François Hennecart
(Université Jean Monnet, Saint Étienne),
Fonctions dilatantes et autres problèmes
On note Fp le corps à p
éléments. Une fonction polynomiale f(x,y)
à coefficient entiers de Fp x Fp
dans Fp
est dite dilatante si pour tout nombre réel α ∈ ]0,1[,
il existe γ = γ(α) > 0 tel que pour
toute paire A, B de
sous-ensembles de
Fp de tailles ≈ pα,
|f(A,B)|/|A| ≥ pγ
pour tout p assez grand où
f(A,B):= {f(a,b) | (a,b) ∈
A x B} ⊆ Fp.
Par exemple x + y et xy ne sont pas dilatantes. A contrario,
x2 + xy est dilatante (J. Bourgain - 2005).
Dans
un premier temps, nous montrerons que cet
exemple appartient à une large famille de
fonctions dilatantes.
Nous discuterons ensuite de
notions connexes et énoncerons quelques résultats.