Cet exposé portera sur le comptage des zéros proches de l'axe réel dans la famille des fonctions L associées aux caractères primitifs de Dirichlet, en moyenne sur le module. Cette question est liée aux théorèmes de type Bombieri-Vinogradov pour les nombres premiers, et tout progrès est mesuré par la taille du support admissible pour la transformée de Fourier φˆ de la fonction test φ. Dans un travail en cours avec K. Pratt (Oxford) et M. Radziwiłł (Caltech) nous montrons que l'on peut choisir supp φ ⊂ [- 2 - c, 2 + c] pour un certain c > 0 inconditionnellement, en utilisant les résultats de Fouvry et Bombieri-Friedlander-Iwaniec sur les nombres premiers en progression arithmétique de grand module.