La conjecture ternaire de Goldbach (1742) affirme que tout nombre impair plus grand que 5 est
la somme de trois nombres premiers. D'après les pionniers (Hardy et Littlewood),
Vinogradov
a démontré (1937) que tout nombre impair plus grand qu'une constante C
satisfait à la conjecture.
Depuis, il y a eu une succession de résultats réduisant C, mais seulement
à des niveaux beaucoup
trop grands pour qu'une vérification mécanique jusqu'à C soit possible
(C > 101300). (Par ailleurs,
les travaux de Ramaré et Tao ont démontré le résultat correspondant avec
respectivement six et
cinq nombres premiers au lieu de trois.)
Nous verrons comment une nouvelle approche du problème, combinant des techniques modernes
avec de nouvelles idées, amène à de grandes améliorations dans
les bornes pour les « arcs mineurs ».
Cela rend possible un plan pour résoudre la conjecture complètement, en
combinant ces bornes avec
une vérification de l'hypothèse de Riemann généralisée
jusqu'à une hauteur donnée (D. Platt) et avec
un traitement moderne des « arcs majeurs ».