MMAL2
Mathématiques élémentaires II : algèbre
I. Matrices (2 semaines)
1. Somme, produit, division euclidienne.
2. Racines, racines multiples, dérivée de polynômes, énoncé du théorème de D'Alembert-Gauss, décomposition en produit de polynômes irréductibles (sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$, après avoir énoncé le théorème de Bézout puis le lemme d'Euclide).
3. Factorisation des polynômes sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$.
4. Fractions rationnelles, somme, produit, éléments simples sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$.
5. Énoncé du théorème de décomposition en éléments simples sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$, et quelques exemples.
II. Matrices (2 semaines)
1. Somme, produit, matrices particulières (identité, diagonale, triangulaire).
2. Trace, transposée, matrices symétriques, matrices inversibles.
3. Pivot de Gauss.
- Matrices échelonnées suivant les lignes,
opérations élémentaires sur les lignes, matrices d'opérations élémentaires. Toute matrice a une et une seule forme échelonnée réduite (admis).
- Calcul de l'inverse d'une matrice.
- Systèmes linéaires sous la forme AX = Y . Tout système linéaire homogène dont le nombre d'inconnues est strictement supérieur au nombre d'équations admet une infinité de solutions.
III. Espaces vectoriels (3,5 semaines)
1. Définition, exemples : $\mathbb{R}^n$, $\mathbb{C}^n$, espaces de polynômes, de matrices, de fonctions, de suites...
2. Sous-espaces vectoriels.
3. Famille libre, famille génératrice, espace engendré, base (en dimension finie), théorème de la dimension, théorème de la base incomplète. Base extraite d'une famille génératrice finie.
4. Sous-espaces supplémentaires. Hyperplans.
IV. Applications linéaires (3,5 semaines)
1. Définition, noyau, image, rang.
2. Théorème du rang.
3. Matrice d'une application linéaire.
Matrice de passage.