Le Combinatorial Nullstellensatz est un
théorème de Noga Alon généralisant
aux polynômes à
plusieurs variables l'idée
qu'un polynôme de degré d ne peut avoir
d + 1 racines. Les applications
du Combinatorial Nullstellensatz
sont très nombreuses, nous présenterons
rapidement des exemples
en théorie des graphes
ou en géométrie discrète.
De cette idée, Alon, Nathanson et Rusza ont
développé la méthode polynomiale en théorie
additive
des nombres. Ils ont alors donné de
nouvelles preuves des théorèmes de
Cauchy-Davenport et du
théorème de Hamidoune-Dias
da Silva (conjecture d'Erdős-Heilbronn), ainsi
que d'autres résultats
originaux. Nous détaillerons ces résultats.
Une conjecture de Selfridge affirme que dans
Z/nZ, un sous-ensemble de cardinal maximal sans
sous-somme nulle, est de cardinal k tel que
k(k+1)/2 ≤ n+1.
Nous présenterons un nouveau résultat
pour un sous-ensemble A de Z/pZ
concernant le cardinal de l'ensemble des sous-sommes de A,
donnant une preuve de la conjecture de Selfridge dans le cas premier.