Pour une variété riemannienne compacte, la loi de Weyl
décrit le comportement asymptotique du nombre de
valeurs propres de l'opérateur de Laplace sous-jacent.
La compréhension fine de ces lois asymptotiques, que
ce soient les termes d'ordre supérieur
ou le terme d'erreur, demeure
un problème difficile. Dans le contexte
des espaces localement symétriques, la théorie spectrale du
laplacien est intimement liée à la théorie des
formes automorphes (parmi lesquelles se retrouvent les
courbes elliptiques, les formes modulaires ou de
Maass, les représentations galoisiennes, etc.) et les mêmes
questions surgissent.
Il est en particulier naturel d'essayer d'établir une la loi de Weyl
pour la famille de toutes les représentations
automorphes d'un groupe réductif donné. Cependant,
jusqu'à récemment, toutes les lois
asymptotiques connues
n'étaient que partielles, certains paramètres (spectral,
poids, niveau, ...) demeurant fixés : cela revient, pour ainsi
dire, à n'étudier qu'une tranche de l'espace des formes
automorphes. Les dépendances cachées dans les termes
d'erreur de ces lois de Weyl partielles ne permettent toutefois
pas de recoller les tranches.
Récemment, Brumley et Milićević ont obtenu une loi de
Weyl uniforme pour GL(2), utilisant la formule des traces
d'Arthur, mais n'obtenant essentiellement pas de terme d'erreur.
En simplifiant à l'extrême le cadre de ces travaux,
revenant à des idées utilisées jadis par Drinfeld,
nous avons obtenu un gain par une puissance dans le terme d'erreur
de la loi de Weyl pour la famille universelle des formes automorphes sur
GL(2). L'idée centrale est d'étudier une
« fonction zêta du conducteur »
pertinente, et de déduire des lois de comptage par des arguments
taubériens,
rappelant les méthodes bien connues de la géométrie
arithmétique, suggérant peut-être des ponts plus profonds.