Oswaldo Velásquez Castañón, IMCA, Lima, Pérou

Sur la frontière naturelle de méromorphie des produits eulériens associés aux fonctions rationnelles en plusieurs variables

On détermine le domaine maximal de méromorphie d'un produit eulérien de la forme f(s₁, …, s_k) = Π_p h(p^-s₁, …, p^-s_k), où h est une fonction rationnelle
à k variables développable en série entière à coefficients entiers, de terme constant h(0, …, 0) = 1, et sans facteur cyclotomique dans son numérateur ni
dans son dénominateur. Ce domaine maximal Γ est décrit comme un domaine tubulaire + i ℝ^k, où K ∈ ℝ^k est un cône rationnel calculé à partir de
l'ensemble des exposants des deux polynômes définissant h. Pour établir la frontière naturelle de méromorphie de ce produit eulérien, on donne une
description complète du diviseur de f sur Γ, qui est d'une part constitué des diviseurs des facteurs locaux h(p^-s₁, …, p^-s_k), et d'autre part des diviseurs
des facteurs de la forme ζ(α₁ s₁ + … + α_ks_k)^-c_α, où ζ est la fonction zêta de Riemann. Une grande famille d'hypersurfaces provenant de ce diviseur
nous permet de réemployer, au moins partiellement, les outils du cas à une variable établis par Estermann et Dahlquist. Une description géométrique
et arithmétique de l'ensemble des indices des exposants dans le développement en produit infini de h nous permet de démontrer la singularité de chaque
point de ∂Γ dans un voisinage tubulaire de l'origine. Ceci est complété par un nouveau résultat à propos de la nature géométrique de l'ensemble de points
singuliers d'une fonction holomorphe définie sur un domaine tubulaire. Ces résultats complètent et étendent les résultats précédents obtenus par Delabarre.