Depuis Green-Tao, il est possible de déterminer le comportement asymptotique du nombre de solutions premières à des équations linéaires, ou, ce qui revient au même, du nombre d'images premières d'un système de formes linéaires. Cet exposé vise à étendre ces résultats à quelques cas bien spécifiques de systèmes de formes polynomiales (quadratiques). En particulier, la configuration indiquée dans le titre fait partie du champ d'application de notre résultat. Celui-ci repose sur la méthode de Green-Tao et sur les travaux de Matthiesen sur les fonctions de représentation des formes quadratiques.