Ludovic Delabarre, LaMUSE, Université de Saint-Étienne

Frontière naturelle de produits Eulériens dépendant
de plusieurs variables

Des questions concernant le comportement analytique
des fonctions zêta de groupes et des fonctions zêta
associées aux variétés toriques projectives conduisent
naturellement à s'intéresser au domaine maximal de
méromorphie de produits Eulériens uniformes de plusieurs
variables de la forme   ∏_{p premier} h(p^-s₁,..., p^-s_n), (n > 1),
associés à un polynôme à coefficients entiers h ∈ Z [X₁,..., X_n].
L'objectif de cet exposé est de présenter des méthodes qui
permettent de déterminer, sous une hypothèse de régularité
analytique sur h vérifiée dans la plupart des cas, la frontière
naturelle de méromorphie de ces produits lorsqu'elle existe.
Le résultat obtenu est une généralisation dans le cadre de
plusieurs variables du célèbre résultat d'Estermann qui affirme
qu'un produit ∏_p h(p^-s) associé à un polynôme h se prolonge
à tout le plan complexe si et seulement si h est cyclotomique
et que sinon l'axe imaginaire est une frontière naturelle de
méromorphie. En guise d'application, je donnerai la frontière
naturelle de méromorphie d'une famille de produits Eulériens
de plusieurs variables associés à des variétés toriques projectives.
Ces travaux fournissent également une réponse à une question
posée par N. Kurokawa et H. Ochiai concernant la frontière
naturelle de méromorphie d'une fonction zêta d'Igusa de plusieurs
variables.