MM2
Algèbre et analyse élémentaires II
1. Espaces vectoriels
- espace vectoriel sur K = R ou C ;
sous-espace vectoriel, intersection de sous-espaces, sous-espace engendré, partie libre, base (finie) ;
coordonnées d'un vecteur dans une base ;
recherche pratique d'une base quand on connaît des vecteurs qui engendrent ;
- théorème de la base incomplète ;
si E est engendré par p vecteurs, alors toute partie libre a au plus p éléments ;
dimension (finie) d'un espace vectoriel ;
- dimension d'un sous-espace d'un espace vectoriel de dimension finie ;
hyperplan ;
des sous-espaces emboîtés sont égaux si et seulement s'ils ont même dimension ;
- sous-espaces supplémentaires, caractérisation utilisant les dimensions.
2. Applications linéaires
- définition ;
existence et unicité d'une application linéaire envoyant les vecteurs d'une base dans des vecteurs donnés ;
endomorphisme ;
isomorphisme d'espaces vectoriels ;
tout espace vectoriel de dimension n est isomorphe à Kn ;
- exemples d'applications linéaires, notamment forme linéaire et projection ;
- noyau, image d'une application linéaire ;
rang d'une application linéaire ;
application linéaire surjective, injective, caractérisations au moyen du noyau et du rang ;
- si f est une application linéaire, alors f définit un isomorphisme entre tout supplémentaire du noyau et l'image ;
théorème de la dimension.
3. Matrices
- matrice à coefficients dans K = R ou C ;
écriture d'un système d'équations linéaires sous la forme AX = B ;
- matrice d'une application linéaire dans des bases ;
- somme et produit de matrices, matrice transposée ;
propriétés de ces opérations ;
rang d'une matrice, rang de la transposée ;
- matrice inversible, calcul de l'inverse, inverse d'un produit ;
caractérisation des bases ;
- matrice de passage, formule du changement de base pour les vecteurs, formule du changement de base pour les endomorphismes ;
matrices semblables.
4. Formule de Taylor
- démonstration du théorème de Rolle en admettant (cf S1) que toute fonction continue sur un segment a un maximum et un minimum ;
théorème des accroissements finis et applications ;
- formule de Taylor avec reste en f(n)(θ) ;
applications à des encadrements (notamment de sin x, cos x, exp x ou ln(1+x)).
5. Études locales
- fonction négligeable devant une autre en un point, notation f (x) =x → a o(g(x)), principales propriétés de cette relation (notamment transitivité et multiplicativité) ;
- définition d'un développement limité à l'ordre n d'une fonction en un point, unicité ;
cas d'une fonction paire (impaire) ;
développement à l'ordre 0 (continuité) et à l'ordre 1 (dérivabilité) ;
- existence du développement limité à l'ordre n pour une fonction ayant une dérivée n-ième ;
- développement limité d'une primitive ;
- développements limités au point 0 de 1/(1+x), ln(1+x), exp x, sin x, cos x, (1+x)α ;
- calcul des développements limités : tronquer un polynôme, développement limité d'une somme, d'un produit, d'une composée ;
- applications des développements limités au calcul des limites et à l'étude locale de fonctions (y compris position du graphe par rapport à une asymptote).
- courbes paramétrées planes : vecteur tangent, étude locale en un point régulier ou singulier, asymptote.
6. Intégrales
- primitive, toute fonction continue sur un intervalle a des primitives (admis) ;
- calcul de primitives : intégration par parties (rappel) et changement de variables ;
- primitives de fonctions rationnelles P/Q, où Q est un produit de facteurs de degré 1, ou de la forme T , (X-a)T ou T2, où T est de degré 2 (on pratiquera sans théorie la décomposition en éléments simples dans ces cas-là) ;
- primitives de « fonctions polynômes ou rationnelles en sinus et cosinus ».
7. Équations différentielles linéaires
- équation y' = a(x)y + b(x) et méthode de variation de la constante ;
- dérivée de t ↦ exp(iat), où a ∈ R ;
- exemples de résolution d'équations différentielles y' = f (y) ;
- équation linéaire du second ordre à coefficients constants et second membre de la forme P(x) exp(ax), où P est une fonction polynôme.