| Semaine | Cours A S. Delabrière |
Cours B J. Saint Raymond |
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| Semaine 1 13 Janvier 2014 |
Inégalités, valeur absolue, inégalité triangulaire. Majoration, minoration, bornes. Bornes sup et inf. Suites et fonctions monotones. Limites de suites. Suites monotones bornées, théorème des gendarmes. Je fais peu de démonstrations, je donne plutôt des exemples d'utilisation des outils que j'introduis. |
Inégalités, majorants, minorants. ensembles bornés, bornes supérieures et inférieures dans $ \R$. Suites, convergence des suites. Opérations sur les limites. |
| Semaine 2 20 Janvier 2014 |
Suites adjacentes, opérations sur les limites, formes indéterminées. Négligeabilité, équivalence de suites ou de fonctions. Fonctions continues, bornitude, opérations, théorème des valeurs intermédiaires. La dérivabilité n'est pas au programme de ce cours car elle a été vue en LM 110, cours obligatoire en L1 pour tous les étudiants. Revoir ces notions, le théorème des accroissements finis, les formules de Taylor et les DL. Revoir également les fonctions usuelles et les fonctions réciproques, faire des fiches sur ces fonctions, avec les DL en 0. |
Suites monotones. Suites adjacentes. Domination et contrôle d'une suite par une autre. Suites équivalentes. Notations de Landau. Limite d'une fonction en un point ou à l'infini. Continuité. Opérations sur les fonctions continues. Fonctions continues sur un intervalle fermé borné. Théorème des valeurs intermédiaires. Fonctions réciproques. Rappels sur la dérivation des fonctions. Théorèmes de Rolle et des Accroissements finis. |
| Semaine 3 27 Janvier 2014 |
Primitives des fonctions continues, linéarité, intégration par parties, changement de variable. Intégrale de Riemann comme différence des valeurs en $a$ et $b$ d'une primitive, linéarité, intégration par parties, changement de variable. Formule de Chasles. Cas des fonctions continues par morceaux. Notion d'aire. Définition du log comme primitive de $1/t$, propriétés, exponentielle, propriétés. |
Dérivation d'une fonction composée. Formules de Taylor (restes de Young et Lagrange). Primitives d'une fonction continue. Primitives des fonctions usuelles (fonctions puissance, logarithme, exponentielle, fonctions trigonométriques et hyperboliques, fonctions réciproques). Calcul de primitives ( linéarité, intégration par parties, changement de variable). Intégrales définies. Linéarité. Formule de Chasles. Exemples de calculs. |
| Semaine 4 3 Février 2014 |
Fonction ln, exp, puissances non entières de x, propriétés, dérivées, tableaux de variation, graphes. Intégrales généralisées, études des différents cas de figure, cas où la fonction à intégrer admet une primitive explicite, nombreux exemples. |
Fonctions logarithme et exponentielle. Propriétés.
Puissances non entières $ x\mapsto x^\alpha$ ($ \alpha\in \R$). Intégrale de Riemann d'une fonction continue par morceaux. Notion d'intégrale généralisée ; nature. Cas des fonctions bornées sur un intervalle borné. Nombreux exemples pour lesquelles on peut trouver une primitive explicite. |
| Semaine 5 10 Février 2014 |
Intégrales généralisées des fonctions positives, théorèmes de comparaison pour les intégrales de fonctions positives, fonctions absolument intégrables. Intégrales des fonctions de Riemann en 0 et en $+\infty$. Utilisation des équivalents, o et O pour etudier la convergence d'intégrales généralisées en les comparants aux fonctions de Riemann. Utilisations des outils de l'intégrale de Riemann (relation de Chasles, intégration par parties, changement de variable, ...) pour déterminer la convergence d'intégrales généralisées. Nombreux exemples. |
Intégrales généralisées des fonctions positives. Cas des fonctions puissances. Théorèmes de comparaison. Utilisation des équivalents et des O pour comparer à des intégrales de fonctions puissances. Intégrales absolument convergentes. Utilisation de changement de variables et d'intégration par parties pour prouver la convergence d'intégrales généralisées. Nombreux exemples, dont $\Gamma(\alpha) = \ds\int_0^{+\i} x^{\alpha-1} \e{-x}\, dx$, $\ds\int_0^{+\i} \dfrac{\sin x} x\, dx$ et l'intégrale de Fresnel $ \ds\int_0^{+\i} \e{ ix^2}\, dx$. |
| Semaine 6 17 Février 2014 |
Séries numériques, définition, sommes partielles, convergence, somme, reste. Terme général tend vers 0 en cas de convergence. Divergence grossière. Séries a termes positifs, croissance des sommes partielles, comparaison avec une intégrale généralisée. Exemples $u_n=1/n$ et $u_n=1/n^2$. Sommes télescopiques. | Séries numériques. Terme général, sommes partielles, convergence, reste ; le terme général d'une série convergente tend vers 0. Séries télescopiques. Séries géométriques : condition de convergence. Séries à termes positifs : théorèmes de comparaison. Critères de d'Alembert et de Cauchy. Convergence de la série $ \sum_0^\i \dfrac{ x^n}{n!}$ pour $ x≥0$. Comparaison d'une série et d'une intégrale. Séries de Riemann $ (\dfrac1{ n^\alpha})$. Exemples de séries équivalentes à des séries de Riemann utilisant des développements limités. |
| Semaine 7 24 Février 2014 |
Série géometrique, séries de Riemann, séries de Taylor avec application à $e^x$. Théorème de comparaison pour les séries à termes positifs, application aux equivalents, o et O. Exemples Test de d'Alembert et de Cauchy. Exemples Séries absolument convergentes. Séries alternées avec encadrement de la somme et évaluation du reste. Théorème d'Abel dans le cas de séries de TG $e^{in\theta }b_n$ et donc aussi $(\sin {n\theta })b_n$ et $(\cos{n\theta })b_n$ Exemples de séries où rien de tout ça ne marche mais où on peut conclure en faisant un DL du terme général. |
Séries de Bertrand $(\dfrac1{ n^\alpha.(\ln n)^\beta})$. Séries de Taylor : cas des fonctions $ x\mapsto \e x$, $x\mapsto \sin x$ et $x\mapsto \cos x$. Séries absolument convergentes. Exemples d'application à des problèmes d'études de suites : constante d'Euler $\gamma = \lim_{n\to\i} \sum_{p=1}^n \dfrac1p-\ln n$, formule de Stirling $v_n= \dfrac{n! \e n}{n^{n+\frac12}}$. Séries alternées. Exemples de séries alternées convergentes et non absolument convergentes, de séries alternées équivalentes et de nature différente. |
| Semaine 8 3 Mars 2014 |
Pas de cours cette semaine a cause des partiels de méca. Ce cours sera remplacé le vendredi 4 avril. |
Méthode de sommation d'Abel. Cas des séries trigonométriques. Suites de fonctions ; domaine de convergence, fonction limite. Exemples de limites discontinues pour des suites de fonctions continues. Séries de fonctions. Domaine de convergence, somme de la série. Convergence normale, convergence normale locale. Continuité de la somme d'une série normalement convergente de fonctions continues. Théorèmes d'intégration et de dérivation. Nombreux exemples. |
| Semaine 9 10 Mars 2014 |
Suites de fonctions, convergence simple, exemples. Séries de fonctions, convergence simple, exemples. Convergence normale des series de fonctions, exemples de calculs du Sup, série majorante. Domaines de convergence simple et normale. Localisation. |
Exemples variés de séries de fonctions. Convergence normale sur les intervalles bornés et dérivation terme à terme. La somme $ \sum_{n=1}^\i \dfrac{2x}{ x^2-n^2}$ est $ C^\i$ sur $ \R\setminus {\mathbb Z}$. Cas de $\sum_{n=1}^\i \dfrac{(-1)^{n-1}}{n^2}q^n \cos(nx)$ pour $ q\in [0,1]$ et $ x\in \R$. La série de Weierstrass $ \sum_{n=0}^\i (\dfrac34)^n \sin( 4^n x)$ est continue sur $ \R$ mais n'est dérivable nulle part. |
| Semaine 10 17 Mars 2014 |
Continuité, dérivabilité et intégration des sommes de séries de fonctions normalement convergentes, intervertion de limites. Localisation lorsque l'on n'a pas CVN sur tout l'intervalle. Nombreux exemples. |
Séries entières. Définition, rayon de convergence. Convergence normale sur les disques de rayon strictement inférieur. Différents exemples de calcul de rayons de convergence. Domaines de convergence des séries $ \sum \dfrac {x^n}{n!}$, $\sum n! x^n$, $\sum x^n$, $ \sum \dfrac {x^n}{n^2}$, $\sum \dfrac{ x^n}n$. Somme et produit de deux séries entières (On a esquissé la preuve du théorème sur le produit de deux séries numériques absolument convergentes). Continuité de la somme d'une série entière sur le disque de convergence ouvert. |
| Semaine 11 24 Mars 2014 |
Séries entières, domaine de convergence, rayon de convergence, calcul du rayon de convergence avec les tests de d'Alembert et Cauchy. Exemples: $z^n$, $\dfrac{z^n}{n}$, $\dfrac{z^n}{n^2}$, $\dfrac{z^n}{n!}$, $\dfrac{n^n z^n}{n!}$, $n! z^n$. |
Dérivation terme à terme des séries entières : le rayon de convergence de la série dérivée de $S$ est égal à celui de $S$. Développement de fonctions en séries entières. Cas des fonctions usuelles : exponentielle, fonctions trigonométriques et hyperboliques. La fonction exponentielle vérifie $\e x. \e y = \e{x+y}$ pour $x$ et $y$ dans $ \CC$. Développement de la fonction $(1+x)^\alpha$. Développements obtenus par intégration, $\ln(1+x)$, $\mathop{\rm arctg} x$, $ \arcsin x$, fonctions hyperboliques inverses. |
| Semaine 12 31 Mars 2014 |
Opérations sur les séries entières (somme, produit), convergence uniforme sur les disques de rayon $r < R$. Propriétés des sommes de SE: continuité, dérivation terme à terme, intégration termes à terme à 'intérieur du disque de rayon $R$. Somme d'une SE unique solution d'une équation différentielle. Développement en SE, convergence des séries de Taylor, développement en SE des fonctions usuelles. |
Solution d'une équation différentielle par la somme d'une série entière. Exemple : $x(y+y'') +(2\nu=1) y'=0$. Calcul d'une suite récurrente $(a_n)$ par la fonction génératrice $S(x)= \sum_n a_n x^n$. Exemple : $a_0=1$ et $a_n= q.\sum_{k=1}^n a_{k-1}.a_{n-k}$ où $y= S(x)$ est solution de $y = 1+q.x.y^2$ et $S(x) = \dfrac1{2q.x}( 1-(1-4qx)^{1/2})$. Hors programme : Séries trigonométriques, calcul des coefficients de Fourier. Convergence simple de la série de Fourier pour une fonction continue en un point de dérivabilité. Egalité de Parseval. |
| Sujet | Corrigé |
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| Interrogation
de mars 2014 |
Corrigé
de mars 2014 |
| Examen de mai 2014 |
Corrigé
de mai 2014 |
| Examen de juin 2014 |
Corrigé
de juin 2014 |