Le résultat présenté est le fruit d'un travail en
collaboration avec Harald Helfgott.
Considérant un ensemble A de nombres premiers
et un entier positif N, on définit
la densité relative δP(N,A)
de l'ensemble des éléments de A dans l'ensemble des
nombres
premiers inférieurs ou égaux à N par
δP(N,A) :=
Card{p ∈ A, p ≤ N} /
Card{p premier, p ≤ N}.
Ben Green a démontré l'existence d'une constante
C telle que, si N est assez grand,
tout ensemble A de nombres premiers de densité
relative δP(N,A) telle que
δP(N,A)
≥ C
((log log log log log N) / (log log log log N))1/2
contient une progression arithmétique de longueur 3 non triviale.
Nous améliorons ce résultat en démontrant qu'il
suffit en fait de supposer que l'on a
δP(N,A)
≥ C'
(log log log N)/(log log N)1/3
pour une certaine constante C' pour garantir
l'existence dans A d'une telle progression
arithmétique.