Olivier Robert (Université de Saint-Étienne)

Intégrales oscillantes à phase polynomiale


Soit $ f\in \r [X_1,\dots,X_n]$ un polynôme de degré $ k\ge 2$ et $ \varphi$ une fonction de classe $ C^1$ à support compact. On considère l'intégrale oscillante

$\displaystyle I(\lambda):=\int\varphi(\mathbf{x})\mathrm{e}^{i\lambda f(\mathbf{x})}\mathrm{d}\mathbf{x},\quad (\lambda>0). $

Un résultat classique de Stein montre que $ I(\lambda)=O_{\varphi,f}(\lambda^{-1/k})$ quand $ \lambda\to+\infty$. L'exposant $ 1/k$ est optimal comme le montre l'exemple

$\displaystyle f(\mathbf{x})= f(\mathbf{x}_0)\pm L(\mathbf{x}- \mathbf{x}_0 )^k\qquad \qquad (*) $

où $ L$ est une forme linéaire non nulle.

Nous montrons par des méthodes élémentaires que si $ f$ n'est précisément pas de la forme (*), alors l'exposant $ 1/k$ peut être remplacé par $ 1/(k-1)$ qui est alors optimal. Les résultats exposés ici font l'objet d'un article réalisé en collaboration avec P. Sargos.