Nouvelles identités de Davenport


Bruno Martin, Université de Nancy


Soit $g$ une fonction arithmétique et $B$ la première fonction de Bernoulli normalisée. En développant $B$ en série de Fourier, nous obtenons l'identité formelle

\begin{displaymath}\sum_{n\ge 1}\frac{g(n)}{n}B(n\theta)=-\sum_{m\ge 1} \frac{\b... ...{1}}\big)(m)}{m}\sin(2\pi m\theta) \qquad(\theta\in\mathbb{R}),\end{displaymath}

où $*$ désigne l'opérateur de convolution de Dirichlet et $\ensuremath{\textbf{1}}$ dénote la fonction arithmétique constante : $\ensuremath{\textbf{1}}(n)=1 \,(n\in\mathbb{N}).$ En 1937, Davenport pose le problème de déterminer l'ensemble des nombre réels $\theta$ pour lesquels cette identité prend un sens analytique. En nous appuyant sur de récents travaux sur les entiers friables, nous étudierons le cas où $g$ est la fonction de Piltz d'ordre $z\in\mathbb{C}$.