TO5
Topologie
I. Espaces métriques
1. Distance, diamètre, boules ouvertes, ouverts et fermés.
2. Intérieur et adhérence d'une partie.
Distance induite sur une partie, sous-espaces métriques.
3. Limites de suites.
Caractérisation séquentielle de l'adhérence.
4. Applications continues, caractérisations topologique et séquentielle de la continuité.
5. Produit d’espaces métriques.
Continuité et produits.
6. Convergence simple et uniforme de suites de fonctions continues.
Distance de la convergence uniforme.
Continuité de la limite uniforme d’une suite d’applications continues.
II. Espaces métriques compacts
1. Espaces métriques compacts (propriété de Borel-Lebesgue).
Image d'un compact par une application continue.
2. Caractérisation séquentielle de la compacité (propriété de Bolzano-Weierstrass).
Théorème de Heine, intersection de fermés emboîtés.
Produit de compacts.
3. Parties compactes d'un espace vectoriel normé de dimension finie.
4. Applications continues sur un compact : distance du supremum, continuité uniforme et théorème de Heine.
III. Espaces métriques complets
1. Suites de Cauchy.
Espaces complets, parties complètes.
2. Complétude des espaces vectoriels normés de dimension finie.
3. Prolongement des applications uniformément continues.
4. Complétude de $C^0(X,Y)$ lorsque $X$ est compact et $Y$ complet.
5. Théorème de point fixe des applications contractantes.