[Travail en commun avec Antal Balog, Valentin Blomer et Gérald Tenenbaum]
On désigne par P+(n) le plus grand facteur
premier de l'entier n.
Soit F un polynôme homogène en deux variables.
Une conjecture
naturelle est que, pour tout ε > 0 donné,
P+(F(a,b)) < max(a,b)ε
pour une proportion positive d'entiers (a,b).
Nous démontrons
cela dans le cas où F est une forme cubique réductible.
Lorsque
F est une forme cubique irréductible ou une forme de degré
≥ 4
nous déterminons un exposant non trivial αF
tel que pour tout
ε > 0 on ait
|{(a, b), 1 ≤ a, b ≤ x :
P+(F(a, b))
< xαF + ε }|
≈ x2.
En particulier dans le cas où F est une forme binaire
irréductible
de degré d ≥ 3, nous montrons
que la valeur αF = d-2 est admissible.