Dans un travail en commun avec R. de la Bretèche, nous étudions le problème de majorer
le nombre ΨQ(x, y) des entiers n ≤ x pour lesquels
Q(n) n'a pas de facteur premier > y, où Q est un polynôme.
Lorsque Q a un facteur de degré ≤ 2, et u = log x / log y, nous montrons
que ΨQ(x, y) ≪ x u-(1+c)u pour
(log x)K < y < x et K, c > 0 absolus.
Ceci améliore significativement la borne générique ΨQ(x, y)
≪ x u-u + o(u), due à Khmyrova, pour les petites valeurs de y.
Nous mentionnerons des applications aux travaux récents de Goudout sur les entiers friables dans les
petits intervalles, et à un problème de De Koninck, Doyon et Luca sur les entiers divisibles par
le carré de leur plus grand facteur premier.
Lorsque Q a un facteur quadratique, nous en profitons pour améliorer le niveau de répartition
connu de {n2 - D, n ≤ x}, étendant des travaux d'Iwaniec et
Duke-Friedlander-Iwaniec.