TYPES ET INDUCTIONS POUR LES REPRÉSENTATIONS MODULAIRES DES GROUPES p-ADIQUES

Par J.-F. DAT (avec un appendice de M.-F. VIGNÉRAS)

Abstract. – Bushnell-Kutzko’s theory of types aims at describing the category of smooth complex representations of a p-adic group, relying on the �classical� theory by Casselman, Bernstein, etc. Here we are interested in modular representations of a p-adic group, i.e. representations with coefficients in a field of characteristic different from p. Several proofs of �classical� results in the complex case are no longer valid, but we intend here to use the theory of types –as well the axiomatization of [BK1] as the concrete cases of [Vig2]– in order to adapt some of these results to the modular situation. In particular, some finiteness results are obtained for GL(N) in the appendix by M.-F. Vignéras.

R^{}ésum^{}é. – Le but de la théorie des types de Bushnell et Kutzko est de décrire la catégorie des représentations lisses complexes d’un groupe p-adique, en s’appuyant sur les théories �classiques� de Casselman, Bernstein, etc. On s’intéresse ici aux représentations modulaires d’un groupe p-adique, c’est-à-dire à coefficients dans un corps de caractéristique différente de p, pour lesquelles beaucoup de résultats de la théorie �classique� complexe sont inconnus. Le but de cet article est d’utiliser les types –autant le contexte abstrait de [BK1] que les cas concrets et explicites de [Vig2]– pour suppléer aux preuves classiques de certains de ces résultats. En particulier, des résultats de finitude sont démontrés pour GL(N) dans l’appendice de M.-F. Vignéras.

Contents

0 Introduction 1

1 Types modulaires 2

2 Un morphisme explicite 12

3 Injectivité de Φ_{τ} 18

4 Surjectivité de Φ et conséquences 23

5 Cas de GL(N) 28

0 Introduction

F est un corps local de corps résiduel 𝔽_{q}, R est un corps algébriquement clos où q est inversible (en pratique R = \overline{𝔽_{l}} avec (l, q) = 1). Soit G l’ensemble des F -points d’un F -groupe réductif 𝔊, on note Mod_{R}(G) la catégorie des R-représentations lisses de G (appelées modulaires quand R = \overline{𝔽_{l}}). On veut ici tirer parti de la théorie des types que Bushnell et Kutzko ont axiomatisée dans [BK1] dans le cas complexe, et qui tout en perdant beaucoup de propriétés dans le cas modulaire, permet d’espérer classifier les irréductibles et, dans certains cas, de décomposer Mod_{R}(G) en produit de blocs (voir [Vig2]).

Parmi les propriétés du cas complexe qui ne passent pas complètement au cas modulaire, il y a les diagrammes commutatifs de [BK1] (8.4). Le but ici est de démontrer une propriété qui est un corollaire trivial de ces diagrammes dans le cas complexe, mais pas dans le cas modulaire ; cette propriété, appliquée aux analogues modulaires des types complexes (niveau 0, GL(N), série principale d’un groupe déployé…) entraînera divers résultats nouveaux en modulaire sur l’irréductibilité générique de certaines représentations, la généralisation (partielle) de la propriété d’adjonction entre l’induction parabolique et la restriction parabolique opposée à des représentations non admissibles, et surtout le fait que Mod_{R}(GL(N)) est une catégorie nœthérienne.

On commence dans la partie 1 par rappeler et adapter au cas modulaire les travaux de Bushnell et Kutzko dans [BK1] : ils définissent une notion de type qui sert à décrire les blocs de la décomposition de Bernstein du cas complexe en termes de modules sur certaines algèbres de Hecke (1.2). Dans le cas modulaire, on ne peut qu’espérer garder une paramétrisation des irréductibles d’un bloc (c’est-à-dire d’une classe d’inertie), puisque les catégories correspondantes au cas complexe ne sont plus des blocs. Un cas particulier de cette description est celle des cuspidales (1.6) : soit ρ une cuspidale irréductible, un ρ-type cuspidal sera un couple (J, τ) formé d’un sous-groupe ouvert compact de G et d’une représentation de J telle que la classe d’inertie de ρ soit exactement l’ensemble des quotients de l’induite à supports compacts de τ : celle-ci est une sorte de �représentation universelle� comme dans [Be] de la classe d’inertie de ρ.

En plus de la définition des types, Bushnell et Kutzko proposent une manière de les induire d’un sous-groupe de Levi M à G : c’est la notion de paire couvrante^{1} (voir 1.1, 1.3 et 1.4). De la théorie complexe (dans [BK1]) on déduit que si (J, τ) est une paire couvrant (J_{M}, τ_{M}), type ρ-cuspidal de M, alors pour tout sous-groupe parabolique contenant M :

ind_{J}^{G}(τ) ≃ i_{M,P}^{G} (ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}))

(voir 1.1 pour les notations). Cette propriété n’est plus du tout aussi immédiate dans le cas modulaire et la démonstration fait l’objet des parties 2, 3 et 4 : on étudie dans la partie 2 un morphisme assez naturel ind_{J}^{G}(τ) → i_{M,P}^{G} (ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M})) dont on démontre quelques propriétés générales. Après avoir réduit le problème, on montre dans 3 l’injectivité sous certaines hypothèses concernant la paire couvrante considérée. La surjectivité et quelques conséquences directes sont démontrées dans la partie 4. Enfin, la partie 5 consiste en la vérification des hypothèses faites dans la partie 3 dans le cas G = GL(N) : on en déduit alors, par un argument de Marie-France Vignéras que la catégorie Mod_{\overline{𝔽}_{l}}(GL(N)) est nœthérienne et que l’induction parabolique respecte la propriété d’être de type fini.

Je remercie Marie-France Vignéras, ma directrice de recherches, d’avoir bien voulu écrire l’appendice exposant la preuve complète du fait que Mod_{\overline{𝔽}_{l}}(GL(N)) est nœthérienne et d’avoir été autant disponible et attentive durant la rédaction de cet article. Je remercie aussi le referee d’avoir corrigé quelques idées naïves sur les types autres que ceux de GL(N).

1Traduction consensuelle de �G-cover�

1 Types modulaires

1.1 Notations

Voici quelques rappels et notations que nous utiliserons tout au long de ce travail :

Généralités. – P et M désigneront toujours respectivement l’ensemble des points F -rationnels d’un F -sous-groupe parabolique 𝔓 de 𝔊 (que on l’appellera lui même sousgroupe parabolique par abus de langage) et l’ensemble des F -points d’un F -sous-groupe de Levi 𝔐 de 𝔓. N est le groupe des F -points du radical unipotent 𝔑 de 𝔓, et \overline{P} et \overline{N} désigneront les F -points des sous-groupes paraboliques et unipotents opposés de 𝔓 et 𝔑 par rapport à 𝔐. Le normalisateur de M dans G sera noté N_{G}(M).

On notera G^{0} le sous-groupe de G engendré par les éléments compacts de G et Z(G) le centre de G : on sait que G/G^{0} est un groupe abélien libre de type fini et que l’image de Z(G) dans ce quotient est d’indice fini. X_{R}(G) est l’ensemble des R-caractères lisses non ramifiés de G, c’est-à-dire triviaux sur G^{0}. Pour M sous-groupe de Levi du sous-groupe parabolique P, on note δ_{P} le caractère-module de M par rapport à P : c’est un caractère non ramifié de M qui vérifie pour tout sous-groupe ouvert compact K de P :

∀m ∈ M δ_{P} (m) = [mKm^{−1} : K]

Irr_{R}(G) et Cusp_{R}(G) sont respectivement l’ensemble des classes d’isomorphie de représentations lisses irréductibles de G et l’ensemble des représentations lisses cuspidales de G.

Inductions. – Si H est un sous-groupe ouvert d’un groupe localement profini K, Ind_{H}^{K} désigne l’induction lisse et ind_{H}^{K} l’induction lisse à supports compacts, alors que Res_{K}^{H} désigne la restriction de K à H. Avec les notations définies ci-dessus, i_{M,P}^{G} (parfois i_{P}^{G}) est l’induction parabolique normalisée le long de P et r_{G,P}^{M} (parfois r_{P}^{M}) est la restriction parabolique normalisée le long de P.

Algèbres d’entrelacement. – Soit (J, τ) une paire formée d’un sous-groupe ouvert compact J de G et d’une représentation irréductible de J ; alors on notera ℋ (G, τ) l’algèbre d’entrelacement de τ dans G, c’est-à-dire, avec les conventions de [BK1, 2] :

ℋ (G, τ) = {Ψ : G → End_{R}(W^{∗}), Ψ(j_{1}gj_{2}) = τ̌(j_{1})Ψ(g)τ̌(j_{2})}
= End_{G}(ind_{J}^{G}(τ))^{∘}

où W^{∗} est le dual de W, τ̌ la contragrédiente de τ et le ∘ en exposant désigne l’algèbre opposée. Ces conventions permettent de considérer Hom_{RG}(ind_{J}^{G}(τ), π) comme un ℋ (G, τ)- module à gauche par action naturelle sur les morphismes, pour toute représentation π de G. (En général, pour une algèbre A, on désigne par A-Mod la catégorie de ses modules à gauche et par Mod-A celle de ces modules à droite.)

Rappelons d’autre part que la partie τ-isotypique d’une représentation V de G est la sous-G-représentation engendrée par les images des J-morphismes τ ⟶ V.

Paires couvrantes (G-covers). – Nous rappelons cette notion définie dans [BK1, 8.1] : Soit (J, τ) une paire comme précédemment et (J_{M}, τ_{M}) une paire formée d’un sousgroupe ouvert compact J_{M} de M et d’une représentation de J_{M} : alors on dit que (J, τ) est une paire P -couvrante de (J_{M}, τ_{M}) si les conditions suivantes sont réalisées :

1. J est un sous-groupe ouvert compact de G tel que J ∩ M = J_{M} et τ est une représentation lisse de J telle que τ_{|J_{M}} = τ_{M}.

2. J a la décomposition d’Iwahori J = (J ∩ \overline{N})J_{M}(J ∩ N) avec τ_{|(J∩\overline{N})} et τ_{|(J∩N)} triviales.

3. Il existe un élément z_{P} de Z(M) contractant strictement N par conjugaison tel que ℋ (G, τ) contienne un élément inversible de support Jz_{P} J. On dira que (J, τ) est une paire couvrant (ou paire couvrante de) (J_{M}, τ_{M}) si c’est

une paire P -couvrante pour tout sous-groupe parabolique P contenant M.

Lorsque (J, τ) est une paire P -couvrante de (J_{M}, τ_{M}), Bushnell et Kutzko dans le cas complexe et Vignéras dans le cas modulaire ont montré qu’on peut définir un morphisme de R-espaces vectoriels préservant le support :

ℋ (M, τ_{M}) ⟶^{T} ℋ (G, τ)

par prolongement naturel des éléments de la base canonique ([BK1, 6.3] et [Vig2, II] dans le cas modulaire). Ce morphisme est multiplicatif lorsqu’on se restreint à la sous-algèbre ℋ (M, τ_{M})^{+} des fonctions de ℋ (M, τ_{M}) de support inclus dans l’ensemble des éléments contractant N par conjugaison ([BK1, 6.12], [Vig2, II.4]) et se prolonge de manière unique à un morphisme d’algèbres :

ℋ (M, τ_{M}) ⟶^{t^{+}} ℋ (G, τ)

([BK1, 7.2] et [Vig2, II.6]).

1.2 Types

Soient (M, ρ) et (M′, ρ′) deux couples formés d’un sous-groupe de Levi de G et d’une représentation cuspidale irréductible de ce Levi. On dit (voir [BK1, 1] ou [Be]) qu’ils sont inertiellement équivalents si il existe g ∈ G et χ ∈ X_{R}(M′) un caractère non ramifié de M′ tels que M′ = M^{g} et ρ^{g} ≃ ρ′ ⊗ χ. On note [M, ρ]_{G} la classe d’inertie de (M, ρ).

Soient maintenant π un G-module irréductible, on sait qu’il existe un couple (M, ρ) tel que π ⊂ i_{M,P}^{G} (ρ) pour un certain parabolique P de Levi M [Vig1, II.2.4]. On montre que la classe de conjugaison de (M, ρ) est unique [Vig1, II.2.20] et on l’appelle support cuspidal de π (notation Sc (π)). On a de plus les propriétés pratiques suivantes [Vig1, II.2.20] :

Le support cuspidal de π contient (M, ρ) si et seulement si :

• π est une sous-représentation de i_{M,P}^{G} (ρ) pour un certain parabolique P (ou de manière équivalente ρ est un quotient de r_{G,P}^{M} (π)).

• π est un quotient de i_{M,P}^{G}(ρ) pour un certain parabolique P (ou de manière équivalente

ρ est inclus dans r_{G,\overline{P}}^{M} (π)). Dans ces conditions, on définit :

Définition 1.2.1. – Soient (M, ρ) un couple comme ci-dessus et (J, τ) une paire formée d’un sous-groupe ouvert compact de G et d’une de ses représentations irréductibles. On dit que (J, τ) est un [M, ρ]_{G}-type si :

∀π ∈ Irr_{R}(G), Sc (π) ⊂ [M, ρ]_{G} ⇔ Hom_{J} (τ, π) ≠ 0

Notations. – On note [τ] l’ensemble des représentations irréductibles de G contenant τ et [ρ]_{G} l’ensemble des représentations irréductibles de G dont le support cuspidal contient ρ. Dans ce langage, (J, τ) est un [M, ρ]_{G}-type si et seulement si [τ] = [ρ]_{G}.

Dans le cas complexe et d’après les travaux de Bushnell et Kutzko (voir [BK1, 4.2]), on en tire des résultats très forts : d’après la théorie de Bernstein ([Be]), la sous-catégorie de Modℂ(G) formée des représentations dont tous les sous-quotients irréductibles ont leur support cuspidal inclus dans 𝔰 = [M, ρ]_{G} est un bloc (noté R𝔰(G)) de Modℂ(G). D’un autre côté, on note R_{τ} (G) la catégorie des représentations de G engendrée par leur partie τ-isotypique, alors :

Si (J, τ) est un 𝔰_{G}-type, on a R_{τ} (G) = R𝔰(G) et le foncteur

\begin{matrix}𝔐_{τ} : R𝔰(G) & → & ℋ (G, τ) − Mod \\ π & ↦ & Hom_{J} (τ, π) = π_{τ} \end{matrix}

est une équivalence de catégories.

Dans le cas R quelconque, on ne peut plus parler des blocs de Bernstein d’une part et R_{τ} (G) n’est pas en général abélienne donc on ne peut espérer garder des résultats si �catégoriques�…

Cependant, si R = \overline{𝔽_{l}}, l’étude dans [Vig2] des types modulaires (i.e. construits sur le modèle des types complexes) pour GL(N) montre que leurs induites sont �presqueprojectives de type fini� (voir 2.4), ce qui implique qu’il subsiste une bijection entre les représentations irréductibles de G engendrés par leurs partie τ-isotypique et les ℋ (G, τ)- modules simples. Cette propriété permet d’espérer mettre à profit la théorie des types pour classifier des irréductibles dans un cadre plus général et justifie qu’on garde la définition ci-dessus.

1.3 Diagrammes commutatifs : cas complexe

Reprenons le cas complexe : soit 𝔰_{M} une classe d’inertie dans Mod_{R}(M) pour un certain sous-groupe de Levi M de G. Alors, d’après la théorie de Bernstein, elle définit par induction une classe d’inertie 𝔰_{G} dans Mod_{R}(G). Supposons que (J_{M}, τ_{M}) soit un 𝔰_{M}- type ; alors, d’après [BK1, 8.2], (J, τ) est un 𝔰_{G}-type.

Choisissons un parabolique P de Levi M. La restriction parabolique (normalisée) r_{G,P}^{M} n’envoie pas forcément R^{𝔰^{G}}(G) dans R^{𝔰^{M}} (M), mais on peut composer avec la �projection� canonique sur le bloc R^{𝔰^{M}} (M) : on note ce foncteur pr_{G,P}^{M}.

Aparté. – Si A ⟶^{i} B est un morphisme d’anneaux, on note i^{∗} le foncteur de restriction B-Mod → A-Mod et i_{∗} (resp. _{∗}i) son adjoint à droite (resp. à gauche) :

i_{∗} : A-Mod → B-Mod
M ↦ Hom_{A}(B, M)

et

∗i : A-Mod → B-Mod
M ↦ B ⊗_{A} M

Théorème 1.3.1. – (Bushnell-Kutzko) Dans les conditions du paragraphe 1.8, soit (P, M, N) un triplet parabolique ; il existe alors un unique morphisme d’algèbres avec unité :

t_{P} : ℋ (M, τ_{M}) ⟶ ℋ (G, τ)

tel que les diagrammes suivants soient commutatifs

[figure: R^{𝔰^{G}}(G); ∼; _{𝔐_{τ}}; pr_{G,P}^{M}; ℋ (G, τ) − Mod; _{𝔱_{P}} _{∗}; R^{𝔰^{M}} (M); ∼; _{𝔐_{τ_{M}}}; ℋ (M, τ_{M}) − Mod; R^{𝔰^{G}}(G); ∼; _{𝔐_{τ}}; ℋ (G, τ) − Mod; R^{𝔰^{M}} (M); ∼; _{𝔐_{τ_{M}}}; _{i{G \atop M,P}}; ℋ (M, τ_{M}) − Mod; _{𝔱_{P}} _{∗}]

i_{M,P}^{G} étant l’induction parabolique (normalisée) par rapport à P.

Remarques. – (1) – t_{P} n’est pas ici tout à fait le même que le t_{P} construit dans [BK1] (7.2) et (7.9) car nous utilisons les foncteurs normalisés : ce dernier était obtenu par torsion d’un premier morphisme t^{+} (voir 1.1) par δ_{P} (le caractère-module de M par rapport à P). Ici, il faut tordre par δ_{P} ^{\frac{1}{2}} . On définit les morphismes t_{P} de la même manière dans le cas modulaire après avoir choisi une racine de q dans R.

(2) – Le second diagramme se déduit du premier par adjonction à droite. On peut en déduire un troisième par adjonction à gauche (voir 1.5).

1.4 Diagramme commutatif : cas modulaire

Dans ce cas, le premier diagramme est encore valable (voir [Vig2, II.10.2]) à ceci près que les foncteurs 𝔐_{τ} et 𝔐_{τ_{M}} ne sont pas des équivalences de catégories, et qu’on ne peut parler de blocs. En résumé, on a un diagramme commutatif :

[figure: Mod_{R}(G); _{𝔐_{τ}}; _{r{M \atop G,P}}; ℋ (G, τ) − Mod; _{𝔱_{P}} _{∗}; Mod_{R}(M); _{𝔐_{τ_{M}}}; ℋ (M, τ_{M}) − Mod]

Le second diagramme ne se déduit donc plus, a priori, aussi facilement du premier. Le but ici n’est pas de démontrer la commutativité de ce second diagramme, mais une propriété plus faible, et sous certaines hypothèses :

Conjecture 1. – Pour tout sous-groupe parabolique contenant M, on a

ind_{J}^{G}(τ) ≃ i_{M,P}^{G} (ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}))

Remarque. – Pour être plus précis, on va étudier par la suite un morphisme canonique Φ_{M,P}^{G} : ind_{J}^{G}(τ) → i_{M,P}^{G} (ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M})) pour chaque sous-groupe parabolique P contenant M, mais les hypothèses que l’on utilisera pour démontrer qu’il est bijectif ne seront valables que pour un seul de ces paraboliques. Cependant, dans le cas de GL(N), on pourra en déduire que la propriété d’isomorphisme est vraie pour tout sous-groupe parabolique P. De plus, on espère que dans d’autres cas comme le niveau 0 ([Mo]) et la série principale d’un groupe déployé ([Ro]), on pourra comme pour GL(N) adapter à tous les paraboliques.

1.5 Démonstration dans le cas complexe

Elle est assez formelle. On peut utiliser l’existence d’un adjoint à gauche de la restriction parabolique, à savoir l’induction par rapport au parabolique opposé (C’est un résultat de Bernstein, non publié mais voir [1]). En utilisant le premier diagramme et par adjonction, on obtient :

[figure: R^{𝔰^{G}}(G); ∼; _{𝔐_{τ}}; ℋ (G, τ) − Mod; R^{𝔰^{M}} (M); ∼; _{𝔐_{τ_{M}}}; _{i{G \atop M,\overline{P}}}; ℋ (M, τ_{M}) − Mod; _{_{∗}𝔱_{P}}]

On en déduit que :

(i_{M,\overline{P}}^{G} (ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M})))_{τ} ≃ ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M})_{τ_{M}} ⊗_{ℋ (M,τ_{M})} ℋ (G, τ)
≃ ℋ (M, τ_{M}) ⊗_{ℋ (M,τ_{M})} ℋ (G, τ) ≃ ℋ (G, τ) ≃ (ind_{J}^{G}(τ))_{τ}

et on conclut parce que 𝔐_{τ} est une équivalence de catégories et qu’on peut faire le même raisonnement avec \overline{P}.

Remarque. – Il apparaît dans ce cas que l’induite parabolique de ind_{J_{M}}^{M}(τ_{M}) ne dépend pas du parabolique choisi.

A partir de la partie 2, on se consacrera à l’étude de cette question dans le cas modulaire.

1.6 Types cuspidaux

On se place dans le contexte de [BK1, 5.5], à savoir : (J, τ) est une paire formée d’un sous-groupe ouvert compact et d’une de ses représentations irréductibles tel que :

• l’ensemble d’entrelacement I_{G}(τ) := J̃ de τ dans G est un sous-groupe ouvert compact modulo le centre de G et tel que J = J̃∩ G^{0}.

• il existe une extension τ̃ de τ à J̃ dont l’induite ρ = indG ; _{J}(τ̃) est cuspidale.

Alors, on peut adapter le cas complexe traité dans [BK1] de la manière suivante :

Proposition 1.6.1. – Dans les conditions ci-dessus :

(a) La G-représentation cuspidale ρ est irréductible et ℋ (G, τ) ≃ R[J̃/J] := A est une algèbre commutative. (b) Tout sous-quotient irréductible de ind_{J}^{G}(τ) est de la forme ind_{J}^{G}(τ)⊗_{A}R_{χ} où χ est un caractère de J̃/J et R_{χ} le A-module de R-dimension 1 associé, ou, ce qui est équivalent, de la forme ρ ⊗ \overline{χ} pour un certain caractère non ramifié de G.

(c) (J, τ) est un [G, ρ]_{G}-type et est appelé �type cuspidal�. De plus les G-irréductibles contenant τ sont en bijection avec les modules irréductibles de A.

Démonstration. – Puisque l’entrelacement de τ̃ est inclus dans J̃, on sait (voir [Vig1, I.8.3]) que son induite ρ est irréductible et que ℋ (G, τ) ≃ ℋ (J̃, τ), l’isomorphisme étant donné par simple induction :

End_{J}(ind_{J} ; J(τ)) → End_{G}(ind_{J}^{G}(τ))
ϕ ↦ indG ; _{J}(τ)

Or, ind_{J} ; J(τ) ≃ τ̃⊗_{R} A avec action de diagonale de J̃ (celui-ci agissant canoniquement sur

A). Comme J est normal dans J̃ et comme J̃/J est abélien, on voit que End_{J}(ind_{J} ; J(τ)) ≃ A et l’action de A est la représentation régulière sur le terme de droite du produit tensoriel τ̃ ⊗ A.

Ceci explicite l’action de A sur ind_{J}^{G}(τ) : en particulier, si χ est un caractère de J̃/J, alors :

ind_{J}^{G}(τ) ⊗_{A} R_{χ} ≃ indG ; _{J}(τ̃ ⊗ χ)

que nous noterons ρ_{χ}. On a une injection canonique : J̃/J ⊂ G/G^{0}. Soit donc un prolongement \overline{χ} de χ à G/G^{0} ; on remarque que :

indG ; _{J}(τ̃ ⊗ χ) ≃ ρ ⊗ \overline{χ}.

Pour montrer l’assertion sur les sous-quotients de ind_{J}^{G}(τ), on utilise les mêmes méthodes que [Vig1, III.4.22] ou que [Vig2, IV.1.6] : on note Z le centre de G, et on appelle H le sous-groupe maximal de J̃ tel que [H : ZJ] soit premier avec l. (J̃/H est donc un l-groupe abélien).

On induit d’abord à ZJ. Notons τ_{Z} = τ̃_{|ZJ} : c’est une extension particulière de τ à ZJ et il est clair que tout sous-quotient irréductible de ind_{J}^{ZJ} (τ) est isomorphe à cette extension tordue par un caractère non ramifié χ_{Z} de Z (on raisonne sur le caractère central). On appelle \overline{χ} un caractère non ramifié de G dont la restriction à Z est χ_{Z} et on note χ = \overline{χ}_{J} sa restriction à J̃.

On induit maintenant à H : ind_{ZJ}^{H}(χ_{Z}.τ_{Z}) est semisimple et isomorphe à ⊕_{θ}θ.χ_{H}.τ_{H} où θ décrit l’ensemble des caractères de H/(ZJ) et τ_{H} = τ̃_{|H}. Quitte à modifier \overline{χ} par une extension de θ.χ_{H}, on s’aperçoit que tout sous-quotient irréductible de ind_{J}^{H} (τ) est de la forme \overline{χ}_{|H}.τ_{H}.

On induit maintenant à J̃ : ce n’est plus semi-simple mais on sait que tout sousquotient de ind_{J} ; H (\overline{χ}_{|H}.τ_{H}) est isomorphe à l’unique extension χ.τ̃ de \overline{χ}_{|H}.τ_{H} à J̃.

Ceci démontre le deuxième point.

Pour établir que τ est un type, on procède comme dans [BK1, 5.4] : ce qui précède montre en particulier que [τ] ⊂ [ρ]_{G}. L’autre inclusion est évidente : si π ∈ [ρ]_{G}, il existe alors un caractère non ramifié χ_{G} de G tel que π ≃ ρ ⊗ χ_{G}, et donc, puisque ρ contient τ et puisque χ_{G} est trivial sur J, π contient τ.

La bijection entre les irréductibles de G contenant τ et les irréductibles de A est assez claire : dans un sens, c’est simplement la partie τ-isotypique, et dans l’autre, c’est l’application R_{χ} ↦ ind_{J}^{G}(τ) ⊗_{A} R_{χ}. On peut voir une généralisation de ce phénomène au 2.4.

1.7 G-équivalence

Rappelons la notion de G-équivalence déja définie dans [Vig2, II.1] :

Définition 1.7.1. – Deux types (J, τ) et (J′, τ′) de G sont dits G-équivalents si leurs induites sont isomorphes : ind_{J′}^{G} (τ′) ≃ ind_{J}^{G}(τ).

Proposition 1.7.1. – Soient (J, τ) et (J′, τ′) deux types cuspidaux, alors les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) [τ] ∩ [τ′] ≠ ∅;  (ii) [τ] = [τ′] ;
(iii) Hom_{G}(ind_{J′}^{G} (τ′), ind_{J}^{G}(τ)) ≠ 0 ; (iv) (J, τ) et (J′, τ′) sont G-équivalents.

Démonstration. – i) implique ii) : c’est assez clair d’après la description précédente des quotients irréductibles de l’induite d’un type cuspidal : [τ] et [τ′] sont tous les deux une orbite de Irr_{R}(G) sous X_{R}(G) et sont donc disjoints ou égaux.

ii) implique iii) : Commençons par rappeler la formule de Mackey ([Vig1, I.5.6]) pour une représentation λ de J̃:

Res_{G}^{J′} (indG ; _{J}(λ)) ≃ ⨁_{_{J}xJ′} ind_{J′∩_{J^{x}}}^{J′} (λ^{x})

Remarquons maintenant que le R-espace vectoriel Hom_{G}(ind_{J′}^{G} (τ′), ind_{J}^{G}(τ)) est naturellement un A-module en faisant agir A (A = ℋ (G, τ)) par composition sur le membre de droite. On peut préciser cette structure en utilisant la formule de Mackey et la réciprocité de Frobenius

Hom_{G}(ind_{J′}^{G} (τ′), ind_{J}^{G}(τ)) ≃ Hom_{J′} (τ′, indG ; _{J}(τ̃ ⊗ A))  (1)
≃ ⨁_{_{J}xJ′} Hom_{J′∩_{J^{x}}} (τ′, (τ̃ ⊗ A)^{x})  (2)

≃ (⨁_{_{J}xJ′} Hom_{J′∩_{J^{x}}} (τ′, τ^{x})) ⊗ A  (3)
≃ Hom_{G}(ind_{J′}^{G} (τ′), ρ) ⊗ A  (4)

La commutation avec le produit tensoriel dans le passage de (2) à (3) vient du fait que J′ ∩ J̃^{x} agit trivialement sur A. De plus ce calcul est A-équivariant ; donc pour tout caractère χ de A, l’application naturelle

Hom_{G}(ind_{J′}^{G} (τ′), ind_{J}^{G}(τ)) ⊗_{A} R_{χ} ⟶ Hom_{G}(ind_{J′}^{G} (τ′), ind_{J}^{G}(τ) ⊗_{A} R_{χ})  (5)

est un isomorphisme.

Soit ϕ ∈ Hom_{G}(ind_{J′}^{G} (τ′), ρ) non nul (un tel ϕ existe car ρ_{τ′} ≠ 0) ; alors d’après (4) ϕ ⊗ 1_{A} fournit un morphisme non nul ind_{J′}^{G} (τ′) ⟶ ind_{J}^{G}(τ).

Pour iii) implique iv), on remarque d’abord que iii) implique i), (car ind_{J′}^{G} (τ′) est de type fini ; donc son image par un morphisme non nul vers ind_{J}^{G} (τ) admet un quotient irréductible qui est de la forme ρ_{χ} d’après la proposition 1.6.1), et on se ramène à un morphisme du type ϕ ⊗ 1_{A} comme ci-dessus, dont on va montrer que c’est un isomorphisme : en effet son conoyau est de type fini et est donc nul ou admet un quotient irréductible de la forme ρ ⊗ χ et, puisque pour tout χ la réduction modulo χ de ϕ ⊗ 1 est non nulle (d’après (5)), ce conoyau est nécessairement nul. Quant au noyau, d’après la description des quotients irréductibles des types cuspidaux, il est inclus dans le noyau de l’application produit

ind_{J′}^{G} (τ′) ⟶ ∏_{χ∈X^{∗}(A′)} ind_{J′}^{G} (τ′) ⊗_{A′} R_{χ}

Or, τ′ ⊗ A′ ⟶ ∏_{χ} τ′χ est injective ; son induite l’est donc aussi puisque l’induction est exacte et en composant avec le plongement ind(∏_{χ} τ′χ) ↪ ∏_{χ} ind(τ′χ), on obtient que

indG ; _{J′} (τ′ ⊗ A′) ⟶ ∏_{χ∈X^{∗}(A′)} indG ; _{J′} (τ̃′χ)

l’est aussi.

iv) implique i) est évident.

1.8 Contexte

On supposera souvent que l’on est dans le contexte suivant :

• (J_{M}, τ_{M}) est un M-type cuspidal (au sens de 1.6) et on notera toujours ρ la Mreprésentation cuspidale irréductible indM ; _{J_{M}} (τ̃_{M}).

• (J, τ) est une paire couvrant (J_{M}, τ_{M}). On notera pour simplifier ℋ (M, τ_{M}) := H_{M} et ℋ (G, τ) := H_{G}.

Proposition 1.8.1. – Dans ces conditions, (J, τ) est un [M, ρ]_{G}-type.

Démonstration. – C’est la même que celle de Bushnell et Kutzko à ceci près qu’il faut pallier au fait que τ_{M} n’est pas projective, ce qui a été fait dans l’étude des sous-quotients de son induite au 1.6 :

Soit π ∈ [ρ]_{G}; alors il existe un parabolique P de Levi M et un caractère χ_{M} de M tel que ρ ⊗ χ_{M} ⊂ r_{G,P}^{M} (π) ; aussi, d’après 1.6, r_{G,P}^{M} (π)_{τ_{M}} ≠ 0 et d’après 1.4 π_{τ} ≠ 0.

Réciproquement, soient π ∈ [τ] et P un parabolique de Levi M : r_{G,P}^{M} (π)_{τ_{M}} ≠ 0 ; r_{G,P}^{M} (π) contient donc un sous-quotient de ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}). Puisque en plus il est de longueur finie ([Vig1, II.5.13]), il contient en fait un sous-quotient irréductible de ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}) qui est de la forme ρ ⊗ χ_{M} d’après 1.6.1.

1.9 Normalisateur d’un type

Le normalisateur N_{G}(M) d’un Levi M agit naturellement par conjugaison sur Irr_{R}(M). On notera indifféremment w(π) ou π^{w} la conjuguée de π par w ∈ N_{G}(M). De même, on note (J_{M}^{w}, τ_{M}^{w}) la paire conjuguée de (J_{M}, τ_{M}) ; il est clair que si τ_{M} est un type cuspidal, τ_{M}^{w} en est aussi un (I_{G}(τ_{M}^{w}) = w(I_{G}(τ_{M})) est donc un groupe, etc.) tel que ℋ (M, τ_{M}) ≃ ℋ (M, τ_{M}^{w}).

Proposition 1.9.1. – Toujours dans le contexte 1.8, si w ∈ N_{G}(M), il y a équivalence entre les propriétés suivantes : (i) w([τ_{M}]) ∩ [τ_{M}] ≠ ∅ (ii) Les types τ_{M}^{w} et τ_{M} sont M-équivalents (voir 1.7). (iii) Il existe m ∈ M tel que wm ∈ Supp (ℋ (G, τ)). L’ensemble des w ∈ N_{G}(M) vérifiant une de ces conditions est noté N_{G}(τ_{M}) et est appelé le normalisateur de τ_{M}.

Démonstration. – Remarquons d’abord que w(ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M})) ≃ ind_{J_{M}^{w}}^{M} (τ_{M}^{w}), et donc que w[τ_{M}] = [τ_{M}^{w}]. Ceci, avec la proposition 1.7.1, montre que i) ⇔ ii).

Montrons maintenant que ces conditions impliquent iii) : on a un morphisme non nul

τ_{M}^{w} ⟶ Res_{M}^{J_{M}^{w}} (indM ; _{J_{M}} (τ̃_{M})).

Donc, d’après la formule de Mackey, il existe un x ∈ M et un morphisme non nul : τ_{M}^{w} ⟶ ind_{J_{M}^{w} ∩_{J_{M}}^{x}}^{J_{M}^{w}} (τ̃_{M}^{x}). D’après la réciprocité de Frobenius, on obtient

Hom_{J_{M}^{w} ∩_{J_{M}}^{x}} (τ_{M}^{w}, τ̃_{M}^{x}) ≠ 0

et, quitte à conjuguer par x^{−1} et à renommer ce dernier (en m),

Hom_{J_{M}^{wm}∩J_{M}} (τ_{M}^{wm}, τ) ≠ 0

Cherchons maintenant une forme agréable pour J ∩ J^{wm} : (on écrira v au lieu de wm pour alléger l’écriture). Soient P un parabolique de Levi M et N son radical unipotent, \overline{N} son radical opposé. Les propriétés des paires couvrantes (voir 1.1) montrent que J = J_{v^{−1}(\overline{N})}J_{M}J_{v^{−1}(N)}, et donc que J^{v} = (J_{v^{−1}(\overline{N})})^{v}J_{M}^{v}(J_{v^{−1}(N)})^{v} avec (J_{v^{−1}(\overline{N})})^{v} ⊂ \overline{N} et (J_{v−1N})^{v} ⊂ N. Donc :

J ∩ J^{v} = (J\overline{N} ∩ (J_{v^{−1}(\overline{N})})^{v}).(J_{M} ∩ J_{M}^{v})(J_{N} ∩ (J_{v^{−1}(N)})^{v}).

Puisque les représentations considérées sont triviales sur les facteurs de gauche et de droite, on en déduit que Hom_{J∩J^{v}} (τ^{v}, τ) ≠ 0, et donc que v ∈ Supp (H_{G}).

Il est facile de remonter ce raisonnement pour voir que si w vérifie iii), il vérifie toutes les autres propriétés.

Remarque. – Supposons donc ces conditions vérifiées ; on peut préciser l’action de w : il existe χ_{0} ∈ X_{R}^{∗}(M) tel que w(ρ) ≃ ρ ⊗ χ_{0} : on en déduit que tout χ_{M} ∈ X_{R}(M), et on a w(ρ ⊗ χ_{M}) ≃ ρ ⊗ χ_{0}χ_{M}^{w}. En d’autres termes : l’action naturelle de w sur X_{R}(M) par conjugaison passe au quotient sur X^{∗}(J̃_{M}/J_{M}) et pour tout χ ∈ X^{∗}(J̃_{M}/J_{M}),

w(ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}) ⊗_{H_{M}} R_{χ}) ≃ ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}) ⊗_{H_{M}} R_{χ_{0}χ^{w}}

1.10 Fait géométrique

L’objet de cette section ne sera pas utilisé avant la partie 4. On aura en effet besoin de renseignements sur les doubles classes JgJ et pour cela, il est commode de supposer J inclus dans un �bon� parahorique, fait qui est systématiquement observé dans les types connus, et d’utiliser la description classique des doubles classes modulo un parahorique (comme dans [Mo], par exemple).

Commençons par rappeler une manière habituelle d’associer un sous-groupe parahorique à un sous-groupe parabolique P de sous-groupe de Levi M (on supposera 𝔊 déployé pour simplifier mais on pourrait tout à fait adapter au cas général).

Choisissons T un F -tore déployé maximal et P_{∅} unF -sous-groupe parabolique minimal inclus dans P et contenant T auquel il correspond une base Δ du système de racines Φ(G, T) (groupe de Weyl noté W). On peut alors écrire M = Z_{G}(⋂_{α∈Θ} T_{α})^{∘} (ici le ∘ désigne la composante neutre) pour un certain Θ ⊂ Δ et P = P_{∅}W_{Θ}P_{∅} où W_{Θ} = ⟨s_{α}, α ∈ Θ⟩ (s_{α} est la réflexion associé à la racine simple α et T_{α} son noyau).

Choisissons un point spécial dans l’appartement associé à T et appelons K son fixateur (c’est un sous-groupe parahorique spécial). Soit B le sous-groupe d’Iwahori canoniquement associé à P_{∅} et à K : alors B_{Θ} = BW_{Θ}B est un sous-groupe parahorique de G. On note aussi W̃ le groupe de Weyl affine de G relativement à T.

Proposition 1.10.1. – Dans ces conditions, on a :

∀w, w′ ∈ N_{G}(M), B_{Θ}wB_{Θ} = B_{Θ}w′B_{Θ} ⇒ w′w^{−1} ∈ M

Démonstration. – Puisque les tores maximaux d’un groupe réductif sont conjugués, on peut écrire w = w_{1}.m et w′ = w′_{1}.m′ avec m, m′ ∈ M et w_{1}, w′_{1} ∈ N_{G}(T). Soit K^{+} le pro-p-radical de K : on sait que K/K^{+} est un groupe réductif dont le système de racines par rapport à T^{0}/(T^{0} ∩ K^{+}) est isomorphe à celui de G ([Ti, 3.5.1]). En particulier, on peut relever les éléments de W à des éléments de K : écrivons donc w_{1} = w_{0}.t et w′_{1} = w′_{0}.t′ avec w_{0}, w′_{0} ∈ N_{G}(M) ∩ K et t, t′ ∈ T. D’après la décomposition de Cartan pour M, c’est-à-dire, M = (K ∩ M)T (K ∩ M) = (B_{Θ} ∩ M)T (B_{Θ} ∩ M), on peut écrire w = w_{0}.k_{1}.t_{0}.k_{2} et w′ = w′_{0}.k′_{1}.t′_{0}.k′_{2}. Utilisant maintenant le fait que K ∩ M = B_{Θ} ∩ M est normalisé par w_{0} (ce dernier se projetant dans K/K^{+} en un élément du normalisateur de B_{Θ}/B_{Θ}^{+}), on obtient B_{Θ}wB_{Θ} = B_{Θ}w_{0}t_{0}B_{Θ} et B_{Θ}w′B_{Θ} = B_{Θ}w′_{0}t′_{0}B_{Θ}.

Notons B_{Θ}^{†} = N_{G}(B_{Θ}) le normalisateur de B_{Θ}. D’après [Mo, 3.11] les doubles classes modulo B_{Θ}^{†} sont en bijection avec les doubles classes modulo W_{Θ} dans W̃. Or, les élements de W_{Θ} se relèvent en des éléments de M ; donc si B_{Θ}wB_{Θ} ∩ B_{Θ}w′B_{Θ} ≠ ∅, alors w_{0}.t_{0} et w′_{0}.t′_{0} sont congrus modulo M, et donc w et w′, qui leur sont respectivement congrus modulo M le sont aussi.

Définition 1.10.1. – On dira que le type (J, τ) est �adapté� au sous-groupe de Levi M si J est inclus dans un parahorique construit comme ci-dessus (les choix pour construire celui-ci portent donc sur le point spécial et le parabolique).

Corollaire 1.10.1. – Si J est adapté à M, deux doubles classes JwJ et Jw′J avec w, w′ ∈ N_{G}(M) sont égales si et seulement si w et w′ sont congrus modulo M.

Remarque. – Si L est un sous-groupe de Levi de G contenant M et si J est adapté à M, alors J est adapté à L.

2 Un morphisme explicite

2.1 Définition

On veut ici définir un morphisme dans un contexte plus général que celui de 1.8 ; on suppose seulement pour l’instant que la paire (J, τ) est une paire couvrant (J_{M}, τ_{M}), sans être nécessairement un type). On note toujours δ_{P} le caractère-module de M relativement à P, et on rappelle que les foncteurs de restriction et d’induction parabolique sont normalisés. Nous appellerons V l’espace de R-dimension finie de la représentation τ et nous noterons toujours, pour v ∈ V, les fonctions i_{v}^{G} ∈ ind_{J}^{G}(τ) et i_{v}^{M} ∈ ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}) qui lui sont �canoniquement� associées :

\{ \begin{matrix}i_{v}^{G} : G & → & V de support J \\ j & ↦ & τ(j)v \end{matrix} \} \{ \begin{matrix}i_{v}^{M} : M & → & V de support J_{M} \\ j_{M} & ↦ & τ_{M}(j_{M})v \end{matrix} \}

Lemme 2.1.1. – Le morphisme suivant est J-équivariant :

Φ_{M,P}^{G} : τ → i_{M,P}^{G} (ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}))
v ↦ \{ \begin{matrix}Φ(v) : G & → & δ_{P} ^{\frac{1}{2}} .ind(τ_{M}) de support P.(J ∩ \overline{N}) \\ n.m.j\overline{N} & ↦ & δ_{P} ^{\frac{1}{2}} (m).m.i_{v}^{M} \end{matrix}

(On écrit simplement Φ_{M,P}^{G} = Φ quand il n’y a pas d’ambiguité).

Démonstration de la J-équivariance. – Soit j ∈ J et (n, m, j\overline{N}) ∈ N × M × J ∩ \overline{N}. On écrit j\overline{N}.j = j^{+}j_{M}j^{−} (décomposition d’Iwahori). Alors,

(j.Φ(v))(n.m.j\overline{N}) = Φ(v)(nmj\overline{N}j) = Φ(v)(nmj^{+}j_{M}j^{−})
= Φ(v) ((n.mj^{+}m^{−1})(mj_{M})j^{−})
= δ_{P} ^{\frac{1}{2}} (m)mj_{M}.i_{v}^{M} = δ_{P} ^{\frac{1}{2}} (m)mi_{τ_{M} (j_{M})v}^{M}
= δ_{P} ^{\frac{1}{2}} (m)mi_{τ(j)v}^{M}.

La dernière ligne venant de τ_{|J∩N} = τ_{|J∩\overline{N}} = 1 et de j\overline{N}.j = j^{+}j_{M}j^{−}.

On notera encore Φ le morphisme G-équivariant déduit par réciprocité de Frobenius :

Φ : ind_{J}^{G}(τ) → i_{M,P}^{G} (ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}))
f ↦ ∑_{g∈J\G} g^{−1}.Φ(f(g))

Remarque. –Si on utilise l’égalité suivante :

i_{M,P}^{G} (ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M})) ≃ Ind_{N.J_{M}}^{G} (δ_{P} ^{\frac{1}{2}} τ_{M})

où l’on désigne encore par τ_{M} l’extension triviale de τ_{M} au produit semi-direct N⋊J_{M}, on obtient l’expression suivante (sur laquelle il est peut-être plus clair que Φ est Jéquivariante) :

Φ : τ → ind_{N.J_{M}}^{G} (τ_{M})
v ↦ \{ \begin{matrix}Φ(v) : G & → & V de support N.J \\ n.j & ↦ & τ(j)v \end{matrix}

Nous allons voir maintenant quelques propriétés très générales de Φ ne faisant intervenir que les structures des paires couvrantes, sans hypothèse sur les algèbres de Hecke et sans supposer que τ_{M} est un type.

2.2 H_{M}-équivariance

Soient H_{M} = ℋ (M, τ_{M}) et H_{G} = ℋ (G, τ) ; alors H_{M} agit naturellement sur ind_{J_{M}}^{M}(τ_{M}), et donc, par induction, sur i_{M,P}^{G} (ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M})). D’autre part, H_{M} agit sur ind_{J}^{G} (τ) via n’importe quel morphisme d’algèbres H_{M} ⟶ H_{G}. On a alors le résultat suivant :

Proposition 2.2.1. – Faisant agir H_{M} sur ind_{J}^{G} (τ) via le morphisme t\overline{P}, Φ est H_{M}-équivariant. En d’autres termes :

∀ψ ∈ H_{M}, Φ_{M,P}^{G} ∘ t\overline{P} (ψ) = i_{M,P}^{G} (ψ) ∘ Φ_{M,P}^{G}

Démonstration. – Rappelons les conventions de [BK1] (voir aussi 1.1) :

ℋ (G, τ) = {Ψ : G → End_{R}(V^{∗}),
Ψ(j_{1}gj_{2}) = τ̌(j_{1})Ψ(g)τ̌(j_{2})} = End_{G}(ind_{J}^{G}(τ))^{∘},

l’action de Ψ étant donnée par

i_{v}^{G} ∗ Ψ = ∑_{x∈J\G} x^{−1}i_{_{Ψ}(x)v}^{G},  (1)

où Ψ̂(x) = Ψ^{∗}(x^{−1}) (voir [BK1, 2.2]).

Soient I_{M}^{−} = \{t ∈ Supp H_{M}, t(J ∩ \overline{N})t^{−1} ⊂ J ∩ \overline{N} et t^{−1}(J ∩ N)t ⊂ J ∩ N\}, et

H_{M}^{−} = \{ψ ∈ H_{M}, Supp ψ ⊂ I_{M}^{−}\}. On sait que le morphisme ℋ (M, τ_{M}) ⟶^{t\overline{P}} ℋ (G, τ) s’obtient par prolongement unique de sa restriction à H_{M}^{−}. Il suffit donc de vérifier l’équivariance pour ψ de support J_{M}tJ_{M} avec t ∈ I_{M}^{−}. Or pour un tel ψ, t\overline{P} (ψ) = δ\overline{P} ^{\frac{1}{2}} .T (ψ) = δ_{P}^{− \frac{1}{2}} .T (ψ), où T (ψ) est le prolongement naturel de ψ à JtJ (voir [BK1, 6.3]). On a donc (en notant J ∩ \overline{N} = J\overline{N} et Ψ = t\overline{P} (ψ)) :

Φ(i_{v}^{G} ∗ t\overline{P} (ψ)) = Φ( ∑_{x∈J\Jt^{−1}J} x^{−1}.i_{_{Ψ}(x)v}^{G})  (2)
= ∑_{x∈(J∩tJt^{−1})\J}(t^{−1}x)^{−1}.Φ(i_{_{Ψ}(t^{−1}x)v}^{G})  (3)
= ∑_{x_{M} ∈(J_{M} ∩tJ_{M} t^{−1})\J_{M}} ∑_{x∈x_{M}^{−1}tJ\overline{N} t^{−1}x_{M} \J\overline{N}}(t^{−1}x_{M}x)^{−1}.Φ(i_{_{Ψ}(t^{−1}x_{M} x)v}^{G})  (4)

= ∑_{x_{M} ∈(J_{M} ∩tJ_{M} t^{−1})\J_{M}} ∑_{x∈x_{M}^{−1}tJ\overline{N} t^{−1}x_{M} \J\overline{N}} x^{−1}x_{M}^{−1}t.Φ(i_{_{ψ}(t^{−1}x_{M}).δ_{P} ^{− \frac{1}{2}} (t)v}^{G}). (5)

Le changement d’indices dans le passage de (3) à (4) vient du fait qu’on peut écrire tout y ∈ (J ∩ tJt^{−1})\J comme un produit x_{M}x, où

x_{M} ∈ (J_{M} ∩ tJ_{M}t^{−1})\J_{M} x ∈ x_{M}^{−1}tJ\overline{N}t^{−1}x_{M}\J\overline{N}

(on utilise la décomposition d’Iwahori et le fait que t contracte J ∩ \overline{N} et dilate J ∩ N ; voir aussi [Vig2, II.4] ou [BK1, 6.9]).

Posons v′ = ψ̂(t^{−1}x_{M}).δ_{P}^{− \frac{1}{2}} (t)v et étudions maintenant la première somme, après avoir remarqué que P.J\overline{N}t^{−1}x_{M}x = P (x_{M}^{−1}tJ\overline{N}t^{−1}x_{M})x; le terme f_{x_{M}}^{x} = x^{−1}x_{M}^{−1}t.Φ(i_{v′}^{G}) est la fonction

f_{x_{M}}^{x} : G → δ_{P} ^{\frac{1}{2}} .ind(τ_{M}) de support P (x_{M}^{−1}tJ\overline{N}t^{−1}x_{M})x
n.m.x_{M}^{−1}t\overline{j}t^{−1}x_{M}x ↦ Φ(i_{v′}^{G})(nmx_{M}^{−1}t\overline{j}) = δ_{P} ^{\frac{1}{2}} (mt).mx_{M}^{−1}t.i_{v′}^{M},

et donc la somme

f_{x_{M}} = ∑_{x∈x_{M}^{−1}tJ\overline{N} t^{−1}x_{M} \J\overline{N}} x^{−1}x_{M}^{−1}t.Φ(i_{v′}^{G}) = ∑ f_{x_{M}}^{x}

a comme support P J\overline{N}, qui est réunion disjointe des supports P.J\overline{N}t^{−1}x_{M}x de chaque terme de la somme. De plus, si y ∈ P J\overline{N} s’écrit y = nmx_{M}^{−1}t\overline{j}t^{−1}x_{M}x, alors f_{x_{M}} (y) = δ_{P} ^{\frac{1}{2}} (mt).mx_{M}^{−1}t.i_{v′}^{M} ; f_{x_{M}} est donc l’application

f_{x_{M}} : G → δ_{P} ^{\frac{1}{2}} .ind(τ_{M}) de support P.J\overline{N}
n.m.\overline{j} ↦ δ_{P} ^{\frac{1}{2}} (mt).m.x_{M}^{−1}x.i_{_{ψ}(t^{−1}x_{M}).δ_{P} ^{− \frac{1}{2}} (t)v}^{M} = δ_{P} ^{\frac{1}{2}} (m).m.(x_{M}^{−1}x.i_{_{ψ}(t^{−1}x_{M})v}^{M}).

Or on sait que

∑_{x_{M} ∈(J_{M} ∩tJ_{M} t^{−1})\J_{M}} x_{M}^{−1}x.i_{_{ψ}(t^{−1}x_{M})v}^{M} = i_{v}^{M} ∗ ψ;

la somme des f_{x_{M}} est donc

Φ(i_{v}^{G} ∗ Ψ) : G → δ_{P} ^{\frac{1}{2}} .ind(τ_{M}) de support P.J\overline{N}
n.m.\overline{j} ↦ δ_{P} ^{\frac{1}{2}} (m).m.(i_{v}^{M} ∗ ψ).

Ceci est exactement i_{M,P}^{G} (ψ)(Φ(i_{v}^{G})) ; Φ est donc bien H_{M}-équivariante.

2.3 Transitivité des fonctions Φ

Pour définir et étudier Φ, on a utilisé les propriétés de décomposition d’Iwahori des paires couvrantes. Il y a dans [BK1] une notion de transitivité des paires couvrantes qui invite à étudier une propriété équivalente pour les morphismes Φ : soit L un sous-groupe de Levi de M. Supposons que (J, τ) est une paire couvrant (J_{L}, τ_{L}) ; alors, par [BK1, 8.5], elle couvre aussi (J_{M}, τ_{M}) et celle-ci couvre (J_{L}, τ_{L}).

Comme dans [BK1], soit P un sous-groupe parabolique de G de sous-groupe de Levi L et de radical unipotent N ; on pose P′ = P ∩ M ; c’est un sous-groupe parabolique de M de sous-groupe de Levi L et de radical N′. Puis on pose Q = MP ; c’est un sous-groupe parabolique de G de sous-groupe de Levi M et de radical U (On mettra toujours des �barres� pour tout ce qui est �opposé�). Sur le modèle de Φ, on peut constuire Φ_{L,P}^{G}, Φ_{L,P′}^{M} et Φ_{M,Q}^{G}. On a alors le diagramme suivant :

[figure: ind_{J}^{G}(τ); Φ_{L,P}^{G}; Φ_{M,Q}^{G}; i_{M,Q}^{G}(ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M})); i_{M,Q}^{G} (Φ_{L,P′}^{M}); i_{L,P}^{G} (ind_{J_{L}}^{L} (τ_{L})); i_{M,Q}^{G}(i_{L,P′}^{M} (ind_{J_{L}}^{L} (τ_{L})))]

Proposition 2.3.1. – Ce diagramme est commutatif. En d’autres termes,

Φ_{L,P}^{G} = i_{M,Q}^{G}(Φ_{L,P′}^{M}) ∘ Φ_{M,Q}^{G}

Démonstration. – On oublie ici volontairement le module pour alléger les notations : cela est sans conséquence sur la démonstration. On ne spécifiera pas non plus le parabolique : Φ_{M}^{G} = Φ_{M,Q}^{G}, etc. Rappelons que les notations i_{v}^{G}, i_{v}^{M} et i_{v}^{L} ont été définies au sous-paragraphe 2.1 et que :

Φ_{M}^{G}(i_{v}^{G}) : G → ind_{J_{M}}^{M} (V) de support U.M.(J ∩ \overline{U}) u.m.j\overline{U} ↦ m.i_{v}^{M} .

Utilisant l’égalité

i_{L,P}^{G} (ind_{J_{L}}^{L} (τ_{L})) = i_{M,Q}^{G}(i_{L,P′}^{M} (ind_{J_{L}}^{L} (τ_{L}))),  (6)

on obtient donc l’expression suivante de (i_{M,Q}^{G}(Φ_{L}^{M}) ∘ Φ_{M}^{G})(i_{v}^{G}) dans le langage du deuxième membre de (6) :

(i_{M,Q}^{G}(Φ_{L}^{M}) ∘ Φ_{M}^{G})(i_{v}^{G}) : G → i_{L,P′}^{M} (ind_{J_{L}}^{L} (τ_{L})) de support U.M.(J ∩ \overline{U})
u.m.j\overline{U} ↦ m.Φ_{L}^{M}(i_{v}^{M}).

Rappelons maintenant la correspondance explicite entre i_{M,Q}^{G} (i_{L,P′}^{M} (Z)) et i_{L,P}^{G} (Z) pour Z un L-module quelconque : à toute fonction f : G ⟶ i_{L,P′}^{M} (Z) on associe la fonction

\begin{matrix}f′ : G & → & Z \\ g & ↦ & f(g)[1]. \end{matrix}

On en déduit l ’expression de (i_{M,Q}^{G}(Φ_{L}^{M}) ∘ Φ_{M}^{G})(i_{v}^{G}) dans le langage du premier membre de (6) :

G → ind_{J_{L}}^{L} (τ_{L}) de support dans U.M.(J ∩ \overline{U})
u.m.j\overline{U} ↦ Φ_{L}^{M}(i_{v}^{M})[m].

Or, Φ_{L}^{M}(i_{v}^{M}) a par définition son support inclus dans N′L(J_{M} ∩ \overline{N′}) et envoie un élément n′lj\overline{N′} sur l.i_{v}^{L} (comme au-dessus). On peut donc transformer cette expression en

G → ind_{J_{L}}^{L} (τ_{L}) de support U.(N′L(J_{M} ∩ \overline{N′})).(J ∩ \overline{U})
u.n′lj\overline{N′}.j\overline{U} ↦ Φ_{L}^{M}(i_{v}^{M})[n′lj\overline{N′}] = l.i_{v}^{L},

et on conclut, grâce aux décompositions de [BK1, 8.5], que

U.N′ = N et (J ∩ \overline{U}).(J_{M} ∩ \overline{N′}) = (J ∩ \overline{N}).

2.4 Hypothèse (P P)

Nous appellerons (P P) l’hypothèse suivante pour une paire (J, τ) : �L’induite à supports compacts d’une enveloppe RJ-projective de τ est une enveloppe RG-projective de ind_{J}^{G}(τ) rendant celle-ci presque-projective de type fini.� On peut trouver une définition de la presque-projectivité dans le cadre très général des catégories abéliennes dans l’appendice de [Vig2], mais nous la rappelons dans la démonstration du lemme 2.6.1 dans le cas qui nous préoccupe ; la conséquence intéressante de cette hypothèse est la suivante :

Il existe une bijection canonique entre les G-modules simples contenant τ et les ℋ (G, τ)-modules simples.

Cette correspondance dans un sens est simplement le foncteur 𝔐_{τ} (voir 1.2) et dans l’autre

\begin{matrix}Irr(H_{G}) & → & Irr_{R}(G) \\ X & ↦ & ρ_{X} \end{matrix}

où ρ_{X} est l’unique quotient irréductible de ind_{J}^{G}(τ) ⊗_{H_{G}} X. (Voir [Vig2] I et Appendice).

Si l’hypothèse (P P) est vérifiée pour (J_{M}, τ_{M}), nous appellerons Φ_{X} le morphisme naturel du diagramme suivant :

[figure: ind_{J}^{G}(τ) ⊗_{H_{M} ,t\overline{P}} X; Φ_{X}; Φ⊗Id_{X}; i_{M,P}^{G} (ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M})) ⊗_{H_{M}} X; i_{M,P}^{G} (ρ_{X})]

Remarque. – Puisque ind_{J}^{G} (τ) est de type fini, et que ρ_{X} est l’unique quotient de ind_{J}^{G}(τ)⊗_{H_{G}}X, la projection correspondante est un morphisme essentiel, i.e. sa restriction à tout sous-module strict est nulle.

2.5 Stratégie

Le but est de démontrer (moyennant éventuellement quelques hypothèses supplémentaires) que Φ est un isomorphisme de G-modules. Pour cela, on démontre d’abord le lemme suivant :

Lemme 2.5.1. – Supposons que R = \overline{𝔽}_{l} et que (J, τ) et (J_{M}, τ_{M}) vérifient tous deux l’hypothèse (P P). Alors

• Φ est injectif si Φ_{τ} est injectif, et Φ_{τ} : ℋ (G, τ) ⟶ i_{M,P}^{G} (ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}))_{τ} est le morphisme induit par Φ sur les parties isotypiques : Φ_{τ} = 𝔐_{τ} (Φ).

• Supposons que ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M})^{K} est un H_{M}-module de type fini pour tout sous-groupe ouvert compact K de M, et que tous les H_{M}-modules simples sont de R-dimension finie ; dans ce cas, si pour tout X ∈ Irr(H_{M}), Φ_{X} est surjectif, alors Φ est surjectif.

2.6 Démonstration du lemme 2.5.1

L’assertion sur l’injectivité découle du lemme suivant appliqué à ker Φ.

Lemme 2.6.1. – Supposons R = \overline{𝔽_{l}} et l’hypothèse (P P) pour le type τ. Si V est un sous-G-module de ind_{J}^{G}(τ), alors V_{τ} ≠ 0.

Démonstration. – L’hypothèse (P P) de 2.4 (démontrée pour GL(N) dans [Vig2, IV.1.4]) s’énonce de la manière suivante : si P_{τ} ⟶^{ε} τ est une enveloppe \overline{𝔽_{l}}J-projective, alors l’application ind_{J}^{G} (P_{τ}) ⟶^{ind (ε)} ind_{J}^{G} (τ) est une présentation projective de ind_{J}^{G} (τ) faisant de ce dernier un \overline{𝔽_{l}}G-module presque-projectif de type fini, c’est-à-dire que tout endomorphisme de ind_{J}^{G}(P_{τ}) stabilise le noyau de ind(ε).

Soit V ⊂ ind_{J}^{G} (τ) un sous-G-module ; il existe par la réciprocité de Frobenius un J-morphisme non trivial V → τ, d’où par projectivité un J-morphisme P_{τ} → V, puis par induction un G-morphisme ind_{J}^{G}(P_{τ}) ⟶^{Ψ} V. On définit alors θ rendant le diagramme suivant commutatif, par projectivité de ind_{J}^{G}(P_{τ}) :

[figure: ind_{J}^{G}(P_{τ}); Ψ; θ; V; ind_{J}^{G}(τ); ind_{J}^{G}(P_{τ}); ind (ε)]

Or, par �presque-projectivité�, on en déduit que ker ind(ε) ⊂ ker Ψ, et donc, Ψ se factorise en ψ ∘ ind(ε) avec ψ : ind_{J}^{G}(τ) ⟶ V non nul.

Pour l’assertion sur la surjectivité, on utilisera le lemme suivant :

Lemme 2.6.2. – Soit V un quotient de i_{M,P}^{G} (ρ) où ρ ∈ Cusp_{R}(M) est admissible, alors r_{G,\overline{P}}^{M} (V) ≠ 0.

Démonstration. – Puisque ρ est admissible, on sait que i_{M,P}^{G}(ρ) et V sont admissibles. Or, sur la catégorie des représentations admissibles on sait que l’induction parabolique admet pour adjoint à droite la restriction par rapport au parabolique opposé, d’où un morphisme non trivial : ρ → r_{G,\overline{P}}^{M} (V). On en déduit le lemme.

Soit X ∈ Irr(H_{M}), tel que Φ_{X} est surjectif. Alors Φ ⊗ Id_{X} est surjectif ; en effet, les hypothèses de finitude du lemme 2.5.1 impliquent que ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}) ⊗_{H_{M}} X est admissible. Il suffit donc de voir que A = r_{G,\overline{P}}^{M}(im (Φ⊗Id_{X})) est égal à B = r_{G,\overline{P}}^{M}(i_{M,P}^{G}(ind_{J_{M}}^{M}(τ_{M})⊗_{H_{M}}

X)) et d’appliquer le lemme 2.6.2. Or puisque le morphisme ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}) ⊗_{H_{M}} X ⟶ ρ_{X} est essentiel (remarque 2.4), la filtration du foncteur rG ; \overline{P} ∘ i_{P}^{G} (voir [Cas]) montre que le morphisme associé B → rG ; \overline{P}(i_{P}^{G}(ρ_{X})) est aussi essentiel (puisqu’il respecte la filtration et induit des morphismes essentiels sur les facteurs de composition), donc que A = B.

On en déduit que, sous les hypothèses du lemme 2.5.1, on a :

∀X ∈ Irr(H_{M}), (coker Φ) ⊗_{H_{M}} X = 0.

Supposons maintenant que coker Φ ≠ 0. Soit K un sous-groupe ouvert compact de proordre inversible dans R tel que (coker Φ)^{K} ≠ 0 ; c’est un quotient de

i_{M,P}^{G} (ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}))^{K} ≃ ⨁_{P gK} ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M})^{M∩g(K)}

(voir [Vig1, I.5.6]). Il est donc de type fini sur H_{M} (G/P est compact). Ainsi il admet un quotient irréductible X ; en particulier, pour ce X là

(coker Φ)^{K} ⊗_{H_{M}} X = (coker Φ ⊗_{H_{M}} X)^{K} ≠ 0.

C’est une contradiction et le lemme 2.5.1 est démontré.

2.7 Cas particulier

Plaçons-nous dans le contexte de 1.8 ; rappelons que ℋ (M, τ_{M}) ≃ R[J̃_{M}/J_{M}], que

ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}) ≃ indM ; _{J_{M}} (τ̃_{M} ⊗_{R} H_{M}),

et que l’action de H_{M} sur i_{M,P}^{G} (ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M})) est la multiplication sur le terme de droite du produit tensoriel.

Notons A = H_{M} et précisons ce que devient Φ par l’isomorphisme

i_{M,P}^{G} (ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M})) ≃ i_{M,P}^{G} (indM ; _{J_{M}} (τ̃_{M} ⊗_{R} A)) ≃ ind_{N._{J_{M}}}^{G} (δ_{P} ^{\frac{1}{2}} τ̃_{M} ⊗_{R} A).

Notons χ_{un} le caractère �universel� J̃_{M} → A ≃ R[J̃_{M}/J_{M}] ; alors Φ s’écrit dans le nouveau langage :

Φ : τ → Ind_{N._{J_{M}}}^{G} (τ̃_{M} ⊗ A)
v ↦ \{ \begin{matrix}Φ(v) : G & → & V de support NJ̃_{M}(J ∩ \overline{N}) \\ n.j̃_{M}j\overline{N} & ↦ & (δ_{P} ^{\frac{1}{2}} .τ̃_{M}(j̃_{M}) ⊗ χ_{un}(j̃_{M}))(v ⊗ 1_{A}). \end{matrix}

Comme R est algébriquement clos, tout module simple de A est de la forme R_{χ} (donc en particulier de dimension finie égale à 1), avec A agissant sur R par un caractère χ. Le M-module simple associé à χ (voir 2.4) est tout simplement ρ_{χ} = ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}) ⊗_{A} R_{χ} (voir 1.6) et on a :

i_{M,P}^{G} (ρ_{χ}) ≃ i_{M,P}^{G} (ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M})) ⊗_{A,χ} R.

Il est facile de voir dans ce cas là que pour tout sous-groupe ouvert compact de G, ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M})^{K} est de type fini sur A :

indM ; _{J_{M}} (τ̃_{M} ⊗ A)^{K} ≃ ⨁_{_{J_{M}} gK}(τ̃_{M} ⊗ A)^{_{J_{M}} ∩g(K)}

≃ ⨁_{_{J_{M}} gK} τ_{M}^{_{J_{M}} ∩g(K)} ⊗ A ≃ indM ; _{J_{M}} (τ̃_{M})^{K} ⊗ A.

Les hypothèses de l’assertion sur la surjectivité du lemme 2.5.1 sont donc vérifiées et on pourra se servir de ce lemme comme critère de surjectivité.

2.8 Corollaire du lemme 2.6.1

Proposition 2.8.1. – Si le radical de Jacobson de ℋ (G, τ) est nul, alors le RGmodule ind_{J}^{G}(τ) a un radical trivial.

Démonstration. – Supposons Rad(ind_{J}^{G}(τ)) ≠ 0 et notons-le V pour la démonstration. Soit ϕ ∈ ℋ (G, τ) d’image contenue dans V (lemme 2.6.1). Alors par hypothèse, il existe un ℋ (G, τ)-module simple X_{ϕ} tel que ϕ n’annulle pas X_{ϕ}. D’après [Vig2, I.4], il existe un RG-module V_{ϕ} tel que Hom_{G} (ind_{J}^{G} (τ), V_{ϕ}) soit ℋ (G, τ)-isomorphe à X_{ϕ}. Il existe donc θ : ind_{J}^{G}(τ) → V_{ϕ} tel que θ ∘ ϕ ≠ 0. Ainsi on arrive à la contradiction θ_{|V} ≠ 0.

3 Injectivité de Φ_{τ}

On suppose dans cette section que (J, τ) est une paire couvrant (J_{M}, τ_{M}) vérifiant l’hypothèse (P P) de 2.4. Le type (J_{M}, τ_{M}) n’est supposé cuspidal que de 3.3 à 3.5.

3.1 Préliminaire

Dans le cas modulaire, le deuxième diagramme de 1.3 n’est plus valable a priori, mais il subsiste tout de même un morphisme

i_{M,P}^{G} (ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}))_{τ} \underrightarrow{𝔪} Hom_{H_{M} ,t_{P}} (H_{G}, H_{M})

que l’on peut expliciter grâce au diagramme suivant (H_{M}, t_{P} signifie qu’on munit H_{G} de la structure de H_{M}-module fournie par le morphisme t_{P}) :

[figure: i_{M,P}^{G} (ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}))_{τ}; ∼; 𝔪; Hom_{M} (r_{G,P}^{M} (ind_{J}^{G}(τ)), ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M})); _{𝔐_{τ_{M}}}; Hom_{H_{M} ,t_{P}} (H_{G}, H_{M}); Hom_{H_{M}} (r_{G,P}^{M} (ind_{J}^{G}(τ))_{τ_{M}} , H_{M}); ∼]

L’isomorphisme du haut est celui de la réciprocité de Frobenius et celui du bas vient du diagramme de 1.4. Le morphisme 𝔐_{τ_{M}} est celui que fournit le foncteur du même nom ; il n’est pas nécessairement bijectif dans le cas modulaire.

Soit ψ ∈ i_{M,P}^{G}(ind_{J_{M}}^{M}(τ_{M}))_{τ} ; en déroulant les identifications du diagramme précédent, (rappelons que le morphisme naturel i_{M,P}^{G} (ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M})) → ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}) est l’évaluation en 1_{G}), on s’aperçoit que l’image de Ψ par 𝔪 est :

\begin{matrix}𝔪(Ψ) : H_{G} & → & H_{M} \\ ψ & ↦ & \{ \begin{matrix}(ψ.Ψ)_{|M} : τ_{M} & → & ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}) \\ v & ↦ & Ψ(i_{v}^{G} ∗ ψ)(1_{G}) \end{matrix} \end{matrix}  (1)

Remarque. – On a noté ψ.Ψ pour l’action naturelle d’un élément ψ de H_{G} sur un élément Ψ de i_{M,P}^{G} (ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}))_{τ}. La notation (ψ.Ψ)_{|M} se justifie lorsqu’on regarde dans le modèle de la remarque du 2.1 ; le morphisme naturel ind_{N.J_{M}}^{G} (δ_{P} ^{\frac{1}{2}} τ_{M}) ⟶ ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}) est simplement la restriction des fonctions de G à M.

3.2 Stratégie

Le but est de déduire l’injectivité de Φ_{τ} de celle de la composée α = 𝔪 ∘ Φ_{τ}. Pour expliciter celle-ci, rappelons que

∀ϕ ∈ H_{G}, Φ_{τ} (ϕ) = ϕ.Φ,

ce qui avec l’expression (1) ci-dessus et les notations correspondantes donne

\begin{matrix}α = 𝔪 ∘ Φ_{τ} : H_{G} & → & Hom_{H_{M} ,t_{P}} (H_{G}, H_{M}) \\ ϕ & ↦ & \{ \begin{matrix}H_{G} & → & H_{M} \\ ψ & ↦ & ((ψ ∗ ϕ)Φ)_{|M} \end{matrix} , \end{matrix}

dont on veut montrer que c’est un isomorphisme, à condition d’avoir certaines informations sur les algèbres H_{G} et H_{M}.

Lemme 3.2.1. – Soient ψ, ϕ ∈ H_{G} et θ, η ∈ H_{M} alors on a

((t_{P} (θ) ∗ ψ ∗ ϕ ∗ t\overline{P} (η)) .Φ)_{|M} = θ ∗ . ((ψ ∗ ϕ)Φ)_{|M} ∗ η

Démonstration. – Pour la multiplication à gauche par t_{P} (θ), c’est l’équivariance classique donnée par 1.4. Pour la multiplication à droite par t\overline{P} (η), cela vient du calcul de 2.2. (Rappelons que suivant les conventions adoptées pour les algèbres d’entrelacement, δ ∗ γ correspond à γ ∘ δ selon qu’on regarde dans le modèle de convolution des fonctions ou celui de composition des opérateurs).

3.3 Hypothèses supplémentaires

On suppose à partir d’ici que le type (J_{M}, τ_{M}) est cuspidal. Voici une liste d’hypothèses concernant la structure de H_{G} en tant qu’extension de H_{M} dont nous avons besoin pour les démonstrations ; la plupart sont des propriétés connues des types déja existants, mais ne sont pas inclues dans le contexte �abstrait� de base de [BK1, 5.5] (i.e. de 1.8).

• (H_{1}) : Il existe un sous-groupe ouvert compact K de G contenant J et un sousgroupe parabolique P de sous-groupe de Levi M tel qu’en notant H_{K} l’image du plongement naturel ℋ (K, τ) ⟶ ℋ (G, τ), les applications

\begin{matrix}H_{M} ⊗ H_{K} & → & H_{G} \\ ϕ ⊗ f & ↦ & t_{P} (ϕ) ∗ f \end{matrix} et  \begin{matrix}H_{K} ⊗ H_{M} & → & H_{G} \\ f ⊗ ϕ & ↦ & f ∗ t\overline{P} (ϕ) \end{matrix}

soient des isomorphisme de R-espaces vectoriels et même de H_{M}-modules (pour la multiplication à gauche par t_{P} (H_{M}) ou la multiplication à droite par t\overline{P} (H_{M}) selon le cas).

• (H_{2}) : Il existe un sous-groupe parabolique P comme dans (H_{1}) tel que

∀w ∈ Supp (H_{K}) , N.JwJ ∩ M ≠ 0 ⇒ w ∈ J

• (H_{3}) : H_{K} est une algèbre symétrique grâce à la forme linéaire nulle sur les éléments de support inclus dans K − J et valant 1 sur l’unité.

Il est probable qu’on puisse obtenir la validité de ces hypothèses dans les situations où l’on connait des types respectant le modèle de 1.6 et 1.8. Notamment ceux de la série principale d’un groupe déployé de [Ro] ou certains types de niveau zéro. Néanmoins rien n’a été fait dans ce sens et nous le démontrerons seulement pour GL(N) dans la partie 5.

Remarques. –

(1) L’hypothèse (H_{1}) montre la différence de démarche entre le cas modulaire et le cas complexe : dans le cas complexe, elle peut être démontrée dans un contexte �abstrait� plus général et apparemment moins contraignant (voir [BK1, 11.2]), mais la démonstration utilise vraiment les propriétés �catégoriques� des types complexes et en particulier ce qu’on essaye de montrer ici… La démarche est ici inverse ; à partir d’informations sur la structure de l’extension H_{M} ⟶ H_{G} que l’on peut considérer comme une propriété �géométrique� des types, puisqu’elle est communément observée sur ceux que l’on connaît, on démontre un résultat concernant des représentations de G.

(2)L’hypothèse (H_{2}) peut paraitre surprenante car elle rompt la symétrie sur le groupe parabolique P (on ne peut espérer l’avoir pour n’importe quel parabolique de levi M) alors que le résultat dans le cas complexe est invariant par changement de parabolique. Par exemple, dans le cas de la représentation triviale d’un sous-groupe d’Iwahori, (H_{2}) n’est vérifiée que pour le sous-groupe de Borel �canoniquement associé� (voir 1.10).

Quand on supposera (H_{2}) vérifiée, on appellera toujours P le sous-groupe parabolique qu’elle mentionne.

3.4 Réduction

Rappelons que l’hypothèse (H_{1}) de 3.3 contient la décomposition

\begin{matrix}H_{K} ⊗_{R} H_{M} & → & H_{G} \\ f ⊗ ϕ & ↦ & f ∗ t\overline{P} (ϕ). \end{matrix}

Faisant de H_{G} un H_{M}-module à droite par cette décomposition, et munissant ensuite Hom_{H_{M}}(H_{G}, H_{M}) de l’action régulière à droite de H_{M} sur le deuxième terme, on peut reformuler le lemme 3.2.1 en disant que α est aussi un morphisme de H_{M}-modules pour ces structures-là. (Remarquons que dans le contexte où l’on s’est placé, H_{M} est commutative donc les actions �à droite� sont aussi �à gauche�).

Utilisant alors l’isomorphisme

Hom_{H_{M} ,t_{P}} (H_{M} ⊗ H_{K}, H_{M}) ≃ Hom_{R}(H_{K}, H_{M}) ≃ H_{K}^{∗} ⊗ H_{M}

qui est H_{M}-équivariant pour les actions naturelles, on obtient le diagramme H_{M}-équiva-riant suivant :

[figure: H_{G}; α; Hom_{H_{M} ,t_{P}} (H_{G}, H_{M}); H_{K} ⊗ H_{M}; ≃; β; H_{K}^{∗} ⊗ H_{M}; ≃]  (2)

où H_{M} agit sur H_{G} par convolution à droite via t\overline{P}.

Lemme 3.4.1. – Sous l’hypothèse (H_{2}) de 3.3, on a : β(H_{K} ⊗ 1_{H_{M}}) ⊂ H_{K}^{∗} ⊗ 1_{H_{M}} de sorte que β induit un morphisme de R-espaces vectoriels H_{K} ⟶^{β_{K}} H_{K}^{∗} tel que

β = β_{K} ⊗ Id_{H_{M}} .  (3)

De plus, β_{K} est H_{K}-équivariant pour l’action naturelle de H_{K} sur son dual.

Démonstration. – Il suffit de voir que si ϕ et ψ ont un support dans K, alors ((ϕ ∗ ψ)Φ)_{|M} a son support dans J_{M}. Plus généralement, pour ζ ∈ H_{G} quelconque, on voit d’après la formule (1) de 3.1 et la formule (1) de 2.2 que

Supp (ζ.Φ)_{|M} ⊂ (N. Supp ζ) ∩ M.  (4)

On en déduit que Supp ((ϕ∗ψ)Φ)_{|M} ⊂ N Supp (H_{K})∩M = J_{M} d’après l’hypothèse (H_{2}) de 3.3.

On peut donc définir β_{K} par β_{K}(ψ_{K})[ϕ_{K}] = ((ϕ_{K} ∗ ψ_{K})Φ)_{|M} (1_{M}) et il apparaît alors que c’est un morphisme de H_{K}-module pour l’action usuelle de H_{K} sur son dual.

3.5 Étude de β_{K}

Notons H_{K}^{−J} l’ensemble des éléments de H_{K} de support inclus dans K − J.

Lemme 3.5.1. – Sous l’hypothèse (H_{2}), on a β_{K}(1_{J})[ϕ] = 0 pour tout ϕ ∈ H_{K}^{−J}.

Démonstration. – Cela vient directement de la formule donnant le support (4) et de l’hypothèse (H_{2}) de 3.3.

On s’aperçoit donc que β_{K} est un isomorphisme si et seulement si la forme linéaire qui s’annulle sur les éléments de support disjoint de J fait de H_{K} une algèbre symétrique. C’est exactement l’hypothèse (H_{3}) de 3.3. On en déduit donc que dans ce cas (et nous nous y placerons dorénavant), α est bien un isomorphisme. Plus précisément :

Proposition 3.5.1. – Sous les hypothèses (H_{1}), (H_{2}) et (H_{3}) de 3.3, α induit une équivalence entre les foncteurs H_{M} − Mod ⟶ H_{G} − Mod :

A ↦ H_{G} ⊗_{H_{M} ,t\overline{P}} A et A ↦ Hom_{H_{M} ,t_{P}} (H_{G}, A)

Démonstration. – D’après ce qui précède, β_{K} est un isomorphisme, et donc β également par (3), car l’extension R ⟶ H_{M} est plate (R est un corps) ; donc, par (2), α est un isomorphisme H_{M}-équivariant pour la multiplication à droite via t\overline{P} sur H_{G} et la multiplication naturelle sur les fonctions à valeurs dans H_{M}. Ceci, avec l’isomorphisme

Hom_{H_{M} ,t_{P}} (H_{G}, A) ≃ Hom_{H_{M} ,t_{P}} (H_{G}, H_{M}) ⊗_{H_{M}} A,

donne le résultat.

Corollaire 3.5.1. – Sous les hypothèses (P P) de 2.4, (H_{1}), (H_{2}) et (H_{3}) de 3.3, Φ_{M,P}^{G} est injective.

Remarque (importante). – N’oublions pas que (H_{2}) fixe le sous-groupe parabolique P par rapport auquel on induit. Cependant, soit w ∈ N_{G}(M), alors en conjuguant par w, on obtient que la composée

ind_{J}^{G}(τ) \underrightarrow{∼} w(ind_{J}^{G}(τ)) ⟶^{Φ} i_{M,w(P)}^{G}(ind_{J_{M}^{w}}^{M} (τ_{M}^{w}))

est injective : en fait, on retrouve le morphisme Φ^{w} qu’on aurait pu construire avec le type (J^{w}, τ^{w}) (on précisera ceci dans la démonstration de 4.3). Supposons maintenant que w normalise τ_{M} (voir 1.9) ; on obtient donc un morphisme injectif :

ind_{J}^{G}(τ) ↪ i_{M,w(P)}^{G}(ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}))

Ceci n’étend pas complètement le corollaire à ces nouveaux sous-groupes paraboliques car il n’y a pas de raison que ce morphisme soit Φ_{M,w(P)}^{G}.

3.6 Cas particulier

On ne suppose plus ici que (J_{M}, τ_{M}) est un type cuspidal. On s’intéresse au cas où Supp H_{G} = JMJ. Alors tous les t_{P} sont des isomorphismes d’algèbres (ils sont égaux à torsion par un caractère non ramifié près) et α devient :

\begin{matrix}α : H_{M} & → & Hom_{H_{M}} (H_{M}, H_{M}) \\ ϕ & ↦ & \{ \begin{matrix}H_{M} & → & H_{M} \\ ψ & ↦ & ψ ∗ ϕ \end{matrix} \end{matrix}

qui est évidemment un isomorphisme : dans ce cas Φ_{M,P}^{G} est donc injective quel que soit le sous-groupe parabolique P par rapport auquel on induit.

4 Surjectivité de Φ et conséquences

4.1 Encore une hypothèse

L’hypothèse suivante est, elle aussi, souvent observée pour les types déja connus :

(H_{4}) : dim(H_{K}) = |N_{G}(τ_{M})/M|

(voir 1.9 pour la définition de N_{G}(τ_{M})). En fait, ce qui est observé en général est plus précis : on peut trouver une base de H_{K} d’éléments inversibles ϕ_{w} à support dans JwJ, où w décrit un ensemble de représentants de N_{G}(τ_{M})/M.

Dans ce cas, on peut �démystifier� l’hypothèse (H_{2}) de 3.3 : si J est adapté à M et si P et K sont respectivement le sous-groupe parabolique et le sous-groupe compact maximal de la construction du 1.10, alors si P vérifie (H_{1}), il vérifie (H_{2}).

4.2 Diagramme commutatif affaibli

On a vu au 1.3 que les équivalences de catégories dans le cas complexe permettaient de trouver �abstraitement� un diagramme commutatif avec l’induction. Voici un énoncé affaibli dans le cas modulaire :

Proposition 4.2.1. – Dans le contexte de 1.8 et sous les hypothèses (P P) de 2.4, (H_{1}), (H_{2}), (H_{3}) de 3.3 et (H_{4}) de 4.1, on a pour tout χ ∈ X^{∗}(H_{M}) :

i_{M,P}^{G} (ρ_{χ})_{τ} ≃ Hom_{H_{M} ,t_{P}} (H_{G}, R_{χ}),

où R_{χ} = ρ_{χ}_{τ_{M}} est le H_{M}-module simple associé à ρ_{χ}.

Démonstration. – (Voir 2.7 pour les notations). Soit χ un caractère de H_{M}. Alors le diagramme commutatif suivant

[figure: ind_{J}^{G}(τ); Φ; i_{M,P}^{G} (ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M})); ind_{J}^{G}(τ) ⊗_{H_{M} ,t\overline{P}} R_{χ}; Φ_{χ}; i_{M,P}^{G} (ρ_{χ})]

donne, en prenant les parties τ-isotypiques et en composant comme dans 3.1,

[figure: H_{G}; Φ_{τ}; (i_{M,P}^{G} (ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M})))_{τ}; 𝔪; Hom_{H_{M} ,t_{P}} (H_{G}, H_{M}); H_{G} ⊗_{H_{M} ,t\overline{P}} R_{χ}; Φ_{τ}^{χ}; (i_{M,P}^{G} (ρ_{χ}))_{τ}; _{𝔪_{χ}}; Hom_{H_{M} ,t_{P}} (H_{G}, R_{χ})]

On sait d’après 3.5 que 𝔪∘Φ_{τ} : H_{G} ⟶ Hom_{H_{M}}(H_{G}, H_{M}) est un isomorphisme ; 𝔪_{χ} est donc surjectif. Or (toujours 3.5), Hom_{H_{M}} (H_{G}, R_{χ}) est isomorphe à H_{G} ⊗_{H_{M} ,t\overline{P}} R_{χ} et a donc même dimension sur R que H_{K} d’après la structure donnée par (H_{1}). D’autre part, on sait que (i_{M,P}^{G} (ρ_{χ}))_{τ} = (r_{G,Q}^{M} (i_{M,P}^{G} (ρ_{χ})))_{τ_{M}} (au moins en tant que R-espace vectoriel) pour tout sous-groupe parabolique Q de sous-groupe de Levi M. Or, on sait que r_{M,Q}^{G} (i_{M,P}^{G} (ρ_{χ})) est filtré par les w(ρ_{χ}), w décrivant N_{G}(M)/M. Donc d’après la discussion de 1.9, on voit que la R-dimension (r_{M,Q}^{M} (i_{M,P}^{G} (ρ_{χ})))_{τ_{M}} est au plus égale à |N_{G}(τ_{M})/M|. On déduit alors de l’hypothèse (H_{4}) qu’elle lui est en fait égale et que 𝔪_{χ} est un isomorphisme. Un argument de dimension semblable à celui ci-dessus montre que Φ_{τ}^{χ} est aussi un isomorphisme.

Remarque. – Par un raisonnement analogue à 2.6 et 2.7, et après avoir remarqué que i_{M,P}^{G} (ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}))_{τ} est de type fini sur H_{M}, on peut montrer que 𝔪 est un isomorphisme

i_{M,P}^{G} (ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}))_{τ} ≃ Hom_{H_{M} ,t_{P}} (H_{G}, H_{M})

puisque ses reductions modulo χ le sont pour tout χ.

4.3 Premier théorème

Théorème 4.3.1. – Dans le contexte 1.8 et sous les hypothèses (P P) de 2.4, (H_{1}), (H_{2}), (H_{3}) de 3.3 et (H_{4}) de 4.1, Φ_{M,P}^{G} est un isomorphisme.

Démonstration. – Avec les notations de la section précédente, le but est de montrer que Φ_{χ} est surjective pour tout χ et d’appliquer la discussion de 2.7 et le lemme 2.5.1 pour en déduire la surjectivité de Φ. Soit donc χ fixé ; pour montrer que Φ_{χ} est surjective, il suffit d’après le lemme 2.6.2 de montrer que r_{G,\overline{P}}^{M} (Φ_{χ}) l’est.

La démonstration précédente montre que pour tout sous-groupe parabolique Q de sous-groupe de Levi M, im (r_{M,Q}^{G}(Φ_{χ}))_{τ_{M}} est de longueur |N_{G}(τ_{M})|.

Si w ∈ N_{G}(M), alors (J^{w}, τ^{w}) est encore un type vérifiant le contexte 1.8 ; il couvre le M-type cuspidal (J_{M}^{w}, τ_{M}^{w}) qui a pour algèbre d’entrelacement H_{M}^{w}, qui est naturellement isomorphe à H_{M}. En particulier, si χ est un caractère de H_{M}, on notera bien-sûr χ^{w} le caractère de H_{M}^{w} associé à χ. De plus, on peut construire un morphisme Φ^{w} de manière analogue à celle de 2.1 pour Φ, en prenant pour parabolique w(P). Il est clair que si K et P vérifient les hypothèses (H_{i}) pour (J, τ), alors K^{w} et w(P) les vérifient aussi pour (J^{w}, τ^{w}). De plus, le diagramme suivant est commutatif (la démonstration rigoureuse en est un peu pénible mais facile) :

[figure: w(ind_{J}^{G}(τ) ⊗_{H_{M} ,t\overline{P}} R_{χ}); Φ_{χ}; ∼; w(i_{M,P}^{G} (ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}) ⊗_{H_{M}} R_{χ})); ∼; ind_{J^{w}}^{G} (τ^{w}) ⊗_{H_{M}^{w} ,t\overline{w(P)}} R_{χ^{w}}; Φ_{χ^{w}}^{w}; i_{M,w(P)}^{G}(ind_{J_{M}^{w}}^{M} (τ_{M}^{w}) ⊗_{H_{M}^{w}} R_{χ^{w}})]

On en déduit que pour tout sous-groupe parabolique Q de sous-groupe de Levi M, im (r_{M,Q}^{G} (Φ_{χ}))_{τ_{M}^{w}} = r_{M,Q}^{G} (im (Φ_{χ}))_{τ_{M}^{w}} = r_{M,Q}^{G} (im (Φ_{χ^{w}}^{w}))_{τ_{M}^{w}} est de longueur |N_{G}(τ_{M}^{w})|, par la proposition 4.2.1 appliquée au type (J^{w}, τ^{w}).

Choisissons w_{0} = 1, w_{1}, …, w_{k} des représentants de N_{G}(M)/N_{G}(τ_{M}) : les M types cuspidaux τ_{M}^{w_{0}} = τ_{M}, τ_{M}^{w_{1}}, …, τ_{M}^{w_{k}} vérifient :

• [τ_{M}^{w_{i}}] ∩ [τ_{M}^{w_{j}}] = ∅ pour i ≠ j d’après 1.9.

• im (r_{G,\overline{P}}^{M} (Φ_{χ}))_{τ_{M}^{w_{i}}} est de R-dimension |N_{G}(τ_{M}^{w_{i}})| = |N_{G}(τ_{M})| pour tout i d’après ce qui précède.

On en déduit que im (r_{G,\overline{P}}^{M} (Φ_{χ})) est de longueur au moins égale à

∑_{i} |N_{G}(τ_{M}^{w_{i}})/M| = |N_{G}(M)/M|

dans r_{G,\overline{P}}^{M} (i_{M,P}^{G} (ρ_{χ})) qui est justement de longueur |N_{G}(M)/M|. Donc Φ_{χ} est surjective.

Remarque. – Le P du théorème était implicitement fixé par l’hypothèse (H_{2}), mais comme dans la remarque du 3.5, on peut conjuguer par un élément w ∈ N_{G}(τ_{M}) pour obtenir

ind_{J}^{G}(τ) ≃ i_{M,w(P)}^{G}(ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M})).

Il n’est cependant pas évident que Φ_{M,w(P)}^{G} soit lui-même un isomorphisme.

4.4 Théorèmes principaux

On pourrait se contenter du théorème 4.3.1 dont l’utilisation peut paraitre plus souple que le résultat qui va suivre. Cependant, celui-ci présente les deux avantages d’être particulièrement bien adapté au cas de GL(N) et d’étendre la propriété d’isomorphisme de la conjecture de 1.4 sans restriction sur le parabolique par rapport auquel on induit :

Théorème 4.4.1. – Soit (J, τ) un type dans le contexte 1.8, et supposons que l’on connait un sous-groupe de Levi L contenant M tel que :

1. (J_{L}, τ_{L}) vérifie les hypothèses du théorème 4.3.1 (Avec L à la place de G et P_{L} pour le sous-groupe parabolique de L satisfaisant aux hypothèses (H_{1}) et (H_{2})).

2. N_{L}(τ_{M}) agit transitivement sur les sous-groupes paraboliques de L contenant M.

3. (J, τ) vérifie l’hypothèse (P P) de 2.4.

4. Supp H_{G} ⊂ JLJ et J est �adapté� à M (1.10) .

Alors, pour tout sous-groupe parabolique P de sous-groupe de Levi M,

ind_{J}^{G}(τ) ≃ i_{M,P}^{G} (ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M})).

De plus, si P ∩ L = P_{L}, alors Φ_{L,P}^{G} est un isomorphisme.

Remarques. –

(1) On verra dans la partie 5 que cette décomposition de l’induction intervient naturellement dans le cas GL(N) à cause de la construction des types semisimples à partir des types simples dans [BK3].

(2)Pour P tel que P ∩ L ≠ P_{L}, on verra facilement que l’isomorphisme exhibé n’est pas Φ_{M,P}^{G}. Ceci n’est pas génant pour l’application au fait que Mod_{R}(GL(N)) est nœthérienne, mais ceci l’est pour les autres applications où la propriété fondamentale dont on aura besoin sera l’équivariance de 2.2. Dans cette optique, nous donnons le résultat simple suivant dont les hypothèses, toujours plus exigeantes, sont néanmoins encore vérifiées par les types de GL(N).

Théorème 4.4.2. – Dans les conditions du théorème 4.4.1, si on suppose de plus que

∀w ∈ N_{G}(M), J_{M}^{w} ≃ J_{M} et τ_{M}^{w} ≃ τ_{M}

alors pour tout sous-groupe parabolique P, il existe une paire (J^{P} , τ^{P}) couvrant (J_{M}, τ_{M}) vérifiant aussi (P P) et tel que l’application Φ_{M,P}^{G} lui correspondant soit un isomorphisme :

ind_{J^{P}}^{G} (τ^{P}) \underrightarrow{∼} ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}).

Pour la démonstration de ces résultats, il sera pratique d’utiliser la notion suivante :

4.5 Application à la G-équivalence

On peut généraliser la proposition 1.7 de la manière suivante :

Proposition 4.5.1. – Soient (J, τ) et (J′, τ′) deux types de G vérifiant l’hypothèse (P P) de 2.4 et qui sont des paires couvrantes de types cuspidaux satisfaisant la conjecture 1.4. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :

• [τ] ∩ [τ′] ≠ ∅

• (J, τ) et (J′, τ′) sont G-équivalents (voir 1.7).

Démonstration. – �ii) implique i)� est évident. Montrons que i) implique ii). On note (J_{M}, τ_{M}) et (J′_{M′}, τ′_{M′}) les types cuspidaux correspondants ; si π ∈ [τ′] ∩ [τ], alors par unicité du support cuspidal, on sait que M est conjugué à M′ par x ∈ G et que le type (J_{M}^{′x}, τ_{M}^{′x}) est M-équivalent à (J_{M}, τ_{M}) (voir la proposition 1.7). Le résultat découle donc de l’hypothèse d’isomorphisme et du fait que ind_{J′}^{G} (τ′) ≃ ind_{J^{′x}}^{G} (τ^{′x}) .

4.6 Démonstration du théorème 4.4.1

Nous commençons par démontrer le résultat pour P tel que P ∩ L = P_{L}. On sait que Φ_{M,P_{L}}^{L} est un isomorphisme ; donc d’après 2.3, il suffit de montrer que Φ_{L,P}^{G} est un isomorphisme. Or, on sait déja d’après 3.6 que celui-ci est injectif. Pour la surjectivité, on va appliquer le critère fourni par le lemme 2.5.1.

Commençons par vérifier les hypothèses : soit H un sous-groupe ouvert compact de L; on a alors

ind_{J_{L}}^{L} (τ_{L})^{H} ≃ i_{M,P}^{L} (ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}))^{H} ≃ ⨁_{P_{L}gH} ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M})^{M∩g(H)}

est de type fini sur H_{M} d’après 2.7, et donc en particulier sur H_{L}. De plus la forme H_{L} ≃ H_{K_{L}} ⊗H_{M} pour un certain K_{L} compact de L montre que les modules irréductibles sur H_{L} sont de dimension finie. On peut donc appliquer le lemme 2.5.1.

Soit X un H_{L}-module simple et (ρ_{X}, V_{X}) comme dans 2.4. On veut démontrer que Φ_{X} = (Φ_{L,P}^{G})_{X} est surjective. D’après le lemme 2.6.2, il suffit de démontrer que r_{G,\overline{P}}^{M}(Φ_{X}) est surjective, ou, ce qui revient au même, que la longueur de U = im (r_{G,\overline{P}}^{M} (Φ_{X})) est égale à n_{L}^{G} = |N_{G}(L)/L|. En fait, on va exhiber n_{L}^{G} facteurs de composition de U : en effet, on remarque comme dans la démonstration de 4.3.1 que pour tout w ∈ N_{G}(L), U_{τ_{L}^{w}} = im (r_{G,\overline{P}}^{M} (Φ_{X}))_{τ_{L}^{w}} ≠ 0. Choisissons donc pour chaque classe wL ∈ N_{G}(L)/L un quotient irréductible U_{w} de la partie τ_{L}^{w}-isotypique de U ; si on montre qu’elles sont deux à deux non isomorphes, ce seront des facteurs de composition distincts de U.

Pour cela, on va montrer que les hypothèses Supp H_{G} ⊂ JLJ et J adapté à M (donc à L) impliquent que

∀w, w′ ∈ N_{G}(L), [τ_{L}^{w}] ∩ [τ_{L}^{w′}] ≠ ∅ ⇒ wL = w′L.

En effet, si [τ_{L}^{w}] ∩ [τ_{L}^{w′}] ≠ ∅, alors d’après 4.5, l’hypothèse sur N_{L}(τ_{M}) et la remarque de 4.3, les types (J_{L}^{w}, τ_{L}^{w}) et (J_{L}^{w′}, τ_{L}^{w′}) sont L-équivalents et par le même argument que celui de 1.9, ceci implique qu’il existe l ∈ L tel que w′w^{−1}l ∈ Supp H_{G} = JLJ. Le corollaire 1.10.1 et la remarque qui le suit entrainent donc que w′L = wL.

Soit maintenant P quelconque ; d’après l’hypothèse ii), il existe w ∈ N_{L}(τ_{M}) tel que P ∩ L = w(P_{L}). Donc

ind_{J}^{G}(τ) ≃ i_{M,w^{−1}(P)}^{G}(ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M})) ≃ i_{M,P}^{G} (ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M})^{w}) ≃ i_{M,P}^{G} (ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}))

La dernière égalité venant du fait que w normalise τ_{M} (1.9).

4.7 Démonstration du théorème 4.4.2

Les notations sont les mêmes que pour la démonstration précédente. Soient P un sousgroupe parabolique contenant M et w ∈ N_{L}(M) tel que P ∩L = w(P_{L}) ; alors (J^{w}, τ^{w}) est bien sûr une paire couvrant (J_{M}, τ_{M}^{w}). Fixons un R-automorphisme \overline{w} de V (l’espace de la représentation τ_{M}) tel que τ_{M}^{w} = \overline{w}∘τ_{M}∘\overline{w}^{−1}. On pose alors J_{P} = J^{w} et τ^{P} = \overline{w}^{−1}∘τ^{w}∘\overline{w}; c’est une paire couvrant (J_{M}, τ_{M}) qui vérifie toutes les hypothèses du théorème 4.4.1 avec w(P_{L}) au lieu de P_{L} dans l’hypothèse i). Le théorème 4.4.2 en découle.

4.8 Application à l’adjonction à gauche de la restriction

On a vu que dans le cas complexe, l’induction par rapport au parabolique opposé etait adjointe à gauche de la restriction parabolique. Dans le cas modulaire, c’est encore vrai si on se restreint aux catégories des représentations admissibles [Vig1, II.3]. Une conséquence de tout ce qui précède est qu’on peut étendre ce resultat de la manière suivante :

Proposition 4.8.1. – Supposons que Φ_{M,P}^{G} soit un isomorphisme et soit χ un caractère de H_{M} et V ∈ Mod_{R}(G) (quelconque). Alors

Hom_{G}(i_{P}^{G}(ρ_{χ}), V) ≃ Hom_{M} (ρ_{χ}, rM ; \overline{P} (V))

(On est toujours sous les hypothèses (H_{i}) de 3.3 et 4.1 : en particulier, on s’est donné un M-type cuspidal pour ρ dont l’algèbre de Hecke H_{M} est commutative).

Démonstration. –

Hom_{G}(i_{P}^{G}(ρ_{χ}), V) ≃ Hom_{G}(ind_{J}^{G}(τ) ⊗_{H_{M} ,χ} R, V)
≃ Hom_{H_{G}} (H_{G} ⊗_{H_{M} ,t\overline{P}} R_{χ}, V_{τ})
≃ Hom_{H_{M}} (R_{χ}, (rG ; \overline{P}(V))_{τ_{M}})
≃ Hom_{M} (ρ_{χ}, rM ; \overline{P} (V))

La deuxième égalité vient du fait que les deux R-espaces en question sont égaux à

\{f : ind_{J}^{G}(τ) → V f ∘ t\overline{P} (ϕ) = 0, ∀ϕ ∈ I_{χ}\},

où I_{χ} est le noyau de H_{M} ⟶ R_{χ}.

Remarques. –

(1) Cette généralisation est très partielle ; on peut certainement l’améliorer en remplaçant ρ_{χ} par ind_{J_{M}}^{M}(τ_{M})⊗_{H_{M}} X pour un H_{M}-module X de type fini. Ce serait beaucoup plus intéressant de l’avoir pour tout quotient de ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}), ce qui n’est pas évident a priori (sauf dans le cas où τ_{M} est projectif), mais cela ne suffirait pas et il faudrait examiner le cas des types non cuspidaux, ce qui est encore plus délicat.

(2) Cependant, avec cette technique, on espère pouvoir montrer, grâce aux types de [Ro], que i_{T,B}^{G} est adjoint à gauche de r_{T,\overline{B}}^{G} pour un sous-groupe de Borel B de tore maximal T d’un groupe déployé.

4.9 Application à l’irréductibilité générique

Proposition 4.9.1. – Supposons que Φ_{M,P}^{G} soit un isomorphisme et que (J, τ) vérifie l’hypothèse (P P) de 2.4 ; alors i_{M,P}^{G}(ρ_{χ}) est irréductible si et seulement si H_{G} ⊗_{H_{M} ,t\overline{P}} R_{χ} est un H_{G}-module simple.

Démonstration. – Par 2.4, i_{M,P}^{G} (ρ_{χ}) est irréductible si et seulement si

(i_{M,P}^{G} (ρ_{χ}))_{τ} ≃ (ind_{J}^{G}(τ) ⊗_{H_{M} ,t\overline{P}} R_{χ})_{τ} ≃ H_{G} ⊗_{H_{M} ,t\overline{P}} R_{χ}

est irréductible. La première égalité vient de l’équivariance de Φ (voir 2.2).

Remarque. – La preuve classique du théorème d’irréductibilité générique (voir dans [Cas] par exemple) utilise des arguments d’unitarité non transposables au cas modulaire. Dans le contexte du résultat ci-dessus, on voit qu’on peut ramener ce problème pour la cuspidale ρ du sous-groupe de Levi M au problème similaire pour une algèbre de Hecke. En particulier, si celle-ci est affine – c’est par exemple le cas pour GL(N), pour les irréductibles ayant un point fixe par un Iwahori, ou les irréductibles de la série principale d’un groupe déployé comme dans [Ro] – on doit pouvoir appliquer (mais les détails restent à vérifier) les méthodes de [Rog, 3.2] qui n’utilisent pas l’unitarité, pour en déduire cette irréductibilité générique.

5 Cas de GL(N)

5.1 A propos des hypothèses

Dans le cas des types simples de GL(N), la structure de l’extension H_{M} → H_{G} est plus précise que ce qui est requis dans les hypothèses (H_{i}) de 3.3 et 4.1 : on va en effet déduire des travaux de Bushnell et Kutzko la structure suivante qui implique la validité de (H_{1}) et (H_{3}) :

(H) : On est dans les conditions de 1.8 et il existe un isomorphisme de H_{G} sur une algèbre de Hecke affine H(W̃) de type A_{n} et de paramètre q^{k} et de groupe de Weyl affine associé W̃. Il existe un sous-groupe ouvert compact K comme dans (H_{1}) tel que l’isomorphisme ci-dessus envoie H_{K} sur une sous-algèbre de Hecke �sphérique� H_{0}(W) = H(W_{0}) pour un certain sous-groupe de Coxeter fini W_{0} de W. Enfin, si X est le sous-groupe des translations de W, il existe un isomorphisme de H_{M} sur R[X] tel que le diagramme suivant commute :

[figure: H_{M} ⊗ H_{K}; ∼; H_{G}; ∼; R[X] ⊗ H_{0}(W); ∼; H(W)]

la flèche du haut étant celle de l’énoncé de (H_{1}) et la flèche du bas l’isomorphisme de Bernstein et Zelevinski.

Remarques. –

(1) Pour la présentation de Bernstein et Zelevinski, voir [Lu] et pour le fait qu’une algèbre de Hecke sur un groupe de Coxeter fini est symétrique, voir [Ca, 10.9.2].

(2) Aux vues des constructions des morphismes de Bernstein dans [Lu] d’une part et de t\overline{P} dans [BK1] d’autre part, il est clair qu’on obtient le même genre de diagramme avec \overline{P} à la place de P.

5.2 Types simples

Soit V un F -espace vectoriel de dimension N et G = Aut_{F} (V). On suppose ici que (J, τ) est un type défini comme dans [BK3, 1.4.2], c’est-à-dire qu’il existe un type simple (\overline{J}, λ) au sens de [BK2]=loc.cit. tel que J ⊂ \overline{J}, (J ∩ M) = (\overline{J} ∩ M) et ind\overline{J} ; J (λ) = τ. On note comme dans loc.cit.[𝔄, n, 0, b] la strate simple associée à (\overline{J}, λ), E le corps F [b] et 𝔅 l’ordre héréditaire de périodicité e induit sur Aut_{E}(V). On suppose que M correspond à la décomposition de V selon 𝔅 et on prend pour P un sous-groupe parabolique subordonné à [𝔄, n, 0, b] et minimal pour cette propriété (voir [BK2, 7.2.18]).

L’intérêt de prendre J au lieu de \overline{J} est que c’est un vrai G-cover de (J ∩ M) d’après [BK3, 1.4.2] ou [BH] §10. D’autre part, d’après loc.cit.(7.2.18), τ_{M} ≃ τ′ ⊗ … ⊗ τ′ (e facteurs) avec τ′ un type simple maximal (c’est-à-dire un type cuspidal au sens de 1.6) de GL(N/e, F).

Notons W_{0}, X et W̃ les groupes W_{0}(𝔅), D(𝔅) et W̃(𝔅) de loc.cit.(5.5.9) et J_{m} le groupe noté J_{M} dans (5.6.1) associé à l’ordre E-héréditaire maximal 𝔅_{m} ainsi que λ′ la représentation de U(𝔅)J_{m}^{1} (J_{m}^{1} est le pro-p-radical de J_{m}) définie en (5.5.12). On a alors les propriétés suivantes :

• On a un diagramme d’inclusions (voir [Vig1, III.4.21])

[figure: U(𝔅)U^{1}(𝔄); J_{m}; \overline{J}, λ; U(𝔅)J_{m}^{1}, λ′]

• (loc.cit.(5.5.13)) Les induites de λ et λ′ à U(𝔅)U^{1}(𝔄) selon les deux inclusions ci-dessus sont équivalentes. En particulier, il existe un isomorphisme canonique ℋ (G, λ) ≃ ℋ (G, λ′) préservant le support.

• (loc.cit.(5.6.1)) Il existe un isomorphisme canonique et préservant le support

H(W_{0}) ⟶^{∼} ℋ (J_{m}, λ′).

• (loc.cit.(5.6.6)) En notant Ψ_{0} la composée H(W_{0}) ⟶ H_{G} des morphismes précédents et de l’inclusion ℋ (J_{m}, λ′) ⊂ ℋ (G, λ′), il existe une famille de prolongements de Ψ_{0} en des isomorphismes Ψ : H(W̃) ⟶^{∼} H_{G}.

• (loc.cit.(7.6.20)) On a un diagramme commutatif :

[figure: R[X]; ∼; θ; H_{M}; t_{P}; H(W̃); Ψ; ℋ (G, λ)]

où Ψ est un isomorphisme prolongeant Ψ_{0}, et θ est le morphisme de Bernstein (comme dans [Lu]).

Posons maintenant K = U(𝔄_{m}) ; K est un sous-groupe ouvert compact contenant les groupes J, U(𝔅)J_{m}^{1} et U(𝔅)U^{1}(𝔄) ; donc, en particulier, il existe un isomorphisme préservant le support ℋ (K, λ) ≃ ℋ (K, λ′). Or, K contient J_{m}; ℋ (K, λ′) contient donc H(W_{0}) = ℋ (J_{m}, λ′). De plus, W̃ ∩ K est un sous-groupe fini de W̃ contenant W_{0} : il est donc égal à W_{0} et on a en fait ℋ (K, λ′) = ℋ (J_{m}, λ′). En résumé : il existe un isomorphisme Ψ′_{0} : H(W_{0}) ⟶ ℋ (K, λ) préservant le support (i.e. envoyant l’élément [w] de la base canonique de H(W_{0}) sur une fonction à support dans \overline{J}w\overline{J} ) dont l’isomorphisme Ψ du diagramme commutatif ci-dessus est un prolongement. On déduit de tout ceci et de la présentation de Bernstein et Zelevinski (voir [Lu]) que le diagramme de l’hypothèse (H) est vérifié pour (\overline{J}, λ). Revenons maintenant à (J, τ) : par construction, on a des isomorphismes canoniques et préservant le support entre H_{G} et ℋ (G, λ) ainsi qu’entre H_{K} et ℋ (K, λ). On en déduit que le diagramme de (H) est vérifié aussi pour (J, τ). Reste maintenant à examiner l’hypothèse (H_{2}).

Soit 𝔄_{M} un ordre héréditaire maximal contenant 𝔄_{m} : U(𝔄_{M}) est un sous-groupe parahorique ouvert compact maximal de G. Appelons \overline{G} le groupe U(𝔄_{M})/U^{1}(𝔄_{M}) ≃ GL(N, k_{F}) et \overline{Q} l’image de U(𝔄_{M}) ∩ P dans \overline{G} (c’est un sous-groupe parabolique de \overline{G}). On note L l’image réciproque de \overline{Q} dans U(𝔄_{M}) : c’est un sous-groupe parahorique de G. On a alors les inclusions suivantes

J ⊂ U(𝔄) ⊂ L ⊂ K ⊂ U(𝔄_{M})

(Remarquons que l’inclusion L ⊂ K est une égalité si et seulement si (J, τ) est un type maximal).

L’image \overline{W_{0}} de W_{0} dans \overline{G} lui est isomorphe et est l’ensemble des permutations des blocs d’un sous-groupe de Levi de \overline{Q} et se plonge donc dans l’ensemble des représentants �canoniques� des doubles classes de \overline{G} modulo \overline{Q} décrit dans [Cas, 1.3.1] par exemple.

Supposons donc que w ∈ W_{0} est tel que LwL ∩ P ≠ ∅; alors \overline{Q}\overline{w}\overline{Q} ∩ \overline{Q} ≠ ∅ et donc w=1. Cela montre que (H_{2}) est vérifiée pour un type simple et son parabolique �subordonné minimal� qui lui est naturellement associé.

Enfin, il est clair que (H_{4}) est vérifiée et même mieux : on a en fait ici N_{G}(τ_{M}) = N_{G}(M). Tout ceci, sachant que l’hypothèse (P P) de 2.4 est vérifiée (voir [Vig2]), implique que Φ_{M,P}^{G} est un isomorphisme ainsi que tous ses conjugués par un w dans le normalisateur de M. Or, celui-ci, puisque M est �homogène�, agit transitivement sur les sous-groupes paraboliques contenant M ; Φ est donc un isomorphisme pour tout parabolique P contenant M.

5.3 Types quelconques

On aurait pu travailler directement sur les types semisimples de Bushnell et Kutzko ([BK3]) et démontrer que les hypothèses (H_{i}) sont vérifiées. Cependant, le raisonnement suivant utilisant 4.4 permet de s’en passer.

A partir du contexte de 1.8 pour G = GL(N), on appelle L le plus petit sous-groupe de Levi de G contenant N_{G}(τ_{M}). On sait alors (voir [BK3]) que (J_{L}, τ_{L}) est un L-type simple, donc d’après 5.2, les hypothèses i) et ii) du théorème 4.4.1 sont vérifiées. On sait aussi par [BK3] que l’hypothèse iv) de ce théorème est vérifiée, et par [Vig2], que iii) l’est aussi. On peut donc appliquer le théorème 4.4.1.

5.4 Conséquence

Théorème 5.4.1. – La catégorie Mod\overline{𝔽_{l}}(GL(N)) est nœthérienne et l’induction parabolique respecte la propriété d’être de type fini.

Démonstration. – Voir le rappel des arguments dans l’appendice de M.F. Vignéras

Références

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[Be] J.-N. Bernstein and P. Deligne and D. Kazhdan and M.F. Vignéras. Représentations

des groupes réductifs sur un corps local. Travaux en cours. Hermann, Paris 1984.

[BH] C.J. Bushnell and G. Henniart Local tame lifting for GL(N). Publ. IHES, 83, pp. 105-233, 1996.

[BK3] C.J. Bushnell and P.C. Kutzko. Semisimple types in GL(n). Preprint, 1996.

[BK1] C.J. Bushnell and P.C. Kutzko. Smooth representations of reductive p-adic groups : Structure via types. Princeton university press, Annals of maths. Studies, No 129, 1993.

[BK2] C.J. Bushnell and P.C. Kutzko. The Admissible Dual of GL(n) via open compact groups. To appear in Proc. of L.M.S., 1996.

[Ca] R. Carter. Finite groups of Lie type., Wiley Interscience, 1995.

[Cas] W. Casselman. Introduction to the theory of admissible representations of p-adic groups. Preprint, 1974-1993.

[Lu] G. Lusztig. Representations of Affine Hecke Algebras. Asterisque, vol. 171-172, pp. 73-84, 1989.

[Mo] L. Morris. Tamely Ramified Intertwining Algebras Invent. Math., vol. 114, pp. 1-54, 1993.

[Ro] A. Roche. Types and Hecke algebras for principal series representations of split reductive p-adic groups. Ann. Sci. de l’ENS, vol. 31, 361-413, 1998.

[Rog] J.D. Rogawski. On modules over the Hecke algebra of a p-adic group. Invent. Math., vol. 79, pp. 443-465, 1985.

[Ti] J. Tits. Reductive groups over local fields. Proc. Symp. Pure Math., 33, 29-69, 1996.

[Vig2] M.F. Vign^{}éras. Induced R-representations of p-adic reductive groups. Preprint, 1996.

[Vig1] M.F. Vign^{}éras. Représentations l-modulaires d’un groupe p-adique avec l différent de p. Birkhäuser, Series Progress in Mathematics, 137, 1996.

Appendice : Représentations de type fini

Par Marie-France Vignéras

Soient G un groupe localement profini et R un anneau commutatif. Soit Mod_{R}(G) la catégorie des R-représentations (lisses) de G. On dit que V ∈ Mod_{R}(G) est nœthérien, si chaque sous-quotient de V est de type fini. Un quotient d’une représentation de type fini est évidemment de type fini. Si V ∈ Mod_{R}(G) contient W ∈ Mod_{R}(G) tel que W et V/W soient nœthériens, alors V est nœthérien. On dit que la catégorie Mod_{R}(G) est nœthérienne si tout V ∈ Mod_{R}(G) de type fini est nœthérien. Il suffit que toute sous-représentation de toute représentation de type fini soit de type fini. Si H ⊂ G est un sous-groupe d’indice fini tel que Mod_{R}(H) est nœthérienne, alors Mod_{R}(G) est nœthérienne.

On suppose désormais que G est le groupe des F -points d’un groupe réductif connexe défini sur un corps local non archimédien F, et que R est un corps commutatif algébriquement clos de caractéristique différente de la caractéristique résiduelle de F.

A.1 La catégorie Mod_{R} G est-elle nœthérienne ?

On conjecture que la réponse est oui. C’est un résultat bien connu et fondamental dans le cas complexe [3, 3.12].

Variante. – La propriété est équivalente à chacune des propriétés suivantes :

Pour tout idempotent e de la R-algèbre de Hecke globale H := H_{R}(G) de G, l’anneau eHe est nœthérien (à gauche ou (et) à droite).

Pour tout sous-groupe ouvert compact K de G assez petit, la R-algèbre de Hecke H_{R}(G, K) de G relative à K est nœthérienne (à gauche ou (et) à droite). L’équivalence découle des propriétés suivantes.

1) La catégorie Mod_{R} G est le produit direct des sous-catégories abéliennes Mod_{R} G(r) des représentations de niveau donné r [1, II.5.8]

Mod_{R} G = ∏_{r} Mod_{R} G(r).

Donc, Mod_{R} G est nœthérienne si et seulement si Mod_{R} G(r) est nœthérienne pour tout niveau r.

2) Pour tout niveau r, il existe un sous-groupe ouvert compact K = K(r) de G tel que toute représentation V ∈ Mod_{R} G(r) est engendrée par ses vecteurs invariants par K. Cela résulte de [1, II.5.5].

On peut supposer que K est un pro-p-groupe, donc H_{R}(G, K) ≃ e_{K}He_{K} pour un idempotent e_{K} ∈ H. Toutes les représentations V de niveau r vérifient V = He_{K}V.

3) Pour tout idempotent e ∈ H, une R-représentation de G de la forme V = HeV ∈ Mod_{R} G est de type fini, si et seulement si eV est un eHe-module de type fini.

En effet si V = HeV, des éléments (v_{i})_{i∈I} de eV engendrent le H-module V si et seulement s’ils engendrent le eHe-module eV. Si V = HeV est de type fini, il est engendré par un nombre fini d’éléments que l’on peut prendre dans eV.

Soit Q un sous-groupe parabolique de G de composante de Levi M ; on dit que M est un Levi de G. La restriction parabolique r_{Q,G} : Mod_{R}(G) → Mod_{R}(M) le long de Q est exacte et respecte la propriété d’être de type fini [1, II.2.1]. L’induction parabolique i_{G,Q} : Mod_{R}(M) → Mod_{R}(G) le long de Q, est exacte et l’on conjecture qu’elle respecte la propriété d’être de type fini (voir le paragraphe A.3). Une représentation de G qui annule r_{Q,G} pour tout sous-groupe parabolique propre Q de G, est dite cuspidale. Lorsque le groupe dérivé de G est anisotrope, i.e. G est compact modulo le centre, toute représentation de G est cuspidale. Lorsque le centre de G est compact, on sait qu’une représentation cuspidale de type fini est de longueur finie. Ceci résulte de [1, I.7.4, II.2.7, II.5.10]. En général, soit Z un tore déployé central maximal de G et soit G^{o} le sousgroupe de G engendré par les éléments compacts de G. Le quotient G/G^{o} est un groupe abélien libre, et G^{o} ∩ Z = Z^{o} et G^{o}Z est d’indice fini dans G. Une représentation de G est cuspidale si et seulement si sa restriction à G^{o} est compacte [1, II.2.7].

Proposition A.1.1. – Soit V ∈ Mod_{R}(G) cuspidal et de type fini. Alors V est nœthérien. En particulier, la catégorie Mod_{R}(G) est nœthérienne si le groupe dérivé de G est anisotrope.

Ceci permet une première réduction.

Proposition A.1.2. – Si pour tout Levi M, tout V ∈ Mod_{R} M de type fini, toute sous-représentation cuspidale de V est de type fini, la catégorie Mod_{R}(G) est nœthérienne. En particulier, la catégorie Mod_{R}(G) est nœthérienne dans le cas banal [1, II.3.9].

On est naturellement conduit à la définition suivante :

Définition A.1.3. – Un sous-ensemble P de Mod_{R}(G) est appelé distingué s’il vérifie les propriétés suivantes : (1) Tout sous-quotient cuspidal d’une représentation de P quelconque est de type fini. (2) Tout V ∈ Mod_{R}(G) de type fini admet une suite de composition finie dont les quotients sont des quotients de représentations de P.

En résumé :

Corollaire A.1.4. – La catégorie Mod_{R}(G) est nœthérienne lorsque Mod_{R}(M) contient un ensemble distingué pour tout Levi M.

A.1.5. – Deux sous-ensembles P, P′ de Mod_{R}(G) sont dits commensurables si pour toute représentation π ∈ P, il existe π′ ∈ P′ telle qu’un multiple fini ⊕^{r}π soit isomorphe à un multiple fini ⊕^{r′}π′, et inversement. Les propriétés 1) , 2) sont conservées par commensurabilité.

On note P_{cusp} l’ensemble des représentations i_{G,Q}(σ ⊗ ind_{M,M^{o}} 1) pour toute représentation irréductible cuspidale σ de M, et pour tout parabolique Q.

Proposition A.1.6. – Supposons que le nombre de caractères χ : M → R^{∗} triviaux sur M^{o} de restriction à Z fixée, tels que i_{G,Q}σχ ait un sous-quotient cuspidal, soit fini. Alors i_{G,Q}(σ ⊗ ind_{M,M^{o}} 1) vérifie (A.1.3-(1)). En particulier, l’unicité du support supercuspidal [1, II.2.6] implique que P_{cusp} vérifie (A.1.3-(1)).

Un R-type (K, ρ) dans G est une R-représentation de dimension finie ρ d’un sousgroupe ouvert compact K de G. L’induite à support compact ind_{G,K} ρ est de type fini. L’ensemble de toutes les représentations de G de la forme ind_{G,K} ρ vérifient la propriété (A.1.3-(2)). La théorie des types devrait permettre de montrer qu’il contient un sousensemble P_{type} vérifiant toujours (A.1.3-(2)) et commensurable à P_{cusp}.

Pour G = GL(n, F), l’ensemble P_{cusp} vérifie (A.1.3-(1)) car l’unicité du support supercuspidal [2, V.4] et la classification des représentations irréductibles cuspidales [1, III.5.10] impliquent que tout (Q, M, σ) vérifie (A.1.6). On a une théorie des types [2, IV]. Soit P_{type} l’ensemble des ind_{G,K} ρ pour tous les R-types (K, ρ) irréductibles cuspidaux distingués dans GL(n, F) (appelés semisimples par Bushnell-Kutzko) [2, IV.3.1].

Proposition A.1.7. – Soit G = GL(n, F). L’ensemble P_{cusp} vérifie (A.1.3-(1)), et l’ensemble P_{type} vérifie (A.1.3-(2)). Si P_{cusp} et P_{type} sont commensurables, alors la catégorie Mod_{R} G est nœthérienne.

A.2. Démonstrations

A.2.0. – Démonstration de A.1.0. Soit e ∈ H un idempotent et soit V = HeV ∈ Mod_{R} G. On déduit de 3) et de [1, I.6.1] que si V est nœthérien, alors eV est nœthérien, et que si eV est nœthérien, alors les H-sous-modules W de V vérifiant W = HeW sont de type fini.

Si Mod_{R} G est nœthérienne, alors eHe est nœthérienne à gauche pour tout idempotent e ∈ H, car si M est un eHe-module, alors pour V = He⊗_{eHe}M, on a eV = M, V = HeV. Si M est de type fini, V est de type fini, donc nœthérien, et M est nœthérien.

Par 2), si l’algèbre H_{R}(G, K(r)) est nœthérienne à gauche, la catégorie Mod_{R}(G)(r) est nœthérienne. Par 1), si les algèbres H_{R}(G, K(r)) sont nœthériennes à gauche pour tout niveau r, la catégorie Mod_{R} G est nœthérienne.

Pour tout sous-groupe compact K de G, l’application KgK → Kg^{−1}K induit un isomorphisme de H_{R}(G, K) sur l’algèbre opposée [1, I.8.6.d)], et pour tout idempotent e ∈ H, il existe K tel que ee_{K} = e_{K}e = e [1, I.3.2]. On peut donc remplacer �à gauche� par �à droite�.

A.2.1. – On choisit, comme on le peut, un sous-groupe Z^{1} abélien libre de rang r tel que Z = Z^{o} × Z^{1} ; ainsi G^{o}Z = G^{o} × Z^{1}. La catégorie des R-représentations de Z^{1} est équivalente à la catégorie des R[X_{1}^{±1}, …, X_{r}^{±1}]-modules. On sait que cette catégorie est nœthérienne.

Soit π une représentation irréductible de G^{o}. La représentation ind_{G^{o}Z,G^{o}} π = π ⊗ ind_{Z^{1},1} 1 est nœthérienne. Si π est de longueur finie, ind_{G^{o}Z,G^{o}} π et ind_{G,G^{o}} π sont aussi nœthériennes. La restriction à G^{o} d’une représentation irréductible π′ de G est de longueur finie, et π′ ⊗ ind_{G,G_{o}} 1 est nœthérienne.

A.2.2. – Démonstration de A.1.1. Soit V ∈ Mod_{R} G cuspidale de type fini. La restriction V′ de V à G^{o}Z est de type fini. Si V′ est nœthérienne, alors V est nœthérienne. Soit v_{1}, …, v_{r} engendrant V′. La représentation π de G^{o} engendrée par v_{1}, …, v_{r} est compacte et de type fini. Elle est donc de longueur finie. La représentation V′ est nœthérienne car c’est un quotient de la représentation nœthérienne ind_{G^{o}Z,G^{o}} π.

Remarque. – Des erreurs de transmission entre l’éditeur et l’auteur ont rendu l’énoncé de la proposition [1, I.7.11] incomprehensible. Il doit être remplacé par l’énoncé suivant.

Proposition A.2.3. – Soit R un corps, et soit G un groupe localement profini de centre Z tel que G/Z contient un sous-groupe ouvert compact de pro-ordre inversible dans R^{∗}.

1) Soit V une représentation Z-compacte de type fini de G. La restriction de V à Z est de type fini. Si Z agit dans V par un caractère, alors V est admissible.

2) Soit V une représentation Z-compacte irréductible de G. Supposons que toute Rreprésentation irréductible de Z est un caractère. Alors V a un caractère central, V est admissible, End_{RG} V ≃ R, et la contragrédiente Ṽ de V est Z-compacte.

3) Soit ω : Z → R^{∗} un caractère de Z. Supposons que V appartienne à la catégorie Mod_{R}(G, ω) des R-représentations de G de caractère central ω, et que V soit irréductible. Alors V est projective dans Mod_{R}(G, ω) et sa contragrédiente Ṽ est irréductible si et seulement si V est Z-compacte et a un degré formel sur G/Z.

A.2.4. – Démonstration de A.1.2. On suppose, comme on le peut par A.1.1, que le rang du groupe dérivé de G est n > 0. Le rang du groupe dérivé d’un sous-groupe de Levi propre M de G est < n. Par induction sur le rang, on suppose que Mod_{R}(M) est une catégorie nœthérienne pour tout M.

Soit V ∈ Mod_{R}(G) de type fini. Alors V est nœthérien si et seulement si toute filtration croissante (V_{i})_{i⩾0} de V est stationnaire. Par hypothèse de récurrence, la filtration (r_{Q,G}V_{i})_{i⩾0} est stationnaire pour tout sous-groupe parabolique propre Q de G. Modulo G-conjugaison, le nombre de Q est fini.On peut donc supposer que (r_{Q,G}V_{i})_{i⩾0} est constant pour tout sous-groupe parabolique propre Q de G. Donc V_{i}/V_{o} est cuspidale pour tout i. La représentation (∪_{i}V_{i})/V_{o} est une sous-représentation cuspidale de la représentation V/V_{o} de type fini. Elle est de type fini par hypothèse, nœthérienne par (A.1.1), donc (V_{i})_{i⩾0} est stationnaire.

A.2.5 Soit π ∈ Mod_{R} M de longueur finie, alors la représentation V = i_{G,Q}(π ⊗ ind_{M,M∩G^{o}} 1) est nœthérienne.

En effet, ind_{M,M∩G^{o}} 1 relevée trivialement à Q est contenue dans ind_{Q,Q∩G^{o}} 1 (elle même contenue dans la restriction à Q de ind_{G,G^{o}} 1). La représentation i_{G,Q}π est de longueur finie [1, II.5.13] ; la représentation i_{G,Q}π ⊗ ind_{G,G^{o}} 1 est donc nœthérienne (A.2.1). Elle contient V, et V est donc nœthérienne.

Le groupe M^{o} est contenu dans G ∩ M^{o}. Un caractère χ de G ∩ M^{o} trivial sur M^{o} s’étend en un caractère χ̃ du groupe M/M^{o} ≃ Z^{n}. La représentation i_{G,Q}(π ⊗ ind_{M,M∩G^{o}} χ) ≃ i_{G,Q}((π ⊗ χ̃) ⊗ ind_{M,M∩G^{o}} 1) est nœthérienne. Plus généralement, pour toute représentation W de dimension finie de G ∩ M^{o} triviale sur M^{o}, la représentation i_{G,Q}(π ⊗ ind_{M,M∩G^{o}} W) est nœthérienne.

A.2.6. – Démonstration de A.1.6. Par hypothèse, il existe une sous-représentation Y de ind_{M∩G^{o},M^{o}} 1 de quotient de dimension finie W telle que i_{G,Q}(σ ⊗ ind_{M,M∩G^{o}} Y) n’a aucun sous-quotient cuspidal. La suite exacte canonique 0 → Y → ind_{M∩G^{o},M^{o}} 1 → W → 0 reste exacte si on lui applique les foncteurs exacts ind_{M,M∩G^{o}}, σ ⊗_{R} −, i_{G,Q} [1, I.I.5.10]. On obtient une suite exacte :

0 → i_{G,Q}(σ ⊗ ind_{M,M∩G^{o}} Y) → i_{G,Q}(σ ⊗ ind_{M,M^{o}} 1) → i_{G,Q}(σ ⊗ ind_{M,M∩G^{o}} W) → 0

Comme i_{G,Q}(σ ⊗ ind_{M,M∩G^{o}} W) est nœthérienne (A.2.5), on obtient A.1.6.

A.2.7. – Démonstration de A.1.7. On sait que la catégorie Mod_{R}(GL(n, F)) est somme directe de ses blocs [2, IV.6.2] ; chaque représentation de P_{type} est contenue dans un bloc, le nombre de représentations de P_{type} contenues dans un bloc donné B est fini (modulo isomorphisme), et le bloc B est engendré par les représentations de P_{type} qu’il contient.

Soient π_{i} = ind_{G,K_{i}} ρ_{i} (1⩽i⩽r) les représentations de P_{type} contenues dans B. Notons K_{i}^{1} le maximal pro-p-groupe normal dans K_{i}. La restriction de ρ_{i} à K_{i}^{1} est notée η_{i}. Une représentation V dans B est engendrée par l’union pour 1⩽i⩽r de ses éléments (η_{i}, K_{i}^{1})-invariants. Il existe un partie génératrice v_{i,j} (1⩽i⩽r, j ∈ J(i)) dans V, telle que v_{i,j} soit (η_{i}, K_{i}^{1})-invariant pour tout (i, j). On note ρ(i) (resp. V (i)) la représentation de K_{i} (resp. de G) engendrée par les v_{i,j} pour j ∈ J(i). La représentation V (i) est un quotient de ind_{G,K_{i}} ρ(i), et V est un quotient de la somme directe ⊕_{1⩽i⩽r}V (i). La représentation V est quotient de ⊕_{1⩽i⩽r} ind_{G,K_{i}} ρ(i). Chaque représentation irréductible dans B est isomorphe à un quotient d’un π_{i}. Supposons V de type fini. Alors on peut choisir les J(i) finis. Donc les représentations ρ(i) sont de dimension finie. Si ind_{G,K_{i}} ρ(i) vérifie (A 1.3-(2)) avec P_{type} pour tout i, alors V aussi.

Fixons i = i_{o}, et notons (K_{i_{o}}, ρ(i_{o})) = (K, ρ). La représentation de dimension finie (K, ρ) est un R-type distingué dans G, selon la terminologie de [2, IV.3.1]. Si ρ est irréductible, alors ind_{G,K} ρ est quotient d’une représentation dans P_{type} [2, IV.4]. On suppose donc que ρ est réductible. On considére une suite de Jordan-Holder 0 = ρ_{o} ⊂ ρ_{1} ⊂ … ⊂ ρ_{k} = ρ, de quotients ρ_{t}/ρ_{t−1} (1⩽t⩽k) irréductibles, et automatiquement distingués. L’induction à support compact étant exacte, on a une filtration

0 ⊂ ind_{G,K} ρ_{1} ⊂ … ⊂ ind_{G,K} ρ_{k} = ind_{G,K} ρ

de quotients ind_{G,K}(ρ_{t}/ρ_{t−1}), (1⩽t⩽k). Chacun est quotient d’une représentation dans P_{type}. Donc P_{type} vérifie (A.1.3-(2)).

A.3 L’induction parabolique respecte-t-elle la propriété d’être de type fini ?

On conjecture que oui. C’est vrai dans le cas complexe, et la même démonstation montre que c’est vrai dans le cas banal. Cette seconde question est très liée à la première question.

A.3.1 – Soit V ∈ Mod_{R} G. Soit Q_{o} un sous-groupe parabolique minimal de G tel que r_{Q_{o},G}V ≠ 0. Alors r_{Q_{o},G}V est cuspidal. Soit V′ le noyau de l’homomorphisme canonique V → (i_{G,Q_{o}} ∘ r_{Q_{o},G})V. Alors r_{Q_{o},G}V′ = 0, et r_{Q,G}V′ ⊂ r_{Q,G}V pour tout sous-groupe parabolique Q de G. On recommence avec V′ et on obtient une filtration finie de V telle que les quotients se plongent dans des représentations i_{G,Q}W paraboliquement induites de cuspidales W ∈ Mod_{R} M.

Si V est nœthérien, alors V′ et r_{Q_{o},G}V sont de type fini. Les représentations cuspidales (M, W) sont de type fini, donc nœthériennes (A.1.1). En appliquant ceci à V ∈ Mod_{R} M de type fini, et en utilisant la transitivité de l’induction parabolique, on en déduit : �Supposons que Mod_{R} M est nœthérien pour tout Levi M de G. Si l’induction parabolique d’une représentation cuspidale de type fini quelconque est de type fini, l’induction parabolique respecte la propriété d’être de type fini.�

A.3.2. – Les induites paraboliques des représentations cuspidales de type fini sont de type fini lorsque pour tout Levi M de G, on a les propriétés suivantes.

(1) Il existe un ensemble de types irréductibles distingués dans M dits maximaux cuspidaux, tels que toute représentation cuspidale de type fini W de M admet une une suite de composition finie dont les quotients sont des quotients de représentations de la forme ind_{M,K_{M}} ρ_{M} pour des types maximaux cuspidaux (K_{M}, ρ_{M}) de M.

(2) i_{G,Q} ind_{M,K_{M}} ρ_{M} est de type fini pour tout type cuspidal (K_{M}, ρ_{M}) de M, et tout sous-groupe parabolique Q de G de composante de Levi M. Cette propriété est vérifiée si les types maximaux cuspidaux (K_{M}, ρ_{M}) de M se prolongent en des types (K, ρ) de G tels que pour tout sous-groupe parabolique Q de G de composante de Levi M,

ind_{G,K} ρ ≃ i_{G,Q} ind_{M,K_{M}} ρ_{M}.

Proposition A.3.3. – Si pour tout Levi M de G, la catégorie Mod_{R} M est nœthérienne et les propriétés (A.3.2) sont vérifiées, l’induction parabolique respecte la propriété d’être de type fini.

Proposition A.3.4. – GL(n, F) vérifie la propriété (A.3.2-(1)) pour les types maximaux cuspidaux définis en [2, IV.1].

Démonstration. – Soit V ∈ Mod_{R} GL(n, F) cuspidale de type fini. Comme en (A.2.7), on se ramène à V cuspidale engendrée par un type distingué (K, ρ). Si ρ est irréductible, V contient une représentation du support cuspidal de ρ, et tout type distingué cuspidal contenu dans V est maximal. Par construction du support cuspidal [2, IV.4], ρ est maximal cuspidale. Si V n’est pas irréductible, le même raisonnement montre que toute sous-représentation irréductible de ρ est maximal cuspidal. Les types maximaux cuspidaux contenus dans ρ engendrent une sous-représentation V_{1} de V. Le quotient V/V_{1} est cuspidal, et engendré par l’image de ρ. L’image de ρ dans V/V_{1} est un type distingué de dimension strictement plus petite que celle de ρ. Par induction, on obtient (A.3.2-(1)).

Donc pour GL(n, F), la propriété (A.3.2-(2)) implique que l’induction parabolique respecte la propriété d’être de type fini.

Références

[1] Vign^{}éras M.-F. Représentations λ-modulaires d’un groupe réductif p-adique. Birkhäuser PM 137, 1996.

[2] Vign^{}éras M.-F. Induced R-representations of p-adic groups. Preprint MPI 1996. A paraître dans Selecta Mathematica.

[3] Bernstein J.-N. Le centre de Bernstein . Rédigé par Deligne P. dans J.N. Bernstein, P. Deligne, D. Kazhdan, M.-F. Vignéras. Representations des groupes réductifs sur un corps local. Travaux en cours, Hermann Paris 1984.