Le théorème de Roth en combinatoire additive peut s'énoncer ainsi :
pour tout α > 0 et tout entier positif N, soit
m(α, N) le minimum, pris sur les sous-ensembles A
de Z/NZ de cardinalité au moins αN, du nombre moyen de
suites arithmétiques de longueur 3 dans
A, c'est à dire N -2 ∑x, r ∈
Z/NZ 1A(x) 1A(x + r)
1A(x + 2r). Alors il existe
une constante positive c = c(α) telle que
m(α, N) ≥ c pour tout N.
Le problème de l'estimation précise de c(α) est bien connu et
difficile. La question de la convergence de m(α, N)
quand N tend vers l'infini constitue un sous-problème
intéressant en lui-même. Croot démontra qu'il y a en effet
convergence si la variable N est restreinte aux nombres premiers.
Je décrirai un travail récent, en collaboration avec Olof Sisask,
généralisant ce résultat de Croot aux suites arith-
métiques de longueur finie arbitraire (et plus généralement à
toutes les configurations dites de « complexité finie »).
Cette
généralisation utilise les nilsuites périodiques; elle permet aussi de
relier des problèmes de type discret
(comme l'amélioration des bornes dans le théorème de Roth)
à des problèmes similaires de type continu.