ℓ}(π̃_{2}) = π, alors r_{ℓ}(σ_{\overline{ℚ}_{ℓ}}(π̃_{1})) = r_{ℓ}(σ_{\overline{ℚ}_{ℓ}}(π̃_{2})) = σ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π)^{ss}.

Si π est supercuspidale, le critère numérique [27, 2.3] montre que σ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π)^{ss} est irréductible. Ce même critère montre aussi que l’application π ↦ σ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π)^{ss} restreinte à l’ensemble des supercuspidales est injective.

Pour prouver la surjectivité, soit σ une \overline{𝔽}_{ℓ}-représentation irréductible. Choisissons un relèvement σ̃ de σ à \overline{ℚ}_{ℓ} (théorème de Fong-Swan) et posons π̃ := σ_{\overline{ℚ}_{ℓ}}^{−1}(σ̃). C’est

une \overline{ℚ}_{ℓ}-représentation supercuspidale entière de G. Sa réduction π := r_{ℓ}(π̃) est une \overline{𝔽}_{ℓ}- représentation irréductible cuspidale qui vérifie σ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π)^{ss} = r_{ℓ}(σ_{\overline{ℚ}_{ℓ}}(π̃)) = σ par la proposition précédente. Comme σ est irréductible, π est nécessairement supercuspidale (vu la définition de σ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π)^{ss}), et on a prouvé la surjectivité.

Pour une représentation supercuspidale, il n’y a donc plus lieu de garder la notation ss, et on notera simplement σ_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(π).

(2.2.7) Un exemple instructif. Reprenons les notations de l’exemple de l’introduction. Supposons donc d = 3 et q ≡ 1[ℓ], et notons π le quotient de C^{∞}(ℙ^{2}(K), \overline{𝔽}_{ℓ}) par les fonctions constantes. Ici on peut voir ℙ^{2}(K) indifféremment comme l’espace des droites ou l’espace des plans ; en d’autres termes, π est autoduale. On peut alors relever π en une \overline{ℚ}_{ℓ}-représentation elliptique de deux manières différentes : on prend l’espace C^{∞}(ℙ^{2}(K), \overline{ℚ}_{ℓ})/\overline{ℚ}_{ℓ}, et on le munit de l’action π̃_{1} sur les droites, et de sa transposée π̃_{2} sur les plans. Ces deux \overline{ℚ}_{ℓ}-représentations sont duales l’une de l’autre, mais pas isomorphes.

Nous avons calculé les complexes Rπ̃_{1} et Rπ̃_{2} dans [10, 4.4.2], voir aussi [9, Thm 4.1.5]. Leur cohomologie est concentrée en degrés −1 et 1. Plus précisément, on a

dim(H^{−1}(Rπ̃_{1})) = 2 et dim(H^{1}(Rπ̃_{1})) = 1

tandis que

dim(H^{−1}(Rπ̃_{2})) = 1 et dim(H^{1}(Rπ̃_{2})) = 2.

On en déduit immédiatement que dim(H^{−1}(R_{π})) ⩾ 2 et dim(H^{1}(R_{π})) ⩾ 2. Cela implique en particulier que la cohomologie des complexes R_{ω_{1}} et R_{ω_{2}} associés aux réseaux stables de π̃_{1} et π̃_{2} a de la torsion.

3 La partie supercuspidale de la cohomologie ℓentière

Jusqu’ici, la notion de supercuspidalité n’a été définie que pour une représentation irréductible sur \overline{𝔽}_{ℓ}. Pour une ℤ_{ℓ}-représentation générale, il nous faudra faire un détour par le groupe G^{0} = ker (val_{K} ∘ det).

(3.0.1) Définition.– Un objet V de Rep_{ℤ_{ℓ}}^{∞}(G^{0}) ou de Rep_{ℤ_{ℓ}}^{∞}(G) est dit supercuspidal si aucun de ses ℤ_{ℓ}G^{0}-sous-quotients n’est un sous-quotient d’une induite parabolique propre.

Remarque.– Pour V irréductible, il n’est pas complètement évident que cette définition coïncide avec la définition de Vignéras, où l’on demande simplement que V ne soit pas sous-quotient d’une induite parabolique propre admissible. Nous vérifions que les deux définitions sont compatibles dans le corollaire (B.1.3).

Une représentation supercuspidale V est en particulier cuspidale (i.e. annulée par tous les foncteurs de Jacquet propres), et donc les fonctions g ↦ e_{H}gv, pour v ∈ V et H pro-p-sous-groupe ouvert de G, sont à support compact modulo le centre.

Par conséquent, les ℤ_{ℓ}G^{0}-sous-quotients irréductibles de V sont des 𝔽_{ℓ}-représentations, et celles-ci apparaissent comme sous-quotient, et même sous-objet, d’une \overline{𝔽}_{ℓ}-représentation irréductible supercuspidale (au sens habituel) de G. Vu la remarque ci-dessus, cette propriété des ℤ_{ℓ}G^{0}-sous-quotients irréductibles caractérise les représentations supercuspidales au sens de (3.0.1).

Exemple.– Si V est une \overline{ℚ}_{ℓ}-représentation irréductible, alors elle est supercuspidale au sens (3.0.1) si et seulement si c’est un twist non ramifié d’une représentation ℓ-entière de réduction supercuspidale au sens habituel de Vignéras.

La définition (3.0.1) peut paraitre alambiquée puisqu’elle fait un détour par G^{0}, mais permet d’avoir la propriété suivante, prouvée dans l’appendice (B.1.4).

(3.0.2) Proposition.– La sous-catégorie Rep_{ℤ_{ℓ}}^{sc}(G) ⊂ Rep_{ℤ_{ℓ}}^{∞}(G) (resp. Rep_{ℤ_{ℓ}}^{sc}(G^{0}) ⊂ Rep_{ℤ_{ℓ}}^{∞}(G^{0})) dont les objets sont les représentations supercuspidales est facteur direct.

Ainsi, toute représentation V ∈ Rep_{ℤ_{ℓ}}^{∞}(G) se décompose canoniquement en V = V_{sc} ⊕ V′ avec V_{sc} ∈ Rep_{ℤ_{ℓ}}^{sc}(G) et V′ une représentation dont aucun ℤ_{ℓ}G^{0}-sous-quotient n’est supercuspidal au sens de (3.0.1).

Dans cette section, nous étudions la partie supercuspidale H_{c}^{n−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ})_{sc} de la cohomologie et nous prouvons en particulier les théorèmes 1, 3 et 4 de l’introduction.

3.1 Projectivité et conséquences

La propriété suivante est la base de notre étude. C’est une conséquence de la propriété de perfection du complexe RΓ_{c}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}) dans D^{b}(Rep_{ℤ_{ℓ}}^{∞}(G)).

(3.1.1) Proposition.– La partie supercuspidale H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ})_{sc} est un objet projectif et localement de type fini de Rep_{ℤ_{ℓ}}^{∞}(G).

Preuve. Avant toute chose, remarquons que H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}) est sans ℓ-torsion, puisque H_{c}^{d−2}(M_{LT}^{ca}, 𝔽_{ℓ}) est nul.

Première étape : H_{c}^{i}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ})_{sc} = 0 pour i ≠ d − 1. Pour cela, rappelons d’abord que

H_{c}^{i}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ})_{sc} = ind_{G^{0}}^{G} (H_{c}^{i}(M_{LT}^{(0),ca}, ℤ_{ℓ})_{sc})

où M_{LT}^{(0)} est le lieu où la quasi-isogénie du problème de déformations est un isomorphisme. Maintenant, l’argument de [22, Proof of Thm 3.7], de nature géométrique, montre que pour i ≠ d − 1, H_{c}^{i}(M_{LT}^{(0),ca}, ℤ_{ℓ}) admet une filtration finie dont les sous-quotients successifs sont des sous-quotients de représentations de la forme Ind_{P ∩G^{0}}^{G^{0}} (W^{0}) avec W^{0} une représentation ℤ_{ℓ}-admissible de P ∩ G^{0}. Montrons qu’une telle représentation est nécessairement triviale sur le radical unipotent. En effet, d’après [4, 13.2.3], l’action du radical unipotent sur la ℚ_{ℓ}-représentation admissible W^{0} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℚ_{ℓ} est triviale. L’argument de loc. cit. appliqué à W_{ℓ−tors}^{0} en utilisant la longueur au lieu de la dimension montre que le radical unipotent y agit aussi trivialement. Comme il est localement pro-p, il agit donc trivialement sur W^{0}. Mais alors, l’induite Ind_{P ∩G^{0}}^{G^{0}} (W^{0}) est une induite parabolique, et H_{c}^{i}(M_{LT}^{(0),ca}, ℤ_{ℓ}) n’a donc pas de sous-quotient supercuspidal.

Deuxième étape : H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ})_{sc} est de dimension cohomologique finie. En effet, considérons la partie supercuspidale RΓ_{c,sc} du complexe RΓ_{c}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}). C’est un facteur direct de ce dernier, donc il est localement parfait d’après la proposition (2.1.3). D’après l’étape précédente, il est concentré en degré d − 1, i.e. on a

(3.1.1.1)  RΓ_{c}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ})_{sc} ≃ H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ})_{sc}[1 − d],

d’où la propriété annoncée.

Troisième étape : H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ})_{sc} est projectif. Fixons un sous-groupe de congruences H de GL_{d}(O). Pour tout V ∈ Rep_{ℤ_{ℓ}}^{∞}(G), notons ⟨V^{H}⟩ la sous ℤ_{ℓ}G-représentation de V engendrée par les invariants V^{H} de V. On sait que c’est un facteur direct de V, cf [10, 3.5.8]. Il nous suffira donc de prouver que le facteur direct ⟨H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ})_{sc}^{H}⟩ est projectif. Ce dernier peut s’écrire sous la forme

⟨H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ})_{sc}^{H}⟩ = ind_{G^{0}}^{G} (⟨H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{(0),ca}, ℤ_{ℓ})_{sc}^{H}⟩) ,

et il suffit donc de prouver que H := ⟨H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{(0),ca}, ℤ_{ℓ})_{sc}^{H}⟩ est projectif dans Rep_{ℤ_{ℓ}}^{∞}(G^{0}). On sait déjà qu’il est admissible, supercuspidal, et de dimension cohomologique finie. On peut donc trouver une résolution

0 ⟶ P_{d−1} ⟶ ⋯ ⟶ P_{0} ⟶ H ⟶ 0

où chaque P_{i} est supercuspidal, projectif et de type fini (et donc admissible). Comme tous les membres de cette suite longue sont sans ℓ-torsion, on obtient en passant aux contragrédientes une suite exacte longue

0 ⟶ H^{∨} ⟶ P_{0}^{∨} ⟶ ⋯ ⟶ P_{d−1}^{∨} ⟶ 0.

Or, d’après le lemme (3.1.2) ci-dessous, chaque P_{i}^{∨} est encore projectif. On peut donc simplifier le complexe de manière inductive à partir de la droite, et on obtient ainsi que H^{∨} est facteur direct de P_{0}^{∨} et par conséquent est projectif. D’après le lemme à nouveau, H est donc projectif.

(3.1.2) Lemme.– Soit P ∈ Rep_{ℤ_{ℓ}}^{∞}(G^{0}) une représentation cuspidale, projective et de type fini. Alors sa contragrédiente P^{∨} est aussi cuspidale, projective et de type fini.

Preuve. Comme le centre de G^{0} est compact, P est admissible sur ℤ_{ℓ}. Sa contragrédiente est donc aussi admissible et on en déduit aisément qu’elle est cuspidale. Choisissons des générateurs v_{1}, ⋯, v_{n} de P et un sous-groupe de congruences H tel que v_{i} ∈ P^{H} pour tout i. Ils définissent un épimorphisme

p : C_{c}(G/H, ℤ_{ℓ})^{n} ↠ P

puis par passage à la contragrédiente une injection

j : P^{∨} ↪ C(G/H, ℤ_{ℓ})^{n}

qui envoie v^{∨} sur les fonction g ↦ ⟨v^{∨}, gv_{i}⟩ pour i = 1, ⋯, n. Comme P est cuspidale, ces fonctions sont à support compact, donc l’image j(P^{∨}) est contenue dans C_{c}(G/H, ℤ_{ℓ})^{n}. Maintenant, P est projectif sonc p admet une section i qui induit par dualité une rétraction q de j. La restriction de q à C_{c}(G/H, ℤ_{ℓ})^{n} est encore une rétraction, si bien que P^{∨} est facteur direct de C_{c}(G/H, ℤ_{ℓ})^{n}, et par conséquent projectif et de type fini.

(3.1.3) Preuve du théorème 1. Compte tenu du théorème 2 et de la proposition (2.2.6), il suffit de montrer que [Hom_{ℤ_{ℓ}G} (H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}), π)] = [R_{π}](\frac{d−1}{2}) dans R(D^{×} ×W_{K}, \overline{𝔽}_{ℓ}).

Or on a :

R_{π}(\frac{d − 1}{2}) = RHom_{ℤ_{ℓ}G} (RΓ_{c}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}), π) [1 − d]
= RHom_{ℤ_{ℓ}G} (RΓ_{c}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ})_{sc}, π) [1 − d]
= RHom_{ℤ_{ℓ}G} (H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ})_{sc}[1 − d], π) [1 − d]
= RHom_{ℤ_{ℓ}G} (H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ})_{sc}, π)
= Hom_{ℤ_{ℓ}G} (H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ})_{sc}, π)
= Hom_{ℤ_{ℓ}G} (H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}), π)

La deuxième égalité vient du fait que π est supposée supercuspidale, la troisième provient de (3.1.1.1) et la cinquième de la projectivité de H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ})_{sc}.

(3.1.4) Remarque.– Soit π une \overline{𝔽}_{ℓ}-représentation supercuspidale. La proposition (3.1.1) implique que pour tout \overline{ℚ}_{ℓ}-relèvement π̃ de π, on a

[Hom_{ℤ_{ℓ}G} (H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}), π)] = r_{ℓ} (Hom_{ℤ_{ℓ}G} (H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}), π̃)) ,

et donc que la correspondance de Langlands ℓ-adique est compatible aux congruences. Cela prouve le point iii) du théorème 1. A partir de là, le critère numérique de [27, 2.3] montre l’irréductibilité de ρ(π) et σ(π) et l’injectivité des correspondances. Reste à prouver la surjectivité de π ↦ σ(π). Il faut pour cela prouver que si π′ est supercuspidale de réduction non supercuspidale, alors σ(π′) est de réduction réductible. Peut-être qu’un argument de comptage, inconnu de l’auteur, pourrait suffire. Sinon, il faut utiliser le théorème 2 et sa propriété i)(a).

(3.1.5) Remarque.– Dans l’énoncé du théorème 1, on peut remplacer la cohomologie entière H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}) par la cohomologie modulaire H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, 𝔽_{ℓ}). En effet, l’application canonique H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ})_{sc} ⊗ 𝔽_{ℓ} ⟶ H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, 𝔽_{ℓ})_{sc} est un isomorphisme puisque H_{c}^{d}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ})_{sc} = 0.

3.2 Description explicite de H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{sc}

Dans ce paragraphe, on étend les scalaires à l’extension non-ramifiée maximale de ℤ_{ℓ}^{nr} dans \overline{ℤ}_{ℓ}, et on s’intéresse au facteur direct

H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{sc} ≃ H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ})_{sc} ⊗_{ℤ_{ℓ}} ℤ_{ℓ}^{nr}.

C’est la plus grande sous-ℤ_{ℓ}^{nr}G-représentation de H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr}) dont tous les ℤ_{ℓ}^{nr}G^{0}- sous-quotients irréductibles sont supercuspidaux.

Soit π une \overline{𝔽}_{ℓ}-représentation supercuspidale. D’après la proposition (B.1.2), la souscatégorie pleine C_{π} de Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(G) formée des objets dont tous les ℤ_{ℓ}^{nr}G^{0}-sous-quotients irréductibles sont des sous-quotients de π_{|G^{0}} est un facteur direct de Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(G). On note V_{C_{π}} le facteur direct d’une ℤ_{ℓ}^{nr}-représentation V appartenant à C_{π}. On a alors

V_{sc} = ⨁_{π∈Scusp_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(G)/∼} V_{C_{π}}

où π parcours un ensemble de représentants des orbites non ramifiées dans l’ensemble des classes de \overline{𝔽}_{ℓ}-représentations supercuspidales.

(3.2.1) Proposition.– Pour π ∈ Irr_{\overline{𝔽}_{ℓ}} (G) supercuspidale, H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{C_{π}} est un progénérateur de C_{π}.

Preuve. Il est projectif, puisque facteur direct de l’objet projectif H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{sc}. Il est de type fini, puisque localement de type fini et engendré par ses H-invariants pour n’importe quel sous-groupe de congruence H tel que π^{H} ≠ 0. Reste à voir que cet objet est générateur. Or pour tout caractère non ramifié ψ : G ⟶ \overline{𝔽}_{ℓ}^{×}, on a

Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}G}(H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{C_{π}}, πψ) = Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}G}(H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr}), πψ) ≠ 0.

Les πψ épuisant les objets simples de C_{π}, on en déduit que H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{C_{π}} est générateur de C_{π}.

(3.2.2) Notons maintenant ρ := ρ(π) la correspondante de Jacquet-Langlands de π et σ := σ′(π) = σ(π)(\frac{d−1}{2}) sa correspondante de Langlands tordue. Dans l’appendice, nous définissons les sous-catégories facteurs directs C_{ρ^{∨}} de Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(D^{×}), cf (B.2.1) et C_{σ^{∨}} de Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{c}(W_{K}), cf (B.3.2).

Proposition.– H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{C_{π}} est un objet de C_{ρ^{∨}} et de C_{σ^{∨}}.

Preuve. Montrons d’abord que c’est bien un objet de C_{ρ^{∨}}. Pour cela considérons le facteur direct (H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{C_{π}})^{C_{ρ^{∨}}} hors de C_{ρ^{∨}}. S’il est non nul, il admet un quotient G-irréductible non nul, de la forme π(ψ ∘det) pour un caractère non ramifié de K^{×}. Or on sait par le théorème 1 que Hom_{G}(H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{C_{π}}, π(ψ ∘det)) est ρ(ψ ∘nrd)-isotypique, et donc que ρ^{∨}(ψ^{−1} ∘ nrd) intervient comme quotient de (H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{C_{π}})^{C_{ρ^{∨}}}, ce qui est par définition impossible.

De la même manière, on montre que H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{C_{π}} est un objet de C_{σ^{∨}}

Remarque.– Les seuls résultats sur la cohomologie de Lubin-Tate que nous utilisons dans cet article sont ceux de Harris-Taylor, et ceux de Mieda-Strauch. En utilisant plus, on peut obtenir plus. Voici quelques exemples :

i) En utilisant les résultats de Boyer [5] sur la \overline{ℚ}_{ℓ}-cohomologie de Lubin-Tate, on montre facilement que :

H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{C_{π}} = H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{C_{ρ^{∨}}} = H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{C_{σ^{∨}}} .

ii) En utilisant les résultats annoncés par Boyer [6] sur l’absence de torsion dans les H_{c}^{i}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr}), on montre même que

RΓ_{c}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{C_{π}} = RΓ_{c}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{C_{ρ^{∨}}} = RΓ_{c}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{C_{σ^{∨}}}

en tant que facteurs directs de RΓ_{c}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr}) dans D^{b}(Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞,c}(GD × W_{K})).

iii) Enfin, en utilisant les résultats de Faltings et Fargues [15] de comparaison avec la cohomologie de la tour de Drinfeld, on peut montrer que RΓ_{c}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr}) est parfait dans D^{b}(Rep_{ℤ_{ℓ}}^{∞}(D^{×})), cf. proposition (A.2.1), et on en déduit a priori que

H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{C_{π}} est un objet projectif de C_{ρ^{∨}}.

En fait nous trouverons cette propriété a posteriori, comme conséquence de notre description explicite.

(3.2.3) Résumé de l’appendice B. Dans l’appendice, nous exhibons des progénérateurs P_{π}, P_{ρ^{∨}} et P_{σ^{∨}} respectivement de C_{π}, C_{ρ^{∨}} et C_{σ^{∨}}, et calculons leurs commutants “opposés”

ℨ_{π} = End_{ℤ_{ℓ}^{nr}G} (P_{π})^{opp} , ℨ_{ρ^{∨}} = End_{ℤ_{ℓ}^{nr}D^{×}} (P_{ρ^{∨}})^{opp} et ℨ_{σ^{∨}} = End_{ℤ_{ℓ}^{nr}W_{K}} (P_{σ^{∨}})^{opp} .

On dispose alors d’équivalences de catégories associées à ces progénérateurs, cf (B.0.2) : – Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}G}(P_{π}, −) : C_{π} ⟶^{∼} Mod(ℨ_{π}) d’inverse P_{π} ⊗_{ℨ_{π}} − : Mod(ℨ_{π}) ⟶^{∼} C_{π}

– Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}G}(P_{ρ^{∨}}, −) : C_{ρ^{∨}} ⟶^{∼} Mod(ℨ_{ρ^{∨}}) d’inverse P_{ρ^{∨}} ⊗_{ℨ_{ρ^{∨}}} − : Mod(ℨ_{ρ^{∨}}) ⟶^{∼} C_{ρ^{∨}}

– Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}W_{K}}(P_{σ^{∨}}, −) : C_{σ^{∨}} ⟶^{∼} Mod(ℨ_{σ^{∨}}) d’inverse P_{σ^{∨}} ⊗_{ℨ_{σ^{∨}}} − : Mod(ℨ_{σ^{∨}}) ⟶^{∼} C_{σ^{∨}}.

D’après le ii)(b) de la proposition (B.1.2), ℨ_{π} est isomorphe à l’algèbre ℤ_{ℓ}^{nr}[Syl_{ℓ}(𝔽_{q^{fπ}}^{×})× ℤ] où f_{π} désigne la longueur de π_{|G^{0}}, et d’après la proposition (B.2.1), ℨ_{ρ^{∨}} est isomorphe à l’algèbre ℤ_{ℓ}^{nr}[Syl_{ℓ}(𝔽_{q^{f_{ρ^{∨}}}}^{×})×ℤ] où f_{ρ^{∨}} désigne la longueur de ρ_{|O_{D}^{×}}. Ces anneaux sont donc

commutatifs. Par ailleurs, d’après la proposition (B.3.2), ℨ_{σ^{∨}} est isomorphe au produit croisé de ℤ_{ℓ}^{nr}[[ℤ_{ℓ}]] par ℤ, le générateur de ℤ agissant par multiplication par q^{f_{σ^{∨}}} sur ℤ_{ℓ}, où f_{σ^{∨}} désigne la longueur de σ_{|I_{K}}. Ainsi, ℨ_{σ^{∨}} n’est pas commutatif, mais son plus grand quotient commutatif ℨ_{σ^{∨}}^{ab} est isomorphe à l’algèbre ℤ_{ℓ}^{nr}[Syl_{ℓ}(𝔽_{q^{f_{σ^{∨}}}}^{×}) × ℤ].

Lemme.– On a les égalités f_{π} = f_{ρ^{∨}} = f_{σ^{∨}}.

Preuve. Soit π̃ un \overline{ℚ}_{ℓ}-relèvement de π. Une formule donnant f_{π} en termes d’un type contenu dans π est donnée à la fin de la preuve du i)(b) de la proposition (B.1.2). Cette formule montre que f_{π} = fπ̃ := long(π̃_{|G^{0}}). Par la théorie de Clifford, ceci permet de réinterpréter f_{π} comme le nombre de \overline{ℚ}_{ℓ}-caractères non ramifiés ψ de G tels que π̃ψ ≃ π̃. De même f_{ρ^{∨}} = f_{ρ(π̃)^{∨}} est le nombre de \overline{ℚ}_{ℓ}-caractères non ramifiés ψ de G tels que ρ(π̃)ψ ≃ ρ(π̃), et idem pour f_{σ^{∨}}. Or, les correspondances π̃ ↦ ρ(π̃) et π̃ ↦ σ(π̃) sont compatibles à la torsion par les \overline{ℚ}_{ℓ}-caractères.

Le lemme montre que ℨ_{π}, ℨ_{ρ^{∨}} et ℨ_{σ^{∨}}^{ab} sont abstraitement isomorphes, en tant que ℤ_{ℓ}^{nr}-algèbres. Comme on va le voir, la cohomologie fournit des isomorphismes particuliers entre ses anneaux.

(3.2.4) Posons maintenant H := H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{C_{π}} et ℨ := End_{ℤ_{ℓ}^{nr}GDW} (H), et considérons

H′ := Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}[G×D^{×}×W_{K}]} (P_{π} ⊗_{ℤ_{ℓ}^{nr}} P_{ρ^{∨}} ⊗_{ℤ_{ℓ}^{nr}} P_{σ^{∨}}, H)
∈ Mod(ℨ_{π} ⊗_{ℤ_{ℓ}^{nr}} ℨ_{ρ^{∨}} ⊗_{ℤ_{ℓ}^{nr}} ℨ_{σ^{∨}}).

Via les équivalences mentionnées ci-dessus, on a ℨ ⟶^{∼} End_{ℨ_{π}⊗ℨ_{ρ^{∨}}⊗ℨ_{σ^{∨}}} (H′). En particulier, les actions des anneaux commutatifs ℨ_{π} et ℨ_{ρ^{∨}} fournissent des morphismes de ℤ_{ℓ}^{nr}-algèbres ℨ_{π} ⟶ ℨ, et ℨ_{ρ^{∨}} ⟶ ℨ.

Théorème.– i) Les morphismes d’action ℨ_{π} ⟶ ℨ et ℨ_{ρ^{∨}} ⟶ ℨ sont bijectifs. ii) L’action de ℨ_{σ^{∨}} sur H′ se factorise par ℨ_{σ^{∨}}^{ab} et induit un isomorphisme ℨ_{σ^{∨}}^{ab} ⟶^{∼} ℨ. iii) H′ est libre de rang 1 sur ℨ. Tout générateur φ de H′ sur ℨ se factorise à travers un

ℨ[GDW]-isomorphisme

φ̄ : P_{π} ⊗_{ℨ} P_{ρ^{∨}} ⊗_{ℨ} ⊗P_{σ^{∨}}^{ab} ⟶^{∼} H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{C_{π}}

où P_{σ^{∨}}^{ab} := P_{σ^{∨}} ⊗_{ℨ_{σ^{∨}}} ℨ_{σ^{∨}}^{ab} ( cf (B.3.3)) et le produit tensoriel est relatif aux actions de ℨ déduites des isomorphismes précédents.

Preuve. i) D’après la proposition (3.2.1), on sait déjà que H′ est projectif et de type fini sur ℨ_{π}. Comme Spec(ℨ_{π}) est connexe, le rang de H′ est constant, et non nul puisque H′ est non nul. Le morphisme ℨ_{π} ⟶^{a} ℨ ⊂ End_{ℤ_{ℓ}^{nr}} (H′) est donc injectif. Pour montrer qu’il est bijectif, il suffit de prouver que le rang de H′ sur ℨ_{π} est égal à 1, puisqu’alors on aura ℨ ⊂ End_{ℨ_{π}} (H′) = a(ℨ_{π}). Toujours par connexité de Spec(ℨ_{π}), on peut calculer ce rang en (co)spécialisant en le \overline{𝔽}_{ℓ}-caractère “trivial” de ℨ_{π}, i.e. celui qui correspond à π via l’équivalence de catégories C_{π} ⟶^{∼} Mod(ℨ_{π}). On touve alors

Hom_{ℨ_{π}}(H′, \overline{𝔽}_{ℓ}) ≃ Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}G} (Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}DW} (P_{ρ^{∨}} ⊗ P_{σ^{∨}}, H), π)
≃ Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}DW} (P_{ρ} ⊗ P_{σ}, Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}G}(H, π))
≃ Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}D}(P_{ρ}, ρ) ⊗_{ℤ_{ℓ}^{nr}} Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}W_{K}}(P_{σ}, σ) ≃ \overline{𝔽}_{ℓ},

où le deuxième isomorphisme provient des lemmes (B.2.2) et (B.3.4), et le troisième provient du théorème 1. Ainsi, H′ est bien de rang 1 sur ℨ_{π}.

Considérons maintenant le morphisme composé ℨ_{ρ^{∨}} ⟶ ℨ ⟶^{∼} ℨ_{π}. Ce morphisme induit une bijection entre \overline{ℚ}_{ℓ}-caractères de ℨ_{π} et \overline{ℚ}_{ℓ}-caractères de ℨ_{ρ^{∨}} (la correspondance de Jacquet-Langlands !). A partir de là, on raisonne comme dans le point ii) ci-dessous pour en conclure que c’est un isomorphisme.

ii) Comme l’action de ℨ_{σ^{∨}} commute à ℨ_{π}, elle est donnée par un morphisme ℨ_{σ^{∨}} ⟶^{β} End_{ℨ_{π}} (H′) = ℨ_{π} qui se factorise donc par ℨ_{σ^{∨}}^{ab} ⟶ ℨ_{π} = ℨ. Ce morphisme induit une bijection entre \overline{ℚ}_{ℓ}-caractères de ℨ_{π} et \overline{ℚ}_{ℓ}-caractères de ℨ_{σ^{∨}} (la correspondance de Langlands !). Il est donc injectif, puisque ℨ_{σ^{∨}}^{ab} est réduit et sans ℓ-torsion. Identifions ce morphisme β à un endomorphisme de la ℤ_{ℓ}^{nr}-algèbre ℤ_{ℓ}^{nr}[C_{ℓ^{a}} × ℤ], où C_{ℓ^{a}} = Syl_{ℓ}(𝔽_{q^{f}}^{×}) est un groupe cyclique d’ordre ℓ^{a}. Observons que le groupe μ_{ℓ^{a}}(ℤ_{ℓ}^{nr}[C_{ℓ^{a}} ×ℤ]) est égal à μ_{ℓ^{a}}(ℤ_{ℓ}^{nr}[C_{ℓ^{a}}]). Ainsi β stabilise ℤ_{ℓ}^{nr}[C_{ℓ^{a}}] et induit un endomorphisme injectif de cet anneau. Or par définition, cet anneau ℤ_{ℓ}^{nr}[C_{ℓ^{a}}] est engendré par son groupe de ℓ^{a}-racines de l’unité μ_{ℓ^{a}}(ℤ_{ℓ}^{nr}[C_{ℓ^{a}}]) qui est fini. Comme β est injectif, il induit une permutation de μ_{ℓ^{a}}(ℤ_{ℓ}^{nr}[C_{ℓ^{a}}]), donc finalement un automorphisme de ℤ_{ℓ}^{nr}[C_{ℓ^{a}}]. Quittes à composer par un prolongement de cet automorphisme à ℤ_{ℓ}^{nr}[C_{ℓ^{a}} × ℤ], on peut considérer maintenant β comme un endomorphisme injectif de ℤ_{ℓ}^{nr}[C_{ℓ^{a}}]-algèbres. Cet endomorphisme induit aussi une bijection entre \overline{𝔽}_{ℓ}-caractères (issue de la correspondance de Langlands mod ℓ), donc ses fibres sont encore injectives, donc sont plates puisque morphismes finis entre anneaux principaux (isomorphes à \overline{𝔽}_{ℓ}[X, X^{−1}]). Le critère de platitude fibre à fibre nous dit alors que β est plat, et donc localement libre puisque fini. Mais son rang est nécessairement 1, donc β est un isomorphisme.

iii) Puisque P_{π}, P_{ρ^{∨}} et P_{σ^{∨}} sont des progénérateurs, le morphisme d’évaluation est un isomorphisme :

(P_{π} ⊗_{ℤ_{ℓ}^{nr}} P_{ρ^{∨}} ⊗_{ℤ_{ℓ}^{nr}} P_{σ^{∨}}) ⊗_{ℨ_{π}⊗_{ℤ{nr \atop ℓ}}ℨ_{ρ^{∨}}⊗_{ℤ{nr \atop ℓ}}ℨ_{σ^{∨}}} H′ ⟶^{∼} H.

Par les points i) et ii), on peut le réécrire sous la forme

(P_{π} ⊗_{ℨ} P_{ρ^{∨}} ⊗_{ℨ} P_{σ^{∨}}^{ab}) ⊗_{ℨ} H′ ⟶^{∼} H.

Il ne reste donc plus qu’à prouver que H′ est libre.

Pour cela, notons H^{0} la plus grande sous-G^{0}-représentation de H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{(0),ca}, ℤ_{ℓ}^{nr}) dont tous les sous-quotients irréductibles sont isomorphes à un sous-quotient irréductible de π_{|G^{0}}. C’est un facteur direct stable par (G × D^{×} × W_{K})^{0}, et on a H = ind_{GDW^{0}}^{GDW} (H^{0}), cf preuve du ii)(a) de la proposition (B.1.2). On vérifie alors que

Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}DW} (P_{ρ^{∨}} ⊗_{ℤ_{ℓ}^{nr}} P_{σ^{∨}}, H) ≃ Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}D^{0}W^{0}}(P_{ρ_{0}^{∨}} ⊗_{ℤ_{ℓ}^{nr}} P_{σ_{0}^{∨}}, H)
≃ ind_{G^{0}}^{G} (Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}D^{0}W^{0}}(P_{ρ_{0}^{∨}} ⊗_{ℤ_{ℓ}^{nr}} P_{σ_{0}^{∨}}, H^{0}))

où on a écrit P_{ρ^{∨}} = ind_{D^{0}}^{D} (P_{ρ_{0}^{∨}}) et P_{σ^{∨}} = ind_{W^{0}}^{W} (P_{σ_{0}^{∨}}). D’après le lemme (B.1.5), on en déduit que H′ est, en tant que ℨ_{π}-module, de la forme H′ = ℨ_{π} ⊗_{ℨ_{π^{0}}} H′_{0} pour un certain ℨ_{π^{0}}-module H′_{0}. Comme l’extension ℨ_{π^{0}} ⊂ ℨ_{π} est fidèlement plate, H′_{0} est plat et de type fini sur ℨ_{π^{0}}. Or, ce dernier anneau est local, donc H′_{0} est libre sur ℨ_{π^{0}}, et par conséquent H′ est libre sur ℨ_{π}.

(3.2.5) Les foncteurs Π ↦ σ′(Π) et Π ↦ ρ(Π).

Soit (Π, V) une ℤ_{ℓ}^{nr}-représentation de G. Supposons dans un premier temps que Π est engendrée par ses invariants sous un sous-groupe ouvert compact. Cette propriété de finitude assure que V_{C_{π}} est nul sauf pour un nombre fini de classes inertielles de \overline{𝔽}_{ℓ}- représentations supercuspidales. Le théorème (3.2.4) et les propositions (B.2.2) et (B.3.4) nous donnent un isomorphisme :

Hom_{ℤ_{ℓ}G} (H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}), Π) ≃ ⨁_{π∈Scusp_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(G)/∼} P_{ρ(π)} ⊗_{ℨ_{π}} P_{σ′(π)}^{ab} ⊗_{ℨ_{π}} Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}G}(P_{π}, Π)

que l’on peut réécrire sous la forme plus condensée

(3.2.5.1)  Hom_{ℤ_{ℓ}G} (H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}), Π) ≃ P_{sc}^{D} ⊗_{ℨ_{sc}} P_{sc}^{W,ab} ⊗_{ℨ_{sc}} Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}G} (P_{sc}^{G}, Π)

où l’on a posé P_{sc}^{G} := ⨁ P_{π}, P_{sc}^{D} := ⨁ P_{ρ(π)}, P_{sc}^{W,ab} := ⨁ P_{σ′(π)}^{ab}, et ℨ_{sc} := ∏ ℨ_{π}. Notons que le terme de droite fait sens pour tout Π (sans l’hypothèse de finitude), et cela nous permet de poser

σ′(Π) := P_{sc}^{W,ab} ⊗_{ℨ_{sc}} Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}G} (P_{sc}^{G}, Π) ∈ Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{c}(W_{K})

et

ρ(Π) := P_{sc}^{D} ⊗_{ℨ_{sc}} Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}G} (P_{sc}^{G}, Π) ∈ Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(D^{×}) .

Considérons maintenant les trois catégories suivantes :

i) Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{sc}(G) la sous-catégorie pleine de Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(G) formée des représentations supercuspidales au sens de (3.0.1). Elle est facteur direct, pro-engendrée par P_{sc}^{G}, et son centre s’identifie canoniquement à ℨ_{sc} = End_{ℤ_{ℓ}^{nr}} (P_{sc}^{G}).

ii) Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{sc}(D^{×}) la sous-catégorie pleine de Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(D^{×}) formée des représentations dont tous les ℤ_{ℓ}^{nr}D^{0}-sous-quotients irréductibles sont des sous-quotients de \overline{𝔽}_{ℓ}D-représenta-tions qui correspondent à des supercuspidales. Elle est facteur direct, pro-engendrée par P_{sc}^{D}, et le théorème (3.2.4) nous donne un isomorphisme ℨ_{sc} ⟶^{∼} End_{ℤ_{ℓ}^{nr}D^{×}} (P_{sc}^{D}).

iii) Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{d,ab}(W_{K}) la plus petite sous-catégorie pleine de Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{c}(W_{K}) contenant P_{sc}^{W,ab},

stable par sous-quotients et sommes directes. Elle est pro-engendrée par P_{sc}^{W,ab}, et le théorème (3.2.4) nous donne un isomorphisme ℨ_{sc} ⟶^{∼} End_{ℤ_{ℓ}^{nr}W_{K}} (P_{sc}^{W,ab}).

Notons qu’elle n’est pas stable par extensions. Sa “clôture par extensions” est la souscatégorie facteur direct Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{d}(W_{K}) formée des représentations dont tous les ℤ_{ℓ}^{nr}I_{K}- sous-quotients irréductibles sont sous-quotients d’une \overline{𝔽}_{ℓ}-représentation irréductible de dimension d de W_{K}.

Théorème.– Avec les notations ci-dessus,

i) le fonteur Π ↦ σ′(Π) est une équivalence de catégories Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{sc}(G) ⟶^{∼} Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{d,ab}(W_{K}),

ii) le fonteur Π ↦ ρ(Π) est une équivalence de catégories Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{sc}(G) ⟶^{∼} Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{sc}(D^{×}),

iii) Pour Π, Π′ ∈ Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(G) engendrées par leurs invariants sous un sous-groupe ouvert compact, on a des isomorphismes bifonctoriels en Π, Π′

Hom_{ℤ_{ℓ}G} (H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}), Π) ⊗_{ℨ_{sc}} Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}G}(P_{sc}^{G}, Π′) ⟶^{∼} ρ(Π) ⊗_{ℨ_{sc}} σ′(Π′)

Dans le point iii), l’action de ℨ_{sc} sur chaque terme est l’action qui provient fonctoriellement de l’action canonique du centre de la catégorie Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{sc}(G) sur Π et Π′.

Preuve. i) En revenant à la somme indexée par π ∈ Scusp_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(G) et en utilisant les équivalence de catégories du type (B.0.2), on vérifie aisément que le foncteur P ↦ P_{sc}^{G}⊗_{ℨ_{sc}} Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}D^{×}} (P_{sc}^{D}, P) est une équivalence inverse de Π ↦ ρ(Π).

ii) De même, le foncteur Σ ↦ P_{sc}^{G} ⊗_{ℨ_{sc}} Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}W_{K}} (P_{sc}^{W,ab}, Σ) est une équivalence inverse de Π ↦ σ′(Π).

iii) découle de (3.2.5.1) et des définitions de σ′(Π) et ρ(Π).

(3.2.6) Preuve du théorème 3. Le point ii) du théorème 3 découle clairement de celui du théorème (3.2.5). Le point i) du théorème 3 découlera de celui du théorème (3.2.5), une fois qu’on aura vérifié que toute R-famille Σ de représentations irréductibles de dimension d de W_{K} est bien un objet de Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{d,ab}(W_{K}). Pour cela, on peut supposer Spec(R) connexe, auquel cas Σ est un objet de C_{σ} pour une certaine \overline{𝔽}_{ℓ}-représentation irréductible de dimension d de W_{K}. Mais alors, avec les notations de la proposition (B.3.2), la RW_{L}-représentation Rτ̃(Σ) est une R-famille de caractères de W_{L}, donc se factorise par W_{L}^{ab}, et Σ appartient à C_{σ}^{ab} qui est contenue dans Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{d,ab}(W_{K}).

Il reste à prouver le point iii) du théorème 3. Supposons que Π est une R-famille de représentations irréductibles supercuspidales de G. Comme R est supposée noethérienne, Spec(R) a un nombre fini de composantes connexes et Π est donc engendrée par ses invariants sous un sous-groupe ouvert compact. De plus, Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}G}(P_{sc}^{G}, Π) est une Rfamille plate de caractères de ℨ. Son R-module sous-jacent R(Π) est donc localement libre de rang 1 et l’action de ℨ_{sc} est donnée par un morphisme ℨ_{sc} ⟶ R. Le point iii) du théorème (3.2.5) nous donne alors un R ⊗_{ℨ_{sc}} R-isomorphisme

Hom_{ℤ_{ℓ}G} (H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}), Π) ⊗_{ℨ_{sc}} R(Π) ⟶^{∼} ρ(Π) ⊗_{ℨ_{sc}} σ′(Π)

et on en déduit le point iii) du théorème 3 par extension des scalaires selon le morphisme produit R ⊗_{ℨ_{sc}} R ⟶ R.

(3.2.7) Preuve du théorème 4. On fixe ϖ ∈ K^{×} de valuation v > 0 et on s’intéresse à H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}/ϖ^{ℤ}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{sc}. On a une décomposition

H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}/ϖ^{ℤ}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{sc} = ⨁_{π∈Scusp_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(G/ϖ^{ℤ})} H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}/ϖ^{ℤ}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{C_{π}^{ϖ}}

où la notation C_{π}^{ϖ} est expliquée dans l’appendice B.1. Fixons donc π, notons ρ := ρ(π) et σ := σ′(π) = σ(π)(\frac{d−1}{2}), et posons

H_{ϖ} := H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}/ϖ^{ℤ}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{C_{π}^{ϖ}}.

Par les mêmes arguments que les propositions (3.2.1) et (3.2.2), on obtient que H_{ϖ} est un objet projectif de C_{π}^{ϖ}, et qu’en tant que D^{×}-représentation, c’est un objet de C_{ρ^{∨}}^{ϖ}. C’est aussi un objet de C_{σ^{∨}}. Nous allons le décrire en suivant la preuve du théorème (3.2.4) ci-dessus.

Soit P_{π}^{ϖ} le progénérateur de C_{π}^{ϖ}, de commutant noté ℨ_{π}^{ϖ}, et décrit dans la proposition (B.1.6), et de même soient P_{ρ^{∨}}^{ϖ} et ℨ_{ρ^{∨}}^{ϖ} comme dans la proposition (B.2.3). Nous utiliserons aussi les foncteurs Rτ̃ et Iτ̃ de la proposition (B.3.2) (appliquée à σ^{∨}). Posons

P_{σ^{∨}}^{ϖ} := Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}G×D^{×}}(P_{π}^{ϖ} ⊗_{ℤ_{ℓ}^{nr}} P_{ρ^{∨}}^{ϖ}, H_{ϖ}) et H′_{ϖ} := Rτ̃(P_{σ^{∨}}^{ϖ}).

Ce sont des ℨ_{π}^{ϖ} ⊗_{ℤ_{ℓ}^{nr}} ℨ_{ρ^{∨}}^{ϖ}-modules, munis respectivement d’une action de W_{K} et de W_{L} (notation de la proposition (B.3.2)). De plus, on a les isomorphismes suivants :

P_{σ^{∨}}^{ϖ} ≃ Iτ̃(H′_{ϖ}) et (P_{π}^{ϖ} ⊗_{ℤ_{ℓ}^{nr}} P_{ρ^{∨}}^{ϖ}) ⊗_{ℨ_{π}^{ϖ}⊗_{ℤ{nr \atop ℓ}}ℨ_{ρ^{∨}}^{ϖ}} P_{σ^{∨}}^{ϖ} ⟶^{∼} H_{ϖ}.

Maintenant, on sait que H′_{ϖ} est un module projectif sur ℨ_{π}^{ϖ}, donc libre, puisque ℨ_{π}^{ϖ} est local. De plus, par le même argument que dans la preuve du i) du théorème (3.2.4), on obtient qu’il est de rang 1. Par conséquent, le morphisme d’action ℨ_{π}^{ϖ} ⟶ End_{ℤ_{ℓ}^{nr}} (H′_{ϖ}) est injectif et le morphisme d’action ℨ_{ρ^{∨}}^{ϖ} ⟶ End_{ℤ_{ℓ}^{nr}} (H′_{ϖ}) se factorise par ℨ_{ρ^{∨}}^{ϖ} ⟶^{β} ℨ_{π}^{ϖ}. Comme dans le point ii) du théorème (3.2.4), ce dernier morphisme est injectif car il induit des bijections entre caractères et les anneaux sont réduits, et il est surjectif car ces deux anneaux sont engendrés par leur groupe (fini) de racines ℓ^{?}-èmes de l’unité.

Ceci nous permet de réécrire le second isomorphisme ci-dessus comme

P_{π}^{ϖ} ⊗_{ℨ_{π}^{ϖ}} P_{ρ^{∨}}^{ϖ} ⊗_{ℨ_{π}^{ϖ}} P_{σ^{∨}}^{ϖ} ⟶^{∼} H_{ϖ}.

Le ℨ_{π}^{ϖ}[W_{K}]-module P_{σ^{∨}}^{ϖ} = Iτ̃(H′_{ϖ}) est projectif sur ℨ_{π}^{ϖ}, et de réduction isomorphe à σ^{∨}; c’est donc un relèvement de σ^{∨} sur ℨ_{π}^{ϖ}. On sait que

P_{σ^{∨}}^{ϖ} ⊗ \overline{ℚ}_{ℓ} = ⨁_{π^{†}∈Irr_{\overline{ℚ}_{ℓ}}(G/ϖ^{ℤ}),r_{ℓ}(π^{†})=π} σ_{d}(π^{†})^{∨}.

Par les propriétés de la correspondance de Langlands, chaque σ_{d}(π^{†})^{∨} est de déterminant 1, et il s’ensuit que P_{σ^{∨}}^{ϖ} est aussi de déterminant 1. C’est donc un φ-relèvement.

Pour prouver le théorème 4, il ne reste plus qu’à étendre les scalaires de ℤ_{ℓ}^{nr} à son complété ℤ̆_{ℓ}. En effet :

– π̃ := P_{π}^{ϖ} ⊗_{ℤ_{ℓ}^{nr}} ℤ̆_{ℓ} est la ϖ-déformation universelle de π d’après (B.1.6) iii).

– ρ̃^{∨} := P_{ρ^{∨}}^{ϖ} ⊗_{ℤ_{ℓ}^{nr}} ℤ̆_{ℓ} est la ϖ-déformation universelle de ρ d’après (B.2.3) iii).

– σ̃ := P_{σ}^{ϖ} ⊗_{ℤ_{ℓ}^{nr}} ℤ̆_{ℓ} est la φ-déformation universelle d’après le ii) du corollaire (B.3.6).

3.3 Descente à ℤ_{ℓ}

Si l’on veut descendre le théorème 3 aux familles indexées par une ℤ_{ℓ}-algèbre, il faut pouvoir étendre les foncteurs Π ↦ σ′(Π) et Π ↦ ρ(Π), et pour cela il faut trouver des modèles ℤ_{ℓ}-rationnels de P_{sc}^{G}, P_{sc}^{D}, et P_{sc}^{W}. Or cela est possible pour P_{sc}^{G}, mais pas pour P_{sc}^{D}, et P_{sc}^{W} ! (exercice laissé au lecteur).

Dans cette section, nous fixons un élément ϖ ∈ K de valuation v > 0, et nous allons donner une version ℤ_{ℓ}-rationnelle du théorème 4 de l’introduction. Cela permet de descendre les foncteurs du théorème 3 à la catégorie Rep_{ℤ_{ℓ}}^{∞}(G/ϖ^{ℤ}).

(3.3.1) Compatibilité des correspondances à l’action de Galois. Comme dans le cas ℓ-adique, les correspondances de Langlands et Jacquet-Langlands ℓ-modulaires sont compatibles à l’action de Galois :

Lemme.– Les applications π ↦ ρ(π) et π ↦ σ′(π) := σ(π)(\frac{d−1}{2}) du théorème 1 sont compatibles à l’action de Gal(\overline{𝔽}_{ℓ}/𝔽_{ℓ}) sur les ensembles de classes de \overline{𝔽}_{ℓ}-représentations irréductibles concernés.

Preuve. La compatibilité de π ↦ ρ(π) à l’action de Galois découle de la caractérisation par les caractères de Brauer de [12]. Le point i) du théorème 1 nous assure que l’application π ↦ ρ(π) ⊗ σ′(π) est aussi compatible à l’action de Galois. Il s’ensuit que π ↦ σ′(π) l’est aussi.

(3.3.2) Correspondance entre 𝔽_{ℓ}-représentations. Dans le cas ℓ-adique, on sait que les \overline{ℚ}_{ℓ}-représentations supercuspidales sont définies sur leur corps de rationalité, mais ce n’est pas toujours le cas pour les représentations de D^{×} et W_{K}. Cette obstruction n’existe pas sur \overline{𝔽}_{ℓ} puisque tout corps fini est commutatif. On déduit donc du lemme précédent :

Corollaire.– Pour tout corps fini 𝔽 de caractéristique ℓ, les correspondances π ↦ σ′(π) et π ↦ ρ(π) descendent en des correspondances entre classes de 𝔽-représentations absolument irréductibles, la première étant une bijection entre “supercuspidales” et “de dimension d”, la seconde étant injective. De plus, on a encore

Hom_{ℤ_{ℓ}G} (H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}), π) ≃ ρ(π) ⊗_{𝔽} σ′(π).

Changeant de point de vue, on passe aux représentations irréductibles sur 𝔽_{ℓ}. Le commutant d’une telle représentation π est une extension finie 𝔽_{π} de 𝔽_{ℓ} de degré d_{π}. Si l’on voit π comme une 𝔽_{π}-représentation irréductible, le corollaire ci-dessus nous fournit des 𝔽_{π}-représentations absolument irréductibles σ′_{𝔽_{π}}(π) et ρ_{𝔽_{π}}(π). Comme les Gal(𝔽_{π}/𝔽_{ℓ})- orbites de ces représentations ont le même cardinal d_{π} que celui de la Gal(𝔽_{π}/𝔽_{ℓ})-orbite de π, elles sont aussi irréductibles, en tant que 𝔽_{ℓ}-représentations.

Corollaire.– Par le procédé ci-dessus, on obtient :

i) Une bijection π ↦ σ′(π) entre classes de 𝔽_{ℓ}-représentations irréductibles supercuspidales de G et classes de 𝔽_{ℓ}-représentations irréductibles de W_{K} de dimension d sur leur commutant,

ii) Une injection π ↦ ρ(π) des classes de 𝔽_{ℓ}-représentations irréductibles supercuspidales de G dans les classes de 𝔽_{ℓ}-représentations irréductibles de D^{×},

uniquement caractérisées par la propriété suivante : iii) la 𝔽_{ℓ}-représentation (irréductible) Hom_{ℤ_{ℓ}G} (H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ}), π) de D^{×} × W_{K} est

ρ(π)-isotypique et σ′(π)-isotypique.

(3.3.3) Scindage de catégories. Soit π une 𝔽_{ℓ}-représentation irréductible supercuspidale de G. Choisissons un plongement 𝔽_{π} ↪ \overline{𝔽}_{ℓ}. La \overline{𝔽}_{ℓ}-représentation \overline{π} := π ⊗_{𝔽_{π}} \overline{𝔽}_{ℓ} contient un type (J, \overline{λ}′) comme dans le paragraphe (B.1.6). L’unicité de la paire (J, \overline{λ}′) à G-conjugaison près nous assure que le corps de rationalité de \overline{λ}′ est le même que celui de \overline{π}, à savoir 𝔽_{π}. Donc \overline{λ}′ est de la forme λ′ ⊗_{𝔽_{π}} \overline{𝔽}_{ℓ}. Choisissons une enveloppe projective P_{λ′} de λ′ dans Rep_{W(𝔽_{π})}^{∞}(J/ϖ^{ℤ}) (ici W(𝔽_{π}) désigne l’anneau des vecteurs de Witt à coefficients dans 𝔽_{π}), et posons P_{π}^{ϖ} := ind_{J}^{G} (P_{λ′}). C’est une 𝔽_{π}-représentation, mais nous oublions maintenant la 𝔽_{π}-structure.

Proposition.– La sous-catégorie pleine C_{π}^{ϖ} de Rep_{ℤ_{ℓ}}^{∞}(G/ϖ^{ℤ}) formée des objets dont tous les sous-quotients irréductibles sont isomorphes à π, est facteur direct et pro-engendrée par P_{π}^{ϖ}. De plus, on a

ℨ_{π}^{ϖ} := End_{G} (P_{π}^{ϖ}) ≃ W(𝔽_{π})[Syl_{ℓ}(𝔽_{q^{f}}^{×} × fℤ/dvℤ]

où f est la longueur de π_{|G^{0}} sur 𝔽_{π}.

Preuve. Les 𝔽_{π}J-sous-quotients irrédutibles de P_{λ′} sont tous isomorphes à λ′. Comme λ′ est 𝔽_{ℓ}J-irréductible, la même propriété est vraie pour les 𝔽_{ℓ}J-sous-quotients, et on en déduit les deux premières assertions comme dans (B.1.6). Le calcul de commutant a été effectué dans la proposition (B.1.6) ii).

De la même manière, on construit un pro-générateur P_{ρ(π)}^{ϖ} de la sous-catégorie C_{ρ(π)}^{ϖ} de Rep_{ℤ_{ℓ}}^{∞}(D^{×}) définie de manière maintenant usuelle, et dont le commutant ℨ_{ρ(π)}^{ϖ} est isomorphe (abstraitement) à ℨ_{π}^{ϖ}.

(3.3.4) Les résultats. Décomposons

H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}/ϖ^{ℤ}, ℤ_{ℓ})_{sc} = ⨁_{π∈Scusp_{𝔽_{ℓ}}(G/ϖ^{ℤ})} H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}/ϖ^{ℤ}, ℤ_{ℓ})_{C_{π}^{ϖ}}.

Par les mêmes arguments que le théorème (3.2.4) et le théorème 4, on prouve :

Théorème.– Il existe un isomorphisme ℨ_{π}^{ϖ} ⟶^{∼} ℨ_{ρ(π)}^{ϖ} et une décomposition

P_{π}^{ϖ} ⊗_{ℨ_{π}^{ϖ}} P_{ρ(π)^{∨}}^{ϖ} ⊗_{ℨ_{π}^{ϖ}} P_{σ′(π)^{∨}}^{ϖ} ⟶^{∼} H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}/ϖ^{ℤ}, ℤ_{ℓ})_{C_{π}^{ϖ}},

où P_{σ′(π)^{∨}}^{ϖ} est un φ-relèvement de σ′(π)^{∨} sur ℨ_{π}^{ϖ}, qui est universel pour les W (𝔽_{π})-φ-déformations.

À partir de là, on définit deux foncteurs

Π ↦ ρ(Π) := ⨁_{π∈Scusp_{𝔽_{ℓ}}(G/ϖ^{ℤ})} P_{ρ(π)}^{ϖ} ⊗_{ℨ_{π}^{ϖ}} Hom_{ℤ_{ℓ}G}(P_{π}^{ϖ}, π)

et Π ↦ σ′(Π) := ⨁_{π∈Scusp_{𝔽_{ℓ}}(G/ϖ^{ℤ})} P_{σ′(π)}^{ϖ} ⊗_{ℨ_{π}^{ϖ}} Hom_{ℤ_{ℓ}G}(P_{π}^{ϖ}, π).

On obtient alors le même énoncé (et avec la même preuve) que le théorème 3 mais pour R une ℤ_{ℓ}-algèbre, et en se restreignant aux R-familles de G/ϖ^{ℤ}-représentations, resp. de D^{×}/ϖ^{ℤ}-représentations, resp. de W_{K}-représentations de déterminant 1 sur φ.

(3.3.5) Remarque.– Lorsque l’on enlève la condition “ϖ”, on ne peut parfois pas trouver de P_{ρ(π)} dont le commutant soit un anneau commutatif (ou, de manière équivalente, tel que Hom_{ℤ_{ℓ}G}(P_{ρ(π)}, ρ(π)) soit de dimension 1). Ceci est lié au fait que ρ(π) et ρ(π)^{0} n’ont pas nécessairement le même corps de rationalité. Lorsque cela se produit, on ne peut plus décomposer H_{c}^{d−1}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ})_{C_{π}} en un triple produit tensoriel. Plus précisément, on ne peut pas séparer l’action de D^{×} de celle de W_{K}.

A Propriétés de perfection du complexe de cohomologie

A.1 Perfection dans D(G)

Rappelons l’énoncé que nous voulons prouver, pour une ℤ_{ℓ}-algèbre finie Λ :

Proposition.– Le complexe RΓ_{c}(M_{LT}^{ca}, Λ) ∈ D^{b}(Rep_{Λ}^{∞}(G)) est localement parfait, d’amplitude parfaite [0, 2d − 2].

Notre preuve est une adaptation de l’argument de Deligne et Lusztig de [13, Prop. 3.7], avec quelques complications techniques.

(A.1.1) Preuve dans le cas de torsion. Nous fixons un niveau H = H_{n} et notons H := H_{Λ}(G, H_{n}) l’algèbre de Hecke correspondante. Nous noterons simplement RΓ_{c}^{H} le complexe RΓ_{c}(M_{LT}^{ca}, Λ)^{H} qui est un objet de la catégorie dérivée D^{b}(Mod(H)) des Hmodules à gauche. On veut montrer qu’il est parfait d’amplitude contenue dans [0, 2d−2].

Première étape. D’après [10, Lemme 3.5.9], ce complexe s’identifie à RΓ_{c}(M_{LT,n}, Λ). En particulier, ses groupes de cohomologie sont de type fini sur H, et nuls en dégré > 2d−2. Par (2.1.1), on peut donc représenter RΓ_{c}^{H} par un complexe (P_{n}, d_{n})_{n⩽2d−2} de H-modules projectifs de type fini, à composantes nulles en degré > 2d − 2. Tronquons ce complexe en degré 0 en remplaçant P_{0} par Q_{0} := P_{0}/im(d_{−1}) et en posant Q_{i} = P_{i} pour i > 0. On obtient un complexe borné de H-modules, nul en dehors de [0, 2d − 2], dont tous les termes sont projectifs, sauf éventuellement Q_{0}, et isomorphe à RΓ_{c}^{H} dans D^{b}(Mod(H)).

Deuxième étape. Il nous faut maintenant prouver que Q_{0} est projectif. Comme il est de présentation finie, il suffira de prouver qu’il est plat, i.e. que pour tout i > 0 et pour tout H-module à droite M, le Λ-module Tor_{i}^{H} (M, Q_{0}) = H^{−i}(M ⊗_{H}^{L} Q_{0}) est nul. Il est alors utile de remarquer que le morphisme canonique RΓ_{c}^{H} ⟶ Q_{0} dans D^{b}(Mod(H)) induit justement des isomorphismes

H^{−i}(M ⊗_{H}^{L} RΓ_{c}^{H}) ⟶^{∼} H^{−i}(M ⊗_{H}^{L} Q_{0})

pour i > 0 ; ceci se voit facilement sur la suite spectrale E_{1}^{pq} = Tor_{p}^{H}(M, Q_{q}) ⇒ H^{q−p}(M⊗_{H}^{L} RΓ_{c}^{H}) qui dégénère en E_{2} puisque E_{1}^{pq} = 0 dès que pq ≠ 0.

Troisième étape. Afin de mieux comprendre l’objet M ⊗_{H}^{L} RΓ_{c}^{H}, nous exprimons le complexe RΓ_{c}^{H} d’une autre manière. Soit P_{LT} l’espace des périodes de Lubin-Tate, et soit

ξ_{n} : M_{LT,n} ⟶ P_{LT}^{nr} ≃ ℙd−1 ; K̂^{nr}

le morphisme de périodes de Gross-Hopkins et Rapoport-Zink. Comme ξ_{n} est un morphisme étale, on a Rξ_{n,!}(Λ) = ξ_{n,!}(Λ), et donc un isomorphisme canonique dans D^{b}(Mod(Λ))

(A.1.1.1)  RΓ_{c}(M_{LT,n}^{ca}, Λ) ⟶^{∼} RΓ_{c}(P_{LT}^{ca}, ξ_{n,!}(Λ)).

Lemme.– Le faisceau étale ξ_{n,!}(Λ) sur P_{LT}^{nr} est naturellement muni d’une structure de faisceau de H-modules, telle que

i) ses fibres sont isomorphes au H-module C_{c}(H\G, Λ) (fonctions à support compact). ii) l’isomorphisme (A.1.1.1) provient d’un isomorphisme dans D^{b}(Mod(H)).

Preuve. Commençons plus généralement avec un faisceau étale de Λ-modules F sur P_{LT}^{nr}, et montrons comment le faisceau ξ_{n,!}ξ_{n}^{∗}(F) est naturellement un faisceau de Hmodules. Soit U ⟶^{f} P_{LT}^{nr} un morphisme étale. Pour expliciter la structure de H-module sur Γ(U, ξ_{n,!}ξ_{n}^{∗}(F)), posons U_{n} := M_{LT,n} ×_{P_{LT}^{nr}} U. On peut alors identifier Γ(U, ξ_{n,!}ξ_{n}^{∗}(F)) au sous-module Γ_{!}(U_{n}, ξ_{n}^{∗}(F)) ⊂ Γ(U_{n}, ξ_{n}^{∗}(F)) des sections à support propre au-dessus de U. Comme dans [10, 3.3.2], la colimite lim_{⟶}_{m}Γ_{!}(U_{m}, ξ_{m}^{∗}(F)) est munie d’une action lisse de G. Comme dans [10, 3.5.10], le morphisme canonique

Γ(U, ξ_{n,!}ξ_{n}^{∗}(F)) = Γ_{!}(U_{n}, ξ_{n}^{∗}(F)) ⟶ (lim_{⟶}_{m}Γ_{!}(U_{m}, ξ_{m}^{∗}(F))^{H_{n}}

est un isomorphisme et permet donc de munir le terme de gauche d’une action de H. De même on a un isomorphisme

Γ_{c}(U, ξ_{n,!}ξ_{n}^{∗}(F)) = Γ_{c}(U_{n}, ξ_{n}^{∗}(F)) ⟶ (lim_{⟶}_{m}Γ_{c}(U_{m}, ξ_{m}^{∗}(F))^{H_{n}}

qui montre que Γ_{c}(U, ξ_{n,!}ξ_{n}^{∗}(F)) est un sous-H-module de Γ(U, ξ_{n,!}ξ_{n}^{∗}(F)). Si le Λ-module F est injectif, il en est de même de ξ_{n}^{∗}(F) (puisque ξ_{n}^{∗} est adjoint à droite du foncteur exact ξ_{n,!}), et le faisceau ξ_{n,!}ξ_{n}^{∗}(F) est donc Γ_{c}(P_{LT}^{ca}, −)-acyclique (par [1, Thm 5.2.2]). Appliquant ceci à une résolution injective de Λ sur P_{LT}^{nr}, on obtient l’isomorphisme annoncé au ii) dans D^{b}(Mod(H)) :

RΓ_{c}(P_{LT}^{ca}, ξ_{n,!}(Λ)) ⟶^{∼} RΓ_{c}(M_{LT}^{ca}, Λ)^{H_{n}}.

Finalement, le point i) découle du fait que ξ_{n} fait de M_{LT,n} un revêtement étale au sens de [20], dont les fibres géométriques sont isomorphes à G/H.

Quatrième étape. Rappelons maintenant que le foncteur RΓ_{c}(P_{LT}^{ca}, −), dont la source naturelle est D^{+}(Mod_{Λ}(P̃_{LT}_{et})) (catégorie dérivée des faisceaux étales de Λ-modules sur P_{LT}, cf [10, 3x.3] pour les notations), est de dimension cohomologique finie, égale à 2d−2. Il se prolonge donc à la catégorie dérivée non bornée D(Mod_{Λ}(P̃_{LT}_{et})), ce qui nous permet de définir le complexe RΓ_{c}(P_{LT}^{ca}, M ⊗_{H}^{L} ξ_{n,!}(Λ)) pour un H-module à droite M. Lorsque M est libre de type fini sur H, le morphisme canonique

(A.1.1.2)  M ⊗_{H}^{L} RΓ_{c}(P_{LT}^{ca}, ξ_{n,!}(Λ)) ⟶ RΓ_{c}(P_{LT}^{ca}, M ⊗_{H}^{L} ξ_{n,!}(Λ))

est clairement un isomorphisme. Lorsque M est simplement de type fini, la noethériannité de H permet d’en trouver une résolution (infinie) par des H-modules libres de type fini. Un argument de double complexe montre alors que le morphisme (A.1.1.2) est encore un isomorphisme.

Maintenant, les fibres de ξ_{n,!}(Λ), étant isomorphes à C_{c}(H\G, Λ), sont plates sur H. En effet, on a

Fait.– La sous-catégorie de Rep_{Λ}^{∞}(G) formée des objets engendrés par leurs H-inva-riants est une sous-catégorie facteur direct.

Voir [10, Fait 3.5.8], ou appliquer [21, Thm 3.1] au système d’idempotents (e_{x})_{x∈BT^{∘}} associé aux sous-groupes de congruences de niveau n, comme dans [21, Lem 2.6]. Dans cette situation, le foncteur V ↦ V^{H} = Hom_{G}(C_{c}(H\G, Λ), V) induit une équivalence de cette sous-catégorie sur la catégorie des H-modules à droite, et son adjoint à gauche

(A.1.1.3)  M ↦ M ⊗_{H} C_{c}(H\G, Λ)

en est une équivalence inverse, donc est exact.

On a donc simplement M ⊗_{H}^{L} ξ_{n,!}(Λ) = M ⊗_{H} ξ_{n,!}(Λ) et on obtient finalement un isomorphisme

M ⊗_{H}^{L} RΓ_{c}^{H} ⟶^{∼} RΓ_{c}(P_{LT}^{ca}, M ⊗_{H} ξ_{n,!}(Λ)).

Mais le complexe de droite est le complexe de cohomologie d’un faisceau, donc n’a pas de cohomologie en degrés négatifs. On a donc bien H^{−i}(M ⊗_{H}^{L} RΓ_{c}^{H}) = 0 pour i > 0.

Cinquième étape. A ce point, nous avons prouvé que RΓ_{c}^{H} est parfait d’amplitude contenue dans [0, 2d−2]. Le fait que l’amplitude est exactement [0, 2d−2] découle du lemme ci-dessous. On y note 1_{Λ} le caractère “trivial” de H à valeurs dans Λ, qui envoie la fonction caractéristique de HgH sur #(H\HgH) ∈ q^{ℤ}. C’est l’image de la Λ-représentation triviale de G par le foncteur V ↦ V^{H}.

Lemme.– On a un isomorphisme canonique

1_{Λ} ⊗_{H}^{L} RΓ_{c}(M_{LT}^{ca}, Λ)^{H} ⟶^{∼} RΓ_{c}(P_{LT}^{ca}, Λ) = ⨁_{k=0}^{2d−2} Λ(−k)[−2k].

Preuve. D’après la quatrième étape, le terme de gauche s’identifie à RΓ_{c}(P_{LT}^{ca}, 1_{Λ} ⊗_{H} ξ_{n,!}(Λ)). Comme le foncteur (A.1.1.3) est une équivalence inverse de V ↦ V^{H}, on a 1_{Λ} ⊗_{H} C_{c}(H\G, Λ) ≃ Λ, et le faisceau 1_{Λ} ⊗_{H} ξ_{n,!}(Λ) est donc un système local en Λmodules libres de rang 1 sur P_{LT}^{nr}. D’après [20, Lemma 7.3], un tel système local est trivial sur P_{LT}^{ca}.

(A.1.2) Preuve dans le cas ℓ-adique. Il n’y a rien à modifier aux deux premières étapes, mais l’isomorphisme (A.1.1.1) n’est plus correct. Pour le corriger, nous devons rappeler la construction du complexe RΓ_{c}. On utilise librement les notations de [10, 3.3]. On note en particulier Λ_{•} le pro-anneau (Λ/ℓ^{n}Λ)_{n∈ℕ}, Mod_{Λ_{•}}(X̃_{et}) la catégorie abélienne des faisceaux étales de Λ_{•}-modules sur un espace analytique X, et D^{+}(Mod_{Λ_{•}}(X̃_{et})) sa catégorie dérivée. On dispose alors du foncteur limite projective

lim_{⟵}X̃_{et} : Mod_{Λ_{•}}(X̃_{et}) ⟶ Mod_{Λ}(X̃_{et}) .

Par [10, (3.5.10)], RΓ_{c}(M_{LT}^{ca}, Λ)^{H} est l’évaluation en le pro-faisceau constant Λ_{•} sur P_{LT}^{nr} du foncteur dérivé du foncteur

F_{•} ↦ Γ_{c} (M_{LT,n}^{ca}, lim_{⟵}{ \atop M_{LT,n,et}} (ξ_{n}^{∗}(F_{•}))) = Γ_{c} (P_{LT}^{ca}, ξ_{n,!}ξ_{n}^{∗} (lim_{⟵}{ \atop P_{LT,et}^{nr}}(F_{•}))) .

L’égalité utilise l’isomorphisme lim_{⟵}{ \atop M_{LT,n,et}} ∘ ξ_{n}^{∗} ⟶^{∼} ξ_{n}^{∗} ∘ lim_{⟵}{ \atop P_{LT,et}^{nr}}, qui lui-même vient du fait que ξ_{n} est étale. Maintenant, la formule de projection nous donne un isomorphisme de faiceaux sur P_{LT}^{nr}

ξ_{n,!}ξ_{n}^{∗} (lim_{⟵}{ \atop P_{LT,et}^{nr}}(F_{•})) ⟶^{∼} ξ_{n,!}(Λ) ⊗_{Λ} (lim_{⟵}{ \atop P_{LT,et}^{nr}}(F_{•}))

dans lequel ξ_{n,!}(Λ) désigne l’image directe à supports propres du faisceau constant de fibres Λ sur M_{LT,n}. Appliquant ceci à une résolution injective de Λ_{•}, on obtient l’isomorphisme suivant dans D^{b}(Mod(Λ)), analogue de (A.1.1.1) :

(A.1.2.1)  RΓ_{c}^{H} = RΓ_{c}(M_{LT,n}^{ca}, Λ) ≃ RΓ_{c} (P_{LT}^{ca}, ξ_{n,!}(Λ) ⊗_{Λ}^{L} (Rlim_{⟵}{ \atop P_{LT,et}^{nr}}(Λ_{•}))) .

Comme dans le cas de torsion (lemme ci-dessus), cet isomorphisme vit par construction dans D^{b}(Mod(H)). Pour tout H-module à droite de type fini M, l’isomorphisme (A.1.1.2) devient

(A.1.2.2)  M ⊗_{H}^{L} RΓ_{c}^{H} ⟶^{∼} RΓ_{c} (P_{LT}^{ca}, (M ⊗_{H}^{L} ξ_{n,!}(Λ)) ⊗_{Λ}^{L} (Rlim_{⟵}{ \atop P_{LT,et}^{nr}}(Λ_{•}))) .

Les fibres de ξ_{n,!}(Λ) étant des H-modules plats, on peut supprimer le premier L dans

le terme de droite. Le complexe Rlim_{⟵}{ \atop P_{LT,et}^{nr}}(Λ_{•})) de D^{+}(Mod_{Λ}({ \atop P_{LT,et}^{nr}})) est concentré en

degrés ⩾ 0, et son H^{0} est le faisceau constant Λ, qui est donc sans ℓ-torsion. Il s’ensuit que le complexe (M ⊗_{H} ξ_{n,!}(Λ)) ⊗_{Λ}^{L} (Rlim_{⟵}{ \atop P_{LT,et}^{nr}}(Λ_{•})) ∈ D^{+}(Mod_{Λ}({ \atop P_{LT,et}^{nr}})) est concentré

en degrés ⩾ 0, et il en est donc de même du complexe M ⊗_{H}^{L} RΓ_{c}^{H}.

A.2 Perfection dans D(D^{×})

(A.2.1) Proposition.– Soit Λ une ℤ_{ℓ}-algèbre finie et H un sous-groupe de congruences de GL_{d}(O). Le complexe RΓ_{c}(M_{LT}^{ca}, Λ)^{H} est parfait d’amplitude [d − 1, 2d − 2] dans D^{b}(Rep_{Λ}^{∞}(D^{×})).

Preuve. La preuve de cette proposition repose sur le théorème de Faltings-Fargues [15, IV.13.2] qui affirme l’existence d’un isomorphisme naturel

RΓ_{c}(M_{LT}^{ca}, Λ) ≃ RΓ_{c}(M_{Dr}^{ca}, Λ) dans D^{b}(Rep_{Λ}^{∞,c}(GD × W_{K}))

où le terme de droite désigne le complexe de cohomologie équivariant de la “tour de Drinfeld”. Nous allons donc travailler du côté “Drinfeld” en renvoyant à [10, 3.3] pour les notations employées.

On sait que la cohomologie de RΓ_{c}(M_{LT}^{ca}, Λ)^{H} est de type fini sur le centre de G. Puisque le centre de D^{×} agit comme celui de G, on en conclut que la cohomologie de RΓ_{c}(M_{LT}^{ca}, Λ) est de type fini sur D^{×}. Fixons alors un sous-groupe de congruences J_{n} := 1 + ϖ^{n}O_{D} de D^{×} agissant trivialement sur ces espaces de cohomologie. On sait d’après [10, 3.5.6] que RΓ_{c}(M_{Dr}^{ca}, Λ)^{J_{n}} ≃ RΓ_{c}(M_{Dr,n}^{ca}, Λ). Soit ξ_{n} : M_{Dr,n} ⟶ P_{Dr} = Ωd−1 ; K̂^{nr} le morphisme de périodes de Drinfeld et Rapoport-Zink. Comme dans la preuve de la proposition (2.1.3), le faisceau ξ_{n,!}(Λ) est naturellement un faisceau G-équivariant de Λ[D^{×}/J_{n}]-modules et on a un isomorphisme

RΓ_{c}(M_{Dr}^{ca}, Λ)^{J_{n}} ≃ RΓ_{c}(P_{Dr}^{ca}, ξ_{n,!}(Λ))

dans D^{b}(Rep_{Λ}(D^{×}/J_{n})), et même dans D^{b}(Rep_{Λ}^{∞}(G × D^{×}/J_{n})). Les fibres de ξ_{n,!}(Λ) sont ici encore des Λ[D^{×}/J_{n}]-modules plats, et même libres de rang 1. On a donc pour tout Λ[D^{×}/J_{n}]-module M un isomorphisme

M ⊗_{Λ[D^{×}/J_{n}]}^{L} RΓ_{c}(M_{Dr}^{ca}, Λ)^{J_{n}} ≃ RΓ_{c}(P_{Dr}^{ca}, M ⊗_{Λ[D^{×}/J_{n}]} ξ_{n,!}(Λ))

dans D^{b}(Rep_{Λ}^{∞}(G)), d’où l’on déduit un isomorphisme

M ⊗_{Λ[D^{×}/J_{n}]}^{L} RΓ_{c}(M_{Dr}^{ca}, Λ)^{H} ≃ RΓ_{c}(P_{Dr}^{ca}, M ⊗_{Λ[D^{×}/J_{n}]} ξ_{n,!}(Λ))^{H}

dans D^{b}(Mod(Λ)). On peut donc suivre le même raisonnement que dans la preuve de la proposition (2.1.3) pour en conclure que le complexe RΓ_{c}(M_{LT}^{ca}, ℤ_{ℓ})^{H} est parfait d’amplitude contenue dans [0, 2d − 2] dans D^{b}(Rep_{ℤ_{ℓ}}(D^{×}/J_{n})).

Il reste maintenant à montrer que l’amplitude parfaite est en fait la meilleure possible, égale à l’amplitude cohomologique [d − 1, 2d − 2]. Pour cela, notons D^{0} := O_{D}^{×} le groupe des entiers inversibles de D. On se souvient [10, 3.5.2] que

RΓ_{c}(M_{Dr}^{ca}, Λ) = ind_{D^{0}}^{D} (RΓ_{c}(M_{Dr}^{(0),ca}, Λ)) ,

où RΓ_{c}(M_{Dr}^{(0),ca}, Λ) ∈ D^{b}(Rep_{Λ}^{∞}(D^{0})) est le complexe de cohomologie de la tour (M_{LT,n}^{(0)})_{n∈ℕ} formée de revêtements étales finis de P_{Dr}. De même

RΓ_{c}(M_{Dr}^{ca}, Λ)^{H} = Λ[D^{×}/J_{n}] ⊗_{Λ[D^{0}/J_{n}]} (RΓ_{c}(M_{Dr}^{(0),ca}, Λ)^{H}).

Notons que la même preuve que ci-dessus montre que RΓ_{c}(M_{Dr}^{(0),ca}, Λ)^{H} est un complexe parfait de Λ[D^{0}/J_{n}]-modules. Il nous suffira donc de montrer que son amplitude parfaite est bien [d − 1, 2d − 2]. On peut aussi se restreindre au cas Λ = ℤ_{ℓ} puisque les autres s’en déduisent par changement de coefficients.

Faisons ici une petite digression. Soit A un groupe et C un complexe parfait de ℤ_{ℓ}[A]- modules d’amplitude cohomologique [a, b] et d’amplitude parfaite [α, β]. Par définition, on a [a, b] ⊂ [α, β]. On voit aussi facilement que b = β, car si β > b, la différentielle d_{β−1} : P_{β−1} ⟶ P_{β} est surjective et donc scindable. Supposons de plus que A est fini. Dans ce cas le ℤ_{ℓ}-dual d’un ℤ_{ℓ}[A]-module projectif est encore un ℤ_{ℓ}[A]-module projectif. Ainsi le complexe dual C^{∨} est parfait d’amplitude parfaite [−β, −α]. De plus, les suites exactes

Ext_{ℤ_{ℓ}}^{1}(H^{−i+1}(C), ℤ_{ℓ}) ⟶ H^{i}(C^{∨}) ⟶ Hom_{ℤ_{ℓ}}(H^{−i}(C), ℤ_{ℓ})

montrent que H^{−i}(C^{∨}) est nul pour i > −a + 1, et même pour i = −a + 1 si H^{a}(C) n’a pas de ℓ-torsion. Dans ce dernier cas, on a alors α = a, i.e. l’amplitude parfaite coïncide avec l’amplitude cohomologique.

Ceci s’applique au complexe C = RΓ_{c}(M_{Dr}^{(0),ca}, ℤ_{ℓ})^{H} et A = D^{0}/J_{n}, puisque l’on sait que H_{c}^{d−1}(M_{Dr}^{(0),ca}, ℤ_{ℓ}) est sans torsion (vu que H_{c}^{d−2}(M_{Dr}^{(0),ca}, 𝔽_{ℓ}) est nul, par [2, Cor 6.2]).

(A.2.2) Remarque.– Contrairement à ce que pourraient laisser penser les propositions (2.1.3) et (A.2.1), le complexe RΓ_{c}(M_{LT}^{ca}, Λ) n’est pas parfait en tant que complexe de D_{Λ}^{b}(G × D^{×}) ou D^{b}Rep_{Λ}^{∞}(GD). Pour le voir, faisons Λ = 𝔽_{ℓ} et considérons le complexe

C := RΓ_{c}(M_{LT}^{ca}, 𝔽_{ℓ}) ⊗_{GL_{d}(O)K^{×}}^{L} 𝔽_{ℓ} ∈ D^{b}Rep_{𝔽_{ℓ}}^{∞}(D^{×}/K^{×}).

Si ce complexe n’est pas parfait dans D^{b}Rep_{𝔽_{ℓ}}^{∞}(D^{×}), resp. D^{b}Rep_{𝔽_{ℓ}}^{∞}(D^{×}/K^{×}), alors le complexe RΓ_{c}(M_{LT}^{ca}, 𝔽_{ℓ}) ne l’est pas dans D^{b}Rep_{𝔽_{ℓ}}^{∞}(G×D^{×}), resp. D^{b}Rep_{𝔽_{ℓ}}^{∞}(GD). Comme dans [10, 3.5.9] et [10, 3.5.5], on a

C ≃ RΓ_{c}(M_{LT,0}^{ca}, 𝔽_{ℓ}) ⊗_{ϖ^{ℤ}}^{L} 𝔽_{ℓ} = ind_{O_{D}^{×}ϖ^{ℤ}}^{D^{×}} (RΓ_{c}(M_{LT,0}^{(0),ca}, 𝔽_{ℓ})) .

Or, M_{LT,0}^{(0)} est une boule unité ouverte de dimension d − 1 donc

C ≃ ind_{O_{D}^{×}/O^{×}}^{D^{×}/K^{×}} (𝔽_{ℓ}) [2 − 2d].

Supposons maintenant que l’ordre de q dans 𝔽_{ℓ} soit exactement d. Dans ce cas, la 𝔽_{ℓ}- représentation triviale du groupe 𝔽_{q^{d}}^{×} est de dimension cohomologique infinie, et il en est donc de même de la 𝔽_{ℓ}-représentation lisse triviale de O_{D}^{×}/K^{×}, ainsi que de la 𝔽_{ℓ}- représentation ind_{O_{D}^{×}/O^{×}}^{D^{×}/K^{×}}(𝔽_{ℓ}), qu’elle soit vue comme représentation de D^{×} ou de D^{×}/K^{×}.

Le complexe C n’est donc pas parfait dans D^{b}Rep_{𝔽_{ℓ}}^{∞}(D^{×}), ni dans D^{b}Rep_{𝔽_{ℓ}}^{∞}(D^{×}/K^{×}).

On en déduit, sous la même hypothèse de congruence, que le complexe de cohomologie du demi-espace de Drinfeld RΓ_{c}(M_{Dr,0}^{(0),ca}, 𝔽_{ℓ}) n’est pas parfait dans D^{b}Rep_{𝔽_{ℓ}}^{∞}(G) ni dans D^{b}Rep_{𝔽_{ℓ}}^{∞}(G/K^{×}). Comme ce complexe est scindé (par les poids), cela signifie qu’au moins un des espaces de cohomologie est de dimension cohomologique infinie.

B Scindages de catégories, enveloppes projectives, et déformations

Dans cet appendice, nous rassemblons les résultats de pure théorie des représentations utilisés dans le corps du texte. Nous utiliserons le lemme suivant sur une manière générale de scinder une catégorie abélienne.

(B.0.1) Lemme.– Soit C une catégorie abélienne avec produits et coproduits, et S un ensemble d’objets simples de C. Notons C_{S}, resp. C^{S} la sous-catégorie pleine de C formée des objets dont tous les sous-quotients simples sont dans S, resp. aucun sous-quotient simple n’est dans S.

i) Si C_{S} contient un objet projectif P_{S} de C tel que Hom_{C}(P_{S}, s) ≠ 0 pour tout s ∈ S, alors tout objet V de C possède une unique filtration V_{S} ↪ V ↠ V^{S} avec V_{S} ∈ C_{S} et V^{S} ∈ C^{S}.

ii) Si de plus C_{S} contient un objet injectif I_{S} de C tel que Hom_{C}(s, I_{S}) ≠ 0 pour tout s ∈ S, alors la filtration est (canoniquement) scindée. Le foncteur somme directe C_{S} × C^{S} ⟶ C est donc une équivalence de catégories.

Preuve. i) Comme la somme de deux sous-objets de V apartenant à C_{S} appartient encore à C_{S}, on peut définir le plus grand sous-objet de V appartenant à C_{S}. Notons-le V_{S}. Supposons que V/V_{S} n’est pas dans C^{S}. Alors V possède un sous-objet W contenant V_{S} tel que W/V_{S} se surjecte sur un objet s ∈ S. Mais alors on en déduit un morphisme P_{S} ⟶ W dont l’image n’est pas dans V_{S} : contradiction.

ii) Dualement, comme le quotient de V par l’intersection de deux sous-objets de quotients dans C_{S} est encore dans C_{S}, on peut définir le plus grand quotient de V appartenant à C_{S}. Notons-le V_{S}^{q}. Toujours dualement, l’existence de I_{S} assure que le noyau de V ↠ V_{S}^{q} est dans C^{S}. Ceci entraine alors que la composée V_{S} ⟶ V_{S}^{q} est un isomorphisme.

Le foncteur du ii) est clairement fidèle. Il est aussi plein car Hom(A, B) = Hom(B, A) = 0 si A ∈ C_{S} et B ∈ C^{S}. On vient de montrer qu’il est essentiellement surjectif.

Nous aurons aussi besoin du fait suivant, très classique.

(B.0.2) Fait– Soit P un générateur projectif compact (=de type fini) d’une catégorie abélienne C essentiellement petite avec limites inductives exactes, et soit ℨ := End_{C} (P)^{opp} l’anneau opposé de son commutant. Alors les foncteurs V ↦ Hom_{C}(P, V) et M ↦ P ⊗_{ℨ} M sont des équivalences de catégories entre C et Mod(ℨ) “inverses” l’une de l’autre.

B.1 Représentations supercuspidales et scindages de Rep(G)

(B.1.1) Soit π une \overline{𝔽}_{ℓ}-représentation irréductible supercuspidale de G (au sens habituel de Vignéras rappelé au-dessus du théorème 1), et soit π^{0} un sous-quotient irréductible de π_{|G^{0}}. On rappelle que ℤ_{ℓ}^{nr} désigne l’extension non ramifiée maximale de ℤ_{ℓ} dans \overline{ℤ}_{ℓ}. On désigne par ϖ un élément de K de valuation v > 0, et par ϖ^{ℤ} le sous-groupe discret qu’il engendre, que l’on considère parfois comme un sous-groupe central de G. Sans perte de généralité pour ce qui suit, nous supposerons que le caractère central de π est trivial sur ϖ. On s’intéresse aux sous-catégories pleines suivantes :

– C_{π} ⊂ Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(G) formée des objets dont tous les ℤ_{ℓ}^{nr}G^{0}-sous-quotients irréductibles sont isomorphes à un sous-quotient de π_{|G^{0}}.

– C_{π}^{ϖ} ⊂ Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(G/ϖ^{ℤ}) formée des ℤ_{ℓ}^{nr}-représentations de G/ϖ^{ℤ} et dont tous les ℤ_{ℓ}^{nr}Gsous-quotients irréductibles sont isomorphes à π.

– C_{π^{0}}^{0} ⊂ Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(G^{0}) formée des ℤ_{ℓ}^{nr}-représentations de G^{0} dont tous les ℤ_{ℓ}^{nr}G^{0}-sous-

quotients sont isomorphes à π^{0}. Nous voulons montrer qu’elles sont facteurs directs, en exhiber des progénérateurs convenables, et calculer les commutants de ces générateurs. Pour cela, choisissons un type simple (J^{∘}, λ) contenu dans π^{0}, cf. [28, III.5.10.i)] où le type est dit “minimal-maximal”. Ainsi, J^{∘} est un sous-groupe ouvert compact de G et λ une \overline{𝔽}_{ℓ}-représentation irréductible de J^{∘}, et l’on a d’après [28, III.5.3]

π^{0} ≃ ind_{J^{∘}}^{G^{0}} (λ) .

Soit P_{λ} une enveloppe projective de λ dans Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(J^{∘}). Dans les énoncés qui suivent, l’entier f désigne la longueur de π_{|G^{0}}.

(B.1.2) Proposition.– Posons P_{π^{0}} := ind_{J^{∘}}^{G^{0}} (P_{λ}) et P_{π} := ind_{J^{∘}}^{G} (P_{λ}).

i) (a) La sous-catégorie C_{π^{0}}^{0} est facteur direct de Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(G^{0}), pro-engendrée par P_{π^{0}}.

(b) Le commutant ℨ_{π^{0}}^{opp} := End_{ℤ_{ℓ}^{nr}G^{0}} (P_{π^{0}}) est isomorphe à l’algèbre ℤ_{ℓ}^{nr}[Syl_{ℓ}(𝔽_{q^{f}}^{×})] du ℓ-Sylow du groupe 𝔽_{q^{f}}^{×}.

ii) (a) La sous-catégorie C_{π} est facteur direct dans Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(G), pro-engendrée par P_{π}.

(b) Le commutant ℨ_{π}^{opp} := End_{ℤ_{ℓ}^{nr}G} (P_{π}) est isomorphe à l’algèbre ℤ_{ℓ}^{nr}[Syl_{ℓ}(𝔽_{q^{f}}^{×})×ℤ].

Preuve. i)(a) Le point clef est [28, III.4.28] qui nous dit que, puisque π est supercuspidale, tous les sous-quotients irréductibles de P_{λ} ⊗_{ℤ_{ℓ}^{nr}} \overline{𝔽}_{ℓ}, et donc aussi ceux de P_{λ}, sont isomorphes à λ (en fait, nous donnerons une preuve alternative de ce fait (moins élémentaire) lorsque nous démontrerons le point ii)). Il s’ensuit que P_{π^{0}} ⊗ \overline{𝔽}_{ℓ} est une représentation de longueur finie de G^{0}, et que tous ses sous-quotients irréductibles, ainsi que ceux de P_{π^{0}}, sont isomorphes à π^{0}. En particulier, P_{π^{0}} est bien un objet de C_{π^{0}}^{0}. C’est même un objet projectif, puisqu’induit à supports compacts d’un objet projectif.

Il reste à voir que C_{π^{0}}^{0} est bien facteur direct de Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(G^{0}). Nous avons le nécessaire pour appliquer le i) du lemme (B.0.1) avec C = Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(G^{0}), S = {π^{0}} et P_{S} = P_{π^{0}}. Pour appliquer le ii) de ce lemme, remarquons que la ℤ_{ℓ}^{nr}-contragédiente P_{π^{0}}^{∨} de P_{π^{0}} est encore un objet projectif de Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(G^{0}) (cf lemme (3.1.2)) et que tous ses sous-quotients irréductibles sont isomorphes à (π^{0})^{∨}. Posons alors I_{π^{0}} := Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}}(P_{π^{0}}^{∨}, ℚ_{ℓ}^{nr}/ℤ_{ℓ}^{nr}). C’est un objet injectif (pas de type fini) de Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(G^{0}) qui appartient C_{π^{0}}^{0} et qui contient π_{0}. On peut donc appliquer le lemme (B.0.1) et conclure.

i)(b) Pour calculer l’anneau End_{G^{0}} (P_{π^{0}}), on rappelle deux propriétés du type (J^{∘}, λ).

a) L’ensemble d’entrelacement de λ dans G^{0} est égal à J^{∘}. En conséquence, le morphisme canonique End_{J^{∘}} (P_{λ}) ⟶ End_{G^{0}} (P_{π^{0}}) est un isomorphisme.

b) Le quotient de J^{∘} par son pro-p-radical J^{1} est isomorphe à un groupe du type GL_{d′}(𝔽_{q^{f′}}) et λ est de la forme κ ⊗ τ avec κ une représentation dont la restriction à J^{1} est irréductible et admettant un unique relèvement κ̃, et τ une représentation supercuspidale du quotient GL_{d′}(𝔽_{q^{f′}}). En conséquence, P_{λ} est de la forme κ̃ ⊗ P_{τ} et on a un isomorphisme End_{GL_{d′}(𝔽_{q^{f′}})} (P_{τ}) ⟶^{∼} End_{J^{∘}} (P_{λ}).

Reste alors à calculer End_{GL_{d′}(𝔽_{q^{f′}})} (P_{τ}). Après son étude des relèvements possibles de τ, Vignéras a observé dans [28, III.2.9] que d’après les propriétés du triangle de Cartan-Brauer, P_{τ} ⊗ \overline{ℚ}_{ℓ} est isomorphe à la somme directe ⨁τ̃ τ̃ des \overline{ℚ}_{ℓ}-relèvements de τ, chacun apparaissant avec multiplicité 1. Elle a compté ℓ^{v_{ℓ}(q^{f′d′}−1)} = |Syl_{ℓ}(𝔽_{q^{f′d′}}^{×})| tels relèvements,

et l’anneau qui nous intéresse est donc un ordre local dans l’algèbre \overline{ℚ}_{ℓ}^{ℓ^{v_{ℓ}(q^{f′d′} −1)}}. L’auteur n’ayant pas su identifier cet ordre par des moyens élémentaires, nous utiliserons la cohomologie de la variété de Deligne-Lusztig Y_{d′,f′} associée à l’élément de Coxeter de GL_{d′}(𝔽_{q^{f′}}), et qui est munie d’une action de GL_{d′}(𝔽_{q^{f′}}) × 𝔽_{q^{f′d′}}^{×}. Notons C_{τ} la souscatégorie facteur direct de Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(GL_{d′}(𝔽_{q^{f′}})) formée des représentations dont tous les sous-quotients irréductibles sont isomorphes à τ, qui est donc pro-engendrée par P_{τ}. On sait que le complexe RΓ_{c}(Y_{d′,f′}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr}) est parfait dans D^{b}(Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}(GL_{d′}(𝔽_{q^{f′}}))), donc son facteur direct RΓ_{c}(Y_{d′,f′}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{C_{τ}} est aussi parfait. Comme dans la preuve de la proposition (3.2.1), ce facteur direct est concentré en degré d′ − 1 : cela découle par exemple du théorème 3.10 de [3] car P_{τ} est facteur direct du module de Gelfand-Graev. Il s’ensuit que H_{c}^{d′−1}(Y_{d′,f′}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{C_{τ}} est projectif, et donc est un progénérateur de C_{τ}. Cet espace se décompose encore selon l’action de 𝔽_{q^{f′d′}}^{×} en

H_{c}^{d′−1}(Y_{d′,f′}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{C_{τ}} = ⨁_{θ} H_{c}^{d′−1}(Y_{d′,f′}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{C_{τ} ,C_{θ}}

où θ décrit l’ensemble des \overline{𝔽}_{ℓ}-caractères de 𝔽_{q^{f′d′}}^{×} et C_{θ} désigne la sous-catégorie des ℤ_{ℓ}^{nr}- représentations de 𝔽_{q^{f′d′}}^{×} dont tous les sous-quotients sont isomorphes à θ. La théorie de Deligne-Lusztig nous dit qu’il y a au moins un facteur comme ci-dessus non nul et que de plus on a

H_{c}^{d′−1}(Y_{d′,f′}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{C_{τ} ,C_{θ}} ⊗ \overline{ℚ}_{ℓ} = ⨁ ; τ̃ τ̃ ⊗ θ̃

où τ̃ décrit l’ensemble des relèvements de τ et θ̃ est l’unique caractère relevant θ et associé à τ̃ par la “correspondance de Deligne-Lusztig”. En particulier, H_{c}^{d′−1}(Y_{d′,f′}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{C_{τ} ,C_{θ}} est une enveloppe projective de τ. Maintenant, le complexe RΓ_{c}(Y_{d′,f′}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr}) est aussi parfait dans D^{b}(Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}(𝔽_{q^{d′f′}}^{×})), donc le facteur direct H_{c}^{d′−1}(Y_{d′,f′}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{C_{τ} ,C_{θ}} est aussi projectif dans C_{θ}. Considérons alors le morphisme canonique

ℤ_{ℓ}^{nr}[𝔽_{q^{f′d′}}^{×}]_{C_{θ}} ≃ ℤ_{ℓ}^{nr}[Syl_{ℓ}(𝔽_{q^{f′d′}}^{×})] ⟶ End_{ℤ_{ℓ}^{nr}GL_{d′}(𝔽_{q^{f′}})} (H_{c}^{d′−1}(Y_{d′,f′}^{ca}, ℤ_{ℓ}^{nr})_{C_{τ} ,C_{θ}})

Ce morphisme entre deux ℤ_{ℓ}^{nr}-algèbres libres de rang fini devient bijectif après inversion de ℓ d’après la décomposition précédente. Pour voir qu’il est lui-même bijectif, il suffit de prouver que sa réduction

\overline{𝔽}_{ℓ}[𝔽_{q^{f′d′}}^{×}]_{C_{θ}} ≃ \overline{𝔽}_{ℓ}[Syl_{ℓ}(𝔽_{q^{f′d′}}^{×})] ⟶ End_{\overline{𝔽}_{ℓ}GL_{d′}(𝔽_{q^{f′}})} (H_{c}^{d′−1}(Y_{d′,f′}^{ca}, \overline{𝔽}_{ℓ})_{C_{τ} ,C_{θ}})

l’est, ou encore, par égalité des rangs, que cette réduction est injective. Or, cela découle de la projectivité de H_{c}^{d′−1}(Y_{d′,f′}^{ca}, \overline{𝔽}_{ℓ})_{C_{τ} ,C_{θ}} sur l’anneau local \overline{𝔽}_{ℓ}[𝔽_{q^{f′d′}}^{×}]_{C_{θ}}.

Pour achever la preuve du point i)(b), il reste à montrer l’identité f = f′d′. On sait que le normalisateur J de la paire (J^{∘}, λ) est de la forme J^{∘}E^{×} pour une extension E ⊃ K de degré d/d′ et degré résiduel f′, cf [28, III.5], et que λ s’étend en une représentation λ′ telle que ind_{J}^{G} (λ′) ≃ π. On a alors

π_{|G^{0}} = ⨁_{x∈J\G/G^{0}} ind_{(J^{0})^{x}}^{G^{0}} (λ^{x}) = ⨁_{x∈J\G/G^{0}}(π^{0})^{x}.

La longueur f de π_{|G^{0}} est donc donnée par

f = [G : G^{0}J] = [G : G^{0}ϖ^{ℤ}][G^{0}J : G^{0}ϖ^{ℤ}]^{−1} = d[J : J^{0}ϖ^{ℤ}]^{−1}
= d[E^{×} : O_{E}^{×}K^{×}]^{−1} = de(E/K)^{−1} = d′f′

ii)(a) Les sous-quotients irréductibles de π_{|G^{0}} sont en nombre fini, et permutés par conjugaison sous G. En appliquant la proposition précédente à chacun d’eux, on constate que la sous-catégorie C_{π}^{0} ⊂ Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(G^{0}) formée des ℤ_{ℓ}^{nr}-représentations de G^{0} dont tous les sous-quotients irréductibles sont isomorphes à un sous-quotient de π_{|G^{0}} est facteur direct de Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(G^{0}), et pro-engendrée par ⨁_{x∈G/G^{0}ϖ^{ℤ}} P_{π^{0}}^{x} ≃ P_{π}^{0}.

Par définition, une ℤ_{ℓ}^{nr}-représentation lisse de G est dans C_{π} si et seulement si sa restriction à G^{0} est dans C_{π}^{0}. Soit alors V ∈ Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(G). Par unicité, la décomposition V_{|G^{0}} = V_{C_{π}^{0}}⊕V^{C_{π}^{0}} est nécessairement G-invariante, avec V_{C_{π}^{0}} ∈ C_{π} et V^{C_{π}^{0}} ∈ C^{π}. Inversement, l’induite d’un objet de C_{π}^{0} à G appartient à C_{π}, et envoie tout progénérateur de C_{π}^{0} sur un progénérateur de C_{π}. Or, ind_{G^{0}}^{G} (P_{π}^{0}) ≃ P_{π}^{[G:G^{0}ϖ^{ℤ}]}, donc P_{π} est bien un progénérateur de C_{π}.

ii)(b) Soit J le normalisateur de la paire (J^{∘}, λ) (noté J^{∘}E^{×} dans [28, III.5]). On sait que l’ensemble d’entrelacement de λ dans G est contenu dans (et donc égal à) J. Celui de P_{λ} est alors aussi contenu dans J, et on en déduit l’isomorphisme

End_{J} (ind_{J^{∘}}^{J} (P_{λ})) ⟶^{∼} End_{G} (P_{π}) .

Par unicité de l’enveloppe projective, J normalise aussi P_{λ}. Comme le quotient J/J^{∘} est isomorphe à ℤ, on peut prolonger la représentation P_{λ} de J^{∘} en une représentation P_{λ}^{†} de J. On a alors un isomorphisme naturel de ℤ_{ℓ}^{nr}-représentations de J

ind_{J^{∘}}^{J} (P_{λ}) ≃ P_{λ}^{†} ⊗ ℤ_{ℓ}^{nr}[J/J^{∘}]

où J agit diagonalement sur le produit tensoriel (et par translations sur ℤ_{ℓ}^{nr}[J/J^{∘}]). On en déduit un morphisme d’algèbres

(B.1.2.1)  End_{J} (P_{λ}^{†}) ⊗ ℤ_{ℓ}^{nr}[J/J^{∘}] ⟶ End_{J} (ind_{J^{∘}}^{J} (P_{λ})) .

De plus, la réciprocité de Frobenius nous donne une décomposition de ℤ_{ℓ}^{nr}[J/J^{∘}]-modules

End_{J} (ind_{J^{∘}}^{J} (P_{λ})) ≃ Hom_{J^{∘}} (P_{λ}, P_{λ}^{†} ⊗ ℤ_{ℓ}^{nr}[J/J^{∘}]) ≃ End_{J^{∘}} (P_{λ}) ⊗ ℤ_{ℓ}^{nr}[J/J^{∘}],

et le morphisme (B.1.2.1) est induit par l’inclusion End_{J} (P_{λ}^{†}) ⊂ End_{J^{∘}} (P_{λ}) et l’identité de ℤ_{ℓ}^{nr}[J/J^{∘}]. Reste donc à voir que l’inclusion End_{J} (P_{λ}^{†}) ⊂ End_{J^{∘}} (P_{λ}) est une égalité. Comme il s’agit d’une inclusion de ℤ_{ℓ}^{nr}-modules libres de rang fini qui est manifestement scindée, il suffit de voir que ces modules ont même rang sur ℤ_{ℓ}^{nr}, et pour cela on peut étendre les scalaires à \overline{ℚ}_{ℓ}. Or on sait d’une part que P_{λ} ⊗ \overline{ℚ}_{ℓ} est la somme directe sans multiplicité des relèvements de λ à \overline{ℚ}_{ℓ}, et d’autre part que chacun de ces relèvements est normalisé par J. On en déduit que les deux algèbres ont même rang égal au nombre de relèvements de λ.

(B.1.3) Corollaire.– La représentation π n’est pas sous-quotient d’une induite parabolique propre.

Preuve. En effet, si on a W ⊂ i_{P}^{G} (U) avec W ↠ π, alors par projectivité on a un morphisme non nul P_{π} ⟶ W ⊂ i_{P}^{G}(U), et par adjonction le module de Jacquet (P_{π})_{N_{P}} = ⨁_{x∈G/G^{0}}(P_{π^{0}}^{x})_{N_{P}} est non nul, donc il existe x ∈ G tel que (P_{π^{0}}^{x})_{N_{P}} est non nul, auquel cas ((π^{0})^{x})_{N_{P}} est aussi non nul, et finalement π_{N_{P}} est non nul, ce qui est absurde.

(B.1.4) Preuve de la proposition (3.0.2). Soit V ∈ Rep_{ℤ_{ℓ}}^{∞}(G). Posons V_{ℤ_{ℓ}^{nr}} := V ⊗_{ℤ_{ℓ}}ℤ_{ℓ}^{nr} et Γ := Gal(ℤ_{ℓ}^{nr}/ℤ_{ℓ}). D’après la proposition (B.1.2), on a une décomposition

V_{ℤ_{ℓ}^{nr}} = (V_{ℤ_{ℓ}^{nr}})_{sc} ⊕ (V_{ℤ_{ℓ}^{nr}})′, avec (V_{ℤ_{ℓ}^{nr}})_{sc} := ⨁_{π∈Scusp_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(G)/∼}(V_{ℤ_{ℓ}^{nr}})_{C_{π}}

et (V_{ℤ_{ℓ}^{nr}})′ n’a aucun ℤ_{ℓ}^{nr}G^{0}-sous-quotient isomorphe à un ℤ_{ℓ}^{nr}G^{0}-sous-quotient d’une \overline{𝔽}_{ℓ}- représentation supercuspidale. Comme une \overline{𝔽}_{ℓ}-représentation irréductible est supercuspidale si et seulement si ses conjuguées sous Galois le sont, on constate que la décomposition ci-dessus est stables par Γ, donc provient d’une décomposition V = V_{sc} ⊕ V′, évidemment fonctorielle en V. Par construction, V′ n’a aucun sous-quotient supercuspidal au sens de (3.0.1), et par le corollaire précédent, V_{sc} est bien un objet supercuspidal au sens de (3.0.1).

(B.1.5) Le lemme suivant est utilisé dans la preuve du théorème (3.2.4).

Lemme.– Soit V une ℤ_{ℓ}^{nr}-représentation lisse de G^{0}. Fixons un ensemble [G/G^{0}J] de représentants des G^{0}J classes dans G. Alors il existe un isomorphisme de ℨ_{π}-modules

Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}G}(P_{π}, ind_{G^{0}}^{G} (V)) ≃ ℨ_{π} ⊗_{ℨ_{π^{0}}} ( ⨁_{x∈[G/G^{0}J]} Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}G}(P_{π^{0}}, V^{x})) .

Preuve. La réciprocité de Frobenius et la formule de Mackey fournissent

Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}G}(P_{π}, ind_{G^{0}}^{G} (V)) ≃ Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}J^{∘}} (P_{λ}, ⨁_{x∈[G/JG^{0}]} ⨁_{j∈J} V^{xj})

≃ Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}J^{∘}} (P_{λ}, ⨁_{x∈[G/JG^{0}]} ⨁_{j∈J} V^{x})

≃ Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}J^{∘}} (P_{λ}, ⨁_{x∈G/JG^{0}} V^{x}) ⊗_{ℤ_{ℓ}^{nr}} ℤ_{ℓ}^{nr}[J/J^{∘}]

≃ Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}J^{∘}} (P_{λ}, ⨁_{x∈G/JG^{0}} V^{x}) ⊗_{ℨ_{π^{0}}} ℨ_{π}

Pour passer à la deuxième ligne, on identifie Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}J^{∘}}(P_{λ}, V^{xj}) ⟶^{∼} Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}J^{∘}}(P_{λ}, V^{x}) en envoyant α sur α ∘ P_{λ}^{†}(j), où P_{λ}^{†} est le prolongement choisi dans (B.1.2.1). On constate alors que la décomposition de la troisième ligne est compatible avec (B.1.2.1).

(B.1.6) Pour traiter le cas de C_{π}^{ϖ}, nous introduisons quelques notations supplémentaires. Comme dans les preuves précédentes, soit J le normalisateur de λ dans G et soit λ′ l’unique prolongement de λ à J contenu dans π_{|J}. Ce prolongement est nécessairement trivial sur ϖ, et puisque le groupe J/ϖ^{ℤ} est compact, il admet une enveloppe projective P_{λ′} dans Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(J/ϖ^{ℤ}). On renvoie à l’introduction pour la notion de ϖ-relèvement et de ϖ-déformation, et on rappelle que v désigne la valuation de ϖ, et ℤ̆_{ℓ} le complété de ℤ_{ℓ}^{nr}.

Proposition.– Soit P_{π}^{ϖ} := ind_{J}^{G} (P_{λ′}).

i) La catégorie C_{π}^{ϖ} est facteur direct dans Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(G/ϖ^{ℤ}), pro-engendrée par P_{π}^{ϖ}, qui est une enveloppe projective de π dans Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(G/ϖ^{ℤ}).

ii) Le commutant ℨ_{π}^{ϖ} := End_{ℤ_{ℓ}^{nr}G} (P_{π}^{ϖ}) est isomorphe à l’algèbre ℤ_{ℓ}^{nr}[Syl_{ℓ}(𝔽_{q^{f}}^{×} ×fℤ/dvℤ)] du ℓ-Sylow du groupe 𝔽_{q^{f}}^{×} × fℤ/dvℤ.

iii) Soit Λ_{π}^{ϖ} := ℨ_{π}^{ϖ} ⊗_{ℤ_{ℓ}^{nr}} ℤ̆_{ℓ}. La Λ_{π}^{ϖ}-représentation P̆_{π}^{ϖ} := P_{π}^{ϖ} ⊗_{ℤ_{ℓ}^{nr}} ℤ̆_{ℓ} est une ϖdéformation universelle de π. En particulier, l’anneau de ϖ-déformations de π est isomorphe à ℤ̆_{ℓ}[Syl_{ℓ}(𝔽_{q^{f}}^{×} × fℤ/dvℤ)].

Preuve. i) Puisque l’on sait que tous les sous-quotients de P_{π}^{ϖ} sont isomorphes à π, [28, III.5.16], l’argument utilisé pour prouver le i)(a) de la proposition (B.1.2) montre que C_{π}^{ϖ} est facteur direct et pro-engendrée par P_{π}^{ϖ}. Le fait que P_{π}^{ϖ} soit une enveloppe projective découlera du point ii) qui, à travers l’équivalence de catégories V ↦ Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}G}(P_{π}^{ϖ}, V) de C_{π}^{ϖ} vers Mod(ℨ_{π}^{ϖ}), montre que P_{π}^{ϖ} est l’unique objet projectif indécomposable de C_{π}^{ϖ}.

ii) On sait que l’ensemble d’entrelacement de λ′, donc aussi celui de P_{λ′}, est contenu dans J. Le morphisme canonique

End_{J} (P_{λ′}) ⟶ End_{G} (P_{π}^{ϖ})

est donc un isomorphisme. Considérons l’induite ind_{J^{∘}}^{J/ϖ^{ℤ}} (P_{λ}). D’une part, elle est isomorphe aux coinvariants ind_{J^{∘}}^{J} (P_{λ})_{ϖ^{ℤ}}, donc par le ii)(b) du lemme précédent (et sa preuve), on a

End_{J} (ind_{J^{∘}}^{J/ϖ^{ℤ}} (P_{λ})) ≃ ℤ_{ℓ}^{nr}[Syl_{ℓ}(𝔽_{q^{f}}^{×}) × J/J^{∘}ϖ^{ℤ}].

D’autre part elle se décompose en une somme

ind_{J^{∘}}^{J/ϖ^{ℤ}} (P_{λ}) ≃ ⨁_{λ^{†}} P_{λ^{†}}

où λ^{†} décrit tous les prolongements de λ à J/ϖ^{ℤ} (parmi lesquels figure λ′).

Or, ces prolongements sont en bijection avec les \overline{𝔽}_{ℓ}-caractères de J/J^{∘}ϖ^{ℤ} ≃ fℤ/dvℤ [28, III.4.27.2], et l’algèbre décrite ci-dessus se décompose aussi en un produit

ℤ_{ℓ}^{nr}[Syl_{ℓ}(𝔽_{q^{f}}^{×}) × J/J^{∘}ϖ^{ℤ}] = ∏_{χ} ℤ_{ℓ}^{nr}[Syl_{ℓ}(𝔽_{q^{f}}^{×,ℓ}) × Syl_{ℓ}(J/J^{∘}ϖ^{ℤ})]

indexé par les \overline{𝔽}_{ℓ}-caractères de J/J^{∘}ϖ^{ℤ}. En identifiant les deux décompositions, on en déduit la propriété annoncée.

iii) Puisque le foncteur M ↦ P_{π}^{ϖ} ⊗_{ℨ_{π}^{ϖ}} M est une équivalence de catégories entre Mod(ℨ_{π}^{ϖ}) et C_{π}^{ϖ}, on voit que P_{π}^{ϖ} est plat sur ℨ_{π}^{ϖ}, de réduction P_{π}^{ϖ} ⊗_{ℨ_{π}^{ϖ}} \overline{𝔽}_{ℓ} isomorphe à l’unique objet simple de C_{π}^{ϖ}, à savoir π. Ainsi, P̆_{π}^{ϖ} est bien un ϖ-relèvement de π sur Λ_{π}^{ϖ}.

Soit maintenant π̃ un ϖ-relèvement de π sur une ℤ_{ℓ}^{nr}-algèbre locale complète noethérienne Λ de corps résiduel \overline{𝔽}_{ℓ}. Montrons d’abord que End_{ΛG} \binom{}{π} = Λ. En effet, si H est un pro-p-sous-groupe ouvert tel que π^{H} ≠ 0, alors la sous-Λ-algèbre de End_{Λ} (π^{H}) engendrée par les opérateurs de Hecke se surjecte sur la \overline{𝔽}_{ℓ}-algèbre End_{\overline{𝔽}_{ℓ}} (π^{H}) (par le théorème de densité de Jacobson appliqué à π), donc est égale à End_{Λ} (π^{H}) par le lemme de Nakayama.

Considérons alors l’action canonique du centre ℨ(C_{π}^{ϖ}) de la catégorie C_{π}^{ϖ} sur π̃. Cette action “commute au commutant” donc est Λ-linéaire, et fournit un morphisme d’anneaux ℨ(C_{π}^{ϖ}) ⟶ End_{ΛG} \binom{}{π} = Λ. Dans le cas π̃ = P_{π}^{ϖ}, le morphisme obtenu ℨ(C_{π}^{ϖ}) ⟶ ℨ_{π}^{ϖ} est un isomorphisme. Par composition, on en déduit un morphisme ℨ_{π}^{ϖ} ⟶ Λ, qui se prolonge au complété Λ_{π}^{ϖ} ⟶ Λ.

Puisque P_{π}^{ϖ} est projectif, on peut choisir un relèvement P_{π}^{ϖ} ⟶ π̃ de P_{π}^{ϖ} ⟶ π. Ce relèvement est ℨ(C_{π}^{ϖ})-linéaire, donc se factorise à travers un morphisme Λ-linéaire P_{π}^{ϖ} ⊗_{ℨ_{π}^{ϖ}} Λ ⟶ π̃ qui se prolonge uniquement en P̆_{π}^{ϖ} ⊗_{Λ_{π}^{ϖ}} Λ ⟶ π̃. Par Nakayama, ce dernier morphisme est surjectif. Par égalité des rangs (des H-invariants pour H pro-p-sous-groupe ouvert tel que π^{H} ≠ 0), il est même bijectif. Cela montre que la ϖ-déformation P̆_{π}^{ϖ} est verselle.

Supposons maintenant donnés deux morphismes α_{1}, α_{2} : Λ_{π}^{ϖ} ⟶ Λ tels que les déformations P̆_{π}^{ϖ} ⊗_{Λ_{π}^{ϖ},α_{1}} Λ et P̆_{π}^{ϖ} ⊗_{Λ_{π}^{ϖ},α_{2}} Λ soient ΛG-isomorphes. L’action du centre ℨ(C_{π}^{ϖ}) sur ces deux objets est alors donnée par un morphisme ℨ(C_{π}^{ϖ}) ⟶ Λ égal à la restriction de α_{1} et α_{2} à ℨ_{π}^{ϖ} ⊂ Λ_{π}^{ϖ}. Par densité de ℨ_{π}^{ϖ} dans Λ_{π}^{ϖ}, on a donc α_{1} = α_{2} et la ϖ-déformation P_{π}^{ϖ} est universelle.

Remarquons que les déformations d’une représentation cuspidale de GL_{2}(ℚ_{p}) ont été étudiées dans [19] par une approche différente (mais reposant sur les types). Comme M. Emerton nous l’a signalé, notre argument reposant sur les propriétés très particulières de l’enveloppe projective de π (notamment la commutativité du commutant) est un cas particulier d’une théorie plus générale développée par Paskunas dans [23, Ch. 3].

B.2 Représentations supercuspidales et scindages de Rep(D^{×})

Soit ρ une \overline{𝔽}_{ℓ}-représentation irréductible de D^{×} dont le caractère central est trivial sur ϖ ∈ K^{×} ⊂ D^{×}, et soit ρ^{0} un sous-quotient irréductible de ρ_{|D^{0}}, où l’on pose D^{0} := O_{D}^{×} pour homogénéiser les notations. Comme dans le paragraphe précédent, on définit des sous-catégories pleines C_{ρ} ⊂ Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(D^{×}), C_{ρ}^{ϖ} ⊂ Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(D^{×}/ϖ^{ℤ}) et C_{ρ^{0}} ⊂ Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(D^{0}).

(B.2.1) Proposition.– Soit P_{ρ^{0}} une enveloppe projective de ρ^{0} dans Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(D^{0}).

i) La sous-catégorie C_{ρ^{0}}^{0} est facteur direct dans Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(D^{0}), pro-engendrée par P_{ρ^{0}}.

ii) La sous-catégorie C_{ρ} est facteur direct dans Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(D^{×}), pro-engendrée par l’induite

P_{ρ} := ind_{D^{0}}^{D^{×}} (P_{ρ^{0}}). Supposons de plus que JL_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(ρ) est supercuspidale, et notons f la longueur de ρ_{|D^{0}}. Alors

iii) Le commutant ℨ_{ρ^{0}}^{opp} := End_{ℤ_{ℓ}^{nr}D^{0}} (P_{ρ^{0}}) est isomorphe à ℤ_{ℓ}^{nr}[Syl_{ℓ}(𝔽_{q^{f}}^{×})].

iv) Le commutant ℨ_{ρ}^{opp} := End_{ℤ_{ℓ}^{nr}D^{×}} (P_{ρ}) est isomorphe à ℤ_{ℓ}^{nr}[Syl_{ℓ}(𝔽_{q^{f}}^{×}) × ℤ].

Preuve. i) Soit 𝔪_{D} l’idéal maximal de O_{D}. Le quotient O_{D}^{×}/(1 + 𝔪_{D}) étant cyclique, la théorie de Clifford nous dit que ρ^{0} ≃ ind_{N_{τ}}^{D^{0}} (τ^{†}), où τ^{†} est un prolongement d’un sousquotient irréductible τ de ρ_{|1+𝔪_{D}}^{0} à son normalisateur N_{τ} dans D^{0}. Toujours par cyclicité de N_{τ} /(1 + 𝔪_{D}), N_{τ} possède un plus grand ℓ′-sous-groupe N_{τ}^{ℓ}, dont le quotient est un ℓ-groupe cyclique. On en déduit que

P_{ρ^{0}} ≃ ind_{N_{τ}^{ℓ}}^{D^{0}} (τ^{†}) ,

donc en particulier que tous les sous-quotients irréductibles de P_{ρ^{0}} sont isomorphes à ρ^{0}. Il en va de même de ceux de P_{ρ^{0}}. À partir de là, on raisonne comme dans la preuve du point i)(a) de la proposition (B.1.2).

ii) Même preuve que le point ii)(a) de la proposition (B.1.2).

La preuve de iii) et iv) nécessite plus de notations. Elle est donnée à la fin de la preuve de la proposition (B.2.3) ci-dessous.

(B.2.2) Equivalences de catégories et dualité. La proposition précédente nous donne, grâce à (B.0.2), une paire d’équivalences “inverses” \xymatrix{C_{ρ} \ar[r] & Mod(ℨ_{ρ}) \ar[l]} Nous allons donner une autre forme à ces foncteurs à partir de la contragrédiente ρ^{∨} de ρ.

Auparavant, il nous faut identifier ℨ_{ρ^{∨}} et ℨ_{ρ}^{opp}. Pour cela, remarquons d’abord que la contragrédiente P_{ρ^{0}}^{∨} de P_{ρ^{0}} est un objet projectif indécomposable de Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(D^{0}) dont tous les sous-quotients sont isomorphes à ρ^{0,∨}. C’est donc une enveloppe projective de ρ^{0,∨} et nous identifierons P_{ρ^{0}}^{∨} et P_{ρ^{0,∨}}. Maintenant, comme P_{ρ^{0}} est monogène, on peut trouver un idempotent ε_{ρ} de l’algèbre des mesures localement constantes H^{0} := H(D^{0}, ℤ_{ℓ}^{nr}) sur D^{0} tel que P_{ρ^{0}} ≃ H^{0}ε_{ρ}. On fixe un tel idempotent et un tel isomorphisme. Alors P_{ρ^{0}}^{∨} s’identifie à H^{0}ε̌_{ρ} où f̌ désigne l’image de f par l’automorphisme d ↦ d^{−1}. En notant H := H(D^{×}, ℤ_{ℓ}^{nr}) l’algèbre des mesures localement constantes à support compact sur D^{×}, on a maintenant P_{ρ} = Hε_{ρ} et P_{ρ^{∨}} = Hε̌_{ρ}. En particulier on a ℨ_{ρ} = ε_{ρ}Hε_{ρ} et ℨ_{ρ^{∨}} = ε̌_{ρ}Hε̌_{ρ} Ainsi, l’application d ↦ d^{−1} induit un isomorphisme

(B.2.2.1)  ℨ_{ρ^{∨}} ↦ ℨ_{ρ}^{opp}

Proposition.– Identifions ℨ_{ρ} et ℨ_{ρ^{∨}}^{opp} au moyen de l’isomorphisme (B.2.2.1).

i) Il y a un ℨ_{ρ}-isomorphisme fonctoriel en V ∈ Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(D^{×})

P_{ρ^{∨}} ⊗_{ℤ_{ℓ}^{nr}D^{×}} V ⟶^{∼} Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}D^{×}}(P_{ρ}, V).

ii) Il y a un D^{×}-isomorphisme fonctoriel en M ∈ Mod(ℨ_{ρ})

P_{ρ} ⊗_{ℨ_{ρ}} M ⟶^{∼} Hom_{ℨ_{ρ}}(P_{ρ^{∨}}, M).

Dans le produit tensoriel du premier isomorphisme, on fait implicitement de P_{ρ^{∨}} un ℤ_{ℓ}^{nr}D^{×}-module à droite en composant l’action à gauche par d ↦ d^{−1}.

Preuve. C’est essentiellement de l’“abstract nonsense”. Pour V ∈ Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(D^{×}), on a d’une part

Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}D^{×}}(P_{ρ}, V) = Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}D^{×}}(Hε_{ρ}, V) ⟶^{∼} ε_{ρ}V

et d’autre part

P_{ρ^{∨}} ⊗_{ℤ_{ℓ}^{nr}D^{×}} V = (Hε̌_{ρ} ⊗ V)_{D^{×}} = ε_{ρ}H ⊗_{H} V ⟶^{∼} ε_{ρ}V.

Cela règle le premier isomorphisme. Pour le second, observons que le foncteur M ↦ Hom_{ℨ_{ρ}}(P_{ρ^{∨}}, M) est adjoint à droite du foncteur V ↦ P_{ρ^{∨}} ⊗_{ℤ_{ℓ}^{nr}D^{×}} V. Or, ce dernier est une équivalence C_{ρ} ⟶^{∼} Mod(ℨ_{ρ}) par le premier isomorphisme, donc M ↦ Hom_{ℨ_{ρ}}(P_{ρ^{∨}}, M) en est un équivalence “inverse”, nécessairement isomorphe à l’équivalence “inverse” M ↦ M ⊗_{ℨ_{ρ}} P_{ρ}.

Passons maintenant à la catégorie C_{ρ}^{ϖ}. L’entier f désigne la longueur de ρ_{|D^{0}} et v est toujours la valuation de ϖ.

(B.2.3) Proposition.– Supposons que JL_{d,\overline{𝔽}_{ℓ}}(ρ) est une représentation supercuspidale, et soit P_{ρ}^{ϖ} une enveloppe projective de ρ dans Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(D^{×}/ϖ^{ℤ}).

i) La sous-catégorie C_{ρ}^{ϖ} est facteur direct dans Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(D^{×}/ϖ^{ℤ}), pro-engendrée par P_{ρ}^{ϖ}.

ii) Le commutant ℨ_{ρ}^{ϖ} := End_{ℤ_{ℓ}^{nr}D^{×}} (P_{ρ}^{ϖ}) est isomorphe à ℤ_{ℓ}^{nr}[Syl_{ℓ}(𝔽_{q^{f}}^{×} × fℤ/dvℤ)].

iii) Soit Λ_{ρ}^{ϖ} := ℨ_{ρ}^{ϖ} ⊗_{ℤ_{ℓ}^{nr}} ℤ̆_{ℓ}. La Λ_{ρ}^{ϖ}-représentation P_{ρ}^{ϖ} est une ϖ-déformation universelle de ρ. L’anneau de ϖ-déformations de ρ est isomorphe à ℤ̆_{ℓ}[Syl_{ℓ}(𝔽_{q^{f}}^{×} × fℤ/dvℤ)].

Preuve. Nous allons utiliser la théorie des types de Broussous pour D^{×} pour décrire l’enveloppe projective P_{ρ}^{ϖ} de manière suffisamment explicite. L’article [7] n’est écrit que pour les \overline{ℚ}_{ℓ}-représentations, mais s’étend sans problème aux \overline{𝔽}_{ℓ}-représentations comme dans le chapitre III de [28]. Ainsi, la représentation ρ est de la forme ρ ≃ ind_{J}^{D^{×}} (λ) pour un “type simple étendu” (J, λ) formé d’un sous-groupe ouvert J de D^{×} contenant le centre K^{×} et d’une \overline{𝔽}_{ℓ}-représentation irréductible λ de J. Nous avons besoin de quelques précisions sur la forme de ces objets. Notons J^{0} := D^{0}∩J le sous-groupe compact maximal de J, et J^{1} son pro-p-radical. Il existe une extension E de K contenue dans D, dont nous noterons B le commutant (qui est une algèbre à division de centre E) telle que J = J^{1}B^{×} (B^{×} normalise J^{1}) et J^{1} ∩ B^{×} = B^{1} := 1 + 𝔐_{B}. De plus λ est de la forme λ ≃ η ⊗ τ où η_{|J^{1}} est irréductible, et τ est une représentation de J/J^{1}ϖ^{ℤ}, i.e. une représentation modérément ramifiée de B^{×}. Une telle représentation est facile à décrire, puisque B^{×}/(1 + 𝔪_{B}), resp. B^{×}/(1 + 𝔪_{B})ϖ^{ℤ}, est isomorphe au groupe 𝔽_{q^{f′d′}}^{×} ⋊ ℤ, resp. au groupe 𝔽_{q^{f′d′}}^{×} ⋊ ℤ/e′d′vℤ où

– f′ est le degré résiduel de E sur K et e′ est son indice de ramification

– (d′)^{2} est la dimension de B sur E

– le générateur positif de ℤ agit sur 𝔽_{q^{f′d′}} par le Frobenius relatif à 𝔽_{q^{f′}}. Par conséquent, il existe un unique diviseur m de d′, et un caractère Frob-régulier χ de 𝔽_{q^{f′m}}^{×} × mℤ/e′d′vℤ tel que

τ = ind_{𝔽_{q^{f′d′}}^{×} ⋊mℤ/e′d′vℤ}^{𝔽_{q^{f′d′}}^{×} ⋊ℤ/e′d′vℤ} (χ ∘ N_{𝔽_{q^{f′d′}} |𝔽_{q^{f′m}}} ) .

L’entier m est le même que celui de [7, Déf. 10.1.4]. Un point crucial maintenant est que, vu notre hypothèse de supercuspidalité de JL_{d,\overline{𝔽}_{ℓ}}(ρ), on a m = d′. En effet, soit ρ̃ un relèvement de ρ à \overline{ℚ}_{ℓ}; la représentation JL_{d,\overline{ℚ}_{ℓ}}(ρ̃) est alors également supercuspidale, et l’égalité m = d′ est une reformulation du point (2) de [8, Cor. 1]. On a donc finalement

τ = ind_{𝔽_{q^{f′d′}}^{×} ×d′ℤ/e′d′vℤ}^{𝔽_{q^{f′d′}}^{×} ⋊ℤ/e′d′vℤ} (χ)

pour un caractère Frob-régulier χ de 𝔽_{q^{f′d′}}^{×} × d′ℤ/e′d′vℤ.

Nous allons maintenant produire une enveloppe projective P_{ρ}^{ϖ} à partir de ces objets. De la discussion précédente on déduit que si P_{χ}^{ϖ} est une enveloppe projective de χ dans Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(𝔽_{q^{f′d′}}^{×} × d′ℤ/e′d′vℤ), alors, son induite

P_{τ}^{ϖ} = ind_{𝔽_{q^{f′d′}}^{×} ×d′ℤ/e′d′vℤ}^{𝔽_{q^{f′d′}}^{×} ⋊ℤ/e′d′vℤ} (P_{χ}^{ϖ})

est une enveloppe projective de τ dans Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(J/J^{1}ϖ^{ℤ}), dont tous les sous-quotients irréductibles sont isomorphes à τ. Par ailleurs, comme dans le cas des types de Bushnell-Kutzko, [28, III.4.20], on peut relever η en une ℤ_{ℓ}^{nr}-représentation η̃. La ℤ_{ℓ}^{nr}-représentation

P_{λ}^{ϖ} := η̃ ⊗ P_{τ}^{ϖ}

de J/ϖ^{ℤ} est projective et se surjecte sur λ. Elle est aussi indécomposable (car si η̃⊗P_{τ}^{ϖ} = W_{1} ⊕ W_{2}, on obtient en appliquant le foncteur Hom_{J^{1}}(η̃, −) une décomposition de P_{τ}^{ϖ}, or ce foncteur n’annule aucun sous-objet non nul de η̃⊗P_{τ}^{ϖ} puisque la restriction de ce dernier à J^{1} est η̃-isotypique). Ainsi, P_{λ}^{ϖ} est une enveloppe projective de λ dans Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(J/ϖ^{ℤ}). Considèrons maintenant l’induite

P_{ρ}^{ϖ} := ind_{J}^{D^{×}} (P_{λ}^{ϖ}) .

Elle est projective dans Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(D^{×}/ϖ^{ℤ}), et tous ses sous-quotients irréductibles sont isomorphes à ρ. Par réciprocité de Frobenius, la dimension de Hom_{D^{×}}(P_{ρ}^{ϖ}, ρ) sur \overline{𝔽}_{ℓ} est 1, donc P_{ρ}^{ϖ} est également indécomposable, et finalement est une enveloppe projective de ρ dans Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(D^{×}/ϖ^{ℤ}).

Passons maintenant à la preuve de la proposition. Puisque P_{ρ}^{ϖ} ∈ C_{ρ}^{ϖ}, le point i) se prouve comme le i)(a) de la proposition (B.1.2).

ii) Par construction on a une suite de morphismes de ℤ_{ℓ}^{nr}-algèbres

End_{𝔽_{q^{f′d′}}^{×} ×d′ℤ/e′d′vℤ} (P_{χ}^{ϖ}) ⟶ End_{J} (P_{τ}^{ϖ}) ⟶ End_{J} (P_{λ}^{ϖ}) ⟶ End_{D^{×}} (P_{ρ}^{ϖ}) .

Le premier est un isomorphisme car le caractère χ est Frob-régulier. Le troisième est un isomorphisme car l’ensemble d’entrelacement de (J, λ) est égal à J [7, (10.1.3)]. Enfin, le second est un isomorphisme car End_{J^{1}} \binom{}{η} = ℤ_{ℓ}^{nr}. Maintenant, la première algèbre est facile à calculer :

End_{𝔽_{q^{f′d′}}^{×} ×d′ℤ/e′d′vℤ} (P_{χ}^{ϖ}) ≃ ℤ_{ℓ}^{nr}[Syl_{ℓ}(𝔽_{q^{f′d′}}^{×} × d′ℤ/e′d′vℤ)].

Notons que f′d′e′ = d, de sorte que d′ℤ/e′d′vℤ ≃ f′d′ℤ/dvℤ. Il ne nous reste donc plus qu’à vérifier que f′d′ = f. Avec les notations ci-dessus, on a ρ = ind_{J^{0}E^{×}}^{D^{×}} (η ⊗ χ). Par la formule de Mackey on a donc

ρ_{|D^{0}} ≃ ⨁_{x∈J^{0}E^{×}\D^{×}/D^{0}} (ind_{J^{0}}^{D^{0}} (η ⊗ χ))^{x} .

Chaque induite est irréductible puisque l’entrelacement de η ⊗ χ dans D^{0} est J^{0}. Donc

f = [D^{×} : D^{0}E^{×}] = d[D^{0}E^{×} : D^{0}K^{×}]^{−1} = d[E^{×} : K^{×}]^{−1} = de′^{−1} = d′f′.

iii) La preuve est la même que celle du iii) de la proposition (B.1.6).

Nous pouvons maintenant prouver les points iii) et iv) de la proposition (B.2.1). Comme ci-dessus, on utilise le type pour produire une enveloppe projective P_{ρ^{0}} sous la forme :

P_{ρ^{0}} := ind_{J^{0}}^{D^{0}} (η̃ ⊗ P_{χ}^{0})

où P_{χ}^{0} est une enveloppe projective de χ dans Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(𝔽_{q^{f′d′}}^{×}). L’homomorphisme canonique

End_{ℤ_{ℓ}^{nr}𝔽_{q^{f′d′}}^{×}} (P_{χ}^{0}) ⟶ End_{ℤ_{ℓ}^{nr}D^{0}} (P_{ρ^{0}})

est un isomorphisme, et on identifie facilement le terme de gauche à ℤ_{ℓ}^{nr}[Syl_{ℓ}(𝔽_{q^{f′d′}}^{×})].

Par ailleurs, posons P_{χ} := ind_{𝔽_{q^{f′d′}}^{×}}^{𝔽_{q^{f′d′}}^{×} ×d′ℤ} (P_{χ}^{0}) et P_{τ} := ind_{𝔽_{q^{f′d′}}^{×} ×d′ℤ}^{𝔽_{q^{f′d′}}^{×} ⋊ℤ} (P_{χ}), de sorte que

P_{ρ} = ind_{J}^{D^{×}} (η̃ ⊗ P_{τ}). Les deux homomorphismes canoniques

End_{ℤ_{ℓ}^{nr}(𝔽_{q^{f′d′}}^{×} ×d′ℤ)} (P_{χ}) ⟶ End_{ℤ_{ℓ}^{nr}(𝔽_{q^{f′d′}}^{×} ⋊ℤ)} (P_{τ}) ⟶ End_{ℤ_{ℓ}^{nr}D^{×}} (P_{ρ})

sont des isomorphismes, et on identifie facilement le terme de gauche à ℤ_{ℓ}^{nr}[Syl_{ℓ}(𝔽_{q^{f′d′}}^{×})×ℤ] de la même manière que dans la preuve du ii)(b) de la proposition (B.1.2).

B.3 φ-déformations de représentations irréductibles de W_{K}

Fixons une \overline{𝔽}_{ℓ}-représentation irréductible σ de W_{K} de dimension d. D’après [27, 2.6], on peut écrire σ sous la forme

σ = ind_{W_{L}}^{W_{K}} (τ) , où

– L est une extension modérément ramifiée de K, de degré résiduel noté d′e′ et d’indice de ramification noté f′.

– La restriction ν := τ_{|P_{K}} de τ au sous-groupe d’inertie sauvage de W_{K} est irréductible, et son normalisateur Norm_{W_{K}}(ν) est le groupe de Weil W_{E} d’une sous-extension E ⊂ L sur laquelle L est non ramifiée de degré d′.

La forme de σ montre que τ y apparait avec multiplicité 1. En fait on a mieux ; soit I_{L}^{ℓ′} le plus grand sous-groupe fermé d’ordre premier à ℓ du sous-groupe d’inertie I_{L} de W_{L}. C’est un sous-groupe distingué de W_{E}. et W_{L}/I_{L}^{ℓ′} ≃ ℤ_{ℓ} ⋊ ℤ.

(B.3.1) Lemme.– Pour toute \overline{𝔽}_{ℓ}-représentation irréductible σ′ de W_{K}, on a

dim_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(Hom_{\overline{𝔽}_{ℓ}I_{L}^{ℓ′}} (τ, σ′)) = \{ \begin{matrix}1 & si & σ′ ∼ σ \\ 0 & si & σ′ ≁ σ \end{matrix}

où σ ∼ σ′ signifie que σ′ est un twist non ramifié de σ.

Preuve. Si σ′ ∼ σ, on a dim_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(Hom_{\overline{𝔽}_{ℓ}I_{L}^{ℓ′}} (τ, σ′)) = dim_{\overline{𝔽}_{ℓ}}(Hom_{\overline{𝔽}_{ℓ}I_{L}^{ℓ′}} (τ, σ)) ⩾ 1. Pour montrer l’égalité, on écrit τ sous la forme ρ_{|W_{L}} ⊗χ où ρ est un prolongement de ν à W_{E} et χ est un caractère de W_{L}, dont le normalisateur dans W_{E} est nécessairement W_{L}. Il faut alors voir que le normalisateur de χ_{|I_{L}^{ℓ′}} dans W_{E} est encore W_{L}. Via le corps de classes, on a une décomposition de l’abélianisé

W_{L}^{ab} ≃ L^{×} = O_{L}^{×,ℓ′} × O_{L}^{×,ℓ} × ϖ_{E}^{ℤ}

où I_{L}^{ℓ′,ab} ≃ O_{L}^{×,ℓ′}, où O_{L}^{×,ℓ} est le ℓ-Sylow (cyclique) de O_{L}^{×}, et ϖ_{E} est une uniformisante de E qui en est une aussi de L puisque L est non ramifiée sur E. L’action de W_{E} est triviale sur ϖ_{E}^{ℤ} et le caractère χ est trivial sur O_{L}^{×,ℓ}. Le normalisateur de χ_{|I_{L}^{ℓ′}} est donc le même que celui de χ, à savoir W_{L}.

Soit maintenant σ′ irréductible telle que Hom_{\overline{𝔽}_{ℓ}I_{L}^{ℓ′}} (τ, σ′) ≠ 0. Il existe alors un caractère

ψ de W_{L}/I_{L}^{ℓ′} tel que Hom_{\overline{𝔽}_{ℓ}W_{L}}(τψ, σ′) ≠ 0. Comme ψ est aussi trivial sur le ℓ-Sylow de W_{L}^{ab}, il est non ramifié. Il est donc restriction d’un caractère non ramifié encore noté ψ de W_{K}. Ainsi, Hom_{\overline{𝔽}_{ℓ}W_{L}}(τ, σ′ψ^{−1}) ≠ 0, ce qui montre que σ′ψ^{−1} ≃ σ.

(B.3.2) On note C_{σ} = C_{σ}(K) la sous-catégorie pleine de Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{c}(W_{K}) formée des objets dont tous les ℤ_{ℓ}^{nr}I_{K}-sous-quotients irréductibles sont isomorphes à un sous-quotient de σ_{|I_{K}}. De même on dispose de la sous-catégorie C_{1}(L) (pour la représentation triviale de W_{L}) de Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{c}(W_{L}). On choisit maintenant un relèvement τ̃ de τ dans Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{∞}(W_{L}). Comme le pro-ordre de I_{L}^{ℓ′} est premier à ℓ, la restriction τ_{|I_{L}^{ℓ′}} est uniquement déterminée.

Proposition.– Soit P_{σ} := ind_{I_{L}}^{W_{K}} (τ_{|I_{L}^{ℓ′}} ⊗_{ℤ_{ℓ}^{nr}[[I_{L}^{ℓ′}]]} ℤ_{ℓ}^{nr}[[I_{L}]]).

i) La sous-catégorie C_{σ}(K) de Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{c}(W_{K}) est facteur direct, pro-engendrée par P_{σ}. Le commutant ℨ_{σ}^{opp} := End_{ℤ_{ℓ}^{nr}W_{K}} (P_{σ}) est isomorphe au produit croisé ℤ_{ℓ}^{nr}[[I_{L}/I_{L}^{ℓ′}]]⋊φ_{L}^{ℤ}. ii) Le foncteur

\begin{matrix}Iτ̃ : C_{1}(L) & → & C_{σ}(K) \\ M & ↦ & ind_{W_{L}}^{W_{K}} (τ̃ ⊗_{ℤ_{ℓ}^{nr}} M) \end{matrix} .

est une équivalence de catégorie, dont une équivalence inverse est donnée par le foncteur

\begin{matrix}Rτ̃ : C_{σ}(K) & → & C_{1}(L) \\ (V, σ_{V}) & ↦ & Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}I_{L}^{ℓ′}} (τ̃, V) \end{matrix}

où W_{L} agit sur le terme de gauche par composition w · α := σ_{V} (w) ∘ α ∘ τ̃(w)^{−1}.

Preuve. i) Posons σ^{0} := ind_{I_{L}}^{I_{K}} (τ). C’est un sous-quotient irréductible de σ_{|I_{K}} et tous les autres lui sont conjugués. Le lemme précédent nous dit que σ^{0} est la seule \overline{𝔽}_{ℓ}-représentation irréductible de I_{K} dont la restriction à I_{L}^{ℓ′} contient τ_{|I_{L}^{ℓ′}}. Il s’ensuit immédiatement que la sous-catégorie C_{σ^{0}}^{0} de Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{c}(I_{K}) formée des objets dont les sousquotients irréductibles sont isomorphes à σ^{0} est stable par sous-objet (et quotients et sommes directes), et pro-engendrée par l’induite P_{σ^{0}} := ind_{I_{L}}^{I_{K}} (τ_{|I_{L}^{ℓ′}} ⊗_{ℤ_{ℓ}^{nr}[[I_{L}^{ℓ′}]]} ℤ_{ℓ}^{nr}[[I_{L}]]). Ceci s’appliquant à toute représentation irréductible de I_{K}, on en déduit aussi qu’elle est facteur direct. La première assertion du point i) en découle, comme dans la preuve de (B.1.2) ii)(a). La deuxième assertion peut se voir par un calcul direct, ou comme conséquence du ii), cf plus bas.

ii) Les deux foncteurs sont visiblement exacts. On a une transformation naturelle

α_{V} : ind_{W_{L}}^{W_{K}} (τ̃ ⊗ Hom_{I_{L}^{ℓ′}} (τ̃, V)) ⟶ V

donnée par évaluation des morphismes et réciprocité de Frobenius. En utilisant le fait que Hom_{I_{L}^{ℓ′}} (τ, τ^{w}) est nul si w n’est pas dans W_{L}, on constate que Rτ̃(α_{V}) est inversible. Comme ce foncteur est pleinement fidèle par i), α_{V} est aussi inversible. Dans l’autre sens, on a la transformation naturelle

β_{M} : M ⟶ Hom_{I_{L}^{ℓ′}} (τ̃, ind_{W_{L}}^{W_{K}} (τ̃ ⊗ M))

qui envoie m sur Idτ̃ ⊗m. Toujours grâce au fait que Hom_{I_{L}^{ℓ′}} (τ, τ^{w}) est nul si w n’est pas dans W_{L}, on constate que β_{M} est un isomorphisme. On notera que P_{σ} = Iτ̃(P_{1}), donc le commutant de P_{σ} est isomorphe à celui de P_{1} qui est bien comme annoncé au i).

(B.3.3) La catégorie C_{σ}^{ab}. Soit ℨ_{σ}^{ab} le plus grand quotient commutatif de ℨ_{σ}. La catégorie Mod(ℨ_{σ}^{ab}) est naturellement une sous-catégorie pleine de Mod(ℨ_{σ}), stable par sous-quotients et sommes directes.

Définition.– On note C_{σ}^{ab} l’image essentielle du foncteur M ∈ Mod(ℨ_{σ}^{ab}) ↦ P_{σ} ⊗_{ℨ_{σ}} M ∈ C_{σ}, et P_{σ}^{ab} := P_{σ} ⊗_{ℨ_{σ}} ℨ_{σ}^{ab}.

Ainsi C_{σ}^{ab} est une sous-catégorie pleine de C_{σ}, stable par sous-quotients et sommes directes. En tant que catégorie abélienne, elle est pro-engendrée par P_{σ}^{ab}, mais on prendra garde au fait que celui-ci n’est pas un objet projectif dans C_{σ}. Par construction, on a un isomorphisme canonique ℨ_{σ}^{ab} ⟶^{∼} End_{ℤ_{ℓ}^{nr}W_{K}} (P_{σ}^{ab}).

Concrètement, le foncteur Rτ̃ induit une équivalence C_{σ}^{ab}(K) ⟶^{∼} C_{1}^{ab}(L), ce qui via le corps de classes montre que

ℨ_{σ}^{ab} ≃ ℤ_{ℓ}^{nr}[Syl_{ℓ}(k_{L}^{×}) × ℤ].

D’autre part,

P_{σ}^{ab} ≃ ind_{I_{L}^{ℓ−ab}}^{W_{K}} \binom{}{τ_{|I_{L}^{ℓ−ab}}}

où I_{L}^{ℓ−ab} désigne le noyau de la composée I_{L} ⟶^{Art_{L}} O_{L}^{×} ↠ Syl_{ℓ}(k_{L}^{×}).

(B.3.4) Dualité et équivalences. Ce paragraphe est l’analogue du paragraphe (B.2.2). Soit H = H(W_{K}, ℤ_{ℓ}^{nr}) l’algèbre des mesures continues à support compact sur W_{K} et localement constantes pour l’action de I_{K}^{ℓ′}. La représentation τ_{|I_{L}^{ℓ′}} fournit un idempotent abusivement noté ε_{σ} qui permet d’identifier P_{σ} à Hε_{σ} et fournit un progénérateur P_{σ^{∨}} := Hε̌_{σ} de C_{σ^{∨}}. L’inversion w ↦ w^{−1} permet alors d’identifier ℨ_{σ} = e_{σ}He_{σ} à ℨ_{σ^{∨}}.

Proposition.– Avec cette identification,

i) Il y a un ℨ_{σ}-isomorphisme fonctoriel en V ∈ Rep_{ℤ_{ℓ}^{nr}}^{c}(W_{K})

P_{σ} ⊗_{ℤ_{ℓ}^{nr}W_{K}} V ⟶^{∼} Hom_{ℤ_{ℓ}^{nr}W_{K}}(P_{σ^{∨}}, V).

ii) Il y a un W_{K}-isomorphisme fonctoriel en M ∈ Mod(ℨ_{σ})

P_{σ} ⊗_{ℨ_{σ}} M ⟶^{∼} Hom_{ℨ_{σ}}(P_{σ^{∨}}, M).

Preuve. Cela se prouve comme la proposition (B.2.2).

(B.3.5) Notons Rel(σ) la catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de la catégorie des ℤ_{ℓ}^{nr}-algèbres locales complètes noethériennes, dont les objets sont les paires (Λ, σ̃) avec σ̃ un relèvement de σ sur Λ. De même on a la catégorie Rel(1_{W_{L}}) des relèvements de la représentation triviale de W_{L}. La proposition (B.3.2) nous assure que les foncteurs Iτ̃ et Rτ̃ induisent des équivalences (fibrées) inverses entre Rel(σ) et Rel(1_{W_{L}}).

Fixons maintenant un élément ϖ de valuation v > 0 dans K et un élément φ ∈ W_{K} d’image ϖ via l’homomorphisme W_{K} ⟶ K^{×} du corps de classes, puis supposons que le déterminant de σ sur φ soit égal à 1. Si ε désigne la signature de l’action de φ sur W_{K}/W_{L}, et si t : W_{K}^{ab} ⟶ W_{L}^{ab} désigne le transfert, on a la formule [16]

det(σ(φ)) = ε(φ) det(τ(t(φ))) = 1.

Quittes à ajuster notre choix de relèvement τ̃ par un caractère non ramifié de W_{L}, nous supposerons que

ε(φ) det(τ̃(t(φ))) = 1.

On s’intéresse à la catégorie φ-Rel(σ) des φ-relèvements de σ. De l’autre côté, on note t(φ)^{δ}-Rel(1_{W_{L}}) la catégorie des relèvements du caractère trivial de W_{L} qui valent 1 sur l’élément t(φ)^{δ} ∈ W_{L}^{ab}. On rappelle que δ est la dimension de τ.

(B.3.6) Corollaire.– les foncteurs Iτ̃ et Rτ̃ induisent des équivalences (fibrées) inverses entre φ-Rel(σ) et t(φ)^{δ}-Rel(1_{W_{L}}). En particulier,

i) L’anneau Λ_{σ} de φ-déformation de σ est isomorphe à ℤ_{ℓ}^{nr}[Syl_{ℓ}(𝔽_{q^{f}}^{×} × fℤ/dvℤ)], où f désigne la longueur de σ_{|I_{K}}.

ii) Soit σ̃ un φ-relèvement de σ sur Λ_{σ} tel que

σ̃ ⊗ \overline{ℚ}_{ℓ} ≃ ⨁_{r_{ℓ}σ^{†}=σ,detσ^{†}(φ)=1} σ^{†}.

Alors σ̃ est la φ-déformation universelle de σ.

Preuve. On sait que ces foncteurs induisent des équivalences entre catégories de déformations sans conditions de déterminant. Il suffit donc de vérifier que ces conditions se correspondent. Ecrivons

σ̃ = Iτ̃( ˜1_{W_{L}}) = ind_{W_{L}}^{W_{K}} (τ̃ ⊗ ˜1_{W_{L}}) .

La formule

det(σ̃(φ)) = ε(φ) det(τ̃(t(φ))) ˜1_{W_{L}}(t(φ))^{δ} = ˜1_{W_{L}}(t(φ))^{δ}

(vu notre choix de relèvement τ̃) montre que les conditions se correspondent bien.

i) Il suffit de calculer la t(φ)-déformation universelle de 1_{W_{L}}, c’est-à-dire la déformation universelle du caractère trivial du groupe W_{L}^{ab}/t(φ)^{δℤ}. Via le corps de classe, ce groupe est isomorphe à L^{×}/ϖ^{δℤ}, puisque le transfert s’identifie à l’inclusion de K^{×} dans L^{×}. Ce dernier groupe se décompose en

L^{×}/ϖ^{δℤ} ≃ (1 + 𝔪_{L}) × k_{L}^{×} × ℤ/e′δvℤ.

La catégorie des t(φ)^{δ}-relèvements de 1_{W_{L}} est donc équivalente à la catégorie des relèvements du caractère trivial du ℓ-Sylow Syl_{ℓ}(k_{L}^{×} × ℤ/e′δvℤ). En particulier l’anneau de ϖ-déformation de σ est isomorphe à la ℤ_{ℓ}^{nr}-algèbre de ce ℓ-Sylow. Maintenant, vu nos notations, on a k_{L} ≃ 𝔽_{q^{f′d′}}, et ℤ/e′δvℤ ≃ f′d′ℤ/dvℤ. Il suffit donc de vérifier que f = f′d′. La formule de Mackey donne

σ_{|I_{K}} ≃ ⨁_{w∈W_{K}/I_{K}W_{L}} ind_{I_{L}}^{I_{K}} (τ_{|I_{L}})^{w} .

On sait que σ_{|I_{K}} est semi-simple, donc l’induite ind_{I_{L}}^{I_{K}} (τ) l’est aussi, mais puisque l’entrelacement de τ_{|I_{L}} est égal à I_{L}, cette induite est indécomposable, donc finalement irréductible. La longueur f est donc égale à [W_{K} : W_{L}I_{K}] = f′d′.

ii) En vertu du i) et de sa preuve ci-dessus, il suffit de montrer que si ˜1 est une déformation du caractère trivial du groupe S_{ℓ} := Syl_{ℓ}(𝔽_{q^{f}}^{×} × fℤ/dvℤ) sur son algèbre de fonctions Λ := ℤ_{ℓ}^{nr}[S_{ℓ}] telle que ˜1 ⊗ \overline{ℚ}_{ℓ} ≃ ⨁_{χ: S_{ℓ}⟶\overline{ℚ}_{ℓ}} χ, alors elle est universelle.

Partons de la déformation universelle, à savoir la représentation régulière ˜1_{un} de S_{ℓ} vue comme déformation du caractère trivial sur l’algèbre Λ_{un} = ℤ_{ℓ}^{nr}[S_{ℓ}]. Par universalité, la déformation ˜1 est obtenue en poussant ˜1_{un} par un morphisme Λ_{un} ⟶^{α} Λ. Par hypothèse, α induit une bijection entre \overline{ℚ}_{ℓ}-caractères de Λ et de Λ_{un}. En particulier α est injectif, car Λ_{un} est réduit et sans ℓ-torsion. Il induit donc une injection μ_{ℓ^{∞}}(Λ_{un}) ⟶ μ_{ℓ^{∞}}(Λ), laquelle est une bijection puisque ces deux groupes sont finis de même cardinal. Or, Λ est engendré par μ_{ℓ^{∞}}(Λ) sur ℤ_{ℓ}^{nr}, donc α est aussi surjectif.

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