Le régulateur d'un corps quadratique réel est un objet qui
reste encore largement méconnu mais dont la signification
arithmétique est profonde. Si D > 0 est un entier mais
pas
un carré, le régulateur de Q(D1/2)
est le logarithme de l'unité
fondamentale de
Q(D1/2).
En exploitant le lien avec l'équation
de Pell T2 - DU2 = 1 et une
idée de décomposition très naturelle,
on améliore les minorations connues sur le régulateur dans le
cas où D = p est premier. On obtient aussi, suivant la
même idée,
de nouvelles majorations sur le nombre de solutions bornées par
une puissance fixée de p de l'équation
de Pell de paramètre p
inférieur à x.
(Travail en commun avec É. Fouvry.)