TO5
Topologie
I. Espaces métriques (4 heures)
1. Distance, diamètre, boules ouvertes, ouverts et fermés.
2. Intérieur et adhérence d'une partie.
Distance induite sur une partie, sous-espaces métriques.
3. Valeurs d'adhérence et convergence de suites.
Caractérisation séquentielle de l'adhérence.
4. Applications continues, caractérisation séquentielle et par image réciproque d'ouverts/fermés.
5. Suites d'applications continues, convergence uniforme.
II. Espaces métriques compacts (3 heures)
1. Propriété de Borel-Lebesgue, parties compactes.
Image d'un compact par application continue.
2. Propriété de Bolzano-Weierstrass.
3. Parties compactes d'un espace vectoriel normé de dimension finie et équivalence des normes.
4. Applications continues sur un compact : distance du supremum, continuité uniforme et théorème de Heine.
III. Espaces métriques complets (3 heures)
1. Suites de Cauchy.
Espaces complets, parties complètes.
2. Complétude des espace vectoriel normé de dimension finie.
3. Prolongement des applications uniformément continues.
4. Complétude de $C^0(X,Y)$ lorsque $X$ est compact et $Y$ complet.
5. Théorème de point fixe des applications contractantes.
IV. Connexité (2 heures)
1. Partie connexe.
2. Image d'un connexe par une application continue.
3. Parties connexes de $\mathbb{R}$ et théorème des valeurs intermédiaires.