On s'intéresse à l'existence de « longues »
progressions arithmétiques dans l'ensemble somme triple
A + B + C, lorsque A, B, C
sont des sous-ensembles denses de {1,..., N}.
L'un des problèmes est
d'estimer les conditions sur les densités de
A, B, C pour
lesquelles un tel résultat est possible. L'autre
problème qui sera abordé est de montrer que cette progression
est contenue « avec grande multiplicité »
dans A + B + C, c'est-à-dire avec un nombre
élevé de représentations de chaque élément
de la progression
comme somme a + b + c, où a, b, c
sont des éléments de A, B, C.