
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[10pt]{article}
\def\nat{{\rm I} \! {\rm N}}
%10pt
\def\rela{{\rm Z} \kern -0.14cm \raise 0.05cm\hbox{\tiny{\it /}}\kern
  0.05cm}
\def\complex{{\rm C} \kern -0.17cm\rule{0.25pt}{6.5pt}\kern 0.17cm}
\def\reel{{\rm I} \! {\rm R}}
%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

\settowidth{\lng}{\arabic{question}) }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak\vskip -1\baselineskip\squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos


        

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcounter{temp}
\textwidth=16.5cm
\textheight=60\baselineskip
\leftmargin=-2.5cm
\topmargin=-2.5cm
\hoffset=-2.5cm 

\begin{document}
\noindent{\bf DEUG 1 Ann{\'e}e P7 \hfill 1 Semestre 1998-1999}\\
\noindent{\bf MT141}
\begin{center}
  {\bf TP3: Polyn{\^o}mes et fractions rationnelles}
\end{center}
\hrule
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip
On répondra aux questions sur une feuille séparée. On remarquera 
que de nombreuses définitions à entrer dans Maple (par exemple celles de
$u$) se ressemblent. Il est donc conseillé de penser à faire du copié-collé.
\exo
On veut d{\'e}composer la fraction
$\frac{x^3+5x^2+x+1}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}$ en {\'e}l{\'e}ments simples,
c'est {\`a} dire trouver $a_i\in\reel$ tels que:
$$\frac{x^3+5x^2+x+1}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}=\sum_{i=1}^5
\frac{a_i}{x-i}$$
\qu Entrer les d{\'e}finitions suivantes dans Maple:
\begin{verbatim}
> R:=x->x^3+5*x^2+x+1;
> u:=(x,i)->product(x-j,j=1..i-1)*product(x-j,j=i+1..5);
\end{verbatim}
puis, essayez:\\
{\tt > u(x,1);u(x,2);u(x,3);u(x,4);u(x,5);}
\qu Donner une formule exprimant $a_i$ en fonction de $u$ et $R$.
\qu Compl{\'e}ter le texte suivant dans Maple avec la formule trouv{\'e}e
pr{\'e}c{\'e}demment:\\
{\tt > a:=i-> }
%rep: > a:=i->R(i)/u(i,i);
\qu V{\'e}rifier votre calcul en effectuant:
\begin{verbatim}
> R(x)/product(x-i,i=1..5)-sum(a(i)/(x-i),i=1..5);
\end{verbatim}
%ne pas oublier de faire > simplify(%);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%{\`u}
\exo On s'interresse ici {\`a} la fraction
$\frac{x^3+5x^2+x+1}{(x-1)(x^2+1)(x^2+4)(x^2+9)(x^2+16)(x^2+25)}$. On
consid{\`e}re sa d{\'e}composition en {\'e}l{\'e}ments simples dans $\complex$, (o{\`u}
$I^2=-1$):

$$\frac{x^3+5x^2+x+1}{(x-1)(x^2+1)(x^2+4)(x^2+9)(x^2+16)(x^2+25)}=
\frac{b}{x-1}+ \sum_{i=-5,i\neq 0}^5\frac{a_i}{x-iI}$$ 
\qusqu D{\'e}finir:
\begin{verbatim}
> v:=x->product(x^2+i^2,i=1..5);
\end{verbatim}
\squ Trouver $b$ avec l'aide de $v$ comme dans l'exercice I.
% b:=R(1)/v(1);
\qusqu Comparer $a_i$ et $a_{-i}$. (Justifier)
\squ Entrer comme dans l'exercice I la fonction $u$ telle que
$u(x,i)= \prod\limits_{j=1,j\neq i}^5 (x-jI)$. Quelle instruction avez
vous tapé? Controler $u$ avec:\\ 
{\tt >  u(x,1); u(x,3);}
%u:=(x,i)->product(x-j*I,j=1..i-1)*product(x-j*I,j=i+1..5);
\squ Entrer:\\
{\tt > w:=x->(x-1)*product(x+j*I,j=1..5);}

\squ Donner  $a_i$ pour $i\geq 1$ en fonction de $u$, $R$, $w$.
\squ Compl{\'e}ter dans Maple la ligne suivante avec la formule de $a_i$ de la
question pr{\'e}c{\'e}dente:\\ 
{\tt > a:=i-> }
%a:=i-> R(i*I)/(w(i*I)*u(i*I,i));
puis, donner les valeurs de $a_i$ pour $i\geq 1$.
\qu V{\'e}rifier vos r{\'e}sultats en effectuant la ligne suivante: (le
symbole $\backslash$  vous permet d'aller {\`a} la ligne dans Maple).
\begin{verbatim}
> R(x)/((x-1)*v(x))-b/(x-1)-sum(a(i)/(x-i*I),i=1..5)-sum(conjugate(a(i))/(x+i*I),i=1..5);
\end{verbatim}
\qu Donner la d{\'e}composition en {\'e}l{\'e}ments simple dans $\reel$ de:
$$\frac{x^3+ 5x^2+x+1}{(x-1)(x^2+1) (x^2+4)(x^2+9)(x^2+16)(x^2+25)}$$
%b/(x-1)+sum((2*Re(a(i))*x-2*i*Im(a(i)))/(x^2+i^2),i=1..5);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\exo
On rappelle que les intructions {\tt > quo(P,Q,x);} et
{\tt > rem(P,Q,x);} sont les intructions Maple donnant le quotient et
le reste de la division de P par Q, P et Q {\'e}tant vu comme des
polyn{\^o}mes en X. 
On consid{\`e}re la d{\'e}composition en {\'e}l{\'e}ments simples:
$$\frac{x^3+5x^2+x+1}{(x-1)^5(x^2+1)^3}= \frac{A}{(x-1)^5}+
\frac{B}{(x^2+1)^3}$$
\qu Entrer dans Maple:
\begin{verbatim}
> unassign('c','d'):gcdex((x-1)^5,(x^2+1)^3,x,c,d);c;d;
\end{verbatim}
\squ Que repr{\'e}sentent les polyn{\^o}mes $c$ et $d$? V{\'e}rifiez vos
soup{\c{c}}ons avec Maple.
\squ Montrer que $(x^2+1)^3 A\equiv R \ [(x-1)^5]$.
\squ Donner une m{\'e}thode pour obtenir $A$ en fonction de $c$ et $d$
$R$.
%A:=rem(d*R(x),(x-1)^5,x);
\squ Trouver $A$ et $B$ avec Maple. Quelle intruction avez vous tap{\'e}?
%B:=rem(c*R(x),(x^2+1)^3,x);
\qu V{\'e}rifiez votre r{\'e}sultat en tapant:
\begin{verbatim}
> R(x)/((x-1)^5*(x^2+1)^3)-A/(x-1)^5-B/(x^2+1)^3;
\end{verbatim}
\qu On veut remarquer ici que cette m{\'e}thode permet de trouver la
d{\'e}composition de l'exercice II.4 en restant dans $\reel$. Entrer
$u_i=\prod\limits_{1\leq j\leq 5,j\neq i}(x^2+j^2)$ dans Maple, et v{\'e}rifiez quelques valeurs de $u(x,i)$.
\begin{verbatim}
> u:=(x,i)->product(x^2+j^2,j=1..i-1)*product(x^2+j^2,j=i+1..5);
> u(x,1);u(x,2);u(x,5);
\end{verbatim}
\qu Entrer dans Maple:
\begin{verbatim}
> unassign('c','d'):n:=1;gcdex(u(x,n)*(x-1),x^2+n^2,x,c,d);c;d;
> rem(c*R(x),x^2+n^2,x);
\end{verbatim}
\squ D{\'e}montrer que ce r{\'e}sultat est le num{\'e}rateur de la fraction
$\frac{?}{x^2+1}$ dans la d{\'e}composition du II.4.
\squ En changeant $n$, retrouver le r{\'e}sultat du II.4.
\squ Que pouvez vous dire des  diff{\'e}rents $c$ que vous avez obtenus en
faisant bouger $n$?
\squ Montrer que $c$ se calcule tr{\`e}s bien sans Maple.
%u est une constante modulo x^2+n^2, et l'inverse de x-1 est
%proportionel a x+1.
\qu On aimerait d{\'e}composer la fraction $\frac{A}{(x-1)^5}$ en une
somme de fractions dont on connait une primitive. Trouver des $c_i\in
\reel$ 
tels que $A=\sum_{i=0}^4 c_i (x-1)^i$. (On pourra faire un changement
de variables).
% x:=y+1;expand(A);
\end{document}

 

