Hervé Queffélec, Laboratoire Paul Painlevé, Université Lille 1

Opérateurs de composition sur les espaces de Hardy de séries de Dirichlet et problèmes ouverts

L'exposé aura une certaine coloration d'analyse harmonique, dans l'esprit de Kahane, Helson, et Rudin notamment.

L'espace de Hardy H² des séries de Dirichlet a été introduit par Hedenmalm, Lindqvist et Seip (1997) pour étudier un problème de Wiener multiplicatif. Cet espace « habite » sur le demi-plan C_1/2 des complexes de partie réelle > 1/2. Ses opérateurs de composition C_φ, où φ : C_1/2 → C_1/2 et C_φ(f) = f ∘ φ, ont été caractérisés par Gordon et Hedenmalm (1999), utilisant au passage un résultat de Kahane et l'inégalité de Montgomery-Vaughan.
Puis F. Bayart (2003), pour étudier des problèmes d'hypercontractivité, a introduit des espaces H^p, p ≠ 2, et étudié leurs opérateurs de composition, ce qui soulève des difficultés d'analyse harmonique, car un relèvement dû à H. Bohr montre que H^p s'identifie à l'espace de Hardy H^p(C^∞) du tore de dimension infinie, espace non complémenté dans L^p(T^∞).
Plus récemment (2016) Bayart, Seip, et moi-même avons repris l'étude de ces opérateurs de composition et de leurs valeurs singulières. Nous décrirons quelques-uns de nos résultats, des problèmes ouverts, puis un résultat plus récent de Harper et son lien avec deux conjectures de Helson.