CD5
Calcul différentiel
I. Espaces vectoriels normés (3 semaines)
1. Norme, produit scalaire et inégalité de Cauchy-Schwarz, norme subordonnée d'une application linéaire.
2. Boules ouvertes, parties ouvertes et fermées. Intérieur et adhérence d'une partie.
3. Convergence de suites et caractérisation des fermés. Limite et continuité ponctuelle d'une application définie sur une partie.
4. Applications continues, caractérisation séquentielle et par image inverse d'ouverts/fermés.
5. Suites et séries de fonctions : convergence simple, uniforme, et normale.
6. Ajout pour ME, IngeM, MIASHS : compacité (résultats admis).
II. Différentiabilité (3 semaines)
1. Différentiabilité ponctuelle, interprétation géométrique (pour les fonctions scalaires).
2. Différentielle, applications de classe C1. Opérations sur les applications différentiables et de classe C1.
3. Théorème des accroissements finis.
4. Dérivées partielles, matrice jacobienne, vecteur gradient d'une fonction scalaire.
5. Critère C1 de différentiabilité.
6. Limites de suites de fonctions différentiables. Différentiation sous l'intégrale (intégrale par rapport à un paramètre réel).
III. Différentielles d'ordre supérieur (3 semaines)
1. Différentielle seconde, applications de classe C2 et dérivées partielles secondes.
2. Théorème de symétrie de Schwarz, matrice Hessienne d'une fonction scalaire.
3. Applications multi-linéaires symétriques. Différentielle d'ordre supérieur, applications de classe Ck et C∞.
4. Polynômes de Taylor et formules de Taylor.
5. Application aux conditions d'ordre 1 et 2 des extrêmums locaux.
IV. Inversion locale et fonctions implicites (3 semaines)
1. Difféomorphismes de classe Ck.
2. Théorème d'inversion locale Ck, et versions globales.
3. Théorème des fonctions implicites, et calcul de la différentielle de la fonction implicite.