Pour χ un caractère de Dirichlet modulo q,
on définit sa fonction thêta associée
θ(x,χ) :=
∑n ≥ 1 χ(n)
e- π n2x/q.
Elle intervient habituellement dans la démonstration de l'équation
fonctionnelle de L(s, χ). Le calcul de
l'asymptotique
des moments des fonctions L est un problème classique de
théorie analytique des nombres étudié notamment afin de
montrer que L(1/2, χ) ≠ 0 pour « beaucoup » de
caractères. Il est conjecturé de façon analogue que
θ(1, χ) ≠ 0. Nous
étudions les moments des fonctions thêta pour deux familles de
caractères :
(i) Les caractères modulo un nombre premier p ;
(ii) Les caractères réels primitifs de conducteur D avec
0 < D ≤ X.
Cela nous permet de déduire des résultats de non-annulation
pour la fonction thêta allant dans le sens de la conjecture.