On appelle fonction CMO toute fonction complètement multiplicative f telle que la série de terme général f(n) converge et est de somme nulle. Que peut-on dire de l'ensemble des fonctions CMO ? L'exposé consistera à donner un compte-rendu des informations que nous avons pu glaner avec Jean-Pierre Kahane sur cette question. Celle-ci amène en particulier à revisiter des phénomènes de base de la théorie multiplicative des nombres, avec un regard un peu différent.