Jean-François DATProfesseur de Mathématiques à Sorbonne Université.Chercheur à l'IMJ-PRG, projet Formes Automorphes. |
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Institut de Mathématiques de Jussieu 4, place Jussieu 75252 Paris cedex 05 |
| Tel : +33 1 44 27 54 28 | Fax : +33 1 44 27 78 18 | Bureau : 15-25 412 | e-mail : jean-francois.dat[at]imj-prg.fr |
Je m'intéresse aux interactions entre Théorie des Représentations, Géométrie Algébrique et Théorie des Nombres, dans le sillage de celles révélées notamment par Langlands et Shimura au cours des années 60. Mes travaux concernent la théorie des représentations des groupes p-adiques et ses applications à la description de la cohomologie de certains espaces de modules classiques dans ce domaine : variétés de Shimura ou espaces de Rapoport-Zink.
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Ces articles tournent autour de la K-theorie de ces représentations, avec quelques applications aux algèbres de Hecke, et plus récemment sur la théorie des blocs de Bernstein du point de vue de la dualité de Langlands.
Caractères à valeurs dans le centre de Bernstein.
J. reine angew. Math. 508 ; 61-83 (1999). pdf dvi
On étudie l'action du centre de Bernstein Z sur une représentation
projective de type fini, disons P, d'un groupe p-adique
G. On sait qu'en réduisant P modulo un caractère de Z, on
obtient une représentation de longueur finie. On
commence par décrire l'image de cette réduction dans le groupe de Grothendieck
correspondant, au moins pour un caractère
générique. Sous une hypothèse de régularité de
Z, on décrit cette image pour tout caractère au moyen
d'une "trace à valeurs dans Z". Dans le cas du module
universel de Serre, on en déduit une compatibilité
entre l'isomorphisme de Satake et la description par
Bernstein du centre de l'algèbre de Hecke-Iwahori.
Cette compatibilité est souvent utilisée par
les gens qui travaillent sur la mauvaise reduction des
variétés de Shimura en
niveau Iwahori (voir par exemple Haines, Manuscripta
Math. 101 (2000), no. 2, 167--174, qui cite
aussi une preuve (probablement plus générale et
satisfaisante) de Lusztig de cette compatibilité).
Il devrait y avoir un "analogue" (satisfaisant certaines
propriétés précisées dans le texte) du module universel pour chaque
bloc de Bernstein. On le vérifie pour GL(n) au moyen
des types de Bushnell-Kutzko.
Par ailleurs, lorsque Z n'est pas régulier, on peut encore
utiliser des
techniques Cohen-Macaulay comme dans Bernstein, Braverman,
Gaitsgory, The Cohen-Macaulay property of the
category of $(\germ g,K)$-modules. Selecta
Math. (N.S.) 3 (1997), no. 3, 303--314.
On the K0 of a p-adic group. Invent. Math. 140 (1)
; 171-226 (2000). pdf dvi
Cet article fait du précédent la partie émérgée d'un iceberg. On étudie en détail trois linéarisations de la catégorie des représentations lisses : les groupes de Grothendieck K_0, resp. R, des objets de type fini, resp. de longueur finie, et le HH_0 (cohomologie de Hochschild encore appelé "cocentre"). Le résultat principal est une description du K_0 en termes de séries discrètes de sous-groupes de Levi qui a un joli comportement vis-à-vis de l'induction parabolique. On obtient une description similaire pour le HH_0 et l'application Rang de Hattori prend une forme agréable. Nous suivons une très belle idée de Bernstein, qui est de comparer deux filtrations naturelles sur ces objets, l'une de nature combinatoire liée à l'induction parabolique, et l'autre de nature topologique liée à la variété des caractères infinitésimaux. La filtration combinatoire se retrouve aussi dans divers objets usuels de la théorie, comme le groupe R, les classes de conjugaison semi-simples, et toutes les relations entre ces objets s'avèrent compatibles à ces filtrations.
Une preuve courte du principe de Selberg abstrait pour un
groupe p-adique.
Proc. Amer. Math. Soc. 129 (4) ; 1213-1217 (2001) pdf dvi
Le principe de Selberg "abstrait" pour un groupe p-adique est l'annulation des intégrales orbitales en des éléments non-compacts de la "trace" d'une représentation lisse projective de type fini. Il y a au moins 3 preuves de ce principe (!). La première chronologiquement est dûe à Blanc et Brylinski dans Cyclic homology and the Selberg principle. J. Funct. Anal. 109 (1992), no. 2, 289--330, la plus conceptuelle est dûe à Peter Schneider dans The cyclic homology of $p$-adic reductive groups. J. Reine Angew. Math. 475 (1996), 39--54, et nous prétendons que celle-ci est la plus courte...
Quelques propriétés des idempotents centraux
des groupes p-adiques.
J. reine angew. Math. 504 ; 69-103 (2004). pdf dvi
Pour un groupe fini G, on sait décrire depuis longtemps les
idempotents centraux primitifs de son algèbre de
groupe C[G] : ils sont en bijection
avec les représentations irréductibles et on a une
formule explicite en termes du caractère de ces
représentations.
Pour un groupe p-adique G, Bernstein a donné une description spectrale
des idempotents centraux primitifs de l'algèbre de
Hecke de G (complétée). Par ailleurs, le théorème
de Plancherel-Harish Chandra permet d'en donner
des formules (en terme de distributions
invariantes), mais elles recèlent encore
des termes mysterieux, les fonctions mu de Harish Chandra, gênant les
applications. On démontre ici une nouvelle formule
pour ces idempotents, en partant de l'étude
K-théorique des deux
articles précédents.
En guise d'application, on se propose de chercher les dénominateurs qui
apparaissent dans ces formules ; pour un groupe
fini, il est bien connu que ces dénominateurs
divisent l'ordre du groupe.
Nous montrons que l'assertion correspondante pour un groupe p-adique
est équivalente au problème classique de
K-théorie qui consiste à montrer que la
K-théorie des sous-groupes compacts de G engendre
celle de G (apres éventuellement localisation
raisonnable des scalaires). Nous montrons cette
propriété pour GL(N) en utilisant les
types de Bushnell-Kutzko et leurs développements
par Schneider-Zink.
A functoriality principle for blocks of p-adic linear groups Contemp. Math. 691 ; 103-131 (2017)
pdf
Bernstein blocks of complex representations of $p$-adic reductive groups have been computed in a large amount of examples, in part thanks to the theory of types a la Bushnell and Kutzko. The output of these purely representation-theoretic computations is that many of these blocks are equivalent. The motto of this paper is that most of these coincidences are explained, and many more can be predicted, by a functoriality principle involving dual groups. We prove a precise statement for groups related to $GL_{n}$, and then state conjectural generalizations in two directions : more general reductive groups and/or \emph{integral} $l$-adic representations.
Les principaux résultats sont : la seconde adjonction pour les représentations à coefficients dans un anneau R où p est inversible, la noetheriannité lorsque R est lui-même noetherien, l'irréducibilité générique pour les familles d'induites paraboliques en caractéristique positive. Pour les obtenir, on détourne certaines techniques modernesde la théorie complexe (types, dynamique de l'immeuble,...) et on introduit aussi quelques nouveaux outils : comportement aymptotique non-Archimédien des coefficients matriciels, opérateurs d'entrelacement sur un anneau, foncteurs parahoriques, fonctions mu pour les coefficients de caractéristique positive...
Types et inductions pour les représentations modulaires de groupes p-adiques.
Ann. Scient. Éc. Norm. Sup, 32 (1) ; 1-38 (1999). pdf
erratum
Pour les représentations lisses à coefficients complexes
d'un groupe p-adique G, Bushnell et Kutzko ont formalisé
dans Smooth representations of reductive $p$-adic
groups: structure theory via types. Proc. London
Math. Soc. (3) 77 (1998) une notion de type pour un
bloc de
Bernstein. Il s'agit en gros d'une paire (J,t) formée d'un
sous-groupe compact ouvert et d'une de ses représentations
irréductibles et dont l'induite à supports compacts est un
progénérateur du bloc de Bernstein en question. Ils ont de
plus introduit la notion de paire couvrante qui permet de
construire un type (J,t) pour un bloc paraboliquement induit
depuis un Levi M a partir d'un type (J(M),t(M)) du bloc
de M correspondant. Une conséquence (formelle) parmi
d'autres est l'existence
d'un isomorphisme entre l'induite à supports compacts du
type (J,t) et l'induite parabolique de l'induite à
supports compacts du type (J(M),t(M)).
Pour les représentations modulo l (différent de p), la notion de
bloc de Bernstein n'existe en general plus, mais la
notion de paire couvrante fait toujours sens. On s'est
attache dans cet article à trouver des conditions
suffisantes pour garder l'existence d'un isomorphisme entre
les deux induites comme ci-dessus. Une des motivations
était le sentiment que ce devait être un ingrédient essentiel vers
la résolution de questions importantes de finitude
des représentations modulaires. Ceci est confirmé par le huitième article
ci-dessous.
Signalons que certains résultats de cet article ont été
améliorés et largement simplifiés par Corinne Blondel
dans Quelques propriétés des paires couvrantes,
pdf . D'autre part, une erreur m'a été signalée par Vincent Sécherre. Voici un
erratum .
Nu-tempered representations of p-adic groups I : l-adic case.
Duke Math. J. 126 (3) ; 397-469 (2005).
pdf dvi
Dans cet article et le suivant on étudie des représentations
lisses à coefficients dans un corps muni d'une
norme non-archimédienne . Remarquons que
dans le cas particulier d'un corps l-adique ou
p-adique, de
telles représentations apparaissent naturellement
dans la cohomologie d'espaces
adequates. On s'intéresse alors au comportement
asymptotique des coefficients des admissibles ; comme
dans le cas complexe, on a des tempérées
et des discrètes et un théorème du
quotient de Langlands. Cependant,
la théorie est vraiment différente
selon que |p| vaut 1 ou non.
Dans ce papier, on étudie le cas |p|=1. Les applications principales
concernent les représentations modulaires (à
coefficients de caractéristique positive) et
notamment les questions de réductibilité de
l'induction parabolique. On prouve
l'irréductibilité générique pour les
familles d'induites et on introduit un analogue de
la fonction mu de Harish Chandra qui permet de
détecter, en corang 1, les induites paraboliques
qui possèdent un sous-quotient cuspidal. On
prouve aussi quelques propriétés de
relèvement des représentations de la
caractéristique positive à la
caractéristique nulle.
Il y a aussi un paragraphe d'intéret indépendant sur le
formalisme des opérateurs d'entrelacement
lorsqu'on travaille sur un anneau de coefficients.
Représentations lisses p-tempérées des groupes p-adiques. Amer. J. Math. 131 (1) ; 227--255 (2009) pdf dvi
Ce papier fait suite au précédent en étudiant le cas |p|<1. Ici les applications concernent les structures entières. Pour un groupe général, on classifie les représentations "localement entières" en termes de leur paramètre de Langlands p-adique. Pour les groupes classiques, on les classifie par leur support cuspidal : une irréductible est localement entière si et seulement si son support cuspidal est dans un certain affinoide explicite du spectre de Bernstein. On conjecture que ces représentations sont entières, i.e. admettent un réseau G-stable. Par ailleurs, on définit une algèbre de Schwartz-Harish Chandra p-adique pour laquelle on montre dans quelques cas particuliers l'existence d'une formule de Plancherel.
Finitude pour les représentations lisses des groupes p-adiques.
J. Inst. Math. Jussieu, 8 (1): 261--333 (2009)
pdf dvi . Un exposé
On s'intéresse à des questions fondamentales de finitude pour la catégorie des représentations lisses d'un groupe p-adique à valeurs dans un anneau commutatif R où p est inversible. Le but principal est de prouver la noetheriannité des algèbres de Hecke lorsque R est noetherien. Pour cela on montre d'abord, en utilisant le papier a Duke qu'il suffit d'établir la seconde adjonction de Bernstein récursivement pour tous les paraboliques de tous les Levis de G. Puis on introduit un nouvel outil baptisé induction parahorique, qui relie les représentation du fixateur d'un point de l'immeuble d'un Levi avec les représentations de son fixateur dans G. Cet outil, couplé avec la théorie des types semi-simples de Stevens permet de prouver la seconde adjonction pour les groupes classiques. Cela devrait aussi fonctionner dans un contexte "modéré" en utilisant les constructions de Yu, et, dans le cas général, fournit quelques cas particuliers : séries principales, niveau 0.
Un cas simple de correspondance de Jacquet-Langlands locale modulo l.
Proc. London Math. Soc. 104 ; 690-727 (2012) pdf dvi
Let G be a general linear group over a p-adic field and let D* be an anisotropic inner form of G. The Jacquet-Langlands correspondence between irreducible complex representations of D* and discrete series of G does not behave well with respect to reduction modulo a prime l different from p. However we show that the Langlands-Jacquet transfer, from the Grothendieck group of admissible Q_l-representations of G to that of D* is compatible with congruences and reduces modulo l to a similar transfer for F_l-representations, which moreover can be characterized by some Brauer characters identities. Studying more carefully this transfer, we deduce a bijection between irreducible F_l-representations of D* and ``super-Speh'' F_l-representations of G. Via reduction mod l, this latter bijection is compatible with the classical Jacquet-Langlands correspondence composed with the Zelevinsky involution.
Equivalence of tame blocks for p-adic general linear groups.
Math. Ann. 371 ; 565--613 (2018) pdf
We prove that any level 0 block of Z_l representations of a p-adic general linear group is equivalent to the principal block of an appropriate product of general linear groups. A similar result, due to Bonnafé and Rouquier, is known for general linear groups over a finite field, where the equivalence is given by the cohomology of a suitable Deligne-Lusztig variety. Our strategy in the $p$-adic setting uses coefficient systems and consists roughly in "glueing" these equivalences along the building.
Simple subquotients of "big" parabolically induced representations of p-adic groups.
J. Algebra 510 ; 499-507 (2018) pdf
This note is motivated by the problem of ``uniqueness of supercuspidal support'' in the modular representation theory of $p$-adic groups. We show that any counterexample to the same property for a finite reductive group lifts to a counterexample for the corresponding unramified $p$-adic group. To this end, we need to prove the following natural property : any simple subquotient of a parabolically induced representation is isomorphic to a subquotient of the parabolic induction of some simple subquotient of the original representation. The point is that we put no finiteness assumption on the orginal representation.
Finiteness for Hecke algebras of p-adic groups, avec
David Helm , Rob Kurinczuk et Gil Moss,
J. Amer. Math. Soc. 37, no. 3, 929-949 (2024).
pdf
Let G be a reductive group over a non-archimedean local field F of residue characteristic p. We prove that the Hecke algebras of G(F) with coefficients in any noetherian Z_l-algebra R with l a prime not equal to p, are finitely generated modules over their centers, and that these centers are finitely generated R-algebras. Following BernsteinâÂÂs original strategy, we then deduce that âÂÂsecond adjointnessâ holds for smooth representations of G(F) with coefficients in any Z[1/p]-algebra. These results had been conjectured for a long time. The crucial new tool that unlocks the problem is the Fargues-Scholze morphism between a certain âÂÂexcursion algebraâ defined on the Langlands parameters side and the Bernstein center of G(F). Using this bridge, our main results are representation theoretic counterparts of the finiteness of certain morphisms between coarse moduli spaces of local Langlands parameters that we also prove here, which may be of independent interest.
Depth 0 representations over Z[1/p], avec
Thomas Lanard.
(2024), à paraître dans Algebra and Number Theory.
pdf
We consider the category of depth 0 representations of a p-adic quasi-split reductive group with coefficients in {\bar Z}[1/p]. We prove that the blocks of this category are in natural bijection with the connected components of the space of tamely ramified Langlands parameters for G over {\bar Z}[1/p]. As a particular case, this depth 0 category is thus indecomposable when the group is tamely ramified. Along the way we prove a similar result for finite reductive groups. We then outline an application to the Fargues-Scholze semisimple local Langlands correspondence, using a recent motivic version of Fargues and Scholze constructions due to Scholze. In particular, we prove that this correspondence take depth 0, resp. unipotent, representations to tamely ramified, resp. unramified, parameters.
Ainsi baptisée en l'honneur de travaux pionniers de Lubin et Tate sur une construction explicite de la loi de réciprocité locale d'Artin, l'objet de cette théorie est l'étude de la cohomologie de certains espaces de modules de groupes p-divisibles -dont la définition la plus générale est dûe à Rapoport et Zink suivant le formalisme de Deligne pour les variétés de Shimura- avec pour cela deux motivations : l'application à la mauvaise réduction des variétés de Shimura, et la réalisation de certains cas de fonctorialité de Langlands locale. La contribution principale de ces articles est de modifier la manière habituelle d'obtenir une telle réalisation en introduisant un formalisme dérivé équivariant ; ceci devrait être nécessaire dès qu'on s'intéresse au défaut de semi-simplicité de l'action de Galois ou à la partie non-supercuspidale de l'action des groupes réductifs concernés. Seules les tours de Drinfeld et Lubin-Tate sont étudiées.
Espaces symétriques de Drinfeld et correspondance de Langlands locale.
Ann. Scient. Éc. Norm. Sup, 39 (1) ; 1-74 (2006) pdf dvi
On étudie l'action de Galois sur le complexe de cohomologie équivariant des espaces symétriques de Drinfeld et on montre comment celui-ci "contient" la correspondance de Langlands locale pour les représentations "elliptiques principales", qui par définition sont les sous-quotients de la représentation régulière sur la variété des drapeaux de G. L'utilisation d'un formalisme dérivé est ici fondamental car l'action de Galois sur la cohomologie est pauvre (via des caractères) et l'action de G se fait par des elliptiques très particulières (par Schneider-Stuhler). Les principales étapes de la stratégie sont : 1- prouver (observer) que le complexe est cohomologiquement scindé, 2- calculer tous les Ext et Cup-produits entre séries principales elliptiques et en particulier obtenir une description explicite de l'algèbre des endomorphismes du complexe, 3- prouver que l'action de l'inertie est unipotente donc donnée par un endomorphisme nilpotent N, 4- prouver que l'ordre de nilpotence de N est d (dimension), ce qui suffit à le déterminer explicitement. Pour prouver cette estimation, on applique une version de la suite spectrale de Rapoport-Zink à certains quotients (non-algébrisables) de l'espace symétrique. Au cours de notre travail on obtient une nouvelle preuve de la conjecture monodromie-poids de Deligne pour les variétés uniformisées par les espaces de Drinfeld, et on donne aussi un nouveau calcul de la cohomologie de ces espaces.
Théorie de Lubin-Tate non-abélienne et représentations elliptiques.
Invent. Math. 169 (1) ; 75-152 (2007). pdf dvi .
Un exposé
On s'intéresse aux tours de Lubin-Tate et Drinfeld, surlesquelles
agissent
GL(d), les inversibles de l'algèbre à
division d'invariant 1/d, et le groupe de Weil.
Dans le cas Lubin-Tate, Harris et Taylor ont prouvé que la
cohomologie réalise à la fois les
correspondances de Langlands et Jacquet-Langlands
pour les supercuspidales .
Récemment, Boyer a calculé toute la cohomologie et montré deux
défauts : d'une part les représentations qui
apparaissent sont d'une forme très particulière,
d'autre part la correspondance de Langlands n'est pas
réalisée dans la cohomologie. Dans ce papier, on
définit et étudie un complexe de cohomologie
dans une catégorie dérivée convenable et on
montre comment il permet de réaliser Langlands et
Jacquet-Langlands pour toutes les représentations
elliptiques . En transférant ceci à
la tour de Drinfeld via les techniques de Faltings
et Fargues, on en déduit la conjecture
monodromie-poids pour les variétés
uniformisées par les revetements des espaces
symétriques de Drinfeld. Ceci achève en
particulier le calcul du facteur L local de
certaines variétés de Shimura en une place de
mauvaise réduction.
Pour étudier le complexe de cohomolgie, on le scinde d'abord selon
l'action de l'algèbre à division, puis on
étudie chaque morceau suivant la même
stratégie que dans l'article précédent. La
différence essentielle concerne l'étape 4 :
pour estimer l'ordre de nilpotence de la
monodromie, on utilise la description par Boyer de la suite
spectrale de monodromie des cycles évanescents
des variétés de Shimura étudiées par Harris-Taylor.
Opérateur de Lefschetz sur les tours de Drinfeld et de Lubin-Tate.
Compositio Math. 148 (2), 507-530 (2012) pdf dvi
We define and study a Lefschetz operator on the equivariant cohomology complex of the Drinfeld and Lubin-Tate towers. For l-adic coefficients we show how this operator induces a geometric realization of the Zelevinski correspondence (the composition of the Langlands correspondence with the Zelevinski involution) for elliptic representations.Joint to our previous study of the monodromy operator, this suggests a possible extension of Arthur's philosophy for unitary representations occuring in the intersection cohomology of Shimura varieties to the (possibly) non-unitary representations occuring in the cohomology of Rapoport-Zink spaces. However, our motivation for studying the Lefschetz operator comes from the hope that its geometric nature will enable us to realize the mod-l Langlands correspondence due to Vigneras.
Théorie de Lubin-Tate non-abélienne l-entière.
Duke Math. J. 161 (6) ; 951-1010, (2012) pdf dvi
For two distinct primes p and l, we investigate the Z_l-cohomology of the Lubin-Tate towers of a p-adic field. We prove that it realizes some version of Langlands and Jacquet-Langlands correspondences for flat families of irreducible supercuspidal representations parametrized by a Z_l-algebra R, in a way compatible with extension of scalars. When R is a field of characteristic l, this gives a cohomological realization of the Langlands-Vigneras correspondence for supercuspidals, and a new proof of its existence. When R runs over complete local algebras, this provides bijections between deformations of matching mod-l representations. Roughly speaking, we can decompose "the supercuspidal part" of the l-integral cohomology as a direct sum, indexed by irreducible supercuspidals \pi mod l, of tensor products of universal deformations of \pi and of its two mates. Besides, we also get a virtual realization of both the semi-simple Langlands-Vigneras correspondence and the l-modular Langlands-Jacquet transfer for all representations, by using the cohomology complex and working in a
A lemma on nearby cycles and its application to the tame Lubin-Tate space.
Math. Res. Lett. 19 (1), 1-9 (2012) pdf dvi erratum
This note is concerned with a cohomological consequence of a geometric construction due to Yoshida, which relates the tame level of the Lubin-Tate tower to some Deligne-Lusztig variety of Coxeter type. More precisely, we show that the equivariant morphism in cohomology which follows from Yoshida's construction is an isomorphism, whatever the coefficients are. In particular, this gives a conceptual explanation to the observation that l-adic cohomologies indeed were ``the same'', once computed independently on each side (by Boyer, resp. Lusztig). This also gives a ``simple'' proof of the absence of torsion in the integral cohomology of the tame Lubin-Tate space. Our main tool is a general result on vanishing cycles for schemes with semi-stable reduction which generalizes previous results of Zheng and Illusie. In rough terms, this states that the restriction of the nearby cycles complex to a closed stratum is the push-forward of its restriction to the corresponding open stratum.
Lefschetz operator and local Langlands mod l : the regular case.
Nagoya Math. J. 208, 1-38 (2012), (Hiroshi Saito memorial volume) pdf dvi
erratum
Let p and \ell be two distinct primes. The aim of this paper is to show how, under a certain congruence hypothesis, the mod \ell cohomology complex of the Lubin-Tate tower, together with a natural Lefschetz operator, provides a geometric interpretation of Vigneras' local Langlands correspondence modulo \ell
Lefschetz operator and local Langlands mod l : the limit case.
Algebra & Number Theory 8-3, 729--766 (2014)
pdf dvi
Let K be a finite extension of Q_p with residue field F_q , and let l be a prime such that q = 1(mod l). We investigate the cohomology of the Lubin-Tate towers of K with coefficients in F_l, and we show how it encodes Vigneras' Langlands correspondence for unipotent F_l-representations.
Ce sont des analogues non-archimédiens des espaces de périodes de Griffith en théorie de Hodge complexe. Il sont liés aux travaux de Fontaine sur la théorie de Hodge p-adique. En particulier ce sont les réceptacles naturels des morphismes de périodes que l'on peut définir sur les espaces de Rapoport-Zink. L'exemple le plus connu et le mieux compris est l'espace symétrique de Drinfeld. Hors de cet exemple, la théorie a été surtout développée par Rapoport, Zink, Kottwitz, puis Orlik. Il s'agit ici de la première monographie sur le sujet. On y reprend les fondements même de la théorie, et on étudie systématiquement la stratification de Harder-Narasimhan du bord d'un espace de périodes.
Period Domains over finite and local fields, avec Sascha Orlik et Michael Rapoport . Cambridge Tracts in Mathematics, 183. Cambridge University Press, Cambridge, 2010. xxii+372 pp.
La première partie présente un analogue de la théorie sur les corps finis et est accessible aux étudiants ayant quelques connaissances basiques en géométrie algébrique. La deuxième partie requiert la connaissance des groupes réductifs. Les deux dernières parties sont p-adiques et plus avancées. On utilise la géométrie analytique à la Berkovich. Plusieurs résultats et preuves apparaissent ici pour la première fois.
Moduli of Langlands parameters, avec David Helm , Rob Kurinczuk et Gil Moss, J. Eur. Math. Soc. 27, no. 5, 1827-1927. (2025) pdf
Moduli spaces of local Langlands parameters, notes for the Summer School on the Langlands Program, IHES 2022. pdf
This is a survey on the motivations and main results in this area following Zhu, Fargues-Scholze and DHKM. Some proofs are different from the original paper DHKM.
Local Langlands in families: The banal case, with David Helm , Rob Kurinczuk et Gil Moss (2024) pdf
We state a conjecture, local Langlands in families, connecting the centre of the category of smooth representations on $\mathbb{Z}[\sqrt{q}^{-1}]$-modules of a quasi-split $p$-adic group $\mathrm{G}$ (where $q$ is the cardinality of the residue field of the underlying local field), the ring of global functions on the stack of Langlands parameters for $\mathrm{G}$ over $\mathbb{Z}[\sqrt{q}^{-1}]$, and the endomorphisms of a Gelfand-Graev representation for $\mathrm{G}$. For a class of classical $p$-adic groups (symplectic, unitary, or split odd special orthogonal groups), we prove this conjecture after inverting an integer depending only on $\mathrm{G}$. Along the way, we show that the local Langlands correspondence for classical $p$-adic groups (1) preserves integrality of $\ell$-adic representations; (2) satisfies an "extended" (generic) packet conjecture; (3) is compatible with parabolic induction up to semisimplification (generalizing a result of Moussaoui), hence induces a semisimple local Langlands correspondence; and (4) the semisimple correspondence is compatible with automorphisms of $\mathbb{C}$ fixing $\sqrt{q}$.
Derived categories and Deligne-Lusztig varieties II, avec
Cédric Bonnafé
et
Raphaël Rouquier.
Ann. of Math. 185, 609--670, (2017)
pdf
This paper is a continuation and a completion of~\cite{BR}. We extend the Jordan decomposition of blocks: we show that blocks of finite groups of Lie type in non-describing characteristic are Morita equivalent to blocks of subgroups associated to isolated elements of the dual group --- this is the modular version of a fundamental result of Lusztig, and the best approximation of the character-theoretic Jordan decomposition that can be obtained via Deligne-Lusztig varieties. The key new result is the invariance of the part of the cohomology in a given modular series of Deligne-Lusztig varieties associated to a given Levi subgroup, under certain variations of parabolic subgroups. We also bring in local block theory methods: we show that the equivalence arises from a splendid Rickard equivalence. Even in the setting of \cite{BR}, the finer homotopy equivalence was unknown. As a consequence, the equivalences preserve defect groups and categories of subpairs. We finally determine when Deligne-Lusztig induced representations of tori generate the derived category of representations. An additional new feature is an extension of the results to disconnected reductive algebraic groups, which is required to handle local subgroups.
Le lemme fondamental pour les groupes unitaires [d'après Laumon et Ngo] Séminaire
Bourbaki novembre 2004. pdf
Lemme fondamental pour les algèbres de Lie (d'après Ngo) Avec Ngo Dac Tuan . Chapitre du projet de Livre.
L-paquets, exemple de SL(2) Exposé au GT "endoscopie" IHES/Paris 13 au printemps 2003.
pdf
Conférences : Londres07 Cetraro07 Montreal08
Ecole d'été "Représentations p-adiques de groupes p-adiques" : Lecture1 Lecture2
Essentially tame Z[1/p]-representations of p-adic groups. 42p, (written in September 2018, made public in May 2024).
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This text has been on hold since fall 2018, but has circulated among a handful of experts since. We decided to make it more widely available since there seems to be a renewed interest in its central topics, such as decompositions of the category of smooth representations over fancy coefficient rings, and the so-called "reduction to depth 0" expected process. The project was announced in this Oberwolfach report . The main result, as it stands, is a decomposition of the category of smooth representations over Z[1/p] parametered by data pertaining to the Galois side of the LLC, and under the assumption that the group is "sufficiently tame". The main tools are Yu's approach to types theory, Kaletha's construction of LLC for so-called regular supercuspidal representations, and Fintzen's exhaustion result. Note that the references to Kaletha's work are to the 2016 preprint version of his paper, so they should certainly be updated. Each factor in this decomposition is then conjectured to be equivalent to the depth 0 category of another reductive group that can be explictly read off the parameter. Back then, we ran into unexpected difficulties to prove this conjecture, and then got distracted by other projects. We plan to take up this paper and hopefully finish it soon.
Dependence of the Deligne-Lusztig induction on the parabolic subgroup. 15p, 09/2014.
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Pas destiné à être publié car contenu dans l'article avec C. Bonnafé et R. Rouquier.
Suppose you have a (non split) Levi subgroup L of a reductive group G over a finite field. Attached to any parabolic subgroup P with component L, there is a Deligne-Lusztig variety Y_P, whose cohomology makes a bridge between the representation theory of L and G. The variety Y_P highly depends on P, in fact even its dimension does. In general, also its cohomology does. However we give a criterion, depending on P, P' and a semisimple conjugacy class s in the dual group of L, that insures that the cohomology of Y_P and Y_P' coincide (in the derived category) after a suitable shift, and when cut out by the idempotent associated to s by Lusztig (for rational cohomology) or by Bonnafé and Rouquier (for integral cohomology).
Parabolic induction and parahoric induction Kokyuroku 1338, proceedings d'une conférence au
RIMS, Kyoto, janvier 2003. pdf
Représentations lisses de groupes p-adiques : finitude,
cohomologie, et correspondance de Langlands Mémoire HDR,
septembre 2006. pdf et présentation.
Integral structures in Bernstein's center. À reprendre. dvi
pour plus de détails.
[Up]
Haoran Wang :
Géométrie et cohomologie de l'espace modéré de Drinfeld et correspondance de Langlands locale
(soutenue le 23/09/2013)
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Haoran a notamment prouvé de manière purement locale la conjecture de Harris sur la forme des espaces de cohomologie rationnelle, ainsi que l'absence de torsion dans la cohomologie entière. Au passage il obtient des résultats sur la cohomologie d'une compactification de certaines variétés de Deligne-Lusztig apparaissant dans ce contexte, et sur les systèmes de coefficients sur l'immeuble.
Florent Martin, en cotutelle avec Antoine Ducros, Constructibilité en géométrie non archimédienne (soutenue le 07/10/2013) pdf .
Motivé par la quête d'une bonne notion de constructibilité pour les faisceaux étales sur les espaces analytiques non-archimédiens, il s'est intéressé aux différentes classes d'ensembles semi-algébriques, semi-analytiques, sous-analytiques surconvergents et sous-analytiques, et a notamment obtenu des résultats de finitude cohomologique pour les sous-analytiques surconvergents (basés sur une jolie interprétation géométrique de leur définition originale plutôt rébarbative) et une bonne notion de dimension pour les sous-analytiques.
Przemyslaw Chojecki : p-adic local Langlands correspondence and geometry (soutenue le 16/01/2015)
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Il a travaillé sur les cohomologies p-adiques et modulo p de variétés de Shimura ou d'espaces de Lubin-Tate, et sur les correspondances de Jacquet-Langlands associées. Il a notamment montré que la cohomologie mod p à support compact de la tour de Lubin-Tate ne contient aucune représentation supersingulière, ce qui change radicalement de la cohomologie mod l ou l-adique. Il a aussi isolé un formalisme issu des travaux d'Emerton pour prouver la modularité de représentations Galoisiennes pro-modulaires, et obtenu un résultat de compatibilité local-global d'une construction de Breuil-Herzig pour U(3).
Ildar Gaisin, en cotutelle avec Laurent Fargues :
Contributions to the Langlands program
(soutenue le 20/09/2017)
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Thomas Lanard : Sur les l-blocs de niveau zéro des groupes p-adiques.
(soutenue le 28/01/2019)
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Tzu Jan Li : Sur l'algèbre des endomorphismes des représentations de Gelfand-Graev et le l-bloc unipotent de GL2 p-adique.
(soutenue le 08/11/2022)
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Arnaud Eteve : Faisceaux monodromiques, théorie de Deligne-Lusztig et chohomologie des champs de chtoucas en profondeur 0
(soutenue le 27/09/2023)
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