La répartition des valeurs des fonctions L dans la bande critique est un sujet ancien et profond de théorie des nombres. On peut citer notamment la preuve par Selberg du théorème central limite pour la fonction zêta de Riemann. Une des questions fondamentales proposées par Littlewood est la compréhension des grandes valeurs de ces fonctions et de leur fréquence. Si l'ordre de grandeur maximal de la fonction zêta dans la bande 1/2 < Re(s) < 1 est plutôt bien compris depuis les travaux de Montgomery, le comportement sur les droites limites reste ouvert. En ce qui concerne la droite critique, bien que l'ordre exact demeure incertain, de récents travaux de Bondarenko et Seip ont permis d'améliorer les bornes inférieures jusqu'alors connues en faisant usage de la méthode de "résonance". Dans un travail en commun avec Aistleitner et Mahatab, on explique comment mettre en place judicieusement la méthode de résonance dans le cas de la droite Re(s) = 1 afin d'obtenir une borne inférieure optimale (à la constante près) pour les grandes valeurs de la fonction zêta de Riemann, confirmant une conjecture de Granville et Soundararajan.