Dans un travail récent avec Sandro Bettin (Gênes) nous étudions dans un cadre
plutôt général les applications f : Q → C
qui satisfont à des relations fonctionnelles du type suivant : pour tout
γ ∈ SL(2, Z), la différence hγ(x)
:= f(γ x) - |cx + d|-k f(x)
est régulière en un certain sens. Ici k est un nombre complexe. Ce cadre est
dû à Zagier (2010), qui nomme ces applications
formes modulaires « quantiques ».
Les exemples naturels incluent notamment les intégrales d'Eichler de formes modulaires ou
de formes de Maass, ou encore des sommes de cotangentes.
On s'intéressera plus particulièrement à l'existence de fonctions
limites permettant de prédire la répartition des valeurs prises par
f sur des rationnels dont le dénominateur tend vers l'infini.