BLOCS À GROUPES DE DÉFAUT ABÉLIENS

DES GROUPES RÉDUCTIFS FINIS

Michel Broué et Jean Michel

Ecole Normale Supérieure, Paris

Sommaire

0. Introduction

1. Résultats généraux sur les π–séries A. Généralités B. Cas où π est formé de bons nombres premiers C. Nombres premiers F –excellents

2. Blocs unipotents à groupes de défaut abéliens A. Conditions nécessaires B. Les π–blocs unipotents à groupes de défaut abéliens

3. Les isotypies

0. Introduction

Soit G un groupe algébrique connexe réductif sur une clôture algébrique \overline{𝔽}_{q} d’un corps fini 𝔽_{q} (où q est puissance d’un nombre premier p), muni d’un endomorphisme de Frobenius F: G → G lui conférant une structure rationnelle sur 𝔽_{q}, et soit G^{F} le groupe des points rationnels de G (G^{F} est un groupe fini “de type de Lie”). Soit ℓ un nombre premier différent de p et bon pour G. On suppose en outre que ℓ satisfait certaines conditions techniques : ℓ ne divise ni |(Z(G)/Z^{∘}(G))^{F} | ni |(Z(G^{∗})/Z^{∘}(G^{∗}))^{F} | (où G^{∗} est le dual “de Langlands” de G pris sur le même corps \overline{𝔽}_{q}), et si G^{F} possède une composante de type 3D_{4}, alors ℓ ≠ 3.

Le but de cet article est de classifier les ℓ–blocs unipotents à groupes de défaut abéliens de G^{F}, et de démontrer dans ce cas la validité de la conjecture générale faite dans [Br1] : si e est un ℓ–bloc de G^{F} à groupe de défaut abélien D, et si (D, f) est une e-sous-paire maximale de G^{F}, les blocs e de G^{F} et f

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1991 Mathematics Subject Classification. 20, 20G.

S.M.F.

Asterisque 212 * (1993)

M. BROUÉ, J. MICHEL

de N_{G^{F}} (D, f) sont isotypiques. Chemin faisant, nous démontrons un résultat plus général concernant les π–blocs de G^{F} (où π est un ensemble de nombres premiers ℓ possédant en particulier les propriétés ci–dessus).

Dans [BMM], des résultats analogues sont démontrés sous l’hypothèse plus forte que ℓ est “grand” (i.e., essentiellement, ℓ ne divise pas l’ordre du groupe de Weyl de G). Dans ce cas, ces résultats sont obtenus comme application des “méthodes génériques” de [BMM]. Pour les étendre au cas des petits nombres premiers (non génériques) nous devons développer ici des techniques combinant certaines méthodes de [BMM] avec celles de [BrMi].

Si ℓ ≠ p, les conditions sur ℓ énoncées ci-dessus sont automatiquement vérifiées si les ℓ-sous-groupes de Sylow de G^{F} sont abéliens ([En]), donc nous avons en particulier :

Théorème. Si un ℓ-sous-groupe de Sylow D de G^{F} est abélien, les ℓ-blocs principaux de G^{F} et de N_{G^{F}} (D) sont isotypiques.

1. Ensembles de nombres premiers, π–séries

Dans ce premier paragraphe, nous introduisons les principales notations, et nous redémontrons, en les améliorant, les principaux résultats de [BrMi]. Nous déterminons les principales propriétés des nombres premiers considérés par la suite.

Les notations suivantes sont en vigueur dans la suite : G est un groupe algébrique réductif connexe sur une clôture algébrique \overline{𝔽}_{q} d’un corps fini 𝔽_{q} de caractéristique p, muni d’une structure rationnelle sur 𝔽_{q}. Nous notons F: G → G l’endomorphisme de Frobenius correspondant, et G^{F} le groupe des points rationnels de G. Nous appelons “sous–groupe de Levi de G” un sous–groupe de Levi d’un sous–groupe parabolique de G, et, si L est rationnel, nous notons R_{L}^{G} (resp. ^{∗}R_{L}^{G}) le foncteur d’induction (resp. de restriction) de Deligne–Lusztig (cf. par exemple [DiMi]) associé.

1.A. Généralités.

Soit π un ensemble de nombres premiers ne contenant pas p, et soit π′ son complémentaire dans l’ensemble de tous les nombres premiers. Si n est un nombre entier, nous notons n_{π} le plus grand diviseur de n produit d’éléments de π.

1.1. Définition. Soit σ_{π′}^{G^{F}} la fonction centrale sur G^{F} définie par

σ_{π′}^{G^{F}} (g) = \{ \begin{matrix}|G^{F} |_{π} si g est un π′–élément, \\ 0 sinon. \end{matrix}

BLOCS À GROUPES DE DÉFAUT ABÉLIENS

Il est clair que σ_{π′}^{G^{F}} (g) ne dépend que de la partie semi–simple de g.

Si γ est un caractère unipotent de G^{F}, nous notons deg(γ) son degré, et Deg(γ) son degré générique. Ainsi, on a Deg(γ) ∈ ℚ[x], et deg(γ) = γ(1) = Deg(γ)(q).

Les faits suivants résultent de [BrMi], 2.5 :

(1.2)

(1) Pour tout sous–groupe de Levi F –stable L de G et toute fonction centrale ψ sur L^{F}, on a

∗R_{L}^{G}(σ_{π′}^{G^{F}} ψ) = deg(R_{L}^{G}(1))_{π}σ_{π′}^{L^{F}} ^{∗}R_{L}^{G}(ψ)

et

σ_{π′}^{G^{F}} R_{L}^{G}(ψ) = deg(R_{L}^{G}(1))_{π}R_{L}^{G}(σ_{π′}^{L^{F}} ψ) ,

(2) σ_{π′}^{G^{F}} est uniforme, et

σ_{π′}^{G^{F}} = ∑_{[T]_{G^{F}}} \frac{deg(R_{T}^{G}(1))_{π}}{|W_{G^{F}} (T)|} R_{T}^{G}(σ_{π′}^{T^{F}}) .

où la somme porte sur un système de représentants des classes de G^{F} – conjugaison de tores maximaux F –stables de G, et où W_{G^{F}} (T) = N_{G^{F}} (T)/T.

Remarque. Avec nos conventions, la π–partie d’un entier est toujours positive. En particulier

deg(R_{L}^{G}(1))_{π} deg(R_{L}^{G}(1))_{π′} = ε_{G}ε_{L} deg(R_{L}^{G}(1)) ,

où ε_{G} = (−1)^{𝔽_{q}–rang semi–simple de G}.

On a σ_{π′}^{T^{F}} = ∑ θ, où θ parcourt l’ensemble des caractères de T^{F} dont l’ordre est un π–entier. Si uσ_{π′}^{G^{F}} désigne la projection de σ_{π′}^{G^{F}} sur le sous– espace des fonctions centrales engendré par les caractères unipotents, on en déduit :

(1.3)  uσ_{π′}^{G^{F}} = ∑_{[T]_{G^{F}}} \frac{deg(R_{T}^{G}(1))_{π}}{|W_{G^{F}} (T)|} R_{T}^{G}(1) .

Conformément à l’usage, nous notons E(G^{F} , (s)) la “série de Lusztig” associée à la classe de conjugaison d’un élément semi–simple s ∈ G^{∗F} et nous posons E_{π}(G^{F} , 1) := ⋃_{s∈(G^{∗}^{F^{∗}})_{π}} E(G^{F} , (s)) (cf. [BrMi]). Nous notons pr_{π}^{G^{F}} la projection de l’espace des fonctions centrales sur G^{F} sur le sous–espace engendré par les éléments de E_{π}(G^{F} , 1), et nous posons

Reg_{π}^{G^{F}} := pr_{π}^{G^{F}} Reg^{G^{F}} = ∑_{χ∈E_{π}(G^{F} ,1)} χ(1)χ .

Enfin nous notons UReg_{π}^{G^{F}} la projection de Reg_{π}^{G^{F}} sur le sous–espace engendré par les caractères unipotents.

La deuxième assertion de la proposition suivante a déjà été démontrée dans [BrMi].

1.4. Proposition.

(1) Reg_{π}^{G^{F}} = ∑_{[T]_{G^{F}}} \frac{deg R_{T}^{G}(1)}{|W_{G^{F}} (T)|}R_{T}^{G}(Reg_{π}^{T^{F}}) ,

(2) Reg_{π}^{G^{F}} = σ_{π′}^{G^{F}} D(uσ_{π∪{p}}^{G^{F}}) , où D désigne la dualité de Curtis–Alvis– Kawanaka.

Preuve.

On obtient (1) en appliquant pr_{π}^{G^{F}} à la formule

Reg^{G^{F}} = ∑_{[T]_{G^{F}}} \frac{deg R_{T}^{G}(1)}{|W_{G^{F}} (T)|}R_{T}^{G}(Reg^{T^{F}}) ,

car pr_{π}^{G^{F}} (R_{T}^{G}(Reg^{T^{F}})) = R_{T}^{G}(pr_{π}^{T^{F}} (Reg^{T^{F}})) = R_{T}^{G}(Reg_{π}^{T^{F}}) .

(2) Par 1.3, on voit que

(1.5)  uσ_{π∪\{p\}}^{G^{F}} = ∑_{[T]_{G^{F}}} \frac{deg(R_{T}^{G}(1))_{π′}}{|W_{G^{F}} (T)|} R_{T}^{G}(1) .

Multipliant les deux membres de 1.3 par σ_{π′}^{G^{F}} et utilisant 1.2, (1), ainsi que l’égalité D(R_{T}^{G}(1)) = ε_{G}ε_{T}R_{T}^{G}(1), on obtient le résultat. □

Comme dans [BrMi], on déduit de 1.4, (2), que Reg_{π}^{G^{F}} est le caractère régulier associé à un π–idempotent central de \overline{ℚ}G^{F}, que l’on désigne par e_{π}^{G^{F}}.

1.B. Cas où π est formé de bons nombres premiers.

Supposons maintenant que π ne contient que des nombres premiers bons pour G. Pour tout π–sous–groupe abélien S de G^{F}, le groupe C_{G}^{o}(S) est alors un sous–groupe de Levi F –stable de G (cf. par exemple [GeHi], 2.1).

1.6. Définition. On appelle sous–groupes de Levi π–déployés de G les centralisateurs connexes des π–sous–groupes abéliens de G^{F}.

Un groupe M est un sous–groupe de Levi π–déployé de G si et seulement si il existe un tore maximal F –stable T de G tel que M = C_{G}^{o}(T_{π}^{F}), où on a noté T_{π}^{F} un π–sous–groupe de Sylow de T^{F}.

1.7. Définition.

(1) Un tore maximal F –stable T de G^{F} est dit π–anisotrope si le π–sous– groupe de Sylow T_{π}^{F} de T^{F} est contenu dans Z^{o}(G)^{F}. Nous notons T_{π}(G) l’ensemble de tous les tores maximaux π–anisotropes de G.

(2) Pour toute fonction centrale uniforme ψ sur G^{F}, soit c_{π}(ψ) la “projection π–cuspidale” de ψ, définie par

c_{π}(ψ) := ∑_{[T∈T_{π}(G)]_{G^{F}}} \frac{1}{|W_{G^{F}} (T)|}R_{T}^{G}(^{∗}R_{T}^{G}(ψ)) .

Dans tout ce qui suit, les symboles “=_{G^{F}}, ≤_{G^{F}}, ⊆_{G^{F}}, ≼_{G^{F}} ”, représentent les symboles “=, ≤, ⊆, ≼” modulo G^{F} –conjugaison.

L’analogue suivant du lemme [BMM], 2.14, nous sera utile.

1.8. Lemme. Soit φ une fonction sur l’ensemble de tous les tores maximaux F –stables de G, invariante par G^{F} –conjugaison. Soit M un sous–groupe de Levi π–déployé de G. Alors

∑_{[T;T_{π}^{F} =_{G^{F}} Z^{o}(M)_{π}^{F}]_{G^{F}}} φ(T) = \frac{1}{|W_{G^{F}} (M)|} ∑_{[T∈T_{π}(M)]_{M^{F}}} \frac{φ(T)}{|W_{M^{F}} (T)|} .

Preuve. Il suffit de suivre la preuve de [BMM], lemme 2.14, en remplaçant d par π. □

Comme dans [BMM], §2.C, on note Ab Irr(G^{F}) le groupe des caractères du groupe abélien G^{F} /[G, G]^{F} (vus comme caractères de G^{F}), et on note Ab_{π} Irr(G^{F}) le sous–groupe des éléments dont l’ordre est un π-entier. On pose

Ab_{π} Reg(G^{F}) := ∑_{θ∈Ab_{π} Irr(G^{F})} θ .

1.9. Proposition.

(1) Reg_{π}^{G^{F}} = ∑_{[M π–déployé]_{G^{F}}} \frac{deg R_{M}^{G}(1)}{|W_{G^{F}} (M)|}R_{M}^{G}(Ab_{π} Reg^{M^{F}}c_{π}(UReg^{M^{F}})) .

(2) UReg^{G^{F}} = ∑_{[M π–déployé]_{G^{F}}} \frac{deg R_{M}^{G}(1)}{|W_{G^{F}} (M)|}R_{M}^{G}(c_{π}(UReg^{M^{F}})) .

Preuve. La démonstration ressemble à celle de [BMM], 2.16, 2.33. Regroupant les tores dans la formule 1.4, (1), pour Reg_{π}^{G^{F}}, selon la classe de G^{F} –conjugaison de T_{π}, et appliquant 1.8 à chaque regroupement, nous obtenons

Reg_{π}^{G^{F}} = ∑_{[M]_{G^{F}}} \frac{1}{|W_{G^{F}} (M)|} ∑_{[T∈T_{π}(M)]_{M^{F}}} \frac{deg R_{T}^{G}(1)}{|W_{M^{F}} (T)|}R_{T}^{G}(Reg_{π}^{T^{F}})

= ∑_{[M]_{G^{F}}} \frac{deg R_{M}^{G}(1)}{|W_{G^{F}} (M)|}R_{M}^{G}( ∑_{[T∈T_{π}(M)]_{M^{F}}} \frac{deg R_{T}^{M}(1)}{|W_{M^{F}} (T)|}R_{T}^{M}(Reg_{π}^{T^{F}}))

= ∑_{[M]_{G^{F}}} \frac{deg R_{M}^{G}(1)}{|W_{G^{F}} (M)|}R_{M}^{G}(c_{π}(Reg_{π}^{M^{F}}))

où chacune des sommes porte sur des représentants des G^{F} -classes de sousgroupes de Levi π-déployés. (1) est alors conséquence de l’analogue suivant de [BMM], 2.34.

1.10. Lemme.

c_{π}(Reg_{π}^{G^{F}}) = Ab_{π} Reg^{G^{F}} c_{π}(UReg^{G^{F}}) .

Preuve de 1.10. D’après 1.4, (1), et 1.7, (2), on voit que

c_{π}(Reg_{π}^{G^{F}}) = ∑_{[T∈T_{π}(G)]_{G^{F}}} \frac{deg R_{T}^{G}(1)}{|W_{G^{F}} (T)|}R_{T}^{G}(Reg_{π}^{T^{F}}) ,

c_{π}(UReg^{G^{F}}) = ∑_{[T∈T_{π}(G)]_{G^{F}}} \frac{deg R_{T}^{G}(1)}{|W_{G^{F}} (T)|}R_{T}^{G}(1^{T^{F}}) .

Il suffit donc de démontrer que, pour tout T ∈ T_{π}(G), on a R_{T}^{G}(Reg_{π}^{T^{F}}) = Ab_{π} Reg^{G^{F}} R_{T}^{G}(1^{T^{F}}) . Puisque la fonction Ab_{π} Reg^{G^{F}} est “p–constante” (cf.

[BrMi], 2.5), on a Ab_{π} Reg^{G^{F}} R_{T}^{G}(1^{T^{F}}) = R_{T}^{G}(Res_{T^{F}}^{G^{F}} (Ab_{π} Reg^{G^{F}}) . Il suffit donc de vérifier que

(*)  Res_{T^{F}}^{G^{F}} (Ab_{π} Reg^{G^{F}}) = Reg_{π}^{T^{F}} .

La fonction Res_{T^{F}}^{G^{F}} (Ab_{π} Reg^{G^{F}}) est la fonction sur T^{F} qui prend la valeur |G^{F} /[G, G]^{F} |_{π} sur les éléments t ∈ T^{F} dont l’image modulo [G, G]^{F} est un élément π–régulier, et la valeur 0 sur les autres éléments de T^{F}.

Le groupe G^{F} /[G, G]^{F} est un quotient de T^{F} (cf. par exemple [BMM], §2) et |G^{F} /[G, G]^{F} | = |Z^{∘}(G)^{F} |. Comme, par hypothèse sur T^{F}, on a |T^{F} |_{π} = |Z^{∘}(G)^{F} |_{π}, donc |T^{F} |_{π} = |G^{F} /[G, G]^{F} |_{π}, on voit que T^{F} ∩ [G, G]^{F} est un π′–groupe. Il en résulte que la fonction Res_{T^{F}}^{G^{F}} (Ab_{π} Reg^{G^{F}}) est aussi celle qui prend la valeur |T^{F} |_{π} sur les éléments π–réguliers de T^{F} et la valeur 0 sur les éléments π–singuliers de T^{F}. Ceci prouve bien l’égalité (*). □

La preuve de (2) est identique, en partant cette fois de la formule 1.3. □

Remarque. La démonstration de 1.10 ci-dessus montre que s’il existe des tores π–anisotropes, alors Z([G, G])^{F} est un π′–groupe. Cette hypothèse est précisément celle de la proposition 1.19, (1), ci-dessous.

1.C. Nombres premiers F –excellents.

Pour des raisons qui apparaîtront plus loin (voir par exemple 1.15 et 1.16), nous devons imposer quelques restrictions sur les ensembles de nombres premiers que nous utilisons (comparer avec [GeHi], 2.3, et aussi avec [CaEn]).

1.11. Définition. Un nombre premier ℓ est dit (G, F)–excellent si et seulement si

(1) ℓ est bon pour G,

(2) ℓ ≠ p,

(3) ℓ ne divise ni |(Z(G)/Z^{o}(G))^{F} | ni |(Z(G^{∗})/Z^{o}(G^{∗}))^{F^{∗}}|,

(4) ℓ n’est pas égal à 3, si G^{F} possède une composante de type ^{3}D_{4}.

Les nombres premiers “grands” (“génériques”) de [BMM], §5, vérifient ces conditions :

1.12. Proposition. Si ℓ ≠ p et ℓ ∤ |W <ϕ>| alors ℓ est (G, F)–excellent.

Preuve. Puisque les mauvais nombres premiers divisent |W |, et que 3 divise l’ordre du groupe de Weyl de D_{4}, nous devons juste vérifier la condition (3).

Suivant les notations de [BMM], on note R le système de racines de G, sous-ensemble du groupe des co-caractères X de T, et R^{∨} le système dual, sous-ensemble du groupe des caractères Y de T. De plus, on note Q(R) (resp.

Q(R^{∨}))le ℤ–sous-module de X (resp. de Y) engendré par R (resp. par R^{∨}), et P (R) le dual de Q(R^{∨}) dans ℚ ⊗ X.

Le groupe des caractères de Z(G)/Z^{o}(G) est isomorphe au sous-groupe de p′-torsion de X/Q(R). Puisque le sous-groupe de torsion de X/Q(R), à savoir le groupe Q(R)^{⊥⊥}/Q(R), est un sous-groupe de P (R)/Q(R), il suffit de vérifier que |P (R)/Q(R)| et |P (R^{∨})/Q(R^{∨})| (ce dernier doit être considéré afin d’obtenir le résultat pour G^{∗}) divisent |W |. Mais, par définition, |P (R)/Q(R)| est l’indice de connexion f_{R} de R, et f_{R} = f_{R^{∨}} divise |W | par [Bou], ch. VI, §2, Prop.7. □

La propriété suivante de l’excellence est fondamentale (elle a déjà été observée par [CaEn], 1.2).

1.13. Proposition. Soit L un sous-groupe de Levi F –stable de G. Si ℓ est (G, F)–excellent, il est aussi (L, F)–excellent.

Preuve. À nouveau, seule la condition (3) demande une vérification. D’après [GeHi], 2.4, le groupe H^{1}(F, Z(L)/Z^{o}(L)) est isomorphe à un facteur direct de H^{1}(F, Z(G)/Z^{o}(G)). Ceci donne le résultat car pour tout groupe fini A muni d’un automorphisme F nous avons une suite exacte

1 ⟶ A^{F} ⟶^{F −1} A ⟶ H^{1}(F, A) ⟶ 1

ce qui montre que |H^{1}(F, Z(G)/Z^{o}(G))| = |(Z(G)/Z^{o}(G))^{F} |. Il en est de même pour L. □

Nous avons besoin de certains concepts définis dans [BrMa] et [BMM]. Soit T un tore sur \overline{𝔽}_{q}, défini sur 𝔽_{q}. L’endomorphisme de Frobenius associé induit sur Y (T) un opérateur de la forme qϕ où ϕ est un endomorphisme d’ordre fini. Nous appelons tore générique la donnée 𝕋 = (X(T), Y (T), ϕ). On note |𝕋| le polynôme caractéristique de ϕ; cette notation est “justifiée” par le fait que |T^{F} | = |𝕋|(q). Étant donné un entier d, T possède un unique soustore F -stable T_{d} tel que |𝕋_{d}| soit une puissance de Φ_{d} (le d-ième polynôme cyclotomique). Un tel sous-tore est appelé un Φ_{d}-groupe et T_{d} est appelé le Φ_{d}-sous-groupe de Sylow de T. Nous appelons d-déployés les sous-groupes de Levi de G qui sont centralisateurs de Φ_{d}-sous-groupes.

1.14. Définition. Soit S un tore F -stable, et soit d ∈ ℕ. Un nombre premier ℓ est dit (S, F, d)–adapté si |S^{F} |_{ℓ} = |(S_{d})^{F} |_{ℓ} (i.e., si le ℓ-sous-groupe de Sylow de S^{F} est contenu dans le Φ_{d}–sous-groupe de Sylow de S). Un ensemble π de nombres premiers est dit (S, F, d)–adapté si tous ses éléments le sont.

Soit T un tore maximal F -stable de G, et θ ∈ Irr(T^{F}). Nous notons G(T, θ) (cf. [BMM], 2.C) le groupe engendré par T ainsi que par les sous-groupes radiciels U_{α} (relatifs à T) tels que θ(α^{∨}) = 1.

1.15. Proposition. Soit L un sous-groupe de Levi F -stable de G. Soit π un ensemble de nombres premiers (G, F)–excellents et (Z^{o}(L)/Z^{o}(G), F, d)- adaptés.

(1) Soit S un π-sous-groupe de (Z^{o}(L))^{F}. Alors C_{G}^{o}(S) est un sous-groupe de Levi d–déployé de G.

(2) Soit θ un π-caractère de (L/[L, L])^{F}, et soit T un tore maximal F - stable de L. Alors G(T, θ) est un sous-groupe de Levi d–déployé de G.

Preuve. (1) Comme tout élément de π est bon pour G, le groupe C_{G}^{o}(S) est un sous-groupe de Levi G (cf. par exemple [GeHi], 2.1); on a S ⊂ C_{G}^{o}(S) puisque C_{G}^{o}(S) ⊃ L ⊃ S, et, comme tout élément π est encore (C_{G}^{o}(S), F)- excellent par 1.13, on a S ⊂ Z^{o}(C_{G}^{o}(S)). Puisque Z^{o}(C_{G}^{o}(S)) ⊂ Z^{o}(L) (car C_{G}^{o}(S) ⊃ L), π est encore d–adapté à Z^{o}(C_{G}^{o}(S))/Z^{o}(G). Il en résulte que le quotient (Z^{o}(C_{G}^{o}(S)))^{F} /(S^{F} .(Z^{o}(G))^{F}) est un π′–groupe, si S est le Φ_{d}- sous-groupe de Sylow de Z^{o}(C_{G}^{o}(S)), donc S est contenu dans S.Z^{o}(G). Donc nous avons C_{G}^{o}(S) = C_{G}^{o}(S), ce qui montre que C_{G}^{o}(S) est un sous-groupe de Levi d–déployé de G.

(2) La seconde assertion résulte de la première appliquée dans le groupe G^{∗}, ce qui est possible car les nombres premiers (G, F)-excellents sont (G^{∗}, F^{∗})- excellents, et Z^{o}(G) et Z^{o}(G^{∗}) (resp. Z^{o}(L) et Z^{o}(L^{∗})) ont le même ordre générique.

□

Le résultat technique suivant sera utilisé au §2 pour la description des blocs à ℓ–défaut abélien de G^{F}.

1.16. Proposition. Soit L un sous-groupe de Levi F -stable G, et soit ℓ un nombre premier bon pour G et ne divisant pas W_{G^{F}} (L, λ) pour une certaine représentation unipotente λ de L^{F}. Si ℓ = 3, supposons de plus que G^{F} n’a pas de composante de type ^{3}D_{4}. Alors il existe d tel que ℓ soit (Z^{o}(L)/Z^{o}(G), F, d)–adapté.

Preuve. Pour démontrer la proposition, on peut supposer G adjoint. En effet, si L′ est l’image de L dans G_{ad}, alors Z^{o}(L)/Z^{o}(G) et Z^{o}(L′) ont le même ordre générique. Le caractère λ, étant unipotent, se factorise à travers un caractère unipotent λ′ de G_{ad}^{F} et W_{G_{ad}^{F}}(L′, λ′) = W_{G^{F}} (L, λ).

Nous supposons donc G adjoint. Comme un groupe adjoint est un produit de restrictions de scalaires à des groupes simples, G est un produit de groupes de la forme (G_{i}^{(a)}, F_{i}^{(a)}) (restriction de scalaires de 𝔽_{q^{a}} à 𝔽_{q} de (G_{i}, F_{i})), et (L, λ) est un produit de (L_{i}^{(a)}, λ_{i}^{(a)}). Comme (L_{i}^{(a)})^{F} = L_{i}^{F^{a}} et

W_{G_{i}^{(a)F^{(a)}}} (L_{i}^{(a)}, λ_{i}^{(a)}) = W_{G_{i}^{F^{a}}} (L_{i}, λ_{i}) ,

on peut, quitte à remplacer (G_{i}^{(a)}, F_{i}^{(a)}, L_{i}^{(a)}, λ_{i}^{(a)}) par (G_{i}, F_{i}^{a}, L_{i}, λ_{i}), supposer que G est un produit de groupes simples, chacun stables par F.

Nous utilisons maintenant le lemme suivant, qui apparaît déjà dans [Ge], 3.1.

1.17. Lemme. Si 𝕋 = (X, Y, ϕ) est un tore générique, et (T, F) est le tore algébrique correspondant pour un certain choix de q, alors un nombre premier ℓ qui ne divise pas l’ordre de ϕ est (T, F)–adapté.

Preuve de 1.17. Soit ∏_{i=1}^{r} Φ_{d_{i}}^{n_{i}} l’ordre polynômial de 𝕋. Comme c’est le polynôme caractéristique de ϕ sur Y, l’ordre de ϕ est le p.p.c.m. des ordres (comme racines de l’unité) des racines des Φ_{d_{i}}, qui est le p.p.c.m. des d_{i}. Par ailleurs, si ℓ n’est pas (T, F)–adapté, il divise deux des facteurs cyclotomiques, disons Φ_{d}(q) et Φ_{d′}(q). Il divise alors (cf. par exemple [BrMa], appendice 2, (3)) le p.p.c.m. de d et d′, donc il divise l’ordre de ϕ, d’où le lemme. □

Le paragraphe qui suit utilise librement concepts et notations de [BMM]. Supposons que (G, T_{0}, F) est un triple associé au groupe générique 𝔾 = ((X, R, Y, R^{∨}), W ϕ), où T_{0} est choisi quasi-déployé, i.e., tel qu’il existe un sous-groupe de Borel F -stable B contenant T_{0}. Supposons aussi que L est associé à 𝕃 = ((X, R′, Y, R^{′∨}), W_{𝕃}wϕ). On peut identifier W_{G^{F}} (L, λ) à W_{𝔾}(𝕃, λ) où λ ∈ Uch(𝔾) est tel que ρ_{λ}^{L^{F}} = λ (voir [BMM], 1.26). Soit R^{+} le système de racines positives correspondant au choix de B. Nous avons alors une décomposition en produit semi-direct N_{W_{𝔾}}(𝕃, λ) = W_{𝕃} ⋊W′ où W′ ≃ W_{𝔾}(𝕃, λ) est formé des v ∈ N_{W_{𝔾}}(𝕃, λ) tels que v(R^{′+}) = R^{′+}. Nous pouvons supposer que, dans la classe W_{𝕃}wϕ qui définit 𝕃, w a été choisi tel que wϕ(R^{′+}) = R^{′+}. Soit δ l’ordre de ϕ : on a (wϕ)^{δ} ∈ N_{W_{𝔾}}(𝕃, λ), et, puisqu’il vérifie encore (wϕ)^{δ}(R^{′+}) = R^{′+}, on a même (wϕ)^{δ} ∈ W′. Donc, par l’hypothèse de la proposition, ℓ ne divise pas l’ordre de (wϕ)^{δ}.

Si ℓ ne divise pas δ, alors ℓ ne divise pas l’ordre de wϕ, et par le lemme 1.17 on obtient qu’il existe d tel que ℓ soit (T, F, d)-adapté où T est un tore maximal de L correspondant au tore générique (X, Y, wϕ). Ceci implique en particulier que ℓ est (Z^{o}(L), F, d)-adapté, d’où la proposition dans ce cas.

Supposons maintenant que ℓ divise δ. Comme nous avons choisi T_{0} quasidéployé, ϕ est un automorphisme du diagramme, d’ordre 2 ou 3 sur chaque composante non-déployée 𝔾_{i} de 𝔾 puisqu’elles sont simples et F –stables. Donc ℓ = 2 ou ℓ = 3. On voit même, puisque nous avons supposé ℓ bon pour 𝔾, et exclu les composantes de type ^{3}D_{4} pour ℓ = 3, que δ = ℓ = 2 et que toute composante non-déployée de G est de type A_{n}. Soit G_{i} une telle composante. Alors 𝔾_{i}^{−} est déployé et, puisque W_{𝔾_{i}^{−}}(𝕃_{i}^{−}, σ^{𝕃_{i}}(λ_{i})) = W_{𝔾_{i}}(𝕃_{i}, λ_{i}) (cf. [BMM], 3.3, pour la définition de σ^{𝕃_{i}}) nous savons, en appliquant le résultat déjà démontré pour δ = 1 dans 𝔾_{i}^{−}, que 2 divise au plus un des facteurs cyclotomiques de |Rad(𝕃_{i}^{−})|(q) = ±|Rad(𝕃_{i})|(−q). Ceci donne le résultat puisque Φ_{d}(q) ≡ Φ_{d}(−q) (mod 2). □

Remarque. Soit G un groupe de type ^{3}D_{4}, et prenons (L, λ) = (T, 1) où, • si q ≡ 1 (mod 3), T est un tore maximal tel que

|𝕋| = (x^{2} + x + 1)(x − 1)(x + 1)

• et si q ≡ −1 (mod 3), T est un tore maximal tel que

|𝕋| = (x^{2} − x + 1)(x + 1)(x − 1) .

Alors 3 n’est pas (T, F, d)-adapté pour ces tores, mais, ces deux tores ont un groupe de Weyl W_{G^{F}} (T, 1) isomorphe à (ℤ/2ℤ)^{2} (cf. [DeMi]) : ceci montre que l’exclusion du type ^{3}D_{4} dans l’énoncé de la proposition est nécessaire.

1.18. Proposition.

(1) Soit π un ensemble de nombres premiers différents de p, et ne divisant pas l’ordre de (Z(G^{∗})/Z^{∘}(G^{∗}))^{F}, et soit s un π-élément de G^{F}. Alors C_{G}(s)^{F} = C_{G}^{∘}(s)^{F}.

(2) Soit π un ensemble de nombres premiers bons pour G et ne divisant pas l’ordre de (Z(G)/Z^{∘}(G))^{F}. Soit T un tore maximal F -stable de G et soit θ ∈ Irr(T^{F})_{π}. Alors N_{G^{F}} (T, θ) ⊂ G(T, θ).

Preuve. Le (1) est dans [GeHi], 2.5 (voir aussi [CaEn], 4.4, (i)). Le (2) se déduit de (1) appliqué dans G^{∗} en utilisant le fait que, si (T^{∗}, s) est dual de (T, θ), alors, puisque π ne contient que des nombres premiers bons pour G, le groupe G(T, θ) est dual de C_{G^{∗}}^{∘}(s). □

Le résultat suivant sera utilisé au paragraphe 3 pour la description des isotypies.

1.19. Proposition.

(1) Soit π un ensemble de nombres premiers dont aucun ne divise l’ordre de Z([G, G])^{F}. Alors la restriction de G^{F} à Z^{∘}(G)_{π}^{F} induit un isomorphisme

Ab_{π} Irr(G^{F}) ⟶^{∼} Irr(Z^{∘}(G)_{π}^{F}) .

(2) Soit L un sous-groupe de Levi F -stable de G, soit T un tore maximal de L, soit π un ensemble de nombres premiers (G, F)-excellents et dont aucun ne divise Z([L, L])^{F}. Soit θ ∈ Ab_{π} Irr(L^{F}), soient θ_{T} la restriction de θ à T^{F} et θ_{Z} sa restriction à Z^{∘}(L)_{π}^{F}. Alors

N_{G^{F}} (L, θ_{Z}) = N_{G^{F} (T,θ_{T})}(L)

Preuve. (1) La suite exacte :

0 → Z([G, G]) ∩ Z^{∘}(G) → Z^{∘}(G) → G/[G, G] → 0

donne la suite exacte de cohomologie galoisienne

0 → (Z([G, G]) ∩ Z^{∘}(G))^{F} → (Z^{∘}(G))^{F} → (G/[G, G])^{F} → H^{1}(F, Z([G, G]) ∩ Z^{∘}(G)) → 0

et par hypothèse, les termes extrêmes sont des π′-groupes, d’où l’assertion (1).

(2) Sous les hypothèses de l’énoncé, G(T, θ_{T}) est le plus grand sous-groupe de Levi F -stable M contenant L tel que θ_{T} soit la restriction d’un caractère de Ab Irr(M^{F}). De plus, si T′ est un autre tore maximal rationnel de L, on a G(T, θ_{T}) = G(T′, θ_{T′}). On peut donc supposer que l’on a choisi pour T un tore quasi-déployé de L. Deux tores quasi-déployés étant conjugués sous L^{F} on peut alors trouver des représentants de N_{G^{F}} (L, θ_{Z})/L^{F} dans N_{G^{F}} (L, T) (et par (1) ces représentants sont dans N_{G^{F}} (L, T, θ) donc dans N_{G^{F}} (L, T, θ_{T})) d’où N_{G^{F}} (L, θ_{Z}) = N_{G^{F}} (T, θ_{T}, L).L^{F} ce qui est égal à N_{G(T,θ_{T})^{F}} (L) par 1.19, (1). □

2. Blocs unipotents à groupes de défaut abéliens

2.A. Conditions nécessaires.

Nous analysons la structure des paires maximales des ℓ-blocs unipotents de G^{F} à groupe de défaut abélien, quand ℓ est (G, F)–excellent.

Soit ℓ un nombre premier excellent pour (G, F). Soit K une extension finie du corps des nombres ℓ–adiques ℚ_{ℓ} “assez grosse” pour G^{F}, et soit O son anneau d’entiers, extension finie de l’anneau des entiers ℓ–adiques ℤ_{ℓ}.

Soit e un bloc unipotent de OG^{F}, i.e., un idempotent primitif central de OG^{F} tel que ee_{ℓ}^{G^{F}} = e, où e_{ℓ}^{G^{F}} est l’idempotent central correspondant à E_{ℓ}(G^{F} , 1) (cf. §1). Soit D un groupe de défaut de e, supposé abélien. Posons L := C_{G}^{o}(D). Puisque ℓ est bon, c’est un sous-groupe de Levi (F -stable) de G, et on a même (cf. ci-dessus 1.17, (2)) L^{F} = C_{G^{F}} (D). Soit f un ℓ-bloc de L^{F} tel que Br_{D}(e).f = f, où Br_{D} désigne le morphisme de Brauer (en d’autres termes, f est une “racine” de e, ou (D, f) est une “sous-paire de Sylow” de e). Soit λ le caractère canonique de L^{F} dans f.

2.1. Théorème.

(1) D est ℓ–sous-groupe de Sylow de Z(L^{F}), et D ⊂ Z^{o}(L)^{F}.

(2) λ est un caractère de ℓ–défaut zéro de L^{F} /D, i.e., deg(λ)_{ℓ} = |L_{ss}^{F}|_{ℓ} .

(3) N_{G^{F}} (D, λ) = N_{G^{F}} (L, λ), et ℓ ∤ |W_{G^{F}} (L, λ)| .

(4) λ est un caractère unipotent de L^{F} et il est l’unique caractère unipotent de L^{F} dans le bloc f .

(5) ℓ ∤ |Z([L, L]^{F})| .

(6) Il existe un entier d tel que ℓ | Φ_{d}(q) et (L, λ) est une paire d-cuspidale de G. L’entier d est uniquement déterminé si L est un sous-groupe propre de G, et alors ℓ est (Z^{o}(L)/Z^{o}(G), F, d)–adapté.

Remarque. Le groupe GL_{15}(13) a un caractère unipotent de 7-défaut 0, qui est à la fois 2-cuspidal et 14-cuspidal. Nous voyons donc que l’unicité de d dans l’assertion (6) impose que L soit propre.

Preuve.

Les trois premières assertions sont des résultats classiques de la théorie des blocs (l’inclusion D ⊂ Z^{o}(L)^{F} vient de l’excellence de ℓ).

Pour démontrer (4), nous vérifions d’abord que le bloc f est unipotent, i.e., que fe_{ℓ}^{L^{F}} = f. Par itération de la formule Br_{<x>}(e_{ℓ}^{G^{F}}) = e_{ℓ}^{C_{G}^{o}(x)^{F}} (cf. [BrMi], 3.2), où x désigne un ℓ–élément de G^{F}, on déduit Br_{D}(e_{ℓ}^{G^{F}}) = e_{ℓ}^{L^{F}}. Il suffit alors d’appliquer le morphisme de Brauer Br_{D} à l’égalité ee_{ℓ}^{G^{F}} = e pour obtenir que tous les constituants de Br_{D}(e) (et donc en particulier f) sont unipotents.

Le lemme suivant résulte immédiatement de [Hi], 3.1.

2.2. Lemme (G. Hiß). Tout bloc unipotent contient un caractère unipotent.

Comme λ est l’unique caractère de f qui est trivial sur D, et comme tout caractère unipotent de L^{F} est trivial sur Z(L^{F}), on en déduit l’assertion (4).

Pour démontrer (5) notons que, puisque λ est unipotent, sa restriction à [L, L]^{F} est encore un caractère irréductible. Mais |[L, L]^{F} | = |(L/ZL)^{F} | = |L^{F} /Z(L)^{F} |.|H^{1}(F, Z(L))|, donc (deg λ)_{ℓ} = |[L, L]^{F} |_{ℓ}. Ainsi λ est un caractère de ℓ-défaut 0 de [L, L]^{F}, ce qui implique que ce groupe n’a pas de ℓ-sous-groupe central non trivial et démontre (5).

Démontrons (6). Supposons d’abord que L ≠ G. Il existe alors d ∈ ℕ tel que Φ_{d} divise l’ordre générique de Z^{o}(L)/Z^{o}(G) et ℓ | Φ_{d}(q). Comme ℓ ne divise pas |W_{G^{F}} (L, λ)|, il résulte de 1.16 que d est uniquement déterminé par ces conditions. En d’autres termes, ℓ est (Z^{o}(L)/Z^{o}(G), F, d)–adapté. Nous obtenons alors par 1.15, (i), que L est d-déployé.

Par ailleurs, il existe un produit c de mauvais nombres premiers pour L tel que c.Deg(λ) ∈ ℤ[x] soit un polynôme unitaire (cf. par exemple, [BMM],

1.32). Donc \frac{|𝕃_{ss}|}{c.Deg(λ)} est un produit de polynômes cyclotomiques multiplié

par une puissance de x, dont la valeur en q n’est pas divisible par ℓ. Comme ℓ divise Φ_{d}, on voit que les contributions du polynôme cyclotomique Φ_{d} à Deg(λ) et à |𝕃_{ss}| sont égales, ce qui prouve que λ est d-cuspidal par [BMM], 2.9, et achève la démonstration de 2.1. □

Remarque. Notons que, si L = G, la preuve ci-dessus montre que λ est un caractère d-cuspidal de G^{F} pour tout d tel que ℓ | Φ_{d}(q) et Φ_{d} | |𝔾_{ss}|.

2.B. Les π–blocs unipotents “à groupe de défaut abélien”.

Dans ce paragraphe, pour certains ensembles π de nombres premiers, nous définissons des sous-ensembles de la π-série E_{π}(G^{F} , 1) dont nous montrons qu’ils correspondent à des π–idempotents de Z\overline{ℚ}G^{F}, et pour π = \{ℓ\} qu’ils correspondent aux ℓ–blocs de défaut abélien de G^{F}.

Les notations et hypothèses suivantes seront en vigueur dans toute la suite de ce paragraphe : (Hd) (L, λ) est une paire d-cuspidale de G. (Hπ1) π est un ensemble de nombres premiers (G, F)–excellents. (Hπ2) Pour tous ℓ ∈ π, L = C_{G}(Z^{o}(L)_{ℓ}^{F}). (Hπ3) deg(λ)_{π} = |L_{ss}^{F}|_{π}. (Hπ4) W_{G^{F}} (L, λ) est un π′-groupe. (Hdπ) π est (Z^{o}(L)/Z^{o}(G), F, d)–adapté.

Remarque. Si π est formé d’un seul nombre premier (G^{F} , F)-excellent ℓ, nous avons vu (cf. 2.1) que les hypothèses ci-dessus sont satisfaites pour un choix convenable de (L, λ) si G^{F} possède un ℓ-bloc à groupe de défaut abélien.

Notations.

• Dorénavant, nous supposons choisi un tore maximal F -stable T_{0} de L.

• Soit ℓ ∈ π. Nous notons e_{ℓ,(L,λ)}^{L^{F}} le ℓ–idempotent primitif de Z\overline{ℚ}L^{F} défini

par λ. Ainsi e_{ℓ,(L,λ)}^{L^{F}} est un ℓ–bloc de L^{F} de groupe de défaut Z^{o}(L)_{ℓ}^{F}.

• Nous notons e_{ℓ,(L,λ)}^{G^{F}} l’unique bloc de G^{F} correspondant à e_{ℓ,(L,λ)}^{L^{F}} par la correspondance de Brauer — en d’autres termes, utilisant les notations de [AlBr], on a

({1}, e_{ℓ,(L,λ)}^{G^{F}}) ⊆ (Z^{o}(L)_{ℓ}^{F} , e_{ℓ,(L,λ)}^{L^{F}}) .

Comme N_{G^{F}} (Z^{o}(L)_{ℓ}^{F} , e_{ℓ,(L,λ)}^{L^{F}}) = N_{G^{F}} (L, λ) et ℓ ne divise pas |W_{G^{F}} (L, λ)|, il résulte du “first main theorem” de Brauer (cf. par exemple [AlBr]) que (Z^{o}(L)_{ℓ}^{F} , e_{ℓ,(L,λ)}^{L^{F}}) est une e_{ℓ,(L,λ)}^{G^{F}}–sous-paire maximale. En particulier,

(2.3) Z^{o}(L)_{ℓ}^{F} est un groupe de défaut de e_{ℓ,(L,λ)}^{G^{F}}.

Nous allons donner entre autres (voir 2.8 ci-dessous) une description complète des caractères de G^{F} dans e_{ℓ,(L,λ)}^{G^{F}}, en démontrant que ce sont exactement les caractères de E_{ℓ}(G^{F} , 1) qui sont “au-dessus de (L, λ)”. Nous procédons en plusieurs étapes.

Étude de E(G^{F} , 1, (L, λ)).

Soit E(G^{F} , 1, (L, λ)) l’ensembles des caractères unipotents γ de G^{F} tels que (γ, R_{L}^{G}(λ))_{G^{F}} ≠ 0. Nous notons Irr(G^{F} , e_{ℓ,(L,λ)}^{G^{F}}) l’ensemble des caractères

irréductibles de G^{F} dans e_{ℓ,(L,λ)}^{G^{F}}.

2.4. Lemme. E(G^{F} , 1, (L, λ)) ⊆ Irr(G^{F} , e_{ℓ,(L,λ)}^{G^{F}}) .

Preuve. Elle se fait par récurrence sur |G^{F} : L^{F} |. Si G^{F} = L^{F}, 2.4 est trivial. Sinon il existe x ∈ Z^{o}(L)_{ℓ}^{F}, x ∉ ZG^{F}. Soit G(x) := C_{G}^{o}(x) et G^{F} (x) := G(x)^{F}. Par récurrence, 2.4 est vrai si on remplace G par G(x).

Soit γ ∈ E(G^{F} , 1, (L, λ)). Par la formule “of Curtis–type” écrite comme dans [Br2], 4.3, on a

dec_{ℓ}^{x,G^{F}} (γ) = dec_{ℓ}^{x,G^{F} (x)}(^{∗}R_{G(x)}^{G}(γ)) .

Comme, par [BMM], 4.5, le caractère ^{∗}R_{G(x)}^{G}(γ) appartient au ℤ-module libre engendré par ⋃_{(L′,λ′)∼_{G^{F}} (L,λ)} E(G^{F} (x), 1, (L′, λ′)) (où (L′, λ′) parcourt l’ensemble des paires de G(x) qui sont G^{F} –conjuguées à (L, λ)), nous voyons que

dec_{ℓ}^{x,G}(γ) ∈ \overline{ℤ} ⋃_{(L′,λ′)∼_{G^{F}} (L,λ)} E(G^{F} (x), 1, (L′, λ′)) ,

et, par l’hypothèse de récurrence :

dec_{ℓ}^{x,G}(γ) ∈ \overline{ℤ} ⋃_{(L′,λ′)∼_{G^{F}} (L,λ)} Irr(G^{F} (x), e_{ℓ,(L′,λ′)}^{G^{F} (x)}) .

Comme (<x>, e_{ℓ,(L′,λ′)}^{G^{F} (x)}) ⊇ ({1}, e_{ℓ,(L,λ)}^{G^{F}}) pour tous (L′, λ′) ∼_{G^{F}} (L, λ), pour démontrer 2.4 il suffit maintenant (d’après le “second main theorem” de Brauer) de vérifier que dec_{ℓ}^{x,G^{F}} (γ) ≠ 0.

Appliquant encore la formule “of Curtis-type” ([Br2], 4.3) nous obtenons

∗R_{L}^{G(x)}(dec_{ℓ}^{x,G^{F}} (γ)) = dec_{ℓ}^{x,L^{F}} (^{∗}R_{L}^{G}(γ)) ,

et il suffit de voir que dec_{ℓ}^{x,L^{F}} (^{∗}R_{L}^{G}(γ)) ≠ 0. Comme, par [BMM], 3.15,

∗R_{L}^{G}(γ) = (γ, R_{L}^{G}(λ)) ∑_{w∈W_{G^{F}} (L)/W_{G^{F}} (L,λ)} λ^{w}

il suffit de vérifier que dec_{ℓ}^{x,L^{F}} (λ) ≠ 0. Mais, puisque λ est unipotent (donc trivial sur Z^{o}(L)^{F}) et est de défaut nul, nous avons dec_{ℓ}^{x,L^{F}} (λ) = λ. □

La caractérisation suivante des groupes de défaut abéliens est l’analogue de [BMM], 4.8. Noter que, dans le cas où π = {ℓ}, elle fournit une caractérisation du groupe de défaut en termes de l’application de Deligne–Lusztig R_{T}^{G} (une telle caractérisation nous a été suggérée par G. Hiß).

2.5. Proposition. Soit γ ∈ E(G^{F} , 1, (L, λ)). Si T est un tore maximal F - stable G, et si (R_{T}^{G}(1), γ)_{G^{F}} ≠ 0, alors le π–sous-groupe de Hall T_{π}^{F} de T^{F} est G^{F} -conjugué à un sous-groupe de Z^{o}(L)^{F}. De plus, il existe un tore maximal F -stable T tel que T_{π}^{F} = Z^{o}(L)_{π}^{F}.

Preuve.

• Supposons que (γ, R_{T}^{G}(1))_{G^{F}} ≠ 0, et soit x ∈ T_{ℓ}^{F} pour un certain ℓ ∈ π. Par la formule “of Curtis-type” on a :

∗R_{T}^{C_{G}^{0}(x)} dec_{ℓ}^{x,G^{F}} (γ) = dec_{ℓ}^{x,T^{F}} (^{∗}R_{T}^{G}(γ)) ,

donc en particulier dec_{ℓ}^{x,G^{F}} (γ) ≠ 0 puisque ^{∗}R_{T}^{G}(γ) = (R_{T}^{G}(1), γ)_{G^{F}} .1_{T^{F}} et dec_{ℓ}^{x,T^{F}} (1_{T^{F}}) ≠ 0. Ceci implique que x est G^{F} -conjugué à un élément du groupe de défaut du ℓ-bloc de γ, qui par 2.4 est Z^{0}(L)^{F}.

Montrons maintenant la première partie de la proposition par récurrence sur dim G. Si T_{π}^{F} ⊂ Z^{0}(G)^{F}, il n’y a rien à démontrer. Sinon, il existe ℓ ∈ π et x ∈ T_{ℓ}^{F} − Z^{0}(G)^{F}. Par le raisonnement ci-dessus, x est G^{F} -conjugué à un x′ ∈ Z^{0}(L)^{F} ; et cette conjugaison envoie T sur un certain tore maximal T′ de M := C_{G}^{0}(x′). Comme π est (Z^{0}(L)/Z^{0}(G), F, d)-adapté, il résulte de 1.15, (i), que M est un sous-groupe de Levi d-déployé de G. Comme (R_{T′}^{G}(1), γ)_{G^{F}} = (R_{T}^{G}(1), γ)_{G^{F}} ≠ 0, il s’ensuit qu’il existe μ ∈ E(M^{F} , 1) tel que ^{∗}R_{T′}^{M}(μ) ≠ 0 et (M, μ) ≼ (G, γ). Soit (L′, λ′) une paire d-cuspidale telle que (L′, λ′) ≼ (M, μ). Alors (L′, λ′) est G^{F} -conjugué à (L, λ), et, par l’hypothèse de récurrence nous avons

T′_{π} ≤_{M^{F}} Z^{0}(L′) et Z^{0}(L′) =_{G^{F}} Z^{0}(L) ,

d’où la première partie de la proposition.

• Pour tout tore maximal F -stable T de L tel que (λ, R_{T}^{L}(1)) ≠ 0, par [BMM], 1.38, on voit que (deg λ)_{π} divise |L^{F} : T^{F} |_{π}. Comme (deg λ)_{π} = |L_{ss}^{F}|_{π}, on voit que T_{π}^{F} ≤ Z^{o}(L), d’où T_{π}^{F} = Z^{o}(L)_{π}. □

Le résultat suivant montre que les sous-groupes “π–locaux” utilisés dans notre contexte sont, comme dans [BMM], des groupes d–déployés.

2.6. Lemme. Un sous-groupe de Levi de G contenant L est π-déployé si et seulement si il est d-déployé.

Preuve. Un sous-groupe de Levi M π-déployé contenant L est le centralisateur connexe d’un π-sous-groupe de Z(L)^{F}. Ce π-sous-groupe est nécessairement dans Z^{o}(L)^{F} puisque π est (G, F)-excellent (donc (L, F)-excellent). Par 1.15 et d’après l’hypothèse (Hdπ), M est d-déployé.

Réciproquement, si M ⊃ L est d-déployé, alors M est le centralisateur de la π-partie de son centre. En effet, soit M′ le centralisateur de la π-partie du centre de M′. Par ce qui précède, M′ est d-déployé. Si M′ contient strictement M, la d-partie du centre de M′ est strictement plus petite que la d-partie du centre de M, et de (Hdπ) il résulte qu’il doit en être de même de la π-partie, une contradiction. □

Comme dans [BMM], nous posons

UReg_{(L,λ)}^{G^{F}} := ∑_{γ∈E(G^{F} ,1,(L,λ))} deg γ.γ .

2.7. Lemme.

(1) Soit γ ∈ E(G^{F} , 1, (L, λ)), et soit ψ une fonction unipotente uniforme sur G^{F}. Alors

(γ, ψ)_{G^{F}} = ∑_{[M]_{G^{F}}} \frac{1}{|W_{G^{F}} (M)|}(γ, R_{M}^{G}(c_{π}^{∗}R_{M}^{G}(ψ)))_{G^{F}}

où M parcourt l’ensemble de tous les sous-groupes de Levi d–déployés de G contenant L.

(2) On a

UReg_{(L,λ)}^{G^{F}} = ∑_{[(M,μ)]_{G^{F}}} \frac{deg(R_{M}^{G}(1))}{|W_{G^{F}} (M, μ)|}R_{M}^{G}(deg c_{π}(μ).μ)

où (M, μ) parcourt l’ensemble de toutes les paires d–déployées telles que (L, λ) ≼ (M, μ).

Preuve.

(1) Comme ψ est uniforme, on a :

(γ, ψ)_{G^{F}} = (γ, ∑_{[T]_{G^{F}}} \frac{1}{|W_{G^{F}} (T)|}R_{T}^{G}^{∗}R_{T}^{G}ψ)_{G^{F}} .

On continue comme dans la preuve de 1.9, (1). Nous savons ici que les termes où M n’est pas π–déployé contenant L (ce qui équivaut à d-déployé contenant L par 2.6) sont nuls par 2.5.

(2) On a :

UReg_{(L,λ)}^{G^{F}} = ∑_{γ∈E(G^{F} ,1,(L,λ))}(γ, UReg^{G^{F}})_{G^{F}} γ .

En appliquant (1) avec ψ = UReg^{G^{F}}, échangeant les sommes, et utilisant l’égalité

∗R_{M}^{G}(UReg^{G^{F}}) = deg(R_{M}^{G}(1)) UReg^{M^{F}} ,

on obtient

UReg_{(L,λ)}^{G^{F}} = ∑_{[M]_{G^{F}}} \frac{deg(R_{M}^{G}(1))}{|W_{G^{F}} (M)|} ∑_{γ∈E(G^{F} ,1,(L,λ))} (γ, R_{M}^{G}(c_{π} UReg^{M^{F}}))_{G^{F}} γ

où M parcourt les sous-groupes de Levi π–déployés de G^{F}. Développant c_{π} UReg^{M^{F}} = ∑_{μ∈E(M^{F} ,1)} deg c_{π}(μ).μ, et ne sommant que sur des représentants des classes de G^{F} –conjugaison des couples (M, μ) (qui sont nécessairement à G^{F} -conjugaison près “au-dessus de (L, λ)”), nous obtenons le lemme. □

Description des blocs.

Rappelons les notations utilisées dans [BMM] pour l’indexation de Lusztig des caractères irréductibles de G^{F}. Soit T un tore maximal rationnel de G^{F}. Pour θ un caractère de T^{F} et ν un caractère unipotent de G^{F} (T, θ), on note χ_{(G(T,θ),θ,ν)}^{G^{F}} le caractère irréductible de G^{F} qui correspond à la paire (θ, ν) par décomposition de Jordan de caractères.

2.8. Théorème. On pose

Reg_{π,(L,λ)}^{G^{F}} = ∑_{[(N,θ,ν)]_{G^{F}}} deg(χ_{(N,θ,ν)}^{G^{F}})χ_{(N,θ,ν)}^{G^{F}}

où θ parcourt Ab_{π} Irr(L^{F}), N := G(T, θ), et ν ∈ E(N^{F} , 1, (L, λ)). (1) On a

Reg_{π,(L,λ)}^{G^{F}} = ∑_{[(M,μ)]_{G^{F}}} \frac{deg R_{M}^{G}(1)}{|W_{G^{F}} (M, μ)|}R_{M}^{G}(Ab_{π} Reg^{M^{F}} . deg c_{π}(μ)μ)

où (M, μ) parcourt l’ensemble des paires d–déployées de G^{F} telles que (L, λ) ≼_{G^{F}} (M, μ).

(2) Le caractère Reg_{π,(L,λ)}^{G^{F}} est le caractère régulier associé à un π-idempo-tent central de \overline{ℚ}G^{F}. En particulier, ses valeurs sont divisibles par |G^{F} |_{π}.

Remarque. Pour π = {ℓ}, l’idempotent correspondant à Reg_{ℓ,(L,λ)}^{G^{F}} est celui que nous avons déjà désigné par e_{ℓ,(L,λ)}^{G^{F}}. Dans le cas général, nous désignons

par e_{π,(L,λ)}^{G^{F}} l’idempotent correspondant à Reg_{π,(L,λ)}^{G^{F}}.

Preuve.

(1) On pose Θ_{G,π}^{N^{F}} := ∑ θ où la somme porte sur tous les éléments θ de Ab_{π} Irr(L^{F}) tels que G(T, θ) = N. Alors

Reg_{π,(L,λ)}^{G^{F}} = ∑_{[(N,ν)]_{G^{F}}} \frac{deg R_{N}^{G}(1)}{|W_{G^{F}} (N, ν)|}R_{N}^{G}(Θ_{G,π}^{N^{F}}. deg(ν)ν)

où (N, ν) parcourt l’ensemble des paires d–déployées telles que (L, λ) ≼_{G^{F}} (N, ν).

Nous allons utiliser deux fois le lemme technique suivant.

2.9. Lemme. Soit φ un fonction G^{F} –invariante sur l’ensemble des paires d–déployées (N, ν) telles que (L, λ) ≤_{G^{F}} (N, ν). Alors

∑_{[(N,ν);(L,λ)≤_{G^{F}} (N,ν)]_{G^{F}}} \frac{φ(N, ν)}{|W_{G^{F}} (N, ν)|} =

∑_{\{(N,ν);(L,λ)≤_{G^{F}} (N,ν)\}} \frac{|W_{N^{F}} (L, λ)|}{|W_{G^{F}} (L, λ)|}φ(N, ν) .

Noter que la première somme porte sur les classes de G^{F} –conjugaison des paires (N, ν), alors que la seconde porte sur toutes les paires (N, ν). Le lemme résulte aisément de [BMM], 3.14. □

Par 2.9, on voit que

Reg_{(L,λ)}^{G^{F}} = ∑_{\{(N,ν);(L,λ)≤_{G^{F}} (N,ν)\}} \frac{|W_{N^{F}} (L, λ)|}{|W_{G^{F}} (L, λ)|}R_{N}^{G}(Θ_{G,π}^{N^{F}}. deg(μ)μ)

= ∑_{\{N;L≤N\}} \frac{|W_{N^{F}} (L, λ)|}{|W_{G^{F}} (L, λ)|}R_{N}^{G}(Θ_{G,π}^{N^{F}}. UReg_{(L,λ)}^{N^{F}}) .

Par 2.9, et par 2.7, (2), on voit que

UReg_{(L,λ)}^{N^{F}} = ∑_{\{M;L≤M≤N\}} \frac{|W_{M^{F}} (L, λ)|}{|W_{G^{F}} (L, λ)|}R_{N}^{G}(∑_{μ} deg c_{π}(μ)μ)

où (M, μ) est d–déployé et tel que (L, λ) ≼ (M, μ). Grâce à la formule

∑_{N≥M} Θ_{M,π}^{N^{F}}_{|_{M^{F}}} = Ab_{π} Reg^{M^{F}} ,

on obtient

Reg_{(L,λ)}^{G^{F}} = ∑_{\{(M,μ);(L,λ)≤_{G^{F}} (M,μ)\}} \frac{|W_{M^{F}} (L, λ)|}{|W_{G^{F}} (L, λ)|}R_{M}^{G}(Ab_{π} Reg^{M^{F}}. deg c_{π}(μ)μ)

où (M, μ) parcourt l’ensemble des paires d–déployées. La formule que nous voulons obtenir en résulte en appliquant encore une fois 2.9.

(2) Il est nécessaire et suffisant de démontrer que |G^{F} |_{π} divise toutes les valeurs de Reg_{π,(L,λ)}^{G^{F}}. Par (1), on voit qu’il suffit de démontrer que pour toutes les paires d–déployées (M, μ) telles que (L, λ) ≼ (M, μ),

|G^{F} |_{π} divise \frac{deg R_{M}^{G}(1)}{|W_{G^{F}} (M, μ)|}R_{M}^{G}(Ab_{π} Reg^{M^{F}}. deg c_{π}(μ)μ) .

Comme W_{G^{F}} (M, μ) est un quotient d’un sous-groupe de W_{G^{F}} (L, λ) (cf. [BMM], 3.14), on voit que W_{G^{F}} (M, μ) est un π′–groupe, et il suffit donc de vérifier que |M_{ss}^{F}|_{π} divise deg c_{π}(μ). Ceci est conséquence de la proposition suivante.

2.10. Proposition. Pour γ ∈ E(G^{F} , 1, (L, λ)), |G_{ss}^{F}|_{π} divise deg c_{π}(γ).

Preuve de 2.10. Nous démontrons d’abord le lemme technique suivant, corollaire de 1.8.

2.11. Lemme. Soit γ ∈ E(G^{F} , 1). Alors

(γ, D(uσ_{π∪\{p\}}^{G^{F}}))_{G^{F}} = ∑_{[(M,μ)]_{G^{F}}} \frac{ε_{G}ε_{M}|G^{F} : M^{F} |_{π′}}{|W_{G^{F}} (M, μ)|} (R_{M}^{G}(μ), γ)_{G^{F}} \frac{Deg(c_{π}(μ))}{|M_{ss}^{F}|_{π}}

où la somme porte sur des représentants des classes de G^{F} -conjugaison de paires formées d’un sous-groupe de Levi π–déployé M de G et d’un μ ∈ E(M^{F} , 1).

Preuve de 2.11. De 1.5 et 1.8 nous déduisons que

D(uσ_{π∪\{p\}}^{G^{F}}) = ∑_{[M π–déployé]_{G^{F}}} ε_{G}ε_{M} \frac{(DegR_{M}^{G}(1))_{π′}}{|W_{G^{F}} (M)|} R_{M}^{G}(c_{π}(uσ_{π∪\{p\}}^{M^{F}})) .

Donc

(γ, D(uσ_{π∪{p}}^{G^{F}}))_{G^{F}} =

∑_{[M π–déployé]_{G^{F}}} ε_{G}ε_{M} \frac{(DegR_{M}^{G}(1))_{π′}}{|W_{G^{F}} (M)|} (c_{π}(uσ_{π∪\{p\}}^{M^{F}}),^{∗}R_{M}^{G}(γ))_{M^{F}} .

D’autre part, à partir encore de 1.5, on a aussi :

(γ, D(c_{π}(uσ_{π∪\{p\}}^{G^{F}})))_{G^{F}} = ∑_{[T∈T_{π}(G)]_{G^{F}}} ε_{G}ε_{T} \frac{|G^{F} : T^{F} |_{π′−\{p\}}}{|W_{G^{F}} (T)|} (γ, R_{T}^{G}(1))_{G^{F}}

= ∑_{[T∈T_{π}(G)]_{G^{F}}} \frac{DegR_{T}^{G}(1)}{|W_{G^{F}} (T)|} \frac{(γ, R_{T}^{G}(1))_{G^{F}}}{|G_{ss}^{F}|_{π}}

= \frac{Degc_{π}(γ)}{|G_{ss}^{F}|_{π}} .

Appliquant cette dernière formule dans M, nous obtenons :

(γ, D(uσ_{π∪\{p\}}^{G^{F}}))_{G^{F}} = ∑_{[M π–déployé]_{G^{F}}} ε_{G}ε_{M} \frac{|G^{F} : M^{F} |_{π′}}{|W_{G^{F}} (M)|} \frac{Deg(c_{π}(^{∗}R_{M}^{G}(γ)))}{|M_{ss}^{F}|_{π}}

et 2.11 en résulte aisément. □

Ce lemme nous permet de démontrer la proposition, par récurrence sur |G^{F} /L^{F} |. En effet, le membre de gauche de 2.11 est un entier, puisque σ_{π∪{p}}^{G^{F}},

et donc le dual de sa projection unipotente D(uσ_{π∪{p}}^{G^{F}}), est un caractère virtuel. Si L = G, la somme du membre de droite de 2.11 ne contient qu’un terme égal à deg c_{π}(γ)/|G_{ss}^{F}|_{π}, d’où le résultat dans ce cas. Dans le cas général, le membre de droite ne comprend qu’un terme où M = G, égal à

deg c_{π}(γ)/|G_{ss}^{F}|_{π}, et, puisque par l’hypothèse de récurrence \frac{Deg(c_{π}(μ))}{|M_{ss}^{F}|_{π}} est

un entier, tous les autres termes sont des π-entiers. En effet, par [BMM], 3.3, (2)(a), (R_{M}^{G}(μ), γ)_{G^{F}} divise |W_{G^{F}} (M, μ)| et ce dernier nombre est premier à π par (Hπ4). On en déduit que le terme pour M = G est aussi un π-entier, d’où la proposition. □

□

3. Les isotypies

Soit ℓ un nombre premier (G, F)-excellent. Soit e_{ℓ,(L,λ)}^{G^{F}} un ℓ-bloc de G^{F} à groupe de défaut D abélien (cf. 2.1 pour les propriétés et notations utilisées ici), où L = C_{G}^{∘}(D), et où λ est le caractère canonique de C_{G^{F}} (D) dans le bloc qui correspond à e_{ℓ,(L,λ)}^{G^{F}} par la correspondance de Brauer. On rappelle les propriétés suivantes (cf. 2.1, 2.8; voir aussi [CaEn], 4.2).

• L est un sous-groupe de Levi de G, et L^{F} = C_{G^{F}} (D). De plus, il existe d tel que L soit d-déployé et (L, λ) soit une paire d-cuspidale, et ℓ est Z^{∘}(L)/Z^{∘}(G)-adapté.

• Irr(e_{ℓ,(L,λ)}^{G^{F}}, G^{F}) est l’ensemble des constituants des caractères R_{L}^{G}(θλ),

où θ ∈ Ab_{ℓ} Irr(L^{F}). On choisit une fois pour toute un tore maximal F –stable T de L. Si θ est un caractère linéaire de L^{F}, on pose alors (cf. §1 ci-dessus)

G(θ) := G(T, θ_{|_{T^{F}}}) et G^{F} (θ) := G(θ)^{F} .

D’après 1.18, (2), on sait que l’ensemble des caractères irréductibles du groupe Z^{∘}(L)_{ℓ}^{F} ⋊ W_{G^{F}} (L, λ) est alors

Irr (Z^{∘}(L)_{ℓ}^{F} ⋊ W_{G^{F}} (L, λ)) = {Ind_{Z^{∘}(L)_{ℓ}^{F} ⋊W_{G^{F} (θ)}(L,λ)}^{Z^{∘}(L)_{ℓ}^{F} ⋊W_{G^{F}} (L,λ)}(θ.τ)} ,

où θ parcourt un système de représentants des orbites de W_{G^{F}} (L, λ) sur Irr(Z^{∘}(L)_{ℓ}^{F}), et où on a identifié θ à son prolongement à T^{F}.

Théorème.

(1) Pour tout sous-groupe S de Z^{∘}(L)_{ℓ}^{F}, le groupe M = C_{G}^{∘}(S) est un sous-groupe de Levi d-déployé de G. On a M^{F} = C_{G^{F}} (S), et le correspondant de Brauer Br_{S}(e_{ℓ,(L,λ)}^{G^{F}}) de e_{ℓ,(L,λ)}^{G^{F}} est donné par la formule :

Br_{S}(e_{ℓ,(L,λ)}^{G^{F}}) = ∑_{(L′,λ′)} e_{ℓ,(L′,λ′)}^{M^{F}}

où (L′, λ′) parcourt un ensemble de représentants des classes de M^{F} - conjugaison de paires d-cuspidales de M^{F} qui sont G^{F} -conjuguées à (L, λ).

(2) L’application :

I_{ℓ,(L,λ)}^{G^{F}} : ℤIrr(Z^{∘}(L)_{ℓ}^{F} ⋊ W_{G^{F}} (L, λ) → ℤIrr(G^{F} , e_{ℓ,(L,λ)}^{G^{F}})

donnée par

Ind_{Z^{∘}(L)_{ℓ}^{F} ⋊W_{G^{F} (θ)}(L,λ)}^{Z^{∘}(L)_{ℓ}^{F} ⋊W_{G^{F}} (L,λ)}(θ.τ) ↦ R_{G(θ)}^{G}(θ.I_{(L,λ)}^{G(θ)}(τ))

réalise une isotypie entre (Z^{∘}(L)_{ℓ}^{F} ⋊ W_{G^{F}} (L, λ), 1) et (G^{F} , e_{ℓ,(L,λ)}^{G^{F}}).

Preuve.

L’assertion (1) est démontrée dans [BMM], 5.8, sous des hypothèses plus restrictives sur ℓ. Ces hypothèses n’ont pour but que d’assurer que M^{F} = C_{G^{F}} (S), et que e_{ℓ,(L,λ)}^{G^{F}} est bien un ℓ-idempotent. Mais ici le premier fait nous est assuré par 1.18, (1), et le second par les propriétés rappelées ci-dessus avant l’énoncé du théorème.

De même, pour démontrer l’assertion (2), on peut suivre à quelques détails près la démonstration de [BMM] dont nous esquissons les étapes.

On rappelle que, pour x un ℓ–élément de G^{F}, on pose G(x) := C_{G}^{∘}(x) et G^{F} (x) := G(x)^{F}.

On montre d’abord que l’application I_{ℓ,(L,λ)}^{G^{F}} commute aux applications de décomposition :

(a)  dec_{ℓ,(L,λ)}^{x,G^{F}} ·I_{ℓ,(L,λ)}^{G^{F}} = I_{ℓ,(L,λ)}^{G^{F} (x)} · dec_{ℓ}^{x,Z^{∘}(L)_{ℓ}^{F} ⋊W_{G^{F}} (L,λ)} .

où

• Pour une fonction centrale ψ sur G^{F}, la fonction centrale dec_{ℓ,(L,λ)}^{x,G^{F}}(ψ) sur G^{F} (x) est la fonction qui s’annule hors des éléments ℓ-réguliers et qui vaut ψ(xx′e_{ℓ,(L,λ)}^{G^{F} (x)}) sur x′ ∈ G^{F} (x)_{ℓ′}.

• De façon analogue, pour φ une fonction centrale sur Z^{∘}(L)_{ℓ}^{F} ⋊W_{G^{F}} (L, λ), on

note dec_{ℓ}^{x,Z^{∘}(L)_{ℓ}^{F} ⋊W_{G^{F}} (L,λ)}(φ) la fonction centrale sur Z^{∘}(L)_{ℓ}^{F} ⋊W_{G^{F} (x)}(L, λ) qui s’annule hors de l’ensemble des éléments ℓ-réguliers et qui prend la valeur φ(xx′) sur x′ ∈ (Z^{∘}(L)_{ℓ}^{F} ⋊ W_{G^{F} (x)}(L, λ))_{ℓ′}.

Pour démontrer (a), en utilisant la formule “de type de Curtis” et le théorème fondamental 3.2 de [BMM], on se ramène d’abord au cas où x est central dans G, puis, en utilisant la formule du caractère pour l’induction de Deligne-Lusztig, au cas où x = 1 (voir [BMM] 5.17 et la suite). On est donc ramené à prouver

(e)  dec_{ℓ,(L,λ)}^{1,G^{F}} ·I_{ℓ,(L,λ)}^{G^{F}} = I_{ℓ,(L,λ)}^{G^{F}} · dec_{ℓ}^{x,Z^{∘}(L)_{ℓ}^{F} ⋊W_{G^{F}} (L,λ)} .

On procède alors par récurrence sur dim(G)−dim(L). Pour L = G, on utilise le lemme suivant (ici nous différons de [BMM], en remplaçant la propriété “d-cuspidal” par “de défaut central”) :

3.1. Lemme.

(1) Soit λ un caractère de ℓ-défaut central de L^{F} et soit θ ∈ Ab_{ℓ} Irr(L^{F}). On a

dec_{π,(L,λ)}^{1,L^{F}}(θ.λ) = \frac{1}{|Z^{∘}(L)_{ℓ}^{F} |} Ab_{ℓ} Reg^{L^{F}}·λ = \frac{1}{|Z^{∘}(L)_{ℓ}^{F} |} ∑_{η∈Irr(Z^{∘}(L)_{ℓ}^{F})} ηλ .

(2) Pour θ ∈ Irr(Z^{∘}(L)_{ℓ}^{F}), on a

dec_{λ}^{1,Z^{∘}(L)_{ℓ}^{F} (θ)} = \frac{1}{|Z^{∘}(L)_{ℓ}^{F} |} Reg^{Z^{∘}(L)_{ℓ}^{F}} = \frac{1}{|Z^{∘}(L)_{ℓ}^{F} |} ∑_{η∈Irr(Z^{∘}(L)_{ℓ}^{F})} η .

Contrairement à la situation dans [BMM], les deux assertions sont évidentes (la première reflète le fait qu’un caractère de ℓ-défaut central s’annule hors des éléments dont la ℓ-partie est centrale).

L’hypothèse de récurrence nous donne alors la propriété initiale (a) pour tout élément x ∈ Z^{∘}(L)_{ℓ}^{F} qui n’est pas central dans G. En utilisant le fait que n’importe quelle fonction centrale dans le bloc b est la somme de ses décompositions pour les divers x ∈ Z^{∘}(L)_{ℓ}^{F}, on en déduit (a) pour les éléments restants (voir [BMM] 5.20).

Pour démontrer l’assertion (2) du théorème, il reste à voir que I_{ℓ,(L,λ)}^{G^{F}} réalise une isométrie parfaite. On procède là encore par récurrence sur dim(G) − dim(L). Nous ne reproduisons pas les détails de la démonstration de [BMM], mais le lecteur vérifiera aisément que le seul argument qui y est utilisé qui nécessite d’être modifié est le lemme [BMM], 5.21, qui doit être remplacé par le lemme suivant.

3.2. Lemme. Soit γ un caractère de ℓ-défaut central de G^{F}. Alors pour tout g ∈ G^{F}, |C_{G^{F}} (g) : Z^{∘}(G)_{ℓ}^{F} | divise γ(g).

Preuve de 3.2. Si on remplace dans l’énoncé Z^{∘}(G)^{F} par Z(G)^{F} = Z(G^{F}) (ce qui est légitime puisqu’on a supposé ℓ premier à l’ordre de Z(G)^{F} /Z^{∘}(G)^{F}), on trouve une propriété bien connue des caractères de défaut central. □

□

M. B. et J. M. : DMI–LMENS (CNRS–UA 762), 45 rue d’Ulm, F–75005, Paris, France

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