Notre problème d'application ici est de déterminer
une infinité
de κ-uplets
d'entiers (n, n + h1,
..., n+ hκ-1)
dont le produit possède
peu de facteurs
premiers. Et notre domaine d'intérêt est plutôt
lorsque κ est assez grand (8, 9, ...)
Rappelons qu'un problème similaire (κ tendant vers l'infini
avec
n comme Log n) est au cœur du travail de Goldston, Pintz
et
Yildirim sur les petits intervalles entre nombres premiers.
Nous introduirons des notions de type géométrique pour
comprendre une version du crible pondéré introduite par
Bombieri en 1973. Ceci nous permettra de deviner la forme
générale de paramètres à optimiser.
Les résultats numéri-
ques obtenus donnent les meilleurs résultats connus dans ce
problème, mais avec une unique méthode, et les améliorent
pour κ grand. Par exemple et à titre de comparaison, nous
savons montrer qu'il existe des 8-uplets ayant en tout au
plus 28 facteurs premiers (ici, h1, h2, ...,
h7 sont choisis
une fois pour toutes, et de façon
à éviter les obstructions
évidentes).