U1TC35
Topologie et calcul différentiel
I. Topologie
1. Espaces métriques, applications continues, ouverts, fermés, intérieur, adhérence, voisinages, frontière, limites, sous-espaces, produits d'espaces métriques. Ouvert et fermé d'une partie.
2. Espaces compacts, connexes, complets.
3. Introduction à la topologie générale.
4. Applications uniformément continues, lipschitziennes, distances équivalentes, complété d'un espace métrique, théorème du point fixe.
5. Espaces vectoriels normés, normes équivalentes, notion de convergence uniforme, applications linéaires continues, espaces de Banach.
II. Calcul différentiel
1. Différentielle et dérivées partielles.
2. Théorème des accroissements finis et formule de Taylor ; extrema : conditions nécessaires et conditions suffisantes.
3. Théorème d'inversion locale et théorème des fonctions implicites ; notions élémentaires sur les sous-variétés de Rn (essentiellement les définitions équivalentes).