\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{french}
\begin{document}
\def\ma {MAPLE }
\begin{center}
{\bf Etude d'ensembles associ\'es \`a une fonction}\\
Fiche-réponses
\end{center}
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\thispagestyle{empty}
\begin{enumerate}
\item{Domaine de d\'efinition d'une fonction \`a deux variables}

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1.1 La fonction $f$ n'est pas définie sur l'ensemble:  
$$\{(u,v)\in {\bf R}^2, u=v\}$$


Le domaine de $f1$ est: 
${\bf R}^2$


Equation cartésienne de $f1^{-1}(\{1/2\})$:
$$(u-v)^2=1\Leftrightarrow u=v+1\hbox{ ou } u=v-1$$

Instruction MAPLE pour le tracé de cet ensemble:

$$\hbox{implicitplot}((u-v)^2=1,u=-2..2,v=-2..2);$$

Description de $f1^{-1}(]0,1])$: ${\bf R}^2$



1.2 Equation cartésienne de l'ensemble des couples o\`u $g$ n'est pas définie: 

$sin(2u)=cos(v)$

Equations des droites:
$$v=-2u-\pi/2+2k\pi,\ k\in{\bf Z}\hbox{ ou } v=2u-\pi/2-2k'\pi,\ k'\in{\bf Z}$$

\item Image d'une fonction de $\bf R$ dans $\bf R^2$.


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2.1 L'intervalle $I$ est: $[0,\pi]$

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Instruction MAPLE qui trace le graphe de $h$:

$$\hbox{spacecurve}([t,cos(t),sin(2t)],t=0..2\pi);$$

Quel choix de l'orientation permet aussi de visualiser $h(\bf R)$:

$$\hbox{spacecurve}([t,cos(t),sin(2t)],t=0..2\pi,\hbox{orientation}=[90,0]);$$



$h1^{-1}(\bf R^+)=[-1,1]$

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Si $(x,y)$ satisfait $(E)$ alors $(x,y)\in h(\bf R)$ car:

$x\in h1^{-1}(\bf R^+)$, donc $\exists t\in [0,2\pi[$ tel que $x=\cos(t).$
Alors $y^2=4(\cos^2(t)-\cos^4(t))=\sin^2(2t)$, d'o\`u $y=\sin(2t)$ ou
$y=-\sin(2t).$ Finalement $(x,y)=h(t)$ ou $(x,y)=h(-t).$


2.2 La projection de $k(\bf R)$ sur $xOy$ est:

un cercle de rayon 1 de centre O.
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La surface sur laquelle est tracé $k(\bf R)$ est un cylindre d'équation
$x^2+y^2=1$, $z$ quelconque.

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La relation entre $k(\bf R)$ et $h(\bf R)$: $h(\bf R)$ est la projection de
$k(\bf R)$ sur le plan $yOz.$

\end{enumerate}
\end{document}



