Pour chaque entier n ≥ 2, soit λ(n)
:= (log n)/(log γ(n)) (où γ(n)
= ∏p|n p) l'indice de
composition de n. Alors
que le comportement global de λ(n) est relativement
facile à cerner - par exemple, on montre aisément que sa
valeur moyenne est égale à 1 -
l'étude de son comportement local est plus difficile à
analyser. Ainsi, si on pose
Q(n) = min(λ(n), λ(n + 1),
λ(n + 2)) et si on fixe ε > 0, on peut montrer que
Q(n) > 3/2 - ε pour une infinité
d'entiers n, alors que si la conjecture abc est vraie,
Q(n) ≤ 3/2 + ε pour tous les entiers n
suffisamment grands.
Le problème de la distribution des valeurs de λ(n)
lorsque n parcourt certaines suites d'entiers, telle la suite
p + 1, où p est premier, présente également un
intérêt particulier.
Enfin, nous établissons un lien intéressant entre le
comportement de λ(2n - 1) et l'ordre de grandeur de
l'ensemble
des nombres premiers de Wieferich.