PERTURBATIONS COMPACTES DES CONTRACTIONS MULTIVOQUES

J. SAINT RAYMOND

Abstract. Let E be a Banach space, Φ a multivalued contraction with closed values on E and f a continuous function from E to itself with conditionnally compact range. We prove that the multifunction Ψ = f +Φ has fixed points if Φ is convex-valued or if the range of f is contained in a Lipschitz simple path. We also prove by counterexamples that the previous result is not true if the range of f is only assumed to be homeomorphic to a segment or diffeomorphic to a circle.

Soient E un espace de Banach, Φ une contraction multivoque à valeurs fermées définie sur E et f une fonction continue de E dans lui-même dont l’image X est relativement compacte. On considère la multifonction Ψ sur E définie pour tout x de E par

Ψ(x) = f(x) + Φ(x)

et on s’intéresse à l’existence de points fixes pour Ψ.

Si Φ est univoque et q-lipschitzienne (q < 1), l’équation x = y + Φ(x) a, pour tout y de E une unique solution g(y) et la fonction g est lipschitzienne de rapport (1−q)^{−1} de E dans E. Alors la fonction continue f ∘g envoie le convexe compact K = \overline{conv X} dans lui-même, donc y possède un point fixe x_{0} en vertu du théorème de Schauder. Il en résulte que le point g(x_{0}) est un point fixe de Ψ.

Plus généralement, si Φ est à valeurs convexes fermées et q-lipschitzienne (q < 1), le théorème de sélection de Michael (cf. [M]) entraîne l’existence d’une fonction continue h de E × E dans E telle que, pour tout x et tout y

\{ \begin{matrix}h(x, y) ∈ y + Φ(x) \\ ∥x − h(x, y)∥ ≤ q^{−1/2}d(x, y + Φ(x)) \end{matrix}

Alors, la suite (g_{n}) de fonctions continues de E dans lui-même définie en tout point y par

g_{0}(y) = 0
g_{n+1}(y) = h(g_{n}(y), y)

J. SAINT RAYMOND

vérifie ∥g_{n}(y) − g_{n+1}(y)∥ ≤ q^{\frac{n−1}{2}} d(−y, Φ(0)), donc converge uniformément au voisinage de chaque point de E vers une fonction continue g telle que, pour tout y, le point x = g(y) soit un point fixe de la contraction multivoque x ↦ y + Φ(x). Il en résulte comme plus haut que la fonction continue f ∘g possède un point fixe x_{0} dans K = \overline{conv X} et que g(x_{0}) est un point fixe de Ψ.

On peut noter que l’utilisation du théorème de Michael requiert la convexité des valeurs de Φ. On va montrer maintenant qu’on peut enlever cette hypothèse de convexité si l’ensemble X des valeurs prises par f est contenu dans un arc simple lipschitzien, et que cette dernière hypothèse ne peut pas être affaiblie. On construira pour cela un exemple dans l’espace euclidien de dimension 3, avec une contraction Φ et une perturbation lipschitzienne f dont l’image est un cercle, sans que la multifonction Ψ = f + Φ ait de point fixe, et un exemple dans l’espace de Hilbert, avec une contraction Φ et une perturbation f dont l’image est un arc simple höldérien (mais pas lipschitzien), où Ψ = f + Φ n’a pas non plus de point fixe.

THEOREME 1. Soient E un espace de Banach, Φ une contraction multivoque sur E, Γ un arc simple lipschitzien et f une fonction continue de E dans Γ. Alors la multifonction

Ψ : x ↦ Φ(x) + f(x)

possède un point fixe.

Preuve. Soit γ une fonction bijective et M-lipschitzienne de [0, 1] sur Γ. Supposons que, pour aucun x de E on n’ait x ∈ f(x) + Φ(x). Soit x_{0} un point fixe de la contraction x ↦ γ(0) + Φ(x). On a

γ^{−1}∘f(x_{0}) > 0

On va construire alors, pour tout ordinal dénombrable α, un point x_{α} de E et un t_{α} de [0, 1] tels que

α < β ⟹ t_{α} < t_{β}  (1)
x_{α} ∈ Φ(x_{α}) + γ(t_{α}) , γ^{−1}∘f(x_{α}) > t_{α}  (2)
∥x_{α} − x_{β}∥ ≤ \frac{M}{1 − q} |t_{α} − t_{β}|  (3)

où q est strictement compris entre 1 et la constante de Lipschitz de γ.

Posons t_{0} = 0 et supposons construits les (x_{α}, t_{α}) pour α < β. Si β est un ordinal limite, on a

lim_{α→β,α′→β} |t_{α} − t_{α′}| = 0 ,

donc (x_{α}) a une limite x_{β} quand α croît vers β. Alors, en posant t_{β} = sup_{α<β} t_{α} , (x_{β}, t_{β}) vérifie (1) et (3).

Par continuité, on a

x_{β} ∈ γ(t_{β}) + Φ(x_{β})  et  γ^{−1}∘f(x_{β}) ≥ t_{β} ,

d’où (2) puisque, par hypothèse

f(x_{β}) ∉ x_{β} − Φ(x_{β})  et  γ(t_{β}) ∈ x_{β} − Φ(x_{β})

Si, au contraire, β est un ordinal successeur α + 1, il existe un δ > 0 tel que

∥x − x_{α}∥ < δ ⟹ γ^{−1}∘f(x) > \frac{t_{α} + γ^{−1}∘f(x_{α})}{2} .

PERTURBATIONS COMPACTES

Soit t_{α+1} un nombre tel que

t_{α} < t_{α+1} < \frac{t_{α} + γ^{−1}∘f(x_{α})}{2}  et  t_{α+1} − t_{α} < \frac{(1 − q)δ}{M} .

Alors, pour la contraction x ↦ γ(t_{α+1}) + Φ(x) , le point x_{α} est au plus à distance ∥γ(t_{α+1}) − γ(t_{α})∥ de son image. Il existe donc un point fixe x_{α+1} de cette contraction, situé au plus à distance

\frac{1}{1 − q} ∥γ(t_{α+1}) − γ(t_{α})∥ ≤ M \frac{t_{α+1} − t_{α}}{1 − q} < δ

de x_{α}. On a donc, pour tout β ≤ α

∥x_{α+1} − x_{β}∥ ≤ ∥x_{α+1} − x_{α}∥ + ∥x_{α} − x_{β}∥

≤ \frac{M}{1 − q} [(t_{α+1} − t_{α}) + (t_{α} − t_{β})] = \frac{M(t_{α+1} − t_{β})}{1 − q}

x_{α+1} ∈ γ(t_{α+1}) + Φ(x_{α+1})

et enfin :

γ^{−1}∘f(x_{α+1}) > \frac{t_{α} + γ^{−1}∘f(x_{α})}{2}

puisque ∥x_{α+1} − x_{α}∥ < δ et

t_{α+1} < \frac{t_{α} + γ^{−1}∘f(x_{α})}{2} < γ^{−1}∘f(x_{α+1}) .

L’impossibilité de construire ainsi une fonction strictement croissante de ω_{1} dans [0, 1] prouve donc l’existence d’un point fixe pour la contraction Ψ.

THEOREME 2. Il existe sur l’espace euclidien E = IR^{3} une contraction multivoque Φ et une fonction lipschitzienne f de E dans lui-même telles que f(E) soit un cercle et que l’équation

x ∈ f(x) + Φ(x)

n’ait aucune solution.

Preuve. On identifie IR^{3} à ^{|}C × IR, on choisit un δ > 0 et on définit, pour λ > 0 :

f(z, t) = (δe^{2iπ \frac{t}{λ}} , 0)

Φ(z, t) = \{ \begin{matrix}\{0\} × IR & si |z| ≤ \frac{δ}{2} \\ \{0\} × \{λ(\frac{θ}{2π} + n) : n ∈ ZZ\} & si z = ρe^{iθ} et ρ ≥ δ \\ \{0\} × \{λ(\frac{θ}{2π} + n + α) : n ∈ ZZ , |α| ≤ 1 − \frac{|z|}{δ}\} & si z = ρe^{iθ} et \frac{δ}{2} ≤ ρ ≤ δ \end{matrix}

J. SAINT RAYMOND

LEMME 3. Pour λ assez petit, l’application Φ définie ci-dessus est contractante. Preuve. On voit aisément que, en désignant par d_{H} la distance de Hausdorff, on a :

d_{H}(Φ(ρe^{iθ}, t), Φ(ρ′e^{iθ}, t′)) ≤ \frac{λ |ρ − ρ′|}{δ}
\frac{1}{ρ}· d_{H}(Φ(ρe^{iθ}, t), Φ(ρe^{iθ′}, t′)) ≤ \frac{λ |θ − θ′|}{2π}· \frac{2}{δ}

Il en résulte que

d_{H}(Φ(ρe^{iθ}, t), Φ(ρ′e^{iθ′}, t′) ≤ \frac{λ}{δ}· (|ρ − ρ′|+\frac{ρ |θ − θ′|}{π}) ≤ \frac{λ}{πδ} · \sqrt{1 + π^{2}}\sqrt{(ρ − ρ′)^{2} + ρ^{2}(θ − θ′)^{2}}

De plus, si z = ρe^{iθ}, on a

\frac{∂z}{∂ρ} = e^{iθ}  et  \frac{∂z}{∂θ} = iρe^{iθ}
donc  |z′ − z|^{2} ∼ (ρ′ − ρ)^{2} + ρ^{2}(θ′ − θ)^{2}  quand z′ → z ,

lim sup_{z′→z} \frac{1}{|z′ − z|}· d_{H}(Φ(z, t), Φ(z′, t′)) ≤ \frac{λ}{πδ} \sqrt{1 + π^{2}} ,

et Φ est lipschitzienne de rapport

\frac{λ}{πδ} \sqrt{1 + π^{2}} ,

ce qui entraîne que Φ est contractante si

λ < \frac{πδ}{\sqrt{1 + π^{2}}}

et en particulier si λ ≤ δ/2.

Nous démontrons maintenant que la multifonction Ψ = f + Φ n’a aucun point fixe. Supposons en effet que (z, t) vérifie

(z, t) ∈ f(z, t) + Φ(z, t) .

On aurait alors

\{ \begin{matrix}z = −δe^{2iπ \frac{t}{λ}}  donc |z| = δ \\ t ∈ \{λ(\frac{1}{2} + \frac{t}{λ} + n) : n ∈ ZZ\} \end{matrix}

donc il existerait un entier n tel que λ(\frac{1}{2} + n) = 0, ce qui est impossible. Cette contradiction achève la preuve du théorème 2.

THEOREME 4. Il existe sur l’espace de Hilbert une contraction multivoque Φ à valeurs fermées, un arc simple Γ et une fonction continue F à valeurs dans Γ tels que l’équation

x ∈ F (x) + Φ(x)  (4)

n’ait aucune solution.

Pour tout n de IN, on pose E_{n} = ^{|}C ⊕ IR. Il résulte du lemme 3 ci-dessus qu’existent q < 1 et ρ > 0 tels que, si on pose

Φ_{n}(z, t) = \{ \begin{matrix}\{(0, 0)\} & si n = 0 \\ \{0\} × \{\frac{1}{n}(\frac{θ}{2π} + p) : p ∈ ZZ\} & si n ≥ 1, z = re^{iθ} et r ≥ ρ \\ \{0\} × \{\frac{1}{n}(\frac{θ}{2π} + p + α) : p ∈ ZZ , |α| ≤ 1 − \frac{r}{ρ}\} & si n ≥ 1, z = re^{iθ} et r ≤ ρ \end{matrix}

la multifonction Φ_{n} soit q-lipschitzienne pour tout n.

Soit E la somme hilbertienne des E_{n}. On pose, pour u = (u_{n}) ∈ E

Φ(u) = {v = (v_{n}) ∈ E : ∀n v_{n} ∈ Φ(u_{n})}

et on vérifie que Φ est q-lipschitzienne. Pour n dans IN et t dans I = [−1, 1], on pose

γ_{n}(t) = \{ \begin{matrix}(0, t) & si n = 0 \\ (\frac{ρ}{n}e^{2iπnt^{2n+1}}, 0) & si n ≥ 1 \end{matrix}

et on considère l’arc γ à valeurs dans E défini sur I par γ(t) = (γ_{n}(t)). On vérifie sans peine que γ est continu sur I et de classe C^{1} sur ] − 1, 1[, donc localement lipschitzien sur ] − 1, 1[. La compacité de I entraîne alors que l’ensemble

X = {u ∈ E : ∃t ∈ I γ(t) ∈ u − Φ(u)}

est fermé dans E. Puisque

|\frac{d}{dt}e^{2iπnt^{2n+1}} | = |2iπn(2n + 1)t^{2n}e^{2iπnt^{2n+1}} | ≤ 6πn^{2}

on a, pour n ≥ 1

∥γ_{n}(s) − γ_{n}(t)∥ ≤ 6πρn |s − t|

et

∥γ_{n}(s) − γ_{n}(t)∥ ≤ 2\frac{ρ}{n}

donc, pour β < 1/4 :

∥γ_{n}(s) − γ_{n}(t)∥ ≤ (2\frac{ρ}{n})^{1−β}· (6πρn |s − t|)^{β} = λn^{2β−1} |s − t|^{β}

où on a posé λ = 2ρ(3π)^{β}. On voit alors que

∥γ_{0}(s) − γ_{0}(t)∥^{2} + ∑_{1}^{∞} ∥γ_{n}(s) − γ_{n}(t)∥^{2} ≤ |s − t|^{2β} + λ^{2} |s − t|^{2β} ∑_{1}^{∞} n^{4β−2}

et on en déduit l’existence d’une constante λ′ < ∞ telle que

∥γ(s) − γ(t)∥ ≤ λ′ |s − t|^{β}

c’est-à-dire que γ est β-höldérienne.

LEMME 5. Pour qu’un point u = (u_{n}) de E appartienne à X, il faut et il suffit qu’existent un t ∈ I et une suite (p_{n})_{n≥1} dans ZZ tels que

\{ \begin{matrix}u_{0} & = (0, t) \\ u_{n} & = (z_{n}, t_{n}) pour n ≥ 1 \end{matrix}  où  \{ \begin{matrix}t_{n} & = t^{2n+1} + \frac{p_{n}}{n} \\ z_{n} & = \frac{ρ}{n}· e^{2iπnt^{2n+1}} \end{matrix}

De plus les fonctions τ : X → I et π_{n} : X → ZZ définies par

u_{0} = (0, τ(u))  et  u_{n} = (\frac{ρ}{n}· e^{2iπnτ(u)^{2n+1}}, τ(u)^{2n+1} + \frac{π_{n}(u)}{n})

sont continues.

Preuve. Ceci se vérifie imédiatement, puisque si (z_{n}, t_{n}) = u_{n} − Φ_{n}(u_{n}), on a, avec u_{n} = (w_{n}, s_{n})

\{ \begin{matrix}z_{n} = w_{n} \\ ( & 0, s_{n} − t_{n}) ∈ Φ_{n}(w_{n}, 0) \end{matrix}

La continuité de τ est claire, et si u = (u_{n}) avec u_{n} = (w_{n}, s_{n}),
p_{n} = π_{n}(u) = n (s_{n} − τ(u)^{2n+1})

ce qui prouve la continuité de π_{n} pour n ≥ 1.

On notera X_{1} et X_{−1} les fermés de X définis par

X_{1} = {u ∈ X : τ(u) = 1}
X_{−1} = {u ∈ X : τ(u) = −1}

Pour u ∈ X_{−1}, on définit une partie Ω_{u} de X par

Ω_{u} = \{v ∈ X : ∀n ≥ 1 |π_{n}(v) − π_{n}(u)| ≤ \frac{3n}{2}\}

et de même pour u dans X_{1}

Ω′_{u} = \{v ∈ X : ∀n ≥ 1 |π_{n}(v) − π_{n}(u)| ≤ \frac{3n}{2}\}

LEMME 6. L’ensemble Ω_{u} est, dans X, un voisinage ouvert fermé de u disjoint de X_{1}. De plus, (Ω_{u})_{u∈X_{−1}} est un recouvrement de X \ X_{1}.

De même, les (Ω′_{u})_{u∈X_{1}} forment un recouvrement en ouverts fermés de X \ X_{−1}.

Preuve. Il suffit de prouver l’énoncé concernant les Ω_{u}. Il est clair que u ∈ Ω_{u} et que Ω_{u} est fermé puisque les π_{n} sont continues. Soit p_{n} = π_{n}(u). Puisque τ(u) = −1 avec u_{n} = (z_{n}, t_{n}), on a

z_{n} = \frac{ρ}{n}  et  t_{n} = −1 + \frac{p_{n}}{n}

d’où

\frac{p_{n}}{n} = 1 + t_{n}  et  lim_{n→∞} \frac{p_{n}}{n} = 1

puisque ∑_{1}^{∞} t_{n}^{2} < +∞.

• Si v ∈ Ω_{u} ∩ X_{1}, et si q_{n} = π_{n}(v), on a de même, avec v_{n} = (w_{n}, s_{n})

s_{n} = 1 + \frac{q_{n}}{n}

d’où

\frac{q_{n}}{n} = −1 + s_{n}  et  lim_{n→∞} \frac{q_{n}}{n} = −1 .

Donc

lim_{n→∞} (\frac{p_{n}}{n} − \frac{q_{n}}{n} ) = 2 ,

ce qui empêche que

∀n |\frac{p_{n}}{n} − \frac{q_{n}}{n} | ≤ \frac{3}{2} .

Donc Ω_{u} ∩ X_{1} = ∅.

• Si u ∈ X_{−1}, on a u ∈ Ω_{u}. Et si v ∈ X \ (X_{1} ∪ X_{−1}), on a, avec t = τ(v), −1 < t < 1, v_{n} = (w_{n}, s_{n}), q_{n} = π_{n}(v)

s_{n} = t^{2n+1} + \frac{q_{n}}{n}

d’où lim_{n→∞} s_{n} = 0 puisque ∑_{1}^{∞} s_{n}^{2} < +∞ et lim_{n→∞} t^{2n+1} = 0, et enfin lim_{n→∞} \frac{q_{n}}{n} = 0. Soit N un entier tel que

∀n ≥ N |\frac{q_{n}}{n} | < \frac{1}{2}

Alors le point u défini par

u_{n} = \{ \begin{matrix}(0, −1) & si n = 0 \\ (\frac{ρ}{n}, −1 + \frac{q_{n}}{n} ) & si 1 ≤ n < N \\ (\frac{ρ}{n}, 0) & si n ≥ N \end{matrix}

est dans X_{−1} et vérifie

π_{n}(u) = \{ \begin{matrix}q_{n} & si 1 ≤ n < N \\ n & si n ≥ N \end{matrix}

d’où, pour tout n ≥ 1 :

|π_{n}(u) − q_{n}| < \frac{3n}{2}

J. SAINT RAYMOND

Donc v ∈ Ω_{u}. Ceci montre que

X \ X_{1} = ⋃_{u∈X_{−1}} Ω_{u} .

• Il ne reste plus qu’à prouver que Ω_{u} est voisinage de chacun de ses points dans X. Soit d’abord v ∈ Ω_{u} ∩ X_{−1}. Alors, avec q_{n} = π_{n}(v), on a, comme plus haut,

lim_{n→∞} \frac{q_{n}}{n} = 1 donc lim_{n→∞} \frac{p_{n} − q_{n}}{n} = 0 .

Soit N un entier tel que

∀n ≥ N |p_{n} − q_{n}| ≤ \frac{n}{4} .

Notons v = ((w_{n}, s_{n})). Si v′ = ((w′_{n}, s′_{n})) est proche de v, on a

\{ \begin{matrix}s_{n} & = −1 + \frac{q_{n}}{n} \\ s′_{n} & = t^{2n+1} + \frac{q′_{n}}{n} \end{matrix}

avec t = τ(v′) et q′_{n} = π_{n}(v′), d’où

\frac{q_{n} − q′_{n}}{n} = (1 + t^{2n+1}) + (s_{n} − s′_{n}) .

En particulier

|s_{n} − s′_{n}| ≤ (∑_{1}^{∞}(s_{n} − s′_{n})^{2})^{1/2} ≤ ∥v − v′∥

|1 + t| ≤ ∥v − v′∥

donc, si ∥v − v′∥ < \frac{1}{8}, on a t ≤ 0 et 1 + t^{2n+1} ≤ 1, d’où

∀n ≥ 1 |\frac{q_{n} − q′_{n}}{n} | ≤ 1 + \frac{1}{8}

∀n ≥ N |\frac{p_{n} − q′_{n}}{n} | ≤ |\frac{p_{n} − q_{n}}{n} | + |\frac{q_{n} − q′_{n}}{n} | ≤ \frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{8} < \frac{3}{2}

Il en résulte que

X ∩ B(v, \frac{1}{8}) ∩ ⋂_{n<N}\{v′ ∈ X : π_{n}(v′) = q_{n}\}

est un voisinage de v dans X contenu dans Ω_{u}. Donc Ω_{u} est un voisinage de v.

Soit enfin v ∈ Ω_{u} \ X_{−1}. On a, avec q_{n} = π_{n}(v),

lim_{n→∞} \frac{q_{n}}{n} = 0 donc lim_{n→∞} \frac{p_{n} − q_{n}}{n} = 1

PERTURBATIONS COMPACTES

Soit N un entier tel que

∀n ≥ N |\frac{p_{n} − q_{n}}{n} | ≤ \frac{5}{4} et θ^{2N+1} < \frac{1}{16}

où

θ = \frac{1 + |τ(v)|}{2} < 1 .

Alors, si

∥v − v′∥ < min (\frac{1}{8}, \frac{1 − |τ(v)|}{2})

on aura

|τ(v′) − τ(v)| ≤ ∥v′ − v∥

donc |τ(v)| ≤ θ et |τ(v′)| ≤ θ

\{ \begin{matrix}s_{n} & = τ(v)^{2n+1} + \frac{q_{n}}{n} \\ s′_{n} & = τ(v′)^{2n+1} + \frac{q′_{n}}{n} \end{matrix}

d’où, pour n ≥ N :

|\frac{q_{n} − q′_{n}}{n} | ≤ |s_{n} − s′_{n}| + 2θ^{2N+1} ≤ ∥v − v′∥ + 2θ^{2N+1} < \frac{1}{4}

Enfin

∀n ≥ N |\frac{p_{n} − q′_{n}}{n} | ≤ |\frac{p_{n} − q_{n}}{n} | + |\frac{q_{n} − q′_{n}}{n} | < \frac{5}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{2}

Donc Ω_{u} contient le voisinage de v dans X défini par

\{v′ ∈ X : ∥v′ − v∥ < \frac{1}{8} et ∥v′ − v∥ < \frac{1 − |τ(v)|}{2} et ∀n < N π_{n}(v′) = π_{n}(v)\}

Ceci achève de prouver que Ω_{u} est ouvert, et termine la démonstration du lemme 6. LEMME 7. Il existe dans X un ouvert fermé qui contient X_{−1} et qui est disjoint de X_{1}. Preuve. Il existe, en vertu du lemme précédent et du théorème de Lindelöf, deux suites (Ω_{j})_{j∈IN} et (Ω′_{j})_{j∈IN} d’ouverts fermés de X telles que

⋃_{j} Ω_{j} = X \ X_{1} et ⋃_{j} Ω′_{j} = X \ X_{−1}

On pose alors

U = ⋃_{j∈IN} (Ω_{j} \ ⋃_{k<j} Ω′_{k})
V = ⋃_{j∈IN} (Ω′_{j} \ ⋃_{k≤j} Ω_{k})

Il est clair que U et V sont ouverts, disjoints et de réunion

(⋃ Ω_{j}) ∪ (⋃ Ω′_{j}) = (X \ X_{−1}) ∪ (X \ X_{1}) = X .

Puisque V ⊂ X \ X_{−1}, on a U = X \ V ⊃ X_{−1}, et de même V ⊃ X_{1}.

Preuve du théorème 4. Les ensembles U et V du lemme précédent forment une partition de X en deux fermés. Il existe donc, par le théorème de Urysohn, une fonction continue f : E → [−1, 1] avec f_{|U} = 1 et f_{|V} = −1. Alors, si F (u) = γ∘f(u), et si u était solution de (4), on aurait, pour t = γ(u)

γ(t) ∈ u − Φ(u)

donc u ∈ X et f(u) ∈ {−1, 1}. Si f(u) = −1, u ∈ X_{−1} ⊂ U, d’où f(u) = 1, et si f(u) = 1, u ∈ X_{1} ⊂ V, d’où f(u) = −1. Cette contradiction achève la démonstration.

REFERENCES

[ C-N ] H. Covitz and S.B. Nadler Jr,, Multivalued contraction mappings in

generalized metric spaces. Israel J. of Math. 8 (1970), 5-11.

[ N ] S.B. Nadler Jr,, Multivalued contraction mappings. Pacific J. of Math. 30

(1969), 475-488.

[ M ] E. Michael,, Continuous Selections I. Ann. of Math. 63 (1956), 361-382.