%Fichier de J-Y Ducloux (page Web), octobre 1999
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%!TEX encoding = UTF-8 Unicode

\documentclass[11pt,a4paper]{article} %ajouter "draft" pour voir les débordements
\usepackage[text={17cm,26cm},hcentering]{geometry}
\linespread{1} \pagestyle{empty}

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,mathrsfs} %Fontes double-barres, gothiques, script
%---------------------------------------------------------------------
%Macros générales

%Lettres scripts et calligraphiques <- pas dans ce texte
\newcommand{\scro}{\mathscr{O}}
\newcommand{\calo}{\mathcal{O}}

%Black Board Bold Face (lettres double-barre)
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\Proba}{\mathbb{P}}

%Euler fraktur (gothiques) <- pas dans ce texte
\newcommand{\gothg}{\mathfrak{g}}
%---------------------------------------------------------------------
%Opérateurs

%passage aux grands opérateurs
\def\Sum{\displaystyle\sum}
\def\Prod{\displaystyle\prod}
\def\Int{\displaystyle\int}
\def\Lim{\displaystyle\lim}

%opérateurs usuels
\def\Re{\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits}
\def\sg{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}
\def\pr{\mathop{\mathrm{pr}}\nolimits}
\def\abs#1{{\left\vert#1\right\vert}}

%ensemble privé de zéro
\def\moins0{\setminus\!\{0\}}

%Constantes usuelles
\newcommand{\me}{\mathrm{e}} %base des logarithmes népériens
\newcommand{\mi}{\mathrm{i}} %racine carrée particulière de -1
%---------------------------------------------------------------------
%Macros d'algèbre

%opérateurs supplémentaires
\def\rg{\mathop{\mathrm{rg \,}}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\mathrm{tr}}\nolimits}
\def\Ker{\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits}
\def\Supp{\mathop{\mathrm{Supp}}\nolimits}

%composantes #3 d'un vecteur #1 dans une base #2
\def\composantes#1#2#3{\ensuremath{\sousord{#1\hfill}{\,/#2\!}
\left|\!\!\begin{array}{c}#3\end{array} \right.\!\!\!}}
\def\petitescomposantes#1#2#3{\ensuremath{\sousord{#1\hfill}{\,/#2\!}
\left|\!\begin{smallmatrix}#3\end{smallmatrix} \right.\!}}
%---------------------------------------------------------------------
%Macros d'analyse

%opérateurs supplémentaires
\def\Log{\mathop{\mathrm{Log}}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits}
\def\diff{\mathrm{d}}
\def\norm#1{{\left\Vert#1\right\Vert}}
\def\Der{\mathop{\mathrm{Der}}\nolimits}

%définition d'une application en extension de #1 dans #2 envoyant #3 sur #4
\def\application#1#2#3#4{\!\!\begin{array}[t]{ccc}
{#1}&\!\!\!\rightarrow\!\!\!&{#2}\\
{#3}&\!\!\!\mapsto\!\!\!&{#4}\end{array}\!\!\!}
\def\longueapplication#1#2#3#4{\!\begin{array}[t]{ccc}
{#1}&\!\longrightarrow\!&{#2}\\
{#3}&\!\longmapsto\!&{#4}\end{array}\!\!\!}

%barre verticale de restriction d'une fonction
\def\restriction#1#2{\mathchoice
{\setbox1\hbox{${\displaystyle #1}_{\scriptstyle #2}$}
\restrictionaux{#1}{#2}}
{\setbox1\hbox{${\textstyle #1}_{\scriptstyle #2}$}
\restrictionaux{#1}{#2}}
{\setbox1\hbox{${\scriptstyle #1}_{\scriptscriptstyle #2}$}
\restrictionaux{#1}{#2}}
{\setbox1\hbox{${\scriptscriptstyle #1}_{\scriptscriptstyle #2}$}
\restrictionaux{#1}{#2}}}
\def\restrictionaux#1#2{{#1\,\smash{\vrule height .8\ht1 depth .85\dp1}}_{\,#2}}
%---------------------------------------------------------------------
%Macros locales

%symbole de relation #1 avec commentaire #2
\def\surrel#1#2{\mathrel{\mathop{#1}\limits^{#2}}}
\def\egdef{\surrel{=}{\textrm{\tiny déf}}}
%bloc avec texte en dessous, vu comme texte mathématique ordinaire 
\def\sousord#1#2{\mathord{\mathop{#1}\limits_{#2}}}
%une ligne de commentaire #2 sous #1, sans accolade et avec accolade
\def\precisesous#1#2{\sousord{#1}{\makebox[0ex]{\rm \tiny #2}}}
\def\designesous#1#2{\ensuremath{\underbrace{#1}_{\makebox[0ex]{\rm \tiny #2}}}}
\def\precisesousbis#1#2#3{\sousord{\mbox{$#1$}}{\substack{\makebox[0ex]{\tiny #2}
\\\makebox[0ex]{\tiny #3}}}}
%deux lignes de commentaire #2#3 sous #1, sans accolade et avec accolade
\def\designesousbis#1#2#3{\ensuremath{\underbrace{#1}_{\makebox[0ex]{\rm \tiny #2}
\atop\makebox[0ex]{\rm \tiny #3}}}}
\def\designesousbis#1#2#3{\ensuremath{\underbrace{#1}_{\substack{\\[-3.5pt]\makebox[0ex]{\tiny #2}\\
\makebox[0ex]{\tiny #3}}}}}
%---------------------------------------------------------------------

%===============================================================================
%
\begin{document}
%
%==============================================================================

%à tout moment on peut modifier la taille des fontes, par exemple :
%\fontsize{8}{8}\selectfont

\centerline{{\LARGE\bf\boldmath Variétés différentiables~: à retenir\ }\rm (J-Y D)}
\vskip1cm

{\noindent\bf\large Références}

M.~{\sc Berger} et~B.~{\sc Gostiaux}.
{\em Géométrie différentielle} (ch. 2 et ch. 3).
PUF, 1987.
Cote : 67 BER 92 (en anglais : 67 BER 88).

P.~{\sc Dolbeault}
{\em Analyse complexe} (paragraphes 3.3, 6.4, et 7.4 du ch. 7).
Masson, 1990.
Cote : 45 DOL 90.
\vskip5mm


%===============================================================================
%
\section{Variétés lisses (\mathversion{bold}$\K = \R$) ou holomorphes ($\K = \C$)}
%
%==============================================================================


%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Variétés}
%------------------------------------------------------------------------------

On appelle \emph{variété lisse} (resp. \emph{variété holomorphe}) de dimension $m$ un espace topologique $X$ séparé et à base dénombrable muni d'un «~atlas lisse~» (resp. «~atlas holomorphe~»), \\
c'est-à-dire d'une famille $((U_i,\varphi_i))_{i \in I}$ d'homéomorphismes
$\;\, \varphi_i \colon
\;\;\precisesous{U_i}{ouvert de $X$}\;\;
\to
\;\precisesous{\varphi_i(U_i)}{ouvert de $\K ^m$}\;$,
$\, i \in I \,$ vérifiant~:
%
$\displaystyle X = \bigcup_{i \in I} U_i \;\,$
et pour tous $\, i,j \in I \,$ l'application
$\;\, \varphi_j {\scriptstyle \,\circ\,} \varphi_i^{-1} \colon
\designesousbis{\varphi_i(U_i \cap U_j)}{automatiquement}
{\smash{ouvert de $\K ^m$}}
\to \K ^m \;\,$
est C\textsuperscript{$\infty$} (resp. C\textsuperscript{$\infty$} de différentielle $\C$-linéaire).
\smallskip

Dans ce cas~:
la structure de variété de $X$ est l'ensemble de ses «~cartes~», c'est-à-dire des couples $(U,\varphi)$ pour lesquels $\, ((U,\varphi),((U_i,\varphi_i))_{i \in I}) \,$ est encore un atlas de l'espace topologique~$X$.
\medskip

Cette structure détermine la topologie de $X$, car les ouverts de $X$ sont les réunions d'ensembles de définition de cartes de $X$. La topologie de $X$ redonne sa dimension quand $X$ est non vide, car des ouverts non vides de $\K ^{m_1}$ et de $\K ^{m_2}$ sont non homéomorphes lorsque $m_1 \not= m_2$.


%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Exemples}
%------------------------------------------------------------------------------

$\bullet$
$\K ^m$ muni de l'atlas formé de $\; \mathrm{id} \colon \K ^m \to \K ^m \;$ est une variété.
\medskip

$\bullet$
L'espace topologique quotient
$\; \Proba^m (\K )
\egdef
\;\;\raisebox{-1ex}
{\designesous{\K \!\moins0}{action par produit à gauche}}
\raisebox{-.5ex}{$\Big\backslash$}
\K ^{m+1} \moins0 \;$
muni de l'atlas formé des

$\varphi_i \colon
\longueapplication{U_i
\egdef
\{ \K (x_0,...,x_m) \,;\,
(x_0,...,x_m) \in \K ^{m+1} \textrm{ et } x_i \not= 0 \}}{\K ^m}
{[x_0,...,x_m]
\egdef
\K (x_0,...,x_m)}
{(\frac{x_0}{x_i},...,\frac{x_{i-1}}{x_i},
\frac{x_{i+1}}{x_i},...,\frac{x_m}{x_i})}$\\[2mm]
avec $\, 0 \leq i \leq m \,$ est une variété.
\newpage



%===============================================================================
%
\section{Morphismes de variétés}
%
%==============================================================================


\smallskip\quad
On fixe des variétés $X$, $Y$, $Z$ de dimensions $m$, $n$, $p$.

%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Notations}
%------------------------------------------------------------------------------

$\bullet$
Pour tout $x \in X$ et toute carte $(U,\varphi)$ de $X$
\designesous{\textrm{«~en $x$~»}}{c'est-à-dire $x \in U$}~:\\[-3mm]
\hspace*{\fill}%
$\composantes{x}{\varphi}{x_1 \\ \smash{\vdots} \\ x_m} \;$ signifie que $\varphi (x) = (x_1,\cdots,x_m)$.
\hspace*{\fill}%
\smallskip

$\bullet$
Pour toute application continue $\, f \colon X \to Y$, et, toutes cartes $(U,\varphi)$ de $X$ et $(V,\psi)$ de~$Y$~:\\[2mm]
\hspace*{\fill}%
$\composantes{f}{\varphi,\psi}
{\widetilde{f}_1 \\ \smash{\vdots} \\ \widetilde{f}_n} \;$
signifie que
$\;\; \restriction{f}{U \cap f^{-1}(V)} \colon \;\;
\composantes{x}{\varphi}{x_1 \\ \smash{\vdots} \\ x_m} \;
\mapsto \;\;
\composantes{f(x)}{\psi}
{\widetilde{f}_1(x_1,...,x_m) \\ \smash{\vdots} \\
\widetilde{f}_n(x_1,...,x_m)}\!$,
\hspace*{\fill}%
\\
c'est-à-dire que
$\;\; \restriction{f}{U \cap f^{-1}(V)}
= \psi^{-1} {\scriptstyle \,\circ\,}
(\widetilde{f}_1,\cdots,\widetilde{f}_n)
{\scriptstyle \,\circ\,} \varphi$.


%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Morphismes}
%------------------------------------------------------------------------------

$\bullet$
On dit qu'une application $\,f \colon X \to Y \,$ est un \emph{morphisme de variétés de $X$ dans $Y$} si pour tout $a \in X$ il existe une carte $(U,\varphi)$ de $X$ en $a$ et une carte $(V,\psi)$ de $Y$ en $f(a)$ telles que\\
\hspace*{\fill}%
$\; \composantes{f}{\varphi,\psi}
{\widetilde{f}_1 \\ \smash{\vdots} \\ \widetilde{f}_n} \;$
avec $\widetilde{f}_1,...,\widetilde{f}_n$
$\; \left\{ \begin{array}{l}
\textrm{\scriptsize C\textsuperscript{$\infty$} si $\;\K = \R$} \\
\textrm{\scriptsize C\textsuperscript{$\infty$} de différentielle $\C$-linéaire en chaque point si $\;\K = \C$}
\end{array} \right.\!\!$.
\hspace*{\fill}%
\medskip

$\bullet$
La composée de deux morphismes de variétés est un morphisme de variétés.


%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Partition de l'unité}
%------------------------------------------------------------------------------

On suppose ici que $\K = \R$.

Pour tout recouvrement ouvert $(U_i)_{i \in I}$ de la variété lisse $X$, il existe des applications C\textsuperscript{$\infty$} $\; u_i \colon X \to \R$, $i \in I$ telles que~:

$\left\{ \begin{array}{l}  
\forall i \in I \;\;
\Supp \, u_i
\egdef
\designesous{\overline{\{x \in X \mid u_i(x) \not= 0\}}}{«~support de $u_i$~»}
\subseteq U_i
\\
\forall x \in X \;\;\;
\exists \quad\precisesous{V}{voisinage de $x$}\quad
\subseteq X \;\;
\{i \in I \mid \restriction{u_i}{V} \not= 0\} \textrm{ fini}
\\
\forall i \in I \;\; u_i \geq 0, \textrm{ et}, \
\forall x \in X \;\; \Sum_{i \in I} u_i(x) = 1
\end{array} \right.$
\quad
$\left(\parbox{11em}
{$\,(u_i)_{i \in I}\,$~: «~partition lisse de l'unité subordonnée au recouvrement $(U_i)_{i \in I}$~»}
\right)$.

(Par contre, quand $\K = \C$, toute application holomorphe $\; u \colon X \to \C$ dont le support est un compact de l'ensemble de définition connexe d'une carte de $X$, est nulle.)


%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Produit}
%------------------------------------------------------------------------------

L'espace topologique produit $X \times Y$ muni de l'atlas formé des applications\\[1mm]
\hspace*{\fill}%
$\designesous{\varphi {\scriptstyle \times} \psi}
{\raisebox{.6ex}{$(x_1,...,x_m,y_1,...,y_n)$}} \colon \quad\
\application{U \times V}{\K ^{m+n}}{(x,y)}{(\varphi(x),\psi(y))}$
avec
$(U,\designesous{\varphi}{$(x_1,...,x_m)$}\,)$
carte de $X$ et
$(V,\designesous{\psi}{$(y_1,...,y_n)$}\,)$
carte de $Y$
\hspace*{\fill}%
\\[1mm]
est une variété («~variété produit de $X$ et $Y$~»).

De plus, pour toute application \designesous{\textrm{continue}}{(inutile)} $\, h \colon Z \to X \times Y$, on a~:\\
\hspace*{\fill}%
$h$ morphisme de variétés
$\surrel{\iff}{\raisebox{.4ex}{\tiny prop}}$
$\pr_1 {\scriptstyle \,\circ\,} h \,$ et
$\, \pr_2 {\scriptstyle \,\circ\,} h \,$
morphismes de variétés.
\hspace*{\fill}%
\newpage



%===============================================================================
%
\section{Sous-variétés. Immersions. Submersions}
%
%==============================================================================


\smallskip\quad
On fixe des variétés $X$, $Y$, $Z$ de dimensions $m$, $n$, $p$ et un morphisme de variétés $\, f \colon X \to Y$.%


%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Rang}
%------------------------------------------------------------------------------

$\bullet$
Le rang de $f$ en $a \in X$ est l'entier défini indépendamment des choix d'une carte $(U,\varphi)$ de $X$ en $a$ et d'une carte $(V,\psi)$ de $Y$ en $f(a)$ par~:\\[-3mm]
\hspace*{\fill}%
$\rg_a f
\egdef
\mathrm{rang}\,
(\diff\widetilde{f}_1(a_1,...,a_m),\dots,
\diff\widetilde{f}_n(a_1,...,a_m)) \;\;$
où
$\; \composantes{f}{\varphi,\psi}
{\widetilde{f}_1 \\ \smash{\vdots} \\ \widetilde{f}_n} \;$
et
$\; \composantes{a}{\varphi}{a_1 \\ \smash{\vdots} \\ a_m} \!$.
\hspace*{\fill}%
\medskip

$\bullet$
Soit $k \in \N$.
L'ensemble des $x \in X$ en lesquels $\, \rg_x f \geq k \,$ est un ouvert de $X$.

Le rang de $f$ est égal à $k$ au voisinage d'un point $a$ de $X$ si et seulement si \\
il existe  une carte $(U,\varphi)$ de $X$ en $a$ et une carte $(V,\psi)$ de $Y$ en $f(a)$ telles que~:\\[1mm]
\hspace*{\fill}%
$\composantes{f}{\varphi,\psi}
{\widetilde{f}_1\\ \smash{\vdots} \\ \widetilde{f}_n} \;$
avec
$\; \left\{\!\! \begin{array}{c}
\widetilde{f}_1(x_1,...,x_m) = x_1 \\
\vspace{-1.4em} \\ \cdots \\ \vspace{-1.8em} \\
\widetilde{f}_k(x_1,...,x_m) = x_k \\
\widetilde{f}_{k+1}(x_1,...,x_m) = 0 \\
\vspace{-1.4em} \\ \cdots \\ \vspace{-1.8em} \\
\widetilde{f}_n(x_1,...,x_m) = 0
\end{array} \right. \;\;\;$
(«~théorème du rang constant~»).
\hspace*{\fill}%


%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Immersion. Sous-variétés}
%------------------------------------------------------------------------------

$\bullet$
On dit que $f$ est \emph{une immersion} si 
$\; \rg_x f = \dim X \;$ pour tout $x \in X$. \\
Dans ce cas, pour toute application continue $\, h \colon Z \to X$ on a~:

$h$ morphisme de variétés
$\surrel{\iff}{\raisebox{.4ex}{\tiny prop}}$
$\, f {\scriptstyle \,\circ\,} h \,$ morphisme de variétés.
\medskip

$\bullet$
On appelle \emph{sous-variété de dimension $d$ de $X$} une partie $S$ de $X$ munie de la topologie induite qui a une structure de variété de dimension $d$ (automatiquement unique) rendant l'injection canonique $\,\mathrm{inj} \colon S \to X\,$ immersion.
\medskip

$\bullet$
Une partie $S$ de $X$ est une sous-variété de dimension $d$ de $X$ si et seulement si~: \\
pour tout $a \in S$ il existe une carte $(U,\designesous{\varphi}{$(x_1,...,x_m)$}\,)$ de $X$ en $a$ telle que
$\; U \cap S = \{ x_{d+1} = \dots = x_m = 0\}$.\\[1mm]
Dans ce cas~:
$S$ a un atlas formé des $(U \cap S,\designesous{\restriction{\varphi}{U \cap S}}{$(x_1,...,x_d)$}\,)$
avec $(U,\varphi)$ comme ci-dessus.
\smallskip

$\bullet$
Les sous-variétés de dimension $m$ de $X$ sont les ouverts de $X$.


%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Inversion locale}
%------------------------------------------------------------------------------

$\bullet$
On dit que $f$ est \emph{un difféomorphisme} si $f$ est bijective et $f^{-1}$ est u morphisme de variétés

Les cartes de $X$ sont donc les difféomorphismes d'un ouvert de $X$ sur un ouvert de $\K ^m$.%
\medskip

$\bullet$
Par le théorème du rang constant, pour tout $a \in X$ on a~:\\
le morphisme de variétés $f$ se restreint en un difféomorphisme d'un ouvert de $X$ contenant $a$ sur un ouvert de $Y$ contenant $f(a)$ si et seulement si
$\; \rg_a f = \dim X= \dim Y$.
\medskip

$\bullet$
On dit que $f$ est \emph{un plongement} si $f$ se restreint en un homéomorphisme de $X$ sur $f(X)$.
\medskip

$\bullet$
L'image d'une sous-variété par un plongement est une sous-variété de même dimension.%


%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Submersions}
%------------------------------------------------------------------------------

$\bullet$
On dit que $f$ est \emph{une submersion} si $\; \rg_x f = \dim Y \;$ pour tout $x \in X$. \\
Dans ce cas, en supposant $f$ surjective, pour toute application
\designesous{\textrm{continue}}{(inutile)}
$\, h \colon Y \to Z$ on a~:\\[-1.5mm]
\hspace*{\fill}%
$h$ morphisme de variétés
$\surrel{\iff}{\raisebox{.4ex}{\tiny prop}}$
$\, h {\scriptstyle \,\circ\,} f \,$ morphisme de variétés.
\hspace*{\fill}%
\medskip

$\bullet$
L'image réciproque d'une sous-variété par une submersion est une sous-variété de même codimension.
\newpage



%===============================================================================
%
\section{Espaces tangents. Fibré tangent}
%
%==============================================================================


\smallskip\quad
On fixe une variété $X$ de dimension $m$ et $a \in X$.


%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Dérivation ponctuelle}
%------------------------------------------------------------------------------

$\bullet$
On note $(\calo_{\!X})_a$ la $\K $-algèbre des classes d'équivalences de morphismes de variétés
\smash{$\;s \colon \quad\precisesousbis{V}{ouvert de $X$}{contenant $a$}\quad \to \K $}
pour~:
$\qquad\precisesousbis{s_1}{défini}{sur $V_1$}\; \sim \; \precisesousbis{s_2}{défini}{sur $V_2$}\;
\iff \; \exists \quad\precisesousbis{W}{ouvert de $X$}{contenant $a$}\quad
\subseteq V_1 \cap V_2 \;\;\;\; \restriction{s_1}{W} = \restriction{s_2}{W}$.

La classe $\dot{s}$ de $s$ dans $(\calo_{\!X})_a$ sera notée
$\mathrm{germe}_a(s)$ («~germe de $s$ en $a$~»).
\medskip

$\bullet$
On note $\,\Der_a((\calo_{\!X})_a) \,$ le $\K $-espace vectoriel des $\, D_a \in {(\calo_{\!X})_a}^{\!*} \,$ vérifiant~:\\[1mm]
\hspace*{\fill}%
$D_a(\dot{s_1}\dot{s_2})
=D_a(\dot{s_1}) \, s_2(a) + s_1(a) \, D_a(\dot{s_2}) \;$
pour $\, \dot{s_1},\dot{s_2} \in (\calo_{\!X})_a \,$ («~dérivation ponctuelle en $a$~»).
\hspace*{\fill}%



%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Espace tangent en \mathversion{bold}$a$}
%------------------------------------------------------------------------------

$\bullet$
On appelle \emph{espace tangent à $X$ en $a$} le $\K $-espace vectoriel~:\\[1mm]
$T_a X = \Der_a((\calo_{\!X})_a)
\surrel{=}{\textrm{\tiny prop}}
\Bigl\{ \gamma'(0) \, ; \,
\gamma \colon
\;\;\precisesousbis{I}{ouvert de $\K $}{contenant $0$}\;\;
\surrel{{\hbox to 3em{\rightarrowfill}}}{\textrm{\scriptsize variétés}} X
\textrm{ et } \gamma(0) = a \Bigr\} \,$
où
$\; \gamma'(0) \! \colon \!
\application{(\calo_{\!X})_a\!\!}{\K }
{\dot{s}}{\!\frac{\diff}{\diff t}(s(\gamma(t)))_{t=0}\!}$.
\medskip

$\bullet$
Lorsque $X$ est une sous-variété de $\K ^M$, l'injection linéaire
$\; \application{T_a X}{\K ^M}
{\smash{\designesous{\gamma'(0)}{notation ci-dessus}}}
{\!\frac{\diff}{\diff t}(\gamma(t))_{t=0}\!}$
«~identifie~» $T_a X$ à son image, l'espace tangent usuel noté ici $\, (T_a X)_{\textrm{\tiny concret}}$.
\medskip

$\bullet$
À un élément $\dot{s}$ de $(\calo_{\!X})_a$, on associe~:
$\, \diff_a s \egdef
(v \!\mapsto\! \designesous{v(\dot{s})}{noté $v \cdot s$}\,) \in (T_a X)^*$
(«~différentielle de $s$ en $a$~»).

Chaque carte $(U,\designesous{\varphi}{$(x_1,...,x_m)$}\,)$ de $X$ en $a$ donne une application
$\; \diff_a \varphi \colon
\application{T_a X}{\K ^m}
{\gamma'(0)}{\!\frac{\diff}{\diff t}(\varphi(\gamma(t)))_{t=0}\!}$
linéaire bijective qui s'écrit~:
$\; \diff_a \varphi = (\diff_a x_1,...,\diff_a x_m)$.
La base $\left( \left(\frac{\partial}{\partial x_1}\right)_a,\cdots, \left( \frac{\partial}{\partial x_m}\right)_a \right)$
de $T_a X$ définie par
$\left(\frac{\partial}{\partial x_k}\right)_a \!
= (\diff_a \varphi)^{-1}(\,\designesous{e_k}{vecteur de la base canonique}\,)$
pour $1 \!\leq\! k \!\leq\! m$, admet $(\diff_a x_1,\cdots,\diff_a x_m)$ pour base duale.\\[-2mm]
\hspace*{\fill}%
On trouve que~:
$\quad\composantes{\diff_a s}{(\diff_a x_1,\cdots,\diff_a x_m)}
{\left(\frac{\partial}{\partial x_1}\right)_a \cdot s =
\frac{\partial \widetilde{s}}{\partial x_1}(a_1,...,a_m) \\
\smash{\vdots} \\
\left(\frac{\partial}{\partial x_m}\right)_a \cdot s =
\frac{\partial \widetilde{s}}{\partial x_m}(a_1,...,a_m)} \quad$
où
$\;\composantes{a}{\varphi}{a_1 \\ \smash{\vdots} \\ a_m}\;$
et
$\;\composantes{s}{\varphi,\mathrm{id}_{\K }}
{\widetilde{s} = \widetilde{s}_1}$.
\hspace*{\fill}%
\vspace*{-2mm}


%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Fibré tangent}
%------------------------------------------------------------------------------

On appelle \emph{fibré tangent de $X$} la variété d'ensemble
$\;TX \egdef \displaystyle \bigcup_{x \in X} \{ x \} \times T_x X\;$
et de cartes\\
\hspace*{\fill}%
$\smash{\designesous{\diff \varphi}{$(x_1,...,x_m,\diff_x x_1,...,\diff_x x_m)$}}
: \qquad\;\;\;\;
\application{\displaystyle \!\bigcup_{x \in U} \{ x \} \times T_x X
\!}{\K ^{2m}} {(x,v)}{\!\!(\varphi(x),\diff_x\varphi \cdot v)\!\!}$
avec $(U,\designesous{\varphi}{$(x_1,...,x_m)$}\,)$ carte de $X$.
\hspace*{\fill}%


%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Passage de \mathversion{bold}$\C$ à $\R$}
%------------------------------------------------------------------------------

On suppose que $\K = \C$ et note $X_{\!(\R)}$ la variété lisse issue de $X$.

L'application  $\, \application{T_a X}{(T_a (X_{\!(\R)}))_{\C}}{u}{v + \mi\,w} \,$ où
$\, u =
\restriction{(\, \smash{
\precisesous{\smash{\underbrace{v}_{}} + \mi\,\smash{\underbrace{w}_{}}}
{\raisebox{-.5em}{prolongés par $\C$-linéarité}}
} \,)}
{(\calo_{\!X})_a} \;$
est $\C$-linéaire injective, car étant donné une carte
$(U,\designesous{\varphi}{$(z_1,...,z_m)$}\,)$
de $X$ en $a$ à laquelle on associe la carte
$(U,\designesous{\varphi_{\!(\R)}}
{$\smash{\surrel{=}{\mathrm{d\acute{e}f}}} (x_1,...,x_m,y_1,...,y_m)$})$
de $X_{\!(\R)}$ déterminée par
$(z_1,\cdots,z_m) = (x_1 + \mi\,y_1,\cdots,x_m + \mi\,y_m)$, elle envoie
$\left( \frac{\partial}{\partial z_k} \right)_a$
sur
$\frac{1}{2} \left(
\left( \frac{\partial}{\partial x_k} \right)_a \!
- \mi \left( \frac{\partial}{\partial y_k} \right)_a
\right)$, $1 \!\leq\! k \!\leq\! m$.%
\smallskip

Son image et le conjugué de son image sont deux sous-espaces vectoriels complexes supplémentaires de $(T_a (X_{\!(\R)}))_{\C}$.
\newpage



%===============================================================================
%
\section{Application tangente}
%
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\smallskip

Soient $X$, $Y$, $Z$ des variétés de dimensions $m$, $n$, $p$.

On se donne des morphismes de variétés $\,f \colon X \to Y \,$ et $\, g \colon Y \to Z$, et $a \in X$.


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\subsection{Application tangente}
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$\bullet$
L'application
$T_a f \colon \application{T_a X}{T_{f(a)} Y} {v}{(w \colon s \mapsto v \cdot (s {\scriptstyle \,\circ\,} f))}$
est linéaire («~application tangente à $f$ en $a$~»).

Elle envoie $\gamma'(0)$ sur $(f {\scriptstyle \,\circ\,} \gamma)'(0)$, pour
$\; \gamma \colon \quad\precisesous{I}{ouvert de $\K $ contenant $0$}\quad \longrightarrow X \;$
morphisme de variétés tel que $\gamma(0) = a$.

On notera plus généralement~:
$\;\;\; \gamma'(t_0) =
T_{t_0} \gamma \cdot
\designesous{\textstyle \left( \frac{\partial}{\partial t} \right)_{t_0}}
{$\smash{\surrel{\simeq}{\mathrm{can}}} 1 \in \K $} \;$
pour $t_0 \in I$.

$\bullet$
Lorsque $X$ et $Y$ sont des sous-variétés de $\K ^M$ et de $\K ^N$, et
$\; F \colon
\quad\precisesous{\Omega}{ouvert de $\K ^M$ contenant $X$}\quad
\longrightarrow \K ^N \;$
est un morphisme de variétés tel que $F(X) \subseteq Y$, la restriction
$\;\; \restriction{F}{X,Y} \colon \application{X}{Y}{x}{F(x)} \;$
est un morphisme de variétés et on obtient~:
%
$\;\;\; T_a(\restriction{F}{X,Y}) \colon
T_a X \surrel{\simeq}{\textrm{\tiny can}} 
\application
{(T_a X)_{\textrm{\tiny concret}}}
{(T_{F(a)} Y)_{\textrm{\tiny concret}}}
{v}
{\diff F \, (a) \cdot v}
\surrel{\simeq}{\textrm{\tiny can}}T_{F(a)} Y$.

$\bullet$
L'application $\; T f \colon \application {T X} {T Y} {(x,v)} {(f(x),T_x f \cdot v)}$ est un morphisme de variétés.

On a~:
$\; T(g {\scriptstyle \,\circ\,} f) = Tg {\scriptstyle \,\circ\,} Tf$.
et en particulier
$\; T_a(g {\scriptstyle \,\circ\,} f) = T_{f(a)}g {\scriptstyle \,\circ\,} T_af \;$
\vskip-2mm

$\bullet$
Dans des cartes $(U,\designesous{\varphi}{$(x_1,...,x_m)$}\,)$ de $X$ en $a$ et $(V,\designesous{\psi}{$(y_1,...,y_n)$}\,)$ de $Y$ en $f(a)$, en notant
$\; \petitescomposantes{f}{\varphi,\psi}
{\widetilde{f}_1 \\[-1.5mm] \vdots \\ \widetilde{f}_n} \;$
on a~:\\[-4mm]
$\petitescomposantes{Tf}{\diff\varphi,\diff\psi}
{ \widetilde{f}_1 \\
\cdots \\
\widetilde{f}_n \\
\diff\widetilde{f}_1 \\
\cdots \\
\diff\widetilde{f}_n } \;$
donc
$\; \mathfrak{Mat} \!\!
_{\vrule width 0ex height 3ex \bigl(
{\bigl( (\frac{\partial}{\partial x_j})_{\!a} \bigr)}_{\!\! j} \!,
{\bigl((\frac{\partial}{\partial y_i})_{\!f(a)} \bigr)}_{\!\! i}
\bigr)}
\!\! T_a f
\,=\, \displaystyle
\Bigl(
\frac{\partial \widetilde{f}_i}{\partial x_j} (a_1,...,a_m)
\Bigr)_{\!\! i,j} \;$
où
$\; \composantes{a}{\varphi}{a_1 \\ \smash{\vdots} \\ a_m}\!$,
puis $\, \rg_a f = \rg T_a f$.


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\subsection{Cas des sous-variétés et des variétés produit}
%------------------------------------------------------------------------------

$\bullet$
Le fibré tangent à une sous-variété $S$ de $X$ «~s'identifie~» par $T \,\mathrm{inj}$ à une sous-variété de $TX$.

Pour toute submersion $\, p \colon X \longrightarrow \K ^N \,$ et tout plongement
$\, i \colon \;\;\precisesous{\Omega}{ouvert de $\K ^d$}\;\; \longrightarrow X$, on a~:

$T_x(p^{-1}(\{0\}) = \Ker (T_x p) \;$ pour $\; x \in p^{-1}(\{0\} \;$
et $T_{i(t_0)}(i(\Omega)) = \Im (T_{t_0} i) \;$ pour $\; t_0 \in \Omega$.
\smallskip

$\bullet$
Le difféomorphisme $\, \application{T(X \times Y)}{TX \times TY} {v}{(T \pr_1 \cdot v,T \pr_2 \cdot v)}$ «~identifie~» $T(X \times Y)$ et $TX \times TY$.

Pour tous morphismes de variétés $\Phi \colon Z \!\to\! X \!\times\! Y$ et $\Psi \colon X \!\times\! Y \!\!\to\! Z$, $T\Phi$ et $T_{(x,y)}\!\Psi$ se décomposent~en~:

\noindent
$\application
{TZ}
{TX \!\times\! TY
\surrel{\simeq}{\textrm{\tiny can}} T(X \!\times\! Y)}
{v}
{\!(T (\pr_1 {\scriptstyle \circ} \Phi) \!\cdot\! v,
T (\pr_2 {\scriptstyle \circ} \Phi) \!\cdot\! v)\!}\,$
et
$\,\application
{T_{(x,y)}(X \!\times\! Y) \surrel{\simeq}{\textrm{\tiny can}}
T_xX \!\times\! T_yY }
{T_{\Psi(x,y)}Z}
{(v,w)}
{T (\Psi(.,y)) \!\cdot\! v + T (\Psi(x,.)) \!\cdot\! w}$.
\smallskip

$\bullet$
Soient $\;\,f \colon X \times Y \to Z\;\,$ un morphisme de variétés et $\;(a,b) \in X \times Y$.
On pose~: $c = f(a,b)$.\\
Si $T_b(f(a,\cdot))$ est bijective,
alors il existe un ouvert $U$ de $X$ contenant $a$, un ouvert $V$ de $Y$ contenant $b$ et un morphisme de variétés $\;\varphi \colon U \to V\;$ tels que pour tout $x \in U$ l'équation $f(x,y) = c$ d'inconnue $y \in V$ a pour unique solution $\varphi(x)$.
De plus
$\;\varphi(a)=b\;$ et \
$T_a\varphi = -\big(T_b(f(a,\cdot))\big)^{-1} \!\circ T_a (f(\cdot,b))$.%


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\subsection{Passage de \mathversion{bold}$\C$ à $\R$}
%------------------------------------------------------------------------------

On suppose que $\K = \C$ et note encore $X_{\!(\R)}$ la variété lisse issue de $X$.

$\bullet$
L'application  $\, \application{T_a X}{T_a (X_{\!(\R)})} {\gamma'(0)}{(\restriction{\gamma}{I \cap \R})'(0)} \,$ est $\R$-linéaire bijective, car étant donné des cartes associées $(U,\designesous{\varphi}{$(z_1,...,z_m)$}\,)$ et $(U,\designesous{\varphi_{\!(\R)}} {$(x_1,...,x_m,y_1,...,y_m)$})$ de $X$ et $X_{\!(\R)}$ en $a$, elle envoie
$\Bigl(\!\frac{\partial}{\partial z_k}\!\Bigr)_{\!\!a}$
et
$i\Bigl(\!\frac{\partial}{\partial z_k}\!\Bigr)_{\!\!a}$
sur
$\Bigl(\!\frac{\partial}{\partial x_k}\!\Bigr)_{\!\!a}$
et
$\Bigl(\!\frac{\partial}{\partial y_k}\!\Bigr)_{\!\!a}$,%
~$1 \!\leq\! k \!\leq\! m$.

$\bullet$
Une application $f_0 \colon X_{\!(\R)} \to Y_{\!(\R)}$ de classe C\textsuperscript{$\infty$} est égale à une application $\widetilde{f}_0 \colon X \to Y$ holomorphe si et seulement si l'application composée
$\; T_x X \surrel{\simeq}{\textrm{\tiny can}} T_x (X_{\!(\R)}) \surrel{\longrightarrow}{T_x \widetilde{f}_0}
T_x (Y_{\!(\R)}) \surrel{\simeq}{\textrm{\tiny can}}
T_{f(x)} Y \;$
est $\C$-linéaire pour tout $\, x \in X$.
Dans ce cas~:
$\; T_x \widetilde{f}_0 = T_x f_0 \;$ pour $\, x \in X$.
\newpage



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%
\section{Champs de vecteurs}
%
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\smallskip\quad
On fixe des variétés $X$ et $Y$ de dimensions $m$ et $n$.


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\subsection{Champs de vecteurs}
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$\bullet$
On appelle \emph{champ de vecteurs sur $X$} un morphisme de variétés $A$ de $X$ dans $TX$ tel que $\;\, A(x) \in T_x X \;\,$ pour tout $\, x \in X$.
Dans ce cas, pour toute carte $(U,\designesous{\varphi}{$(x_1,...,x_m)$}\,)$ de $X$, on a~:\\[1mm]
\hspace*{\fill}%
$\restriction{A}{U} = \Sum_{k=1}^{m} a_k \; \frac{\partial}{\partial x_k} \;\;$
où
$\;\; \restriction{A}{U} \colon \;\;
\composantes{x}{\varphi}{x_1 \\ \smash{\vdots} \\ x_m} \;
\mapsto \;\;
\petitescomposantes{A(x)}{T\psi}
{ x_1 \qquad\qquad \\
\cdots\qquad\qquad \\
x_m \qquad\qquad \\
\widetilde{A}_1(x_1,...,x_m) \egdef a_1(x) \\
\cdots \\
\widetilde{A}_m(x_1,...,x_m) \egdef a_m(x) }\!$.
\hspace*{\fill}%
\medskip

$\bullet$
L'image d'un champ de vecteurs $A$ sur $X$ par un difféomorphisme $\, \phi \colon X \to Y \,$ est le champ de vecteurs $\, \phi_* A \,$ sur $Y$ défini par~:
$\;\, (\phi_* A)(y) = T_{\phi^{-1}(y)} \phi \cdot A(\phi^{-1}(y)) \;\,$ pour tout $\, y \in Y$.


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\subsection{Crochet}
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$\bullet$
On appelle \emph{crochet} de deux champs de vecteurs $A$ et $B$ sur $X$ l'unique champ de vecteurs $[A,B]$ sur $X$ vérifiant en chaque point~:\\[1mm]
\hspace*{\fill}%
$[A,B] \cdot s = A \cdot (B \cdot s) - B \cdot (A \cdot s) \;\;$ pour tout morphisme de variétés
$\;\, s \colon \quad\precisesous{V}{ouvert de $X$}\quad \to \; \K $.
\hspace*{\fill}%
\smallskip

Pour toute carte $(U,\designesous{\varphi}{$(x_1,...,x_m)$}\,)$ de $X$ dans laquelle
$\restriction{A}{U} = \sum\limits_{k=1}^{m} a_k \;
\frac{\partial}{\partial x_k} \;$
et
$\restriction{B}{U} = \sum\limits_{k=1}^{m} b_k \;
\frac{\partial}{\partial x_k} \;$
\designesous{\textrm{se lisent}}{cf. ci-dessus}
en $\widetilde{A}$ et $\widetilde{B}$,
$\restriction{[A,B]}{U}
\surrel{=}{\textrm{\tiny prop}}
\sum\limits_{i=1}^{m}
(\sum\limits_{j=1}^{m}
(a_j \; \frac{\partial b_i}{\partial x_j} -
b_j \; \frac{\partial a_i}{\partial x_j}))
\frac{\partial}{\partial x_i} \;$
se lit (en chaque point) en
$\; \diff \widetilde{B} \cdot \widetilde{A} -
\diff \widetilde{A} \cdot \widetilde{B}$.
\medskip

$\bullet$
Le $\K $-espace vectoriel des champs de vecteurs sur $X$ muni de $[~,~]$ est une $\K $-algèbre de Lie.\\
Les applications $\,\phi_*\,$ avec $\, \phi \colon X \to Y \,$ difféomorphisme sont des morphismes d'algèbres de Lie.


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\subsection{Cas des sous-variétés et des variétés produit}
%------------------------------------------------------------------------------

$\bullet$
Si des champs de vecteurs $A$ et $B$ sur $X$ envoient une sous-variété $S$ de $X$ dans $TS$, alors~:
$[A,B]$ envoie $S$ dans $TS$ et
$\; [\restriction{A}{S},\restriction{B}{S}] = \restriction{[A,B]}{S}$.
\medskip

$\bullet$
Si $A_X$, $B_X$ sont des champs de vecteurs sur $X$ et $A_Y$, $B_Y$ sont des champs de vecteurs sur $Y$, alors l'identification
$\, T(X \!\times\! Y) \surrel{\simeq}{\textrm{\tiny can}} TX \!\times\! TY \,$
donne~:
$[(A_X,A_Y),(B_X,B_Y)] = ([A_X,B_X],[A_Y,B_Y])$.


%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Équations différentielles}
%------------------------------------------------------------------------------

On suppose que $\K = \R$ et fixe un champ de vecteurs $A$ sur $X$.

$\bullet$
Il existe un ouvert $\Omega$ de $\R \times X$ et une application C\textsuperscript{$\infty$} $\; \Phi \colon \Omega \to X \;$ («~flot de $A$~») tels que~:
$\, \Phi(.,x_0) \,$ est pour chaque $x_0 \in X$ la \emph{plus grande} solution de $\, x' = A(x) \,$ en $x_0$ à $t=0$.

Donc les parties $\, \Im \Phi(.,x_0) \,$ de $X$ («~orbite de $x_0$~») avec $x_0 \in X$ forment une partition de $X$.
\medskip

$\bullet$
Soit $(U,\designesous{\varphi}{$(x_1,...,x_m)$}\,)$ une carte de $X$.
On pose~: 
$\restriction{A}{U} = \sum\limits_{k=1}^{m} a_k \;
\frac{\partial}{\partial x_k}$.

Une application C\textsuperscript{$\infty$} $\;\gamma \colon \quad\precisesous{I}{intervalle ouvert}\quad \to \;  X\;$
est une solution dans $\gamma^{-1}(U)$ de $\, x' = A(x) \,$ si et seulement~si\\[1mm]
\hspace*{\fill}%
$\composantes{\gamma}{\varphi}{\gamma_1 \\ \smash{\vdots} \\ \gamma_m} \;$
avec
$\; \left\{\!\! \begin{array}{c}
\displaystyle \frac{\diff \gamma_1 (t)}{\diff t} = a_1(\gamma(t)) \\
\smash{\vdots} \\
\displaystyle \frac{\diff \gamma_m (t)}{\diff t} = a_m(\gamma(t))
\end{array} \right. \;\;\;$
pour tout $\, t \in \gamma^{-1}(U)$.
\hspace*{\fill}%


\end{document}