Les Z-nombres introduits par Mahler sont les réels
strictement positifs ξ tels que pour
tout entier n l'on ait 0 ≤ {ξ (3/2)n} < 1/2
où {x} désigne la partie fractionnaire du réel
x. C'est un problème ouvert que de montrer que l'ensembles des
Z-nombres est vide.
En 2005 Bugeaud et Dubickas ont montré que si b est un entier
≥ 2, et ξ un nombre
irrationnel, alors les nombres {ξ bn} ne peuvent pas
tous appartenir à un intervalle de
longueur < 1/b. De plus ils appartiennent tous à un
intervalle de longueur exactement
1/b si et seulement si le développement de ξ en
base b est une suite sturmienne (ou de
billard) sur deux chiffres consécutifs en base b.
Nous évoquons l'histoire du résultat combinatoire
qu'ils utilisent (qui a été démontré
plusieurs fois depuis Veerman en 1986-1987) et nous précisons
leur étude dans le cas
b = 2 en introduisant le fonction F définie
pour tout x dans [0, 1] par
F(x) = inf{y ∈ [0, 1], il existe ξ > 0
tel que pour tout n ≥ 0, x ≤ {ξ 2n} ≤ y}.
(Il s'agit d'un travail en commun avec Amy Glen.)