Probabilités III

(code 31HU02MS)


I. Rappels : Variables aléatoires

1. Discret : étude de l'exemple du collectionneur de coupons comme prétexte pour réintroduire encore une fois les lois classiques.
2. Continu : exemple d'un serveur qui reçoit des requêtes de différents types pour réintroduire lois exponentielles, Gamma, Poisson.

II. Vecteurs aléatoires

1. Loi jointes (cas général), fonction caractéristique d'un vecteur.
2. Intégration dans Rn, formule de changement de variable différentiable, application au calcul de lois usuelles (e.g. calcul des densités des lois Γ, χ2, Student,...).
3. Notion de densité conditionnelle, application au cadre gaussien.

III. Convergence d'une suite de variables aléatoires

1. Définition de la convergence dans L2 (et exemple avec l'énoncé de la LGN), définition de la convergence en loi (et exemple avec énoncé du TCL).
2. Formulations équivalentes de la convergence en loi de variables réelles (fonction de répartition, fonction caractéristiques, fonctions tests).
3. Loi faible des grands nombres.
4. Loi de Moivre-Laplace puis théorème central limite.
5. Application à la détermination d'un intervalle de confiance.
6. Autres exemples de convergence en loi (uniforme discrète vers continue, géométrique vers exponentielle...).
7. Convergence en loi de variables dans Rd (via fonctions caractéristiques), TCL multivarié.

IV. Liens avec le cours de statistiques et d'économétrie




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