31MT4142 : ANALYSE DE FOURIER ET DISTRIBUTIONS

2ème semestre : F. Helein

SOMMAIRE DU COURS

  1. Analyse de Fourier sur le tore T : transformation de Fourier sur L2(T), isomorphisme de L2(T) sur l2(Z) ; extension à L1(T) ; théorèmes de convergence usuels (Dirichlet, Féjer) ; isomorphisme de Cinf(T) sur l'espace S(Z) des suites à décroissance rapide ; espace D'(T) des distributions sur le tore ; transformation de Fourier des distributions ; isomorphisme de D'(T) sur l'espace S'(Z) des suites à croissance lente.
  2. Analyse de Fourier sur Rn : transformation de Fourier sur L1(Rn) ; restriction à l'espace S(Rn) des fonctions Cinf à décroissance rapide, prolongement de S(Rn) à L2(Rn)  et théorème de Plancherel ; distributions tempérées sur Rn et transformation de Fourier des distributions tempérées.
  3. Distributions sur un ouvert U de Rn : Espaces D(U) et D'(U), exemples de distributions; distributions d'ordre fini, support d'une distribution, distributions à support compact ; notion de convergence dans D'(U). Opérations sur les distributions (multiplication, dérivation). Convolution. Équations de convolution, solution élémentaire. Exemples d'opérateurs différentiels à coefficients constants (laplacien, dalembertien, opérateur de la chaleur, opérateur de Schrödinger). Espaces de Sobolev H1(U) et H10(U). Problèmes de Dirichlet.
CONNAISSANCES REQUISES

Topologie, Analyse fonctionnelle, Intégration, Calcul différentiel dans Rn.
 

BIBLIOGRAPHIE

Pour approfondir les connaissances de topologie générale et d'analyse fonctionnelle :
C. Tisseron, Topologie, espaces fonctionnels, Hermann.
C. Wagschal, Topologie et analyse fonctionnelle, Hermann.

En analyse fonctionnelle et intégration :
F. Hirsch et G. Lacombe, Eléments d'analyse fonctionnelle, Masson.
W. Rudin, Analyse réelle et complexe, Masson.

En intégration :
D. Revuz, Mesure et intégration, Hermann.
C. Wagschal, Dérivation, intégration, Hermann.

Sur l'analyse de Fourier :
G. Bourdaud, Analyse de Fourier, polycopié, Paris 7.

Sur les distributions :
J. M. Bony, Distributions et transformation de Fourier, polycopié.
F. Hirsch et G. Lacombe, Eléments d'analyse fonctionnelle, Masson.