31MT4142 : ANALYSE DE FOURIER ET DISTRIBUTIONS |
2ème semestre : F. Helein
SOMMAIRE DU COURS
- Analyse de Fourier sur le tore T : transformation de Fourier
sur L2(T), isomorphisme de L2(T) sur
l2(Z) ; extension à L1(T) ; théorèmes
de convergence usuels (Dirichlet, Féjer) ; isomorphisme de Cinf(T)
sur l'espace S(Z) des suites à décroissance rapide ;
espace D'(T) des distributions sur le tore ; transformation de Fourier
des distributions ; isomorphisme de D'(T) sur l'espace S'(Z)
des suites à croissance lente.
- Analyse de Fourier sur Rn : transformation de Fourier
sur L1(Rn) ; restriction à l'espace S(Rn)
des fonctions Cinf à décroissance rapide, prolongement
de S(Rn) à L2(Rn)
et théorème de Plancherel ; distributions tempérées
sur Rn et transformation de Fourier des distributions tempérées.
- Distributions sur un ouvert U de Rn : Espaces D(U)
et D'(U), exemples de distributions; distributions d'ordre fini, support
d'une distribution, distributions à support compact ; notion de convergence
dans D'(U). Opérations sur les distributions (multiplication,
dérivation). Convolution. Équations de convolution, solution
élémentaire. Exemples d'opérateurs différentiels
à coefficients constants (laplacien, dalembertien, opérateur
de la chaleur, opérateur de Schrödinger). Espaces de Sobolev H1(U)
et H10(U). Problèmes de Dirichlet.
CONNAISSANCES REQUISES
Topologie, Analyse fonctionnelle, Intégration, Calcul différentiel
dans Rn.
BIBLIOGRAPHIE
Pour approfondir les connaissances de topologie générale
et d'analyse fonctionnelle :
C. Tisseron, Topologie, espaces fonctionnels, Hermann.
C. Wagschal, Topologie et analyse fonctionnelle, Hermann.
En analyse fonctionnelle et intégration :
F. Hirsch et G. Lacombe, Eléments d'analyse fonctionnelle, Masson.
W. Rudin, Analyse réelle et complexe, Masson.
En intégration :
D. Revuz, Mesure et intégration, Hermann.
C. Wagschal, Dérivation, intégration, Hermann.
Sur l'analyse de Fourier :
G. Bourdaud, Analyse de Fourier, polycopié, Paris 7.
Sur les distributions :
J. M. Bony, Distributions et transformation de Fourier, polycopié.
F. Hirsch et G. Lacombe, Eléments d'analyse fonctionnelle, Masson.