Soit p un nombre premier et Cp
l'ensemble de toutes les courbes elliptiques sur
le corps fini Fp à isomorphisme près.
On s'intéresse à la probabilité qu'un élément de
Cp ait une certaine propriété (ici la
probabilité est définie par la mesure
d'énumération sur Cp). Par exemple,
l'analogue « vertical » de la conjecture Sato-Tate,
montré par Birch, dit que la probabilité que ap(E),
la trace du Frobenius d'un élément E de Cp,
soit dans l'intervalle ]2αp1/2, 2βp1/2],
avec -1 ≤ α < β ≤ +1, est donnée par
2/π fois l'intégrale de (1-t2)1/2 sur [α,β]
lorsque p tend vers l'infini.
Il y a d'autres conjectures sur des questions reliées. Un exemple
est l'analogue « vertical » de la conjecture de
Lang-Trotter, démontré par David et Pappalardi, qui
prédit la probabilité que ap(E) = t, où t est
fixé. Finalement, David et Smith et, plus tard,
Chandee, David, Koukoulopoulos et Smith, ont
étudié la probabilité que #E(Fp) = N,
où N est fixé, et la probabilité que
E(Fp) ≅ Z/mZ
× Z/mkZ. Tous les
résultats mentionnés ci-dessus ont des
démonstrations différentes qui exigent souvent des
calculs très compliqués. Dans cet exposé, nous allons
discuter une nouvelle approche, unifiée, plus
simple et beaucoup plus probabiliste, pour
nous attaquer à ces problèmes et à d'autres
problèmes similaires. Cette approche est fondée sur
une réinterprétation probabiliste du théorème de
Deuring par Gekeler.
Les résultats qui seront présentés se fondent sur
un travail en cours, en collaboration avec Chantal David et Ethan Smith.