Valérie Berthé
V. Berthé,
CNRS, LIRMM, Université Montpellier 2
Représentations p-adiques de β-numérations
La β-numération est un système de numération
positionnel : il s'agit de représenter
des nombres réels selon les puissances d'un réel β
fixé, grâce à l'itération de la trans-
formation de l'intervalle unité T définie par
T(x) := {β x}.
Les propriétés algébriques du réel β
influent grandement sur les propriétés d'une telle
numération. En particulier, il est connu depuis les travaux d'A.
Bertrand-Mathis et de
K. Schmidt que si β est un nombre de Pisot, alors les réels
ayant un développement
purement périodique sont les éléments du corps de
nombres engendré par β.
La question de la caractérisation des réels, voire des
rationnels, ayant un développement
purement périodique est plus délicate.
Afin d'énoncer une caractérisation de type théorè-
me de Galois, nous proposons une représentation
géométrique associée aux β-numérations
faisant intervenir des extensions p-adiques pour les facteurs premiers
de la norme de β.
Il s'agit d'un travail effectué en collaboration avec A. Siegel.