ISF6
Intégration et séries de Fourier
I. Théorie de la mesure (2 semaines)
1. Tribus.
2. Mesures.
3. Applications mesurables.
II. Intégrale de Lebesgue (3 semaines)
1. Intégration d'une fonction mesurable par rapport à une mesure, intégrabilité.
2. Théorèmes de convergence monotone, Fatou, de convergence dominée, intégrales à paramètres (continuité-dérivabilité).
3. Liens entre l'intégrale de Riemann sur un segment et l'intégrale de Lebesgue.
4. Rappels sur l'intégrale généralisée.
III. Intégrales multiples (2,5 semaines)
1. Tribu produit, mesure produit, exemple de la tribu borélienne et de l'intégrale de Lebesgue dans $\mathbb{R}^d$.
2. Fubini positif et général.
3. Changement de variable dans $\mathbb{R}^d$
IV. Espace $L^2$ (2,5 semaines)
1. Définition, inégalité de Cauchy-Schwarz.
2. Le produit scalaire $L^2$, $L^2$ est un espace de Hilbert.
3. Densité des fonctions continues.
4. Propriétés des espaces de Hilbert.
V. Séries de Fourier (2 semaines)
1. Coefficients de Fourier pour une application périodique intégrable sur la période.
2. Polynômes trigonométriques, théorème de Dirichlet pour les fonctions continues par morceaux et de dérivée continue par morceaux.
3. Séries de Fourier dans $L^2$.