Pour une base b ≥ 2 et tout entier n ≥ 0, on note
sb(n) la somme des chiffres de n en base b :
sb(n) = ∑j ≥ 0 εj,
où n = ∑j ≥ 0 εj bj
avec εj ∈ {0, 1, ..., b - 1}.
On s'intéresse dans cet exposé aux entiers n ≥ 1 tels que
s2(n) = s3(n)
ou bien simplement
s2(n) proche de s3(n).
On décrira un modèle probabiliste pour sb(n) et son
adéquation avec
les résultats expérimentaux.
On exposera brièvement le résultat suivant (J-M. Deshouillers,
L. Habsieger, S. Laishram, B. L.) :
pour N suffisamment grand, on a
card {n ≤ N, |s2(n) - s3(n)| ≤ 0,1457205
log n} > N0,970359.
On regardera ensuite le problème dans le cas d'autres paires de
bases premières et le cas de plus de
deux bases comme
s2(n) = s3(n) = s5(n).