1er semestre

Y. Achdou

SOMMAIRE DU COURS :

Algèbre linéaire et bilinéaire

Polynôme annulateur, polynôme minimal, polynôme caractéristique, valeurs propres, sous-espaces caractéristiques, diagonalisation, triangularisation, réduction de Jordan. Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt. Matrices unitaires, normales, symétriques, hermitiennes.

Algèbre bilinéaire, formes quadratiques, théorème de Sylvester.

Analyse numérique matricielle

Des séances de travaux pratiques avec le logiciel SCILAB ou MATLAB accompagnent le cours.

Motivations : présentation de problèmes appliqués impliquant des matrices de grande taille.

Analyse matricielle : décomposition de Schur, valeurs singulières d'une matrice, norme de Frobenieus. Matrices hermitiennes, quotient de Rayleigh. Normes matricielles, normes subordonnées. Rayon spectral d'une matrice et suite des puissances d'une matrice. Nombre de conditionnement d'une matrice. Sensibilité d'un problème aux valeurs propres.

Méthodes directes de résolution de systèmes linéaires : élimination de Gauss. Factorisation LU. Aspects algorithmiques. Méthodes de Gauss avec pivot. Factorisation PA = LU. Factorisation QR.

Méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires : méthode de Jacobi, Gauss-Seidel, de sur-relaxation. Méthodes itératives de type gradient : gradient à pas fixe, gradient à pas optimal, gradient conjugué.

Méthodes itératives pour le calcul des valeurs propres d'une matrice : Méthode de la puissance et de la puissance inverse. Méthode QR. Méthode Jacobi.

Si le temps le permet, on abordera aussi la méthode de Newton en une ou plusieurs dimensions.

BIBLIOGRAPHIE

(1) PG Ciarlet. Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation. Masson, 1988.

(2) G Golub and C. Loan. Matrix compulations (second edition). Hohn Hopkins, 1989.