MT1 et MM1

Algèbre et analyse élémentaires I


Tronc commun (7h30 par semaine) en noir. Programme complémentaire pour MT1 (2h30 en moyenne par semaine) en vert.

Ensembles et applications
- Opérations sur les parties d'un ensemble, quantificateurs.
- Produit cartésien. Applications. Composition.
- Application injective, surjective, bijective. Bijection réciproque.

Nombres complexes
- Rappels. Racines ne de l'unité.
- Équation du second degré à coefficients dans C.
- Formule du binôme de Newton.

Introduction à l'algèbre linéaire
- Sous-espaces vectoriels de Rn.
- Combinaisons linéaires et sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs.
- Familles libres, familles génératrices, bases.
- Théorème de la base incomplète (avec démonstration). Ses corollaires.
- Intersection et somme de deux sous-espaces vectoriels de Rn. Sommes directes et sous-espaces vectoriels supplémentaires dans Rn.
- Systèmes linéaires et méthode de Gauss. Paramétrisation de l'ensemble des solutions. Recherche d'équations de sous-espaces vectoriels.
- Cas homogène : le nombre d'inconnues moins le nombre minimal d'équations est égal au nombre minimal de paramètres pour les solutions (admis).
- Sous-espace affines de Rn et espace vectoriel associé (définition et exemples).

Matrices
- Combinaison linéaire de matrices, produit d'une matrice par une colonne, produit des matrices.
- Matrices inversibles. Méthode de calcul de l'inverse.

Fonctions
- Définition de la limite (d'une fonction, d'une suite), rappels sur les opérations sur les limites et sur la notion de continuité.
- Borne supérieure. Toute partie non vide majorée de R a une borne supérieure dans R (admis).
- Existence de limites pour une fonction monotone ou une suite monotone (avec démonstrations).
- Théorème des valeurs intermédiaires. L'image d'un segment par une fonction continue est un segment (admis).
- Bijection réciproque d'une fonction continue strictement monotone (avec démonstrations).
- Dérivée, dérivée d'une fonction réciproque.
- Théorème de Rolle, théorème des accroissements finis (avec démonstrations).
- Fonctions usuelles (logarithme, exponentielle, trigonométriques et "inverses", dérivée de exp(zt) par rapport à t).
- Dérivée ne. Formule de Taylor-Lagrange.
- Développements limités. Existence (par le théorème de Taylor-Young).
- Développements limités d'une somme, d'un produit, d'un quotient, d'une composée et d'une fonction réciproque.
- Fonction d'une variable réelle à valeurs dans R2. Étude locale, points de rebroussement. Branche infinie, droite asymptote.