La recherche de l'écart maximum entre deux
abscisses de convergence de séries de Dirichlet
bornées a
conduit H. Bohr à développer des
méthodes d'analyse harmonique
(compactifications des réels par des
groupes abéliens compacts).
Ces méthodes ont conduit Bohnenblust et Hille à
une solution non-triviale
du problème initial de
Bohr. À son tour, cette solution a entraîné des
progrès en analyse harmonique
(ensembles de Sidon, ensembles p-Sidon, rayon de Bohr,
méthodes probabilistes, etc...).
Ces progrès ont donné lieu à des formes affinées
du problème initial de Bohr (Konyagin-Queffélec,
de la Bretèche, Maurizi-Queffélec,
Defant-Frerick, Bayart-Matheron, etc..), avec
des ordres de grandeur
presque optimaux. Les ordres de grandeur optimaux, et les meilleures
constantes, ont été trouvés tout
récemment par Ortega-Cerda, Ounaies, Seip, Defant, Frerick, ce
qui semble mettre un point final au
problème initial de Bohr.
Cet exposé de synthèse essaiera de présenter
ces différents aspects.