MMAN2

Mathématiques élémentaires II : analyse


I. Dérivation (2 semaines)

1. Définition, dérivation de produits de fonctions, dérivation des fonctions composées, dérivation des fonctions réciproques, extrema, théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, applications.
2. Fonctions usuelles : formulaire de fonctions usuelles (fonctions polynomiales, exponentielle, logarithme, puissances, cos, sin, tan, cosh, sinh, tanh), construction des fonctions réciproques (racines n-ièmes, arcos, arcsin, arctan, argch, argsh, argth), reconnaissance de primitives usuelles.

II. Intégration (2 semaines)

1. Définition de l'intégrale de Riemann des fonctions continues, propriétés élémentaires de l'intégrale (linéarité, Chasles, inégalité triangulaire, positivité, une fonction continue positive d'intégrale nulle est nulle), théorème fondamental de l'analyse.
2. Application aux calculs d'intégrale (méthode par primitives, changement de variable, intégration par parties), calculs de primitive d'une fraction rationnelle.

III. Formules de Taylor et développements limités (3 semaines)

1. Taylor-Lagrange, Taylor reste intégral, Taylor Young..
2. Calculs de développements limités : fonction négligeable devant une autre en un point ou à l'infini, définition de l'équivalence de deux fonctions en un point ou à l'infini. Définition du développement limité à l'ordre n, existence et unicité du développement limité à l'ordre n pour une fonction n fois dérivable, calculs de développements limités : développements limités en 0 de fonctions usuelles, développement limité d'une primitive, développement limité de sommes, produits, fonctions composées, fonction réciproque, développement limité de fonctions paires et impaires, applications aux calculs de limites et à l'étude locale des fonctions (trouver les extrema locaux, position courbe-tangente, convexité locale, position courbe-asymptote etc).

IV. Équations différentielles linéaires (1 semaine)

1. Méthode de résolution des équations différentielles linéaires d'ordre 1 : équation homogène, variation de la constante.
2. Méthode de résolution des équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants dont le second membre est de la forme   x ↦ P(x)eax   avec P un polynôme.

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